0.1 Antalet primtal är oändligt.

0.1 Antalet primtal är oändligt. I Euklides Elementa (ca 300 f. kr.) påstås (och bevisas) att antalet primtal är oändligt. För att förstå påståendet och beviset måste vi först försöka klargöra betydelsen av alla ingående ord. Paradoxalt nog kommer kanske vårt s.k. klargörande att för några snarare verka förbryllande än just klargörande. Bertrand Russell skriver om detta i "Matematiken och Metafysikerna": -"Det uppenbara är alltid det riktigas fiende. Följdaktligen uppfinner vi ett nytt och svårt symbolspråk, i vilket ingenting förefaller uppenbart. Sedan ställer vi upp vissa regler för hur symbolerna skall behandlas, och då blir allting mekaniskt. På detta sätt kommer vi underfund med vad som måste antagas såsom förutsättning och vad som kan bevisas eller definieras." Låt oss alltså försiktigt börja att uppfinna detta "nya och svåra" symbolspråk. Påståendet ovan består väsentligen av tre delar: Antalet, primtal och är oändligt. Betydelserna av dessa ord kan tyckas te sig självklara, men fundera exempelvis på vad som egentligen menas med ett primtal eller för den delen ett naturligt tal, bland vilka primtalen ju utgör en delmängd. Vad betyder exempelvis talet 5, eller ett påstående av typen 2 + 3 = 5? Ännu värre är det naturligtvis med påståendet är oändligt, eftersom vi människor så vitt vi begriper för närvarande är ändliga varelser. Vi skall alltså börja med att försöka omformulera de tre delarna ovan med hjälp av mer grundläggande begrepp. Detta kommer att gräva oss en liten bit ner mot Matematikens grundvalar. Vi skall därvid utgå ifrån grundbegrepp som mängd, samling eller familj. Låt oss till att börja med ta itu med ordet "antal". Vad skall vi mena med detta? Vad menar vi när vi säger att två samlingar, eller mängder, av objekt har samma antal. Jo i allmänhet menar vi att det finns en ett till ett relation mellan objekten i de båda mängderna. För att klargöra vad detta betyder behöver vi en del hjälpbegrepp. Vi påminner om definitionen av begreppet funktion. Definition 1. Låt A och B vara givna mängder. En funktion f från A till B, f : A B, är en "regel" som för varje element a i A ordnar precis ett element f(a) i B. Ordet regel står ovan inom citationstecken eftersom "regel" inte är ett redan definierat begrepp. En annan definition av funktion skulle kunna vara: Definition 2. Låt A och B vara givna mängder. En funktion f från A till B, f : A B, är en delmängd av produktmängden A B, R f A B, sådan att om (a,b) R f och (a,c) R f så följer att b = c. Dessutom skall det för varje a A finnas ett (och därmed endast ett) b B så att (a,b) R f. 1

Inspirationen till denna definition är naturligtvis hämtad ur grafbegreppet och vi har kopplingen mellan de två definitionerna i. R f = {(a,f(a)) A B; a A}. (1) Definition 3. En funktion f : A B är injektiv omm (om och endast om) f(a) = f(b) medför att a = b. Om f är en funktion från A till B, så definierar vi bilden av A under f, som följande delmängd av B: f(a) := {f(a) B ; a A}. (2) Definition 4. En funktion f : A B är surjektiv omm f(a) = B. Definition 5. En funktion f : A B är bijektiv omm den är både injektiv och surjektiv. En bijektiv funktion mellan två mängder etablerar just en ett till ett relation mellan elementen i dessa båda mängder. Observera också att en bijektiv funktion f : A B har en (bijektiv) invers, d.v.s. en funktion f 1 : B A sådan att Vi kan alltså nu göra följande f f 1 (b) = b ; b B, (3) f 1 f(a) = a ; a A. (4) Definition 6. Två mängder A och B har samma antal element, och vi skriver A = B, omm det finns en bijektiv funktion från den ena till den andra. Om A och B inte har samma antal element, d.v.s. om det inte finns någon bijektion från A till B, så skriver vi A B. Vi säger att A har färre element än B (eller att B har fler element än A), och vi skriver A < B (eller B > A ), om A B och om det finns en delmängd C B sådan att A = C. Följande är då sant. Men är inte någon självklarhet! Proposition 1. För två givna mänder A och B gäller precis ett av följande alternativ 1. A < B eller 2. A = B eller 3. A > B. 2

Vi bevisar inte detta, men anmärker för den mycket intresserade läsaren att det följer av urvalsaxiomet och den s.k. Shroeder-Bernsteins sats. Vi kan nu införa de naturliga talen som "abstrakta representanter för alla mängder med ett visst antal element" och siffrorna som symboler för dessa abstrakta representanter. Exempelvis är 5, "symbolen för antalet element i alla mängder som innehåller lika många element som de flesta av oss har fingrar på höger hand" o.s.v. Vi har alltså till exempel följande märkliga formel, 5 = {1,2,3,4,5}. (5) Detta sätt att införa de naturliga talen kommer väsentligen ifrån G. Frege och B. Russell. Man kan i själva verket konstruera mängden av de naturliga talen och deras räkneregler, och nästan all annan matematik förövrigt, utgående ifrån ett fåtal axiom för mängder. Detta var precis vad B. Russell och A. N. Whitehead föresatte sig då de 1910 1913 skrev sin "Principia Mathematica". Kurt Gödels oavgörbarhets-resultat från 1931 antingen endast ökade kryddigheten i anrättningen, eller alternativt gav den en fadd bismak, allt beroende på tycke och smak. Vi påminner här endast om vad vi menar med de "vanliga" räknelagarna och ordningsrelationen för de naturliga talen. För de naturliga talen gäller att: x + (y + z) = (x + y) + z, (associativa lagen för addition) (6) x + y = y + x, (kommutativa lagen för addition). (7) Dessutom (x y) z = x (y z), (associativa lagen för multiplikation) (8) 1 such that 1 x = x, (existens av multiplikativ enhet) (9) x y = y x, (kommutativa lagen för multiplikation). (10) Följande distributiva lag knyter samman addition och multiplikation: (x + y) z = x z + y z. (11) Vi har också att och x + y = z + y x = z, (12) xy = zy x = z. (13) 3

Mängden av naturliga tal är vad man brukar kalla linjärt ordnad. Detta betyder att det finns en relation (<, "mindre än") på N N, så att givet (x,y) N N, gäller precis ett av följande alternativ x < y eller y < x eller x = y. För denna ordningsrelation gälller också att Till sist har vi att x < y och y < z x < z, x < y x + z < y + z för varje z N, x < y xz < yz för varje z N. (14) x < y omm det existerar ett z N så att x + z = y. (15) Avslutningsvis ger vi också induktionsaxiomet. Axiom 1. Om M N och så gäller att M = N. 1 M, (16) n M n + 1 M (17) Vi kommer i nästa avsnitt att använda induktionsaxiomet för att bevisa en mängd olika påståenden. Bland annat kan följande bevisas med induktion. Proposition 2. För en icke tom delmängd M av de naturliga talen gäller antingen att den har ett största element eller att M = N. För alla delmängder M av N som har ett största element så kommer antalet element i M att vara ett naturligt tal. Vi inför nu följande beteckning, eller symbol, för antalet element i alla andra delmängder av N, ℵ 0 = N. (18) Den hebreiska symbolen ℵ 0 uttalas alef noll. Vi har nu möjligen förstått något mer om begreppet "antal". Låt oss nu ge oss i kast med uttrycket "är oändligt". Oändlighet har alltid varit besvärligt. Zenon (ca 450 f. kr.), var elev till filosofen Parmenides som är känd för yttrandet att "all förändring är skenbar". Zenon gav ett antal paradoxer till stöd för sin lärares åsikter. Bland annat den om Akilles och Sköldpaddan. 4

Paradox 1. Akilles och Sköldpaddan skall springa ikapp. Akilles är mycket snabbare än Sköldpaddan, men Sköldpaddan startar med ett försprång på, låt oss säga, en stadion (d.v.s. 600 fot), eller om ni vill, en längdenhet. Då Akilles sprungit en stadion har dock Sköldpaddan hunnit krypa en bit, låt oss säga en tiondels stadion, varför Akilles ännu inte hunnit ikapp henne. Då Akilles sprungit ytterligare en tiondels stadion, har Sköldpaddan hunnit krypa ytterligare en liten bit, låt oss säga en hundradels stadion o.s.v. Paradoxen ligger just i detta lilla uttryck o.s.v.. Klart är att Akilles efter hur många iterationer som helst ändå ännu inte hunnit ifatt Sköldpaddan och slutsatsen blir, enligt Zenon, att han aldrig gör det. Denna och liknande paradoxer av Zenon och andra gav tänkare huvudbry under århundraden, men sjuttonhundratalets gränsvärdesekvilibrister löste naturligtvis Zenons paradoxer. Lösningen involverade tiden. I exemplet ovan är Akilles precis tio gånger snabbare än Sköldpaddan. Om Akilles då håller en hastighet av 1 längdenhet per tidsenhet, så kommer han efter N +1 iterationer ovan, att ha tillryggalagt en sträcka av 1 + 1 10 + 1 10 2 + + 1 10 N, (19) längdenheter. Detta är en geometrisk summa vilken vi omedelbart kan beräkna till 10 10 N. (20) 9 Detta visar att då antalet iterationer växer så kommer sträckan Akilles tillryggalagt att närma sig 10 9 stadion och slutsatsen blir här, med de hastgheter vi valt, att han passerar Sköldpaddan efter precis 10 9 tidsenheter. Denna lösning luktar ju dock fysik och man kan mycket väl tänka sig en annan slags fysik, exempelvis räkna relativistiskt, och välja Akilles och Sköldpaddans hastigheter så att Zenons slutsats fortfarande är giltig. Zenons paradoxer pekar snarare på just det faktum att vi är ändliga varelser och att vi har mycket svårt att förstå oändligheten. En av de som på allvar tog tag i oändlighets begreppet var G. Cantor i slutet av 1800-talet. Han visade att det finns olika sorters oändligheter, ja, i själva verket en hel hierarki av oändligheter. Följande två resultat är Cantors. Proposition 3. där Q är mängden av alla rationella tal. N = Q, (21) Cantors bevis är en konstruktion av en bijektion ifrån N till Q, eller om man så vill, en uppräkning av de rationella talen. 5

Proposition 4. N < (0, 1), (22) där (0,1) är mängden av alla reella tal mellan 0 och 1. Cantors klassiska bevis av detta påstående är ett motsägelsebevis, vilket utgår ifrån att vi har en uppräkning av de reella talen mellan 0 och 1, varefter man visar att det alltid går att konstruera ett tal mellan 0 och 1 som inte ingår i denna uppräkning. Cantor var också, tillsammans med Dedekind, synnerligen aktiv då det gällde att ge en strikt logisk konstruktion av de reella talen utgående ifrån exempelvis de naturliga talen. Den berömda kontinuum-hypotesen gäller frågan om det finns någon mängd M sådan att N < M < (0,1). (23) Gödel visade själv att antagandet att en sådan mängd inte existerar inte medförde några nya motsägelser i den variant av axiomatisk mängdlära som han använde, nämligen Zermalo-Fraenkel systemet med urvalsaxiomet tillagt (ZFU). Paul Cohen visade sedan 1964 att även antagandet att en sådan mängd existerar inte heller leder till några nya motsägelser inom ZFU. Vi lämnar nu begreppet oändligheten och definierar avslutningsvis begreppet primtal. Definition 7. Ett naturligt tal p N sägs vara ett primtal omm p 1 och om p = ab där a,b N medför att a = 1 eller att b = 1. Vi betecknar mängden av primtal med P. Till att börja med är det klart att det finns primtal. Exempelvis är det lätt att, utifrån räknereglerna för de naturliga talen, inse att 2 och 3 är primtal. Vi ger nu följande mer precisa formulering av satsen att antalet primtal är oändligt. Sats 1. Det gäller att P = N. (24) Bevis Vi skall visa att om p 1,...,p n är primtal för något n N, så gäller att det finns ett primtal till, p n+1, som inte är med i listan. Detta bevisar påståendet (enligt Proposition 2). För att illustrera bevistekniken ger vi ett par exempel 2,3 2 3 + 1 = 7 P 2,3,5 2 3 5 + 1 = 31 P 2,3,5,7 2 3 5 7 + 1 = 211 P 2,3,5,7,11 2 3 5 7 11 + 1 = 2311 P 2,3,5,7,11,13 2 3 5 7 11 13 + 1 = 30031 = 59 509, 6

där 59 och 509 är primtal. Allmänt gäller att om p 1 p 2 p n + 1 = q n 1 1 qn 2 2 qns s, (25) där q j P för j = 1,2,...,s, så måste q j / {p 1,...,p n } för j = 1,2,...,s. Det gäller alltså att antalet primtal är ℵ 0, men hur vanliga är de? Låt för varje naturligt tal n, Π(n) beteckna antalet primtal mindre än eller lika med n. Då gäller t.ex. att Π(1) = 0 Π(2) = 1 Π(3) = 2 Π(4) = 2 Π(100) = 25 Π(1000) = 168 Π(10000) = 1229 Π(100000) = 9592 Π(1000000) = 78498 Π(10000000) = 664579 Π(100000000) = 5761455 (26) Gauss gav följande hypotes för fördelningen av primtal Π(n) Här står log(n) för den naturliga logaritmen, d.v.s. log(n) := n 1 n log(n). (27) 1 dt ; n > 0. (28) t Övning 1. Visa utifrån denna definition av logaritmen att log(ab) = log(a) + log(b) ; a,b > 0. (29) 7

I själva verket har vi, med fyra siffrors noggrannhet, att Π(10 2 )log(10 2 ) 10 2 = 1.1513 Π(10 3 )log(10 3 ) 10 3 = 1.1605 Π(10 4 )log(10 4 ) 10 4 = 1.1320 Π(10 5 )log(10 5 ) 10 5 = 1.1043 Π(10 6 )log(10 6 ) 10 6 = 1.0845 Π(10 7 )log(10 7 ) 10 7 = 1.0712 Π(10 8 )log(10 8 ) 10 8 = 1.0613 (30) och mer orkar min räknare inte med för tillfället. Det precisa påståendet, vilket bevisades av Hadamard och De la Vallee Poussin 1896, är följande. Proposition 5. Det gäller att Π(n) log(n) lim = 1. (31) n n I sina bevis utgick dessa herrar ifrån Eulers formel: 1 k s = ( 1 1 ) 1 p s, för Re(s) > 1, (32) k=1 p P vilken knyter samman Riemanns zetafunktion ζ(s) = k=1 1 k s, (33) med mängden av primtal. Eulers formel bevisas relativt lätt (modulo gränsvärdeshuvudbry) med hjälp av formeln för geometrisk serie ( 1 ( p s)k = 1 1 ) 1 p s, (34) k=0 och aritmetikens fundamentalsats, vilken säger att varje naturligt tal på ett och, så när som på ordningen, endast ett sätt kan skrivas som en produkt av primtal. 8

Vi avslutar med följande enormt berömda och öppna (d.v.s. hittills obesvarade) fråga: Gäller det att Π(n) n log(n) n1/2 log(n), (35) eller med andra ord. Gäller det att Π(n) n log(n) lim n n 1/2 log(n) = 1? (36) Denna fråga har av den svenske matematikern Von Koch visats vara ekvivalent med den berömda Riemann hypotesen, vilken säger att alla icketriviala nollställen till, den till hela det komplexa talplanet utvidgade, zetafunktionen ligger på linjen Re(z) = 1 2. 9