Antagningsprov till universitet, Sofia (Bulgarien) 7 maj 2006 (Enligt "nytt format" : fler och lättare uppgifter jämfört med hittills rådande tradition se sid.5. Alla uppgifter värda lika mycket.) 1. Lös ekvationen 2. Lös ekvationen log 3 x 3 +6log 9 (x 2) = 3 cos x cos 3x =6sin 2 x 3. Talföljden a 1,a 2,...,a n är aritmetisk, a 3 =8,a 5 =14och a 1 + a 2 +... + a n = 100. Bestäm n. 4. Beräkna arean av ett parallelltrapets ABCD med de parallella sidorna AB =15,CD=5och ben AD =9,BC=11. 5. För triangeln ABC är sidorna AC =5,BC=7och omskrivna cirkelns radie R =7/ 3. Hur lång är AB? 6. Lös olikheten 2 2x+1 6 x 9 x < 0 7. För vilka värden på parametern a har följande ekvation en och endast en reell rot? x 3 ax 2 + ax 1=0 8. Betrakta alla de konvexa fyrhörningar ABCD, för vilka AB = 3,CD=1,AC=2 3 och ]BAC + ]ACD =90. Beräkna längderna AD, BC och BD hos den av dem som har störst area. 9. I den regelbundna fyrsidiga pyramiden ABCDM (med bas ABCD och topp M) är avståndet mellan linjerna AD och BM lika med 2, medan vinkeln mellan linjen AC och planet BCM är 30. Beräkna pyramidens volym. 10. Visa att graferna y = x 2 + x +1 och y = 1 x har en enda punkt gemensam och att denna punkts avstånd till origo är < 2. 1
Övningsprov 1 (Utlagt på www för att förbereda de potentiella kandidaterna på det nya formatet.) 1. Lös ekvationen 2. Lös ekvationen 3 x +2 2x 1 2x +1 = x +1 x 2 +3x +2 2x +2+ x =3 3. Triangeln ABC är rätvinklig med rät vinkel vid hörn C och AM =2 2,BN= 17, där M och N är mittpunkterna på kateterna BC resp. AC. Beräkna triangelns area. 4. I romben ABCD är ]BAD =60. Beräkna cos (]MAN), där M och N är mittpunkterna på sidorna BC resp. CD. 5. Lös olikheten x +lg(5 x 1) <xlg 2 + lg 20 6. För en aritmetisk talföljd är känt att alla dess tal är heltal, att summan S 6 av de sex första talen inte skiljer sig med mer än 450 från summan av de sex efterföljande, samt att summan S 5 är större än såväl S 4 som S 6 med minst 6. Vilket är det första talet i följden? 7. Den spetsvinkliga triangeln ABC, vars höjder skär varandra i H, är sådan att den till 4ABH omskrivna cirkeln går genom mittpunkterna på sidorna AC och BC och har radie 2. Hur långa är triangelns sidor AB, BC och CA? 8. Genom hörn A i den tresidiga pyramiden ABCD går ett plan Π, som är parallellt med kanten CD och skär kanten BD i punkten M. Vad skall förhållandet BM : DM vara för att Π ska dela pyramiden i två delar med lika stora volymer? 9. För vilka värden på parametern a är det sant att minsta värdet av funktionen f (x) =2x 3 3ax 2 på intervallet [0, 1] är lika med största värdet av f (x) på intervallet [1, 2]? 10. Låt a, b, c vara sådana reella tal att ekvationen ax 2 + bx + c =0har reella rötter. Visa att, om r är ett reellt tal sådant att ar 2 + br + c <a, så har ovannämnda ekvation en rot i intervallet (r 1,r+1). 2
Övningsprov 2 1. Ekvationen x 2 2x + c =0har rötterna x 1 och x 2 och (x 1 x 2 ) 2 =16. Bestäm c. 2. Bestäm en formel för summan av de n första talen i följden 3. Visa att 1, 11, 111, 1111,.. 1 cos x +sinx 2 då 0 x π 2 4. Parallelltrapetset ABCD år sådant att ABkCD, diagonalerna skär varandra i O och areorna av trianglarna ABO och CDO är 25 resp. 9. Hur stor är hela trapetsets area? 5. Skriv polynomet x 3 + x 2 x +1på formen a (x 1) 3 + b (x 1) 2 + c (x 1) + d 6. I den tresidiga pyramiden ABCD är kanterna AD, BD och CD parvis vinkelräta och har längd 1, 3 resp. 4. Beräkna radien av pyramidens omskrivna sfär. 7. Från hörnen A och B till medelpunkten O för den till triangeln ABC inskrivna cirkeln är avstånden 21 resp. 7, medan ]ACB = 120. Beräkna avståndet från C till O. 8. Två arbetare, A och B, kontraktades för ett visst jobb med olika timlöner. A fick 2250 kr. medan B, som arbetade 2 timmar mindre än A, fick 1000 kr. Om i stället A hade arbetat lika många timar som B och B lika många timmar som A, hade de fått lika mycket. Hur många timmar arbetade var och en av dem? 9. För vilka värden på parametern a har följande ekvationssystem fyra olika reella lösningar? ½ x 2 +2ax a 2 +2a +4=0 y 2 +2y x =0 10. Bestäm vinklarna vid basen för den av alla trianglar med bas a och toppvinkel α som har störst omkrets. 3
Övningsprov 3 ("Hur 2005 års antagningsprov hade kunnat se ut i det nya formatet.") 1. Vilket är det största värdet som kan antas av funktionen f (x) =sin3x +4cos2x +8sinx 7? 2. För vilka värden på parametern a har ekvationen 1+sin2x = a 2 a någon lösning? 3. Den till triangeln ABC omskrivna cirkeln har radie R =25/6. Vidare är AC =8och AB 2 +BC 2 =50. Hur långa är sidorna AB och BC? 4. I den likbenta triangeln ABC (AC = BC) är höjden CD =8, medan medianen AE =5. Hur långa är triangelns sidor? 5. Hörnen till tetraedern ABCD ligger på en sfär med radie 129/3. Vidare är AB =2 6,BD=10/ 3 och ]ABD =90. Bevisa att ACD =90. 6. I triangeln ABC med ]C =60 är D en punkt på sidan AB sådan att AD =2,BD=5och CD är höjd. Beräkna längden av CD. 7. Den fyrsidiga pyramiden ABCDM har som bas parallellogrammen ABCD med ]DAB < 90, AB =7och BC = 29. Vidare är MD AC, MC BD och planet ABM är vinkelrät mot basplanet. Beräkna basens area. 8. Låt a, b, c varataliintervallet[ 1, 1]. Bestäm min (1 + ab + bc + ca). 9. Låt f (x) =(x a)(x b)(x c), där a, b, c är tal från intervallet [ 1, 1]. Visa att max f 0 (x) över [ 1, 1] antas i någon av ändpunkterna, d.v.s. antingen i 1 eller 1. 10. Jag är idag dubbelt så gammal som du var, när jag var i din ålder. När du blir lika gammal som jag är nu, kommer summan av våra åldrar att vara 54. Hurgammalärvarochenavossnu? 4
Antagningsprov till teknisk högskola, Sofia, 29 april 2006 (Enligt det traditionella systemet med endast 4 uppgifter, värda 10 poäng var. Skrivtid: 5 timmar.) 1. Lös ekvationssystemet ½ 2 2x 2 2y =24 2 x +3 2 y =10 2 2. Betrakta för olika värden på den reella parametern α andragradsekvationen 2x 2 4 (cos α) x +cos2α 2sin2α 1=0 (a) För vilka α har ekvationen två olika reella rötter x 1 och x 2? (b) För vilka av dessa α är summan x 2 1 + x2 2 maximal? (c) Beräkna sin 2α och cos 2α för α i(b). 3. I trapetset ABCD är K och L mittpunkter på de parallella sidorna AB resp. CD, M och N är mittpunkter på benen AD resp. BC, medan P och Q är mittpunkter på diagonalerna AC och BD. DetärkäntattAB>CD,AD>BC,KL= 13,MN =5och PQ =4 samt att det går att inskriva en cirkel i trapetset. Beräkna längderna på trapetsets sidor samt dess area. 4. Trianglarna ABC och A 1 B 1 C ligger i olika plan, varvid A och B är de vinkelräta projektionerna av A 1 resp. B 1 på ABC:s plan. De två planen skär varandra längs bisektrisen CL till 4ABC. Låt a och b beteckna längderna på sidorna BC resp. AC, γ vinkeln ACB och θ vinkeln mellan de två planen (a) Uttryck i a, b, γ och θ volymerna av pyramiderna ACLA 1 och BCLB 1 samt ange förhållandet mellan dem på så enkel form som möjligt. (b) Beräkna a, b och tan θ ifalletdåγ =60,AB=26cm, A 1 C =45cm och B 1 C =24cm. Resultatstatistik (Med viss reservation för misstolkningar.) Poäng Antal 40 46 35-39 103 25-34 428 15-24 1303 5-14 25% 0-4 1473 totalt antal skrivande : 4473 5
Antagningsprov till vissa gymnasier (åk 8-11), 23 juni 2006 Skrivtid: 3 timmar. Antal skrivande: uppemot 27 000 (över 30% av årskullen, tror jag) 1. En viss fruktdessert utgörs av en blandning av jordgubbar, bananer, mjölk och sirap. Mängden mjölk är m gram mer än jordgubbarna, bananerna är n gram mindre än mjölken, medan sirap finns lika mycket som jordgubbar. Talet m är rot till ekvationen 298 + (1 x) 2 (x 1) (x +1)=0 medan n är värdet av uttrycket ( 4) 4 ( 4) 3 20 (a) Finn m och n. (11p+5p) (b) Den enligt ovan tillagade desserten fördelas på 7 koppar i lika stora 200 grams portioner. Visa att mängden jordgubbar i en kopp, uttryckt i gram, (9p) är lika med det största heltalet som löser olikheten (5p) y 4y 3 > 16 3 Hur många gram socker innehåller sirapen från 2 koppar, om den utgörs av en 30%-ig lösning av socker i vatten? (2p) 2. Sidorna AB och BC i rektangeln ABCD förhåller sig som 3:2. Låt M ligga på AB så att AM =2BM, medan N är mittpunkt på AD. (a) Om P är mittpunkten på CM och BP är 2 cm, hur långa är CM och MN? (b) Visa att ]BCM + ]DCN =45 och ]DCN > 15. (10p+6p) (12p+4p) Från pressen dagen efter: Fruktdessert chockade gymnasiekandidaterna Upprörda föräldrar: Prov för bartendrar och kockar?! "Så fort jag såg texten till första uppgiften, hoppade jag över den och började med den andra." berättar Elena. Två år hade hon förberett sig med privatlektioner, men alla uppgifter hade handlat om bassänger, vattenledningar, vägar och kilometrar. "Har aldrig sett någon uppgift om desserter och kunde inte fatta vad som förväntas av mig.", förklarar hon. Oklar formulering, även om räkningarna inte var svåra, var den övervägande åsikten bland de skrivande. Föräldrarna å sin sida upprördes över att årets litteraturuppsats hade haft som tema ett krogtal och nu kommer en uppgift om dessertblandning som om det gällt utbildning av bartendrar och kockar. Utbildningsministern försvarade sig med att experterna konstruerat uppgifter med vardagsanknytning, för att man ska se matematiken i tillämpning. Har ingenting emot, men då måste även läroböckernas uppgifter vara av samma typ, kommenterade gymnasiekandidaterna. Enligt en annan tidning hade utbildningsministern sagt att han dagen innan löst alla de tre skrivningsvarianterna (ur vilka en lottas ut strax före skrivtidens början) och att geometriuppgiften i den variant som drogs var aningen svårare än i övriga två. 6