Mät- & reglerteknik 1: Kompletterande material

Mät- & reglerteknik 1: Kompletterande material Matias Waller 25 augusti 2015 Dessa anteckningar är avsedda för att komplettera kurslitteraturen och undervisningen i reglerteknik. Anteckningarna är knappast tillräckliga för en full förståelse, men kan fungera som ett stöd. Anteckningarna utvecklas fortlöpande, och alla kommentarer/förslag/synpunkter välkomnas med tacksamhet! 1

Tabell 1: Vanliga termer och beteckningar. Term Förklaring English Beteckning Ärvärde, processens Den reglerade storhetens Actual value, y(t) utsignal, reglerad variabel verkliga (aktuella) värde process value, controlled variable Börvärde, ledvärde, Önskat värde på den Set point, desired r(t) referenssignal storhet man vill reglera value Reglerfel, regleravvikelse Skillnad mellan börvärde och ärvärde Control error e(t) = r(t) y(t) Styrsignal, regulatorns utsignal, styrd variabel Störning(ar) Regulator Signal System Styrdon, ställdon Storhet som används för att påverka processen man vill reglera Storhet som påverkar processen (oönskat) Den enhet som (på basen av mätningar) beräknar styrsignal En storhet som kan variera med tiden (innehåller information) Sambanden mellan två eller flera signaler Don som används för att styra processen Reglerteknik Reglera Återkoppling, slutet system Framkoppling, öppet system PID-regulator Stabilitet Enligt en vanlig definition sägs ett system vara stabilt om begränsade insignaler leder till begränsade utsignaler Fortfarighet, stationärt Då signaler i systemet inte tillstånd, jäm- ändrar, systemet befinner vikt sig i vila Stegsvar Utsignalens förlopp efter att insignalen ändrar som ett steg Dödtid, fördröjningstiändring Tiden det tar efter en för- i insignalen innan något märks i utsignalen Tidskonstant Mått på systemets tröghet, den tid det tar (efter dödtiden) innan stegsvaret nått 63 % av slutvärdet Stigtid Insvängningstid Översväng Stabilitetsmarginal Control signal Disturbance(s) Controller, regulator Signal System Actuator u(t) w(t) (Automatic) Control engineering Control Feedback, closed loop system Feed forward (control), open loop system PID-Controller Stability Steady state Step response (Transport) delay, dead time Time constant Rise time Settling time Overshoot Stability margin

1 Dynamik och stegsvar För en kvalitativ förståelse av dynamiken för ett system kan det vara ändamålsenligt att studera systemets stegsvar, dvs utsignalens förlopp då insignlen ändrar som ett steg. I Fig. 1 illustreras några typiska stegsvar. Figur 1: Olika typiska stegsvar. 2 PID-regulatorer PID-regulatorer (uttalas PE-I-DE -regulatorer) beskrivs och implementeras i olika former. I dessa anteckningar beskrivs några vanliga former för både kontinuerlig och diskret tid. PID i parallell form: u(t) = K c ( e(t) + 1 T i 3 ) de(t) e(t)dt + T d dt (1)

där K c är regulatorns förstärkning, T i integraltiden och T d derivatatiden. På engelska kallas denna för ISA-standard form. I praktiken sker derivering ofta på negativa ärvärdet (varför?): u(t) = K (e(t) + 1Ti e(t)dt T d dy(t) dt Istället för integraltid och derivatatid stöter man också på integralförstärkning I, och derivataförstärkning D enligt: u(t) = K c e(t) + I e(t)dt + D de(t) (3) dt Sambanden I = Kc T i och D = K c T d gäller. På engelska kallas denna för PID controller with independent variables. Ofta stöter man också på PID-regulatorn i Laplace-form. I Laplace form ges PID regulatorn av ( u(t) = K c 1 + 1 ) T i s + T ds E(s) (4) eller U(s) = (K c + I + Ds)E(s) (5) s I praktiken är en ren derivata sällan önskvärd (eller ens realiserbar) och man använder då ett filter på derivataingången, t.ex., ( u(t) = K c 1 + 1 ) T i s + T d s E(s) (6) T d /Ns + 1 där ett större N resulterar i mindre filter. N = 5 är ett vanligt standardval. Enligt tidigare, är det även vanligt att derivera ärvärdet istället för reglerfelet. I böcker är PID i parallell form den vanligare, medan många tillverkare implementerar serieformen: e 1 (t) = e(t) + T d de(t) ( dt u(t) = K c e 1 (t) + 1 ) (7) T i e 1 (t)dt Man kan notera att PI-regulatorn är samma för parallell och serieformen men skiljer sig åt för PID-reglering. Med derivering av negativa ärvärdet istället: e 1 (t) = e(t) T d dy(t) ( dt u(t) = K c e 1 (t) + 1 T i 4 ) (2) ) (8) e 1 (t)dt

3 Tumregelmetoder för att ställa in PI/PIDregulatorer 1. Manuell inställning : Kallas stabilitetsmarginalmetoden i Hägglund (1990): (a) Lägg regulatorn i automatisk reglering med I- och D-delarna bortkopplade (b) Vrid upp förstärkningen K till regleringen blir orolig. Vrid därefter ner förstärkningen till hälften. (c) Om integralverkan önskas vrid ner integraltiden T i tills regleringen blir orolig. Vrid därefter upp integraltiden till det dubbla värdet. (d) Om derivataverkan önskas vrid upp derivatatiden T d tills regleringen blir orolig. Vrid därefter ner derivatatiden till hälften. 2. Ziegler-Nichols svängningsmetod: En välkänd metod som kritiseras för att vara för aggressiv. Metoden går ut på följande: (a) Lägg regulatorn i automatisk reglering med I- och D-delarna bortkopplade (b) Vrid upp förstärkningen K i P-regulatorn tills systemet nätt och jämnt börjar självsvänga. Notera värdet på förstärkningen som ger självsvängning, K max, och periodtiden för svängningarna, T 0. (c) Ställ in parametrarna i PID-regulatorn enligt Tabell 2. Tabell 2: Ziegler-Nichols tumregler för inställning av PI/PID-regulatorer enligt frekvensmetoden. K max är den förstärkning i P-regulatorn som ger stående svängningar, T 0 är perioden för de stående svängningarna. Regulator K T i T d P 0.5K max PI 0.45K max 0.85T 0 PID parallell 0.6K max 0.5T 0 0.125T 0 PID serie 0.3K max 0.25T 0 0.25T 0 3. Ziegler-Nichols stegsvarsexperiment. I Fig. 2 illustreras ett stegsvar (den blåa linjen) och stegsvarets tangent (röda linjen) i den punkt 5

Figur 2: Blåa linjen: Ett stegsvar, dvs utsignalen y(t) då insignalen u(t) ändrat som ett steg vid t = 0. Röda linjen: Tangenten till den brantaste lutningen på stegsvaret. där stegsvaret har sin största lutning. Från tangenten kan man skatta en skenbar dödtid för systemet (L) och stegsvarets maximala lutning (a/l). På basen av detta kan man ställa in parametrarna i PIDregulatorn enligt Tabell 3. Tabell 3: Ziegler-Nichols tumregler för inställning av PI/PID-regulatorer enligt stegsvarsmetoden. L och a enligt Fig. 2. Regulator K T i T d P 1/a PI 0.9/a 3L PID parallell 1.2/a 2L 0.5L 6

4. λ-metoden I Forsman (2005) behandlas inställning av PID-regulatorer på basen av stegsvar mera ingående. Rutinera kring experimenten och analys av stegsvar beskrivs också mera ingående och endast en kort översikt ges i dessa anteckningar. Forsman (2005) tar även avstånd speciellt från Ziegler-Nichols svängningsmetod som bedöms som olämplig för processindustrin och onödigt aggressiv. Ett stegsvar för en s.k. KLT -process, dvs en process vars stegsvar planar ut och kan beskrivas med de tre parametrarna K (processförstärkning), L (dödtid) och T (tidskonstant), ges i Fig. 3. Figur 3: Mätningar på ett stegsvar på Armfields PCT23MkII. De tre parametrarna kan skattas från stegsvaret enligt följande: Processförstärkningen: K = y 100 ml/min = 5 ml/(min%) u 20 % 7

De flesta reglersystem skalar dock om mätvärdet före beräkning av styrsignal och man bör då också skala om processförstärkningen (det är då nödvändigt att känna till hela mätområdet). För denna process gäller y max = 500 ml/min och y min = 0 ml/min och då fås processförstärkningen i skalade enheter: K = 100 y/(y max y min ) 100 100 ml/min/(500 ml/min) = 1 100 u/(u max u min ) 100 20 %/(100 %) En väldesignad process har ofta en (skalad) processförstärkning som är 1. Dödtiden L, den tid det det tar efter steget i u innan y börjar svara på ändringen. För denna process gäller ungefär att L 1 s. Tidskonstanten T är den tid det tar för y att genomföra 63 % av sin totala ändring, efter att y börjat ändra. För processen gäller ungefär att T 1 s. Det kan noteras att T vanligen är svårast att skatta, och olika altenativa metoder kan användas för att få gränser för värdet på T. T.ex. kan man utnyttja att totala förändringen (efter att dödtiden förlupit) skett efter ca 4T. L och T kan också skattas med tangentmetoden som presenteras i samband med Chien, Hrones och Reswicks stegsvarsmetod i Thomas (2008). Givet skattningar på K, T och L kan en PI-regulator ställas in så att regulatorns förstärkning ges av K c = T K(L + λ) (9) och integraltiden T i = T (10) Om processen saknar dödtid är λ den tidskonstant man vill ge det slutna systemet, dvs tidskonstanten för ärvärdet vid ett steg på börvärdet. Med dödtid i processen brukar man definiera λ = κt där κ < 1 ger aggressiv reglering och κ > 1 defensiv. I processindustrin rekommenderas κ = 1.5 som default-värde. För integrerande processer och stegsvarmetoden hänvisas till (Forsman, 2005). En KLT -process kallas ibland också för en FOPTD-process som kommer från First Order Plus Time Delay. 8

5. Det finns även andra alternativ för inställning av PI-regulatorer på basen av stegsvar/stående svängingar. De svenska reglerteknikerna Karl- Johan Åström och Tore Hägglund från Lund har arbetat mycket och länge inom detta område och för fram de alternativ som ges i Tabell 4 (Åström and Hägglund, 2005) för en PI-regulator i formen u(t) = K c e(t) + I e(t)dt (11) Notera att man även behöver systemets statiska förstärkning K för denna metod baserad på stående svängingar. Tabell 4: Ytterligare alternativ för att ställa in PI-regulatorer enligt stegsvarsmetoden/stående svängningar. Metod K c I Steg (0.15L + 0.35T )/(KL) (0.46L + 0.02T )/(KL 2 ) Frekvens 0.22K max 0.07/K (0.16K max )/T 0 + 0.62/(KT 0 ) 3.1 Autotuning Autotuning utnyttjar idén om de enkla tumreglerna för att på basen av enkla experiment erhålla den information (löst uttryckt förstärkning och dynamik) som behövs för att automatiskt ställa in en regulator. Principen för en vanlig typ av autotuning, relämetoden, illustreras i Fig. 4, från Hägglund (2008). Denna går ut på att när autotuningen startar kopplas PID-regulatorn tillfälligt bort och ersätts med tvålägesreglering : Styrsignalen hoppar mellan två nivåer. Reglerfelet (skillnaden mellan börvärde och ärvärde) avgör vilken nivå styrsignalen skall ha. Ärvärdet kommer då att svänga runt börvärdet. Frekvensen på svängningen är ungefär samma frekvens som man får med Ziegler-Nichols svängningsmetod och förhållandet mellan ärvärdets amplitud och styrsignalens är ungefär samma som processens amplitudförhållande vid denna frekvens. När man använder autotuning är det ofta viktigt att justera amplituden på styrsignalen (mellan vilka nivåer skall styrsignalen hoppa) så att experimentet ger användbar information. 9

Figur 4: Principen för autotuning, förklaras i större detalj under föreläsningar. 10

4 Reglerkvalitet Kan man svara på frågan om vad som är bra reglering? När man utvärderar och jämför olika regleringar är åtminstone följande punkter viktiga att beakta: Snabbhet, speciellt vid börvärdesförändringar Stabilitet Styrsignalaktivitet Kompensera för störningar Statiska egenskaper, hur bra elimineras bestående fel vid olika sorters börvärdesförändringar och störningar? Robusthet, hur bra fungerar regleringen om något i systemet förändras? Hur man kan sätta siffror på vissa av dessa punkter diskuteras närmare under föreläsningarna. Börvärdesförändringen som illustrerar i Fig. 5 fungerar som en grund för den diskussionen. I en simulering är det enkelt att jäm- Figur 5: Vad är bra reglering?. föra olika regulatorinställningar med exakta numeriska värden och då kan 11

det vara ändamålsenligt att sätta olika siffror på reglerkvaliteten. En siffra för hur bra ärvärdet följer börvärdet är integralen av kvadraten på reglerfelet över simuleringstiden. En siffra för styrsignalaktiviteten är integralen på kvadraten av derivatan av styrsignalen. Mera om detta i övningar. Det är även vanligt att på olika sätt manipulera börvärdet, t.ex., genom filter på börvärdet eller att införa rampfomrade börvärdesförändringar, för att på det sättet få en reglering som bättre uppfyller de kriterier man har på ovanstående punkter. 5 Parameterstyrning Ibland kan även parameterstyrning utnyttjas för att få bättre reglering genom att ha olika inställningar på regulatorn beroende på värdet på en parameter. Orsaken till att utnyttja en sådan möjlighet kan typiskt vara att olika belastningar/börvärden ändrar processens beteende, vilket är ett typiskt fenomen för olinjära processer. Den parameter som kan utnyttjas för att välja regulatorinställning är oftast ärvärdet, börvärdet eller styrsignalen. Parameterstyrning i kombination med autotuning illustreras i Fig. 6, från användarbeskrivningen till ECA40, en PID-regulator från Alfa Laval Automation. Man kan notera att styrsignalen benämns utsignal i användarbeskrivningen för ECA40 detta är vanligt i manualer för regulatorer. 6 Reglerkopplingar Reglerkopplingar eller reglerstrategier är ett gemensamt namn för några strategier som används för att få mera ändamålsenlig reglering vid speciella men rätt allmänna reglertekniska utmaningar. Man kan också se dessa kopplingar som sätt att tackla PID-regulatorns begränsningar gällande att börvärdet och ärvärdet är de enda insignalerna och styrsignal är den enda utsignalen. Här sammafattas några av dessa kopplingar. 6.1 Övertagande reglering Vid övertagande reglering finns det två reglersystem där det ena, det övertagande reglersystemet, tar över under icke-normala förhållanden. Till exempel kan ett reglersystem ha som primär uppgift att hålla ett konstant flöde med tanke på processerna nedströms i produktionen trots att tillgången varierar. Man kan då utnyttja en bufferttank för att möjliggöra ett konstant flöde efter tanken. För att förhindra att tanken rinner över (eller rinner tom) 12

Figur 6: Exempel på hur parameterstyrning kan användas. 13

kan man ha ett övertagande reglersystem som ökar flödet om nivån blir för hög (eller stryper flödet om nivån blir för låg). Övertagande reglering kan ofta implementeras med sk väljare. Ett exempel på hur väljare kan utnyttjas i andra sammanhang illustreras i samband med kvotreglering. 6.2 Kaskadreglering Kaskadreglering illustreras bra i Thomas (2008), och visas i Fig. 7. När man ställer in de två regulatorerna, den primära (yttre) regulatorn kallas Regulator 1 och den sekundära (inre) regulatorn kallas Regulator 2 i Fig. 7, är det av avgörande betydelse att göra detta i rätt ordning: 1. Lägg den yttre regulatorn (primärregulatorn) i manuell reglering, 2. Ställ in den inre regulatorn (sekundärregulatorn), 3. Lägg den inre regulatorn i automatisk reglering, 4. Ställ därefter in den yttre regulatorn. Ofta är det tillräckligt att den inre regulatorn är av enklare typ, t.ex., kan en P-regulator utnyttjas som inre regulator, och man kan låta den yttre regulatorn eliminera eventuella bestående fel. Om man vill ha en mjuk inkoppling av en kaskadreglering då denna tas i drift, dvs utgående från att bägge regulatorerna är inställda men i manuell reglering, kan man använda följande metodik: 1. Sätt börvärdet för den inre regulatorn lika med dess ärvärde, 2. Lägg den inre regulatorn i automatisk reglering med internt börvärde valt, 3. Justera styrsignalen (manuellt) från den yttre regulatorn så att denna sammanfaller med börvärdet för den inre regulatorn, 4. Byt från internt till externt börvärde för den inre regulatorn, 5. Sätt börvärdet för den yttre regulatorn lika med dess ärvärde, 6. Lägg den yttre regulatorn i automatisk reglering 7. Justera det yttre börvärdet till önskad nivå. 14

Figur 7: Exempel på kaskadreglering. 15

6.3 Kvotreglering Kvotreglering används ofta när man vill reglera två storheter (ärvärden) så att dessa följer ett givet förhållande. Man har då bara ett externt börvärde och en önskad kvot samt två styrsignaler. Principen illustreras i Fig. 8 och är från Hägglund (2008). Figur 8: Exempel på kvotreglering. FT avser flödesgivare och FIC avser flödesregulator. Figuren innehåller dessutom två väljare. Vilken funktion har dessa väljare i detta sammanhang? 6.4 Framkoppling Framkoppling innebär att man mäter en störning och använder denna information för att bestämma sin styrsignal. Ett vanligt exempel på denna reglerstrategi är att försöka styra rumstemperaturen y med hjälp av en formel eller tabell som anger vilken effekt som ska tillföras värmeelementet, u, i förhållande till aktuell utomhustemperatur, w, och önskad inomhustempe- 16

ratur, r. I det enklaste fallet är detta statiskt: u = ar bw där a och b är parametrar som bör beskriva rummets egenskaper. Vanligare är dock att framkoppling använder ett filter för att bestämma hur störningen överförs till styrsignalen. Framkoppling kan fungera bra förutsatt att modellen för hur störningen påverkar systemet är god och förhållandena inte varierar särskilt mycket. Om förhållandena ändras, t.ex., en annan störning inträffar som att många fler personer är i rummet, kommer tillskottet från deras kroppsvärme att höja temperaturen. Eftersom styrsystemet inte vet vad innetemperaturen är kan det inte kompensera för detta. Framkoppling är känslig både för fel i modellen och för störningar som inte mäts eller är okända. För att komma tillrätta med detta kombinerar de flesta moderna styrsystem framkoppling med någon form av återkoppling. 7 Introduktion till frekvensanalys För att förstå mera om vad Ziegler-Nichols svängningsmetod baseras på och hur det relateras till stabiliteten för reglersystemet är en kort introduktion till frekvensanalys motiverad. Med frekvenssvar avser man ärvärdets (utsignalens) förlopp som funktion av tiden då styrsignalen (insignalen) är sinusformad. Ett sådant exempel ges i Figur 9. Med beteckningar från Fig. 9: Amplitudförhållandet (som funktion av frekvensen) A(ω) ges av förhållandet mellan utsignalens amplitud B(ω) och insignalens amplitud D(ω): A(ω) = B(ω) D(ω) Amplitudförhållandet anges ofta i db: A(ω) db = 20 log 10 (A(ω)) Om utsignalens amplitud är 10 gånger så stor som insignalens amplitud motsvarar det en förstärkning på 20 db. Om utsignalens amplitud är samma som insignalens motsvarar detta en förstärkning på 0 db. En dämpning på 10, dvs att utsignalens amplitud är en tiondel av insignalens motsvaras då av en förstärkning på -20 db. En bra tumregel för db-skalan är att en 17

Figur 9: Frekvenssvar: utsignalens förlopp då insignalen är sinusformad. fördubbling (halvering) motsvaras av 6 db (-6 db) och att multiplikation i absolut förstärkning motsvaras av addition (räkneregler för logaritmer) i db: en absolut förstärkning på 8 motsvaras då av en förstärkning 18 db. Fasförskjutningen anges vanligtvis i grader och ges (med beteckningar från Fig. 9) av: φ = t ut t in 360 T där T har använts för perioden och minustecknet kommer av att man säger att fasförkjutningen är negativ om utsignalen är efter insignalen. Givet en överföringsfunktion G(s) som i Laplace-form beskriver sambandet mellan in- och utsignal ges amplitudförhållandet av A(ω) = G(jω) och fasförskjutningen av φ = G(jω) 18

Ett Bode diagram är en tvådelad figur som illustrerar amplitudförhållandet (övre delen) och fasförskjutningen (nedre delen) som funktion av frekvensen. Ett exempel på ett Bode diagram med flera, inom reglertekniken, vanliga termer ges i Fig. 10, från (Hägglund, 1990). Oftast är amplitud- Figur 10: Bode diagram med nyttiga termer, från Hägglund (1990). och frekvensskalan logaritmisk medan fasförkjutningen är linjär (i Fig. 10 används dock linjär skala även för amplitudförhållandet). 19

7.1 Stabilitet för reglersystem med Bode diagram Hur kan man avgöra om ett reglersystem är stabilt? Från tidigare exempel noteras att återkopplingen bör vara negativ för att systemet skall vara stabilt. Detta betyder att då man multiplicerar alla förstärkningar i alla element i den återkopplade slingan med varandra bör produkten bli negativ. Som tidigare exempel visat är det dock inte tillräckligt att återkopplingen är negativ: Mera allmänt kan man resonera kring stabilitet genom att undersöka vad som händer med en sinussignal (med en viss frekvens) då den rör sig genom den återkopplade slingan. Om signalen för varje varv den går genom slingan dämpas (dvs totala förstärkningen är mindre än 1) så kommer signalen att så småningom försvinna. Men om den för varje varv får en större amplitud blir svängningarna allt större och systemet är instabilt. Den frekvens som är kritisk i detta fall är när signalen kommer i fas med sig själv, dvs den frekvens när den totala fasförskjutningen är 360. I ett Bode-diagram för ett återkopplat system är den kritiska frekvensen den frekvens då totala fasförsjutningen är 180. Orsaken att det är 180 och inte 360 är att man inte tar med fasförskjutningen pga den negativa återkopplingen (som spegelvänder signalen, dvs fasförskjuter signalen med 180 ). Stabilitetskriteriet enligt ovan brukar också kallas för Bodes stabilitetkriterium: Ett återkopplat system är stabilt om totala förstärkningen i den återkopplade slingan är mellan 0 och 1 vid den kritiska frekvensen, dvs den frekvens då den sammalagda fasförskjutningen i de element som ingår i kretsen exklusive teckenvändaren är 180. När man designar reglersystem, eller väljer regulatorer, är stabiliteten givetvis av central betydelse och man vill ha en stabilitetsmarginal. I ett Bode-diagram vill man då ofta ha en amplitudmarginal som är ungefär 2.5 till 4, och en fasmarginal som är ungefär 45 till 60 grader. Många böcker ägnar mycket utrymme för att beskriva olika sätt att rita Bode-diagram för hand, som typiskt bygger på förenklingar och olika asymptoter (räta linjer hit och dit). Från denna kurs är dock det viktiga att man är bekant med frekvensanalys, i kursen Mät- och reglerteknik 2 ägnas mera tid för en bättre förståelse av informationen i Bode-diagram. 8 Introduktion till digital reglering I moderna reglersystem implementeras regulatorer nästan alltid digitalt. Detta innebär att regulatorn arbetar i diskret tid medan processen man reglerar nästan alltid kan beskrivas i kontinuerlig tid. Detta illustreras med hjälp av digitala PID-regulatorer. 20

8.1 Digitala PID regulatorer Givet en samplingsperiod T s (T s = 1/f s där f s är samplingsfrekvensen) kan en kontinuerlig modell diskretiseras på olika sätt. En enkel möjlighet för en PID-regulator är att approximera integralen med en summa, t=kts k e(t)dt T s e(i) 0 där i och k avser samplingsögonblick och är heltal (index i en minnesvektor i ett program). I praktiken kan man inte implementera denna summa då det skulle kräva att ett växande antal värden av e(i) lagras och summeras för varje sampling. Man inför därför en hjälpvariabel i=1 k 1 w(k 1) = e(i) vilket betyder att man istället kan beräkna summan med: k e(i) = w(k) = e(k) + w(k 1) i=1 På motsvarande sätt som för integralen kan derivatan (vid tiden t = kt s ) approximeras med en differens i=1 de e(k) e(k 1) dt T s Denna diskreta PID-regulator kan därmed skrivas w(k) = w(k 1) + e(k) ( u(k) = K e(k) + T s w(k) + T ) D (e(k) e(k 1)) T I T s (12) Denna form kallas ibland positionsformen. I positionsformen kan w(k) växa över användbara gränser då styrsignalen i praktiken har ett maximalt värde och då måste även w(k) räknas ner. Detta problem kallas för (integral) windup, och kan åtgärdas på olika sätt (logik i koden, nollställning av w(k), etc.). En alternativ form för den tidsdiskreta PID-regulatorn är hastighetsformen som ges av (( u(k) = u(k 1) + K 1 + T s + T ) D e(k) T I T s ( 1 + 2T ) D e(k 1) + T ) D e(k 2) (13) T s T s 21

För den formen får man inte problem med windup då u(k) i praktiken är begränsad. 8.2 Mera om digital reglering Som förra avsnittet illustrerade kan digitala PID-regulatorer bestämmas genom att diskretisera analoga regulatorer. Rent generellt kan man skilja mellan två olika strategier för att tackla utmaningen med att regulatorn arbetar i diskret tid medan processen är kontinuerlig. 1. Diskretisera en kontinuerlig regulator Man designar regulatorn med kontinuerliga metoder, dvs som om regulatorn skulle implementeras kontinuerligt. När regulatorn sedan implementeras diskretiserar man regulatorn, dvs översätter från kontinuerlig till diskret tid. Detta innebär en approximation som i regel försämrar reglerprestandan något. Med höga samplingsfrekvenser är detta dock sällan ett problem. Exemplet med PID-regulatorn från förra avsnittet illustrerar denna princip. 2. Utnyttja en tidsdiskret modell av processen Man designar regulatorn direkt i diskret tid utgående från en beskrivning av processen som är i diskret tid. Då sker all design i tidsdiskret tid. Detta har fördelen att effekten av sampling (tidsdiskretisering) direkt beaktas och vidare öppnas nya möjligheter för design av reglersystem. En tidsdiskret modell av processen kan bestämmas antingen genom att (försöka) diskretisera en kontinuerlig modell eller genom anpassning av en modell utgående från samplade mätningar. En kontinuerlig modell för processen bestäms oftast utgående från principerna för fysikalisk modellering som har behandlats i detalj i samband med kursen teknisk modellering. När en modell för processen bestäms genom anpassning till mätningar kallas modellbygget för identifiering. 8.2.1 Identifiering Arbetar man med samplade mätningar sker identifiering genom att en tidsdiskret modell anpassas till observationerna. Som exempel på denna arbetsmetodik kan följande experiment studeras: I Fig. 11 illustreras styrsignal och ärvärde för ett experiment: 22

Figur 11: Ett identifieringsexperiment. På basen av dessa mätningar kan man med minsta-kvadrat metoden (och liknande metoder) bestämma en modell för processen som i detta fall blir: y(k + 1) = 0.39y(k) + 0.073y(k 1) + 2.2u(k) + 0.37u(k 1) där y är ärvärdet (med medelvärdet subtraherat) och u är styrsignal (med medelvärdet subtraherat). Detta är således en tidsdiskret modell för processen. Lite mer om identifiering beskrivs i (Thomas, 2008) och för alla detaljer om identifiering hänvisas till (Ljung, 1999), den mest kända och spridda boken om identifiering inom reglerteknik. 8.2.2 Enkelt digitalt lågpassfilter Ett mycket användbart och enkelt digitalt lågpassfilter ges av y(k) = αy(k 1) + (1 α)x(k) (14) med 0 α 1 och där x är den signal man vill filtrera och y är den filtrerade signalen. För α = 0 fås ingen filtrering och för α nära ett fås mycket filtrering. 23

Referenser Åström, K. J. and T. Hägglund (2005). Advanced PID Control. ISA - The Instrumentation, Systems, and Automation Society. Research Triangle Park, NC 27709. Forsman, K. (2005). Reglerteknik för processindustrin. Studentlitteratur. Lund. Hägglund, T. (1990). Praktisk processreglering. Studentlitteratur. Lund. Hägglund, T. (2008). Praktisk processreglering. Studentlitteratur. Lund. Ljung, L. (1999). System Identification Theory for the User. 2 ed.. Prentice Hall. New Jersey. Thomas, B. (2008). Modern Reglerteknik. Liber. Ljubljana. 24