Gard Brekke Uppfattningar om tal i decimalform Texten är en översättning av Oppfattninger av desimaltall, Nämnaren 1995:4, s 27 44. Översättningen är gjord av Anders Wallby. Blå text är obligatorisk läsning. Missuppfattningar I denna artikel kommer jag att diskutera användningen av diagnostiska uppgifter i samband med begreppsutveckling. Hur kan man använda sådana uppgifter för att undersöka vilka begrepp den enskilde eleven har utvecklat? Vilka problem står denne inför i processen mot ett fast förankrat begrepp? Vi kommer att titta på vanliga missuppfattningar och partiella begrepp som elever har inom detta område. Det är välkänt att en kritisk fas inom matematiklärandet är när talområdet utökas från heltal till att omfatta bråk och tal i decimalform [i fortsättningen decimaltal. red.anm]. Innan vi ser närmare på detta, tar vi upp några frågor kring det som inom matematikdidaktiken kallas missuppfattningar. Barnen möter decimaltal i samband med pengar eller mätningar innan dessa dyker upp i undervisningen. Det centrala i dessa erfarenheter är att det finns ett helt antal kronor på ena sidan av decimaltecknet och ett helt antal ören på andra sidan. På motsvarande sätt är det med meter och centimeter när du gör en mätning. Det förefaller som om undervisning om att ett decimaltal är ett tal som kan innehålla tiondelar, hundradelar, tusendelar osv, inte kan rubba uppfattningen från erfarenheterna av arbetet med pengar och mätningar. Vi berör här ett centralt problem i matematikundervisningen: att få eleverna att inse att de idéer och uppfattningar som de har utvecklat, inte alltid kan tillämpas i alla nya situationer. En uppfattning utvecklas sällan fullt ut genom erfarenheter från ett enda område. Vi kallar ofullständiga tankar knutna till ett begrepp för missuppfattningar. Det är viktigt att förstå skillnaden mellan de fel eleverna gör och de missuppfattningar som de har. Ett fel kan vara mer eller mindre tillfälligt, beroende på att eleven inte är uppmärksam nog eller inte läser uppgiften tillräckligt noga. Missuppfattningar är inte tillfälliga. Bakom dem finns en bestämd tanke en idé som man använder nog så konsekvent. Ofta är detta ett resultat av en övergeneralisering av tidigare kunskaper till nya områden, där dessa kunskaper inte är fullt ut tillämpliga. Man kan gott se detta som ett försök att skapa mening och sammanhang i det man lär. Nämnaren 2013 1
Barn bygger normalt sin första förståelse av de fyra räknesätten på erfarenheter av små hela tal. Dessa räkneoperationer införs vanligtvis med hjälp av enkla tankemodeller som inte direkt låter sig generaliseras till arbete med decimaltal, och som därför ofta leder till att missuppfattningar uppstår. Om man bara får uppleva multiplikation som upprepad addition, kommer man att utveckla en snävare syn på vad multiplikation är. Man kan säga att man har ett partiellt begrepp av multiplikation. Med bakgrund i en sådan tankemodell kommer det att vara svårt att göra en uppskattning av svaret på 0,62 0,37. Många elever är övertygade om att multiplikation alltid ger ett större svar än utgångstalet, eftersom alla deras erfarenheter av upprepad addition säger detta. På motsvarande sätt är de elever som endast mött delningsdivision oförmögna att ge uttrycket 12 : 0,4 en praktisk innebörd. Detta avspeglar tankemodellen innehållsdivision, som eleverna måste göras medvetna om i praktiska sammanhang. En annan viktig orsak till missuppfattningar är att många elever inte skiljer mellan begreppet multiplikation idéerna som är knutna till multiplikation och sättet att genomföra beräkningen multiplikationsalgoritmen. Elevernas erfarenheter av multiplikation har oftast förknippats med att utföra multiplikationen, dvs algoritmen. Att kunna multiplikation är att kunna algoritmen och att komma ihåg multiplikationstabellen. Det är nog oundvikligt att missuppfattningar och partiella begrepp uppstår. De är en del av barns normala utveckling. Nya idéer bildas ur existerande erfarenheter. Ogiltiga slutsatser dras ofta och generaliseringar görs på sviktande underlag. Uppfattningar av detta slag finner man inom alla områden av matematiken. Några vanliga, välbekanta missuppfattningar inom aritmetik är det längsta talet har alltid störst värde du kan inte dela ett litet tal med ett stort multiplikation gör alltid svaret större man kan bara dela med heltal 3 : 6 och 6 : 3 ger samma svar division gör alltid svaret mindre. Sådana missuppfattningar, som kan ge eleven rätta svar även i andra fall än för heltal, följer ofta eleven under hela skoltiden och senare i livet. De visar sig vara så grundläggande att de, snarare än det logiska i en situation, fungerar som ett rättesnöre till exempel när det gäller att välja rätt räknesätt i denna uppgift: Köttfärs kostar 69.50 kr per kg, hur mycket kostar 0,86 kg? Många människor väljer division som räkneoperation eftersom de vet att svaret bör bli mindre än 69,50 kr. Man kan också se att eleverna ofta tror att om man förändrar talen i en uppgift är det inte säkert att räkneoperation förblir densamma. Vanliga undervisningsmetoder har visat sig vara ineffektiva när det gäller att övervinna sådana problem. Detta gäller både metoder där man ignorerar missuppfattningarna och metoder där man försöker undvika missuppfattningarna genom att definiera begreppen korrekt och fullständigt vid den första introduktionen. 2 Nämnaren 2013
Prov i matematik hålls vanligen efter en träningsperiod. Huvudsyftet med provet är oftast att avgöra hur väl eleverna har tagit till sig vissa fakta, färdigheter och/eller begrepp. Syftet med diagnostiska uppgifter är något annorlunda. Diagnostiska uppgifter kan mycket väl förekomma i en undervisningssekvens. Diagnostisk undervisning En arbetsmetod där vi medvetet fokuserar och arbetar med vanliga fel och missuppfatt-ningar eleverna har kallas diagnostisk-responsiv undervisning, eller bara diagnostisk undervisning. Denna handlar såväl om en diagnostisering av tankar vissa elever har utvecklat kring ett specifikt begrepp, som om det matematiska innehållet i undervisningsstoffet. Syftet med diagnostiseringen är att identifiera vilka erfarenheter eleverna behöver göra genom undervisningen för att bygga upp ett det aktuella begreppet. Diagnostisk undervisning baseras således på att det i princip är möjligt att identifiera vilka tankar eleverna har gjort sig om det kommande lärostoffet och vilka missuppfattningar och hinder eleverna vanligtvis möter när de utvecklar olika begrepp inom matematiken. Schematiskt kan man se följande faser i diagnostisk undervisning. 1. Identifiera missuppfattningar och partiella begrepp som utvecklats av eleverna. 2. Anpassa undervisningen så att eventuella missuppfattningar eller partiella begrepp framhävs. Man kallar detta att skapa en kognitiv konflikt. 3. Lös den kognitiva konflikten genom diskussioner och reflektioner i undervisningen. 4. Använd det utökade (eller nya) begreppet i andra sammanhang. Grunden för den första punkten är de diagnostiska uppgifterna. Testunderlag I en standardisering av diagnostiska uppgifter inom områden tal och räkning med tal deltog 104 fjärdeklasser, 107 sjätteklasser och 92 åttondeklasser med ca 1900 elever i varje årskurs. Skolorna var slumpmässigt utvalda bland alla norska grundskolor, men man såg till att få en balanserad fördelning på regioner och skolor av olika storlekar. Standardiseringen genomfördes i januari och februari 1995. Av de 1900 eleverna i varje årskurs valdes 500 ut, efter födelsedatum i månaden. Analys av elevsvar I presentationen har jag valt att ge några kommentarer baserade på de olika delområdena av begreppet tal i decimalform och på specifika typer av missuppfattningar, illustrerade med några av de uppgifter som presenteras i Uppslaget i Nämnaren nr 3, 1995 [Test på tal i decimalform]. De olika områdena och missuppfattningar finner man vanligen spår av i flera uppgifter i de diagnostiska testerna. Eleverna möter decimaltal tidigt i samband med mätningar av olika slag, men då oftast utan att det fokuseras på de centrala idéerna knutna Nämnaren 2013 3
till de nya talen. De har därmed kunskap om skrivsättet för decimaltalen, men inte vad de innebär. Lärare undrar ofta över varför eleverna bemästrar uppgifter med decimaltal när uppgifterna handlar om pengar. Anledningen är förmodligen inte att eleverna förstår decimaltal i sådana situationer, utan snarare att de i sådana sammanhang inte behöver använda decimaltal. De kan fortsätta att arbeta som om det vore heltal och växla hundra öre till en krona. De kan därmed räkna korrekt med pengar utan att det är nödvändigt att använda innebörden i decimalformen. Decimalnotation En testuppgift var: Som ett svar på en matematisk uppgift fick Olav 4.9 och Lise 4,90. Är det någon skillnad mellan svaren? Här svarar 21% att det är skillnad, eftersom 90 är mer än 9. I det följande kommer vi att hänvisa till denna missuppfattning som decimaltal som par av heltal. Andra elever tänker på decimaltecknet på samma vis som när man använder kommatecken i en uppräkning vid skrivande. I den fortsatta analysen av elevernas svar, ser vi även att eleverna ofta använder kommatecken som skiljetecken i flera olika sammanhang. För många barn, är talens utseende det väsentliga, det är ett kommatal. De tror att talen är decimaltal eftersom de ser ut som decimal. Uppgift 6028 visar detta. 6028 En klocka visar tiden 8.59 (eller en minut i nio). a) Är det ett decimaltal? b) Förklara hur du vet om det är ett decimaltal eller inte. Följande tabell ger en översikt av fördelningen av några typer av förklaringar. 6028 åk 6 åk 8 Nej på fråga a 29 38 Ja på fråga a 60 55 Hänvisar till talsystemet 6 12 Förklaring från talet utseende 47 48 Andra felaktiga svar 25 22 Av de elever som svarat nej på uppgift a är det endast 20% i 6:e klass och 29% i 8:e klass som refererar till talsystemet, medan 34% och 25% har förklaringar som hänvisar till utseendet på talet. Följande elevsvar är ett exempel på detta: Det är inte ett decimaltal eftersom det står en punkt och inte ett kommatecken mellan talen. De elever som svarar ja på uppgift a, hänvisar vanligtvis till utseendet av talet (60% och 71% för de två årskurserna). Två typiska sådana svar var: Eftersom det är 5 tiondelar och 9 hundradelar i talet och Allt efter 4 Nämnaren 2013
kommatecknet är decimaltal. Som lärare bör vi tänka på de situationer i det dagliga livet där en symbol används för att separera en större enhet från en mindre, som exempel tidsangivelse (vid 10.15). Eleverna väljer ofta att se på decimaltal som ett par av hela tal. 4021 Vad betyder 9,7? Ringa in ett svar: a. Nittiosju b. Nio sjundedelar c. Nio och en sjundedel d. Nio och sju tiondelar e. Ingen av dessa. Jag tror att 9,7 betyder... Vi ser att relativt många elever tolkar 9,7 som nio och en sjundedel, även i 8: e klass, något som tyder på en vag uppfattning om vad ett decimaltal står för. 4021 åk 4 åk 6 åk 8 Nio och sju tiondelar 40 56 74 Nio sjundedelar 15 15 6 Nio och en sjundedel 25 18 12 Övriga 13 09 06 Jämföra decimaltal I många situationer där decimaltal skall jämföras, är talen givna med samma antal decimaler (till exempel, när man försöker avgöra vem som vunnit ett 100-meters lopp, med tiderna 10.00, 9.90 och 9.93 sekunder). Sådana uppgifter innebär inte några större problem för eleverna. När man däremot använder en miniräknare, försvinner nollorna i slutet. Detta leder till problem för många. Till exempel kan en uppgift vara att avgöra vilket inköp som lönar sig bäst: 1,5 kg för 14,10 kr eller 1,25 kg för 11,60 kr? Använder man en miniräknare för att räkna ut kostnad per kg, blir man tvungen att förstå den relativa storleken på talen 9.4 och 9.28 för att ge korrekta svar. Det finns flera uppgifter i testen som fokuserar på att jämföra tal med olika antal decimaler. Exempelvis uppgifterna 4019 och 4020 syftar till detta. 4019 a. Ringa in det minsta av dessa tal: 0,625 0,25 0,3753 0,125 0,5 b. Varför är det minst? 4020 a. Ringa in det största av dessa tal: 0,649 0,87 0,7 b. Varför är det störst? 4019 a åk 4 åk 6 åk 8 0,125 16 55 79 0,5 64 26 7 0,3753 8 13 10 0,25 8 4 3 0,625 1 1 1 Nämnaren 2013 5
4020 a åk 4 åk 6 åk 8 0,87 22 62 83 0649 66 26 7 0,7 8 10 9 Tabellen visar att många yngre elever anser att det kortaste decimaltalet är minst (och det längsta störst). Detta kan förklaras av att man ser på talet efter decimaltecknet som ett helt tal. Missuppfattningen att ett decimaltal är ett par av två hela tal, är alltså grunden för missförståndet att det kortaste decimaltalet är minst. Tabellen visar att det är relativt få elever som har detta problem i 8:e klass. Å andra sidan finns det också elever som har missuppfattningen att det längsta decimaltalet är minst. De svarar att 0,3753 är det minsta antalet i uppgift 4019 och 0,7 är störst i uppgift 4020 a. Procentandelen elever som gör detta visar sig vara stabil i alla tre årskurserna. Det är uppenbart att den undervisning eleverna vanligtvis möter, hjälpte dem med den första svårigheten, medan den var mindre fokuserad på den andra missuppfattningen. Man kan se att den inte har ifrågasatts i samma grad. Uppgift 4019 ingick i den omfattande APU-undersökningen av matematiken i England omkring 1980. 13 000 studenter svarade på varje uppgift. För 15-åringarna fick man följande svarsfördelning: 0,125 43%; 0,5 13%; 0,3753 36%; 0,25 2%; 0625 4%. Resultatet i KIM-undersökningen var således mycket bättre. Elevernas förklaringar visar att många tror att 0,7 är större än 0,87 eftersom det i det första fallet är en fråga om tiondelar, medan det i andra handlar om hundradelar och tiondelar, och tiondelar är större än hundradelar. Eller när det är hundradelar så är talet mer uppsplittrat och därmed blir varje del mindre. Det är tydligt att eleverna är konsekventa i sitt tänkande när de svarar på dessa uppgifter. Av de elever som svarade att 0,5 är minst i uppgift 4019 a, är det 93% i åk 4, 89% i åk 6 och 78% i åk 8 som också svarar att 0,649 är störst i uppgift i 4020 a. Motsvarande tal för de som svarat att 0,3753 är minst i uppgiften 4019 a och 0,7 störst i 4020 a, är 69%, 69% och 71%. Liknande utmaningar möter eleverna i: 4015 Ringa in det största talet: 3,521 3,6 3,75 4016 Ringa in det största talet: 4,09 4,7 4,008 Dessa uppgifter skiljer sig från 4019 och 4020 genom att talen inte har noll som heltalsdel. 6 Nämnaren 2013
4015 åk 4 åk 6 åk 8 3,75 20 64 88 3,521 74 30 6 3,6 5 6 5 4016 4,7 31 72 94 4,09 32 19 4 4,008 35 9 2 Vi ser att fördelningen av svaren i uppgift 4015 skiljer sig lite från uppgift 4020 (se tabell). När man jämför svaren finner vi att av dem som svarar 0,649 i uppgift 4020, är det 96% i 4:e, 86% i 6:e och 65% i 8:e klass som svarar 3,521 på uppgift 4015. Denna missuppfattning är således oberoende av om decimaltalet har nollor. [De har] inte svarat 4,008 (som är talet med längst decimaldel, och därmed störst enligt den missuppfattning vi sett ovan) som man skulle kunna förvänta sig, med tanke på från svaren på de övriga uppgifterna. En anledning till det kan vara att de elever som uppfattar ett decimaltal som ett par av heltal, i detta fall jämför storleken på de hela talen: 7, 09 och 008, och då är 09 det största av dem. I denna uppgift, är det också en fråga om förstå noll som en platshållare. Av de 8:e-klassare som svarade 0,649 på uppgift 4020, är det mer än hälften som ger rätt svar på uppgift 4016. Motsvarande siffra för 6:e och 4:e klass är en tredjedel och en sjättedel. Resultaten ovan visar att en förhållandevis stor del av eleverna är osäkra när det gäller relativ storlek på decimaltal. En omedelbar reaktion från en lärare när resultaten från APU-enkäten publicerades i The Times Educational Supplement var att eleverna skulle övervinna dessa svårigheter om alla decimaler försågs med samma längd på decimaldelen. Således måste eleverna lära sig att lägga till nollor tills alla talen hade lika många decimaler, och sedan jämföra dem som om de vore heltal. Denna regel, som många kommer att tycka verkar godtycklig och meningslös, kommer att ge rätta svar, men kommer inte att bidra till att skingra några av de missuppfattningar som redogjorts för ovan. Decimaler på tallinjen Mycket få människor har en föreställning om att det finns många, för att inte tala om oändligt många, decimaler mellan varje givet talpar, och att det därför kan existera ett annat deci maltal så nära ett givet tal som man önskar. Detta bekräftas i uppgiften 6029 d och följande uppgift för 6:e och 8:e klass. 6022 Hur många tal finns det mellan 0,47 och 0,48? Nämnaren 2013 7
6022 åk 6 åk 8 Oändligt många 5 18 Inget 29 23 Ett tal 33 13 Två till åtta tal 2 2 Nio tal 2 10 10, 100,... 4 9 0,01 eller 1/100 12 15 Ungefär en fjärdedel av eleverna sa att det inte finns något tal mellan 0,47 och 0,48. En anledning till det kan vara att de tänker på hela tal, eller det kan vara så att missuppfattningen om decimaltal som par av hela tal spelar in även här. Många elever tror att det finns ett tal mellan 0,47 och 0,48. Intervjuer i andra studier har visat att eleverna då menar att detta tal då är mitt emellan 0,47 och 0,48. Andra elever har fått med sig något av systemet för notationen av decimaltal, att man kan dela upp varje mellanrum i tio lika stora delar, och får på det viset nio tal mellan två grann-decimaltal. Vi kan säga att dessa elever har tagit ett stort steg mot att förstå att decimaltalen ligger tätt på tallinjen. 6029 På var och en av dessa uppgifter, skriv INGET om du tror att det inte finns något svar på uppgiften. Annars ska du skriva ett tal som är större än 0,63 men mindre än 0,64. 6029 d åk 6 åk 8 0,635 eller liknande 27 55 0,63 eller 0,64 1 2 Inget tal 47 30 Blandat med bråk (063 1/2 eller liknande) 3 1 Vi lägger märke till den relativt låga andelen korrekta svar i uppgift 6029 d, och att det vanligaste felsvaret är att det inte finns några tal mellan 0,63 och 0,64. En närmare titt på svaren, visar att av de som svarat att det inte finns något tal mellan 0,47 och 0,48, svarar 55 % av 6:e-klassarna Inget i uppgift 6029 d, och 63 % av 8:e klassarna. Hälften av de elever som misstolkar uppgift 6022 och svarar 0,01, svarar också Inget på uppgift 6029 d. Det kan finnas flera orsaker till dessa resultat. En orsak kan vara att eleverna är så vana vid att arbeta med just två decimaler, och relaterar till konkretiseringen med kronor och ören, att de inte har fått med sig den generella idén i talsystemet. Mer konkretisering genom mätningar och arbete på tallinjer hjälpa till att övervinna sådana svårigheter. Del av en hel Senare kommer vi att titta på uppgifter som kännetecknas av översättning från bråk till decimaltal, här kommer vi ta oss an uppgifterna 6009, 6016 och 6031, som nog kan uppfattas på samma sätt, men vilket också kan lösas genom 8 Nämnaren 2013
att ange decimaltalet direkt. Uppgifterna har det gemensamt att eleven ska välja mellan att ge absoluta tal eller relativa tal som svar. Vissa elever kommer att ha svårt med frasen hur stor del av.... Men vad är det absoluta talet i uppgift 6009? Om vi använder linjalen i figuren i testet, ser vi att längden av det skuggade området är 3,6 cm. En del av eleverna har visat att de har mätt och gett svaret i cm. Andra har i svaret på b-uppgiften sagt att de har mätt. Av dem har inte så få skrivit 3,5 cm. (Talet 3,5 kan man också få på ett annat sätt: Tre av fem delar är skuggade. Därmed skulle vi kunna bli förbryllade över vad eleven menade. Vid senare användning av denna uppgift kan man undvika detta problem genom att göra rektangeln något längre, t.ex. 8 cm, så att 4,8 cm är skuggad). 6009 a Ange med ett decimaltal ungefär hur stor del av rektangeln som är skuggad. b) Varför är detta det rätta svaret? 6009 a åk 6 åk 8 0,6 eller 0,7 19 29 Två decimaler i området 0,55 0,74 10 19 0,5 2 1 0,75 eller liknande 3 4 3,6 11 2 Icke-skuggade delen 2 1 Bråk eller procent 13 13 Andra svar 29 21 Som redan nämnts avslöjas mätning av det skuggade området i svaret på fråga b. Vissa elever har motivera svaret på uppgift a, med att drygt hälften är skuggat. En del elever har försökt att ta reda på om hela rektangeln kan delas upp i lika stora delar, så att det skuggade området representerar ett helt antal av dessa. Därefter har de försökt att ange ett decimaltal som uttrycker detta förhållande. 30 respektive 42% i 6:e och 8:e klass ger en godtagbar förklaring och motsvarande 6 och 8% ger en felaktig. Uppgift 6016 har samma problemställning som 6009, men det har en form som inbjuder till att räkna och ta utgångspunkt i ett bråk eller ett förhållande genom att rektangeln är indelad i lika stora kvadrater. Uppgift a är en sluten uppgift. Distraktorerna, de felaktiga svarsalternativen, är felsvar som är vanliga i denna typ av problemställningar. Uppgift 6016 b ger eleverna möjlighet att med egna ord uttrycka de tankar som ligger bakom svaret i a. I stor utsträckning ges förklaringar som bekräftar det man kan förvänta om hur distraktorerna fungerade. 1616 a) Ange med ett decimaltal hur stor del av hela rektangeln som är skuggad. b) Varför är detta det rätta svaret? 6016 a åk 6 åk 8 0,4 16 39 8,12 19 13 8,20 35 25 0,8 28 22 NÄMNAREN 2013 9
Uppgift 6031 har gemensamma drag med både uppgift 6009 och 6016. Här utförs räkningen eller mätningen med de mått som anges i figuren. En felkälla i denna uppgift är att vissa elever har svårt att tolka figuren. Bristande rumsuppfattning avslöjas av det faktum att eleverna ritar en linje från den bakre kanten av vattennivån till ca 2,5 (eller 2,3) på tallinjen och ger svaret 2,5 (eller 2,3) vid avläsningen. Svarsfördelningen visar i stort sett samma bild som i uppgift 6016. 6031 a. Ange med ett decimaltal hur stor del av hela glaset som är fyllt med vatten. A. 2,5 B. 0,4 C. 2,3 D. 0,2 b. Varför är detta det rätta svaret? 6031 a åk 6 åk 8 0,4 11 31 2,5 21 15 2,3 24 21 0,2 36 26 Omedelbart kan kategorierna i uppgifterna 6016 och 6031 jämföras. Uppgift 6016 har varit lättare i båda årskurserna, trots att talen i 6031 är lättare. För båda uppgifterna är det dock förhållandevis få rätta svar, när vi jämför med antalet rätta svar i uppgift 6009 a, som hade en öppen form. Många har i uppgifterna 6016 och 6031 sett på decimaltecknet som en avgränsare mellan två hela tal. Detta gäller ca 50% av eleverna i 6:e klass och över 35% i 8:e klass. I uppgift 6016 har cirka två tredjedelar av dem som använder decimaltecknet som avgränsare, valt att jämföra den skuggade delen med helheten (8,20). Att betydligt färre har gjort detta i uppgift 6031, reser intressanta spörsmål. Intuitivt kan man i uppgift 6031 förvänta sig att när både talet för den fyllda delen (2) och hela glasets volym (5) var angivna, borde användning av 2 och 5 ligga nära till hands. Kan orsaken till att så få använder dessa tal, ligga i bristen på uppfattningen av volymen i ett öppet glas? Kanske är eleverna för obekanta med kontexten. I uppgift 6016, kan man tänka sig att eleverna först räknar de skuggade rutorna (8) och de vita (12). Detta sätt att konkretisera används ofta vid undervisning om bråk. Detta kan leda till att eleverna väljer att jämföra den skuggade delen med hela figuren. De jämför 8 och 20. Decimaltecknet blir ett skiljetecken mellan täljare och nämnare. Det är intressant att den öppna uppgiften, 6009 a, utan markeringar på figuren som kunde hjälpa till att finna det rätta förhållandet, visar sig vara betydligt lättare än uppgift 6016 a och 6031 a. Kan förklaringen vara att ju mer tillgängliga de absoluta storlekarna i figurerna är, desto mer störande verkar de vara, så att eleverna hemfaller till mer primitiva tankemodeller? Positionssystemet Tidigare har vi diskuterat olika problem eleverna har med symbolhantering av decimaltal. En viktig grund för att bygga upp en god förståelse av detta område är att man har förstått positionssystemet. När det gäller decimaldelen av ett tal, är det viktigt att veta att till exempel talet 0,437 har värdet fyra tiondelar plus tre hundradelar plus sju tusendelar; och att 10 NÄMNAREN 2013
detta är detsamma som 437 tusendelar. I det här avsnittet diskuterar vi några frågor som alla handlar om positionssystemet. Vi kommer också att se på de problem som eleverna möter när de ska skriva bråk som decimaltal. Uppgifterna 4005 och 4006 ingår för alla årskurser. 4005 Vad betyder siffran 7 i 0,573? A 70 B 7 C 0,7 D 0,07 4005 åk 4 åk 6 åk 8 0,07 26 54 73 70 40 23 9 7 11 10 4 0,7 13 10 10 4006 Vilken siffra står på hundradelsplatsen i 6,423? A 6 B 4 C 2 D 3 4006 åk 4 åk 6 åk 8 2 10 31 47 6 15 8 4 4 65 55 39 3 4 5 8 Tabellerna visar att förvånansvärt många studenter väljer fel svarsalternativ. Vi tycker att det är rimligt att tro att något av detta kan förklaras av den det vanligaste sättet att läsa ut ett decimaltal. Antalet 0,573 läses som noll komma femhundrasjuttiotre. Detta sätt att läsa bidrar till att förstärka missuppfattningen att decimaltal är ett par hela tal. Talet 5 är inte här femhundra, utan fem tiondelar, och vi har inte sjuttio, sju hundradelar. För att verkligen förstå positionssystemet i decimaldelen i ett tal måste man gå grundligt in på strukturen i detta skrivsätt. Denna tankegång kommer inte fram om man använder decimaltal i samband med pengar. De som väljer 4 samt svar på uppgift 4006, gör det förmodligen för att de läser 423 (och 70 i uppgiften 4005 eftersom de läser 573 ). Genom att titta närmare på svaren finner man att 6%, 24% och 42% svarade rätt på bägge uppgifterna. De flesta som besvarat uppgift 4005 rätt, men fel på uppgift 4006, menar att talet 4 står på hundradelsplatsen. Följande uppgift handlar också om att förstå positionssystemet. 4012 Fyra tiondelar är detsamma som hundradelar. 4012 åk 4 åk 6 åk 8 40 20 37 46 0,4 eller 0,40 10 21 21 0,04 2 3 5 4 19 14 9 400 8 4 4 2 5 3 3 Nämnaren 2013 11
Vi lägger märke till den låga frekvensen korrekta svar på denna uppgift (särskilt i 8:e klass) och att många av dessa elever svarar 0,4 eller 0,40. Detta svar kan förklaras av de vet att fyra tiondelar är samma som 40 hundradelar, och att detta kan skrivas som 0,40 eller 0,4. De svarar en annan fråga än den uppgiften ställer. Notera också att många elever tror att det är lika många hundradelar som tiondelar. I uppgift 6015 ska studenterna skriva bråk i decimalform. Svaren visar några problem som kan klassificeras som avsaknad av förståelse av positionssystemet. De flesta eleverna klarar uppgift 6015 a (72%, 89% och 94% för de tre årskurserna). Några få i de två lägsta årskurserna ger svar som visar att de tolkar bråkstrecket som decimaltecken (6% och 3%). De skriver t.ex. 5,10 eller 10,5. Uttryckt på ett annat sätt använder de decimaltecknet som avgränsare mellan täljare och nämnare. Decimaltecknet som avgränsare har tidigare diskuterats i några andra sammanhang. Denna missuppfattning kommer tydligare fram i de övriga deluppgifterna. 6015 Sju tiondelar kan skrivas som 0,7. Skriv följande tal i decimalform: a) Fem tiondelar b) Tre hundradelar c) Elva tusendelar d) Elva tiondelar e) Två femtedelar f) En tredjedel Tabellen visar andelen elever som gör detta fel i de olika deluppgifterna ovanför. 6015 åk 4 åk 6 åk 8 Uppgift a 6 3 0 Uppgift b 15 6 3 Uppgift c 11 4 2 Uppgift d 7 4 1 Uppgift e 12 13 Uppgift f 14 12 När man studerar felsvar i flera uppgifter, är det intressant att notera hur feltyper varierar från uppgift till uppgift. Vi ser hur nya feltyper, som att uppfatta decimaltecknet som en avgränsare mellan täljare och nämnare (eller tolka bråkstreck som decimaltecken) blir aktuella när uppgifterna är mindre bekanta för eleverna. Många elever med vaga begrepp faller i sådana sammanhang tillbaka till mer primitiva sätt att uppfatta begreppet. Frekvens för korrekta svar och de vanligaste misstagen i uppgift 6015 är: 12 Nämnaren 2013
6015 åk 4 åk 6 åk 8 b) 0,03 22 55 75 Vanligt fel: 0,3 26 16 12 c) 0,011 15 37 47 Vanligt fel: 0,0011 6 18 30 d) 1,1 19 35 41 Vanligt fel: 0,11 42 43 50 e) 0,4 12 27 Vanligt fel: 0,2 e.d. 17 14 0,1 e.d. 11 5 0,5 e.d. 9 7 f) 0,333; 0,33 15 38 Vanligt fel: 0,3 21 14 0,1; 0,01 e.d. 6 3 Notera hur hög frekvensen är på de vanliga felsvaren i uppgifterna b, c och d, och hur stabilt den är för alla årskurser. Särskilt intressant är att se hur felsvaret 0,0011 blir vanligare ju äldre eleverna är. Dessa elever tycker nog att när det gäller tusendelar, så det är först två nollor bakom decimaltecknet, och sedan kommer värdet på täljaren, här 11, (eller att de börjar med att skriva talet på tusendelsplatsen). Liknande tänkande kan också vara anledningen till att de svarar 0,11 i uppgift d. Vi ser att eleverna blir bättre med åldern, men det verkar som om många av dem som gör misstag konvergerar till specifika feltyper. Detta kan ofta härledas till felaktig användning av faktakunskaper. Referenser Brekke, G. (1995). Introduksjon til diagnostisk undervisning i matematikk. Oslo: Nasjonalt lærermiddelsenter. Brekke, G. (1995). Veiledning til diagnostiske Prøver.Tall og tallregning. Oslo: Nasjonalt lærermiddelsenter. Brekke, G. & Støren, H. (1995). Kvalitet i matematikundervisningen. Nämnaren 22 (3), 10-14. Department of Education and Science. (1982). Mathematical Development. London: HMSO. Diagnostiske prøver 4. klasse, 6. klasse og 8. klasse. Oslo: Nasjonalt lærermiddelsenter. Nämnaren 2013 13