E. J. Mellberg, Plan trigonometri, Helsingfors, förlagsaktiebolaget Helios (Björck & Börjesson, Stockholm).

Relevanta dokument
LÄROBOK PLAN TRIGONOMETRI A. G. J. KURENIUS. Pil. DR, LEKTOR VID IEKS. ELEM.-SKOLAN I NORRKÖPING STOCKHOLM P. A. N O R S T E D T & SÖNERS FÖRLAG

ALLMÄNNA METHODER 1100 EXEMPEL. A. E. HELLGREN

LÄROBOK GEOMETRI 1 DI P. G. LÅURIK, LEKTOR. I, PLAN GEOMETRI LUND, C. W. K. GLEERUPS FÖRLAG.

FOLKSKOLANS GEOMETRI

Afsikten med detta verk, som består af fem delar, 1 proportionslära, 2 plangeometri, 3»algebraisk analys», 4 trigonometri och 5 egentlig planimetri,

Vid de allmänna läroverken i vårt land har geometrien såsom läroämne inträdt i tredje klassen och en ganska rundlig tid anslagits åt detta ämne.

I detta arbete har författaren till skolungdomens tjänst sökt sammanföra och systematiskt ordna närmast de formler som

utarbetad till tjenst tor elementarläroverk oca tekniska skolor m. PASCH. Lärare vid Kongl. Teknologiska Institutet och vid Slöjdskolan i Stockholm.

ARITMETIK OCH ALGEBRA

Svar på genmäle från läroverksadjunkten C. F. Rydberg,

RAKNELARA FÖR DE ALLMÄNNA LÄROVERKEN OCH FLICKSKOLOR FIL. D: R, ÖFVERLÄRAHE VID TEKN. SKOLAN I STOCKHOLM, LÄRARE I

RÄKNEEURS FÖR SEMINARIER OCH ELEMENTARLÄROVERK, RÄKNE-EXEMPEL L. C. LINDBLOM, ADJUHKT VID FOLKBKOLELÄBABISNESEMINABIET I STOCKHOLM.

ELEMENTBENA GEOMETRI A. W I I M E 3 MATK. LEKTOR I KALMAB. TREDJE UPPLAGAN. ittad i öfverensstämmeke med Läroboks-Kommissionen» anmärkningar.

som de här anmärkta, dels äro af den natur, att de gifva anledning till opposition. De här ofvan framställda anmärkningarna torde vara tillräckliga

ELEMENTAR-LÄROBOK. i PLAN TRIGONOMETRI, föregången af en inledning till analytiska expressioners construction samt med talrika öfningsexempel,

om hvilken man ej förut antingen i ett postulat antagit, att den kan utföras, eller i ett problem visat, på hvad sätt ett sådant utförande är

EUKLIDES' FYRA FÖRSTA BÖCKER. TUi benäget omnämnande. Höyaktninysfiillt från FÖRLÄGGAREN. BEARBETADE OCH TILL UNDERVISNINGENS TJÄNST UTG1FNA STOCKHOLM

FÖR SKOLOR. uppstälda med afseende på heuristiska. K. P. Nordlund. lektor i Matematik vid Gefle Elementarläroverk. H ä f t e t I.

med talrika öfnings-exempel.

Ännu några ord om lösning af amorteringsproblem.

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15

Witts»Handledning i Algebra» säljes icke i boklådorna; men hvem, som vill köpa boken, erhåller den till samma som skulle betalas i bokhandeln: 2 kr.

FERIEARBETEN M A T E M A T I K TILL SJUNDE KLASSENS ÖFRE AFDELNLNG GIFXÅ YID STATENS HÖGRE ALLMÄNNA LÄROVERK SOMMAREN 1896 SAMLADE OCH UTGIFNA

Några ord om undervisningen i aritmetik.

FÖRSTA GRUNDERNA RÄKNELÄRAN. MKl» ÖFNING S-EXEMPEL A. WIEMER. BibUothek, GÖTEBOf^. TBKDJK WPH.AC.AW. KALMAR. Jj«tfCrIaS'safetieb»laarets förläs

y º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32

') Moritz Cantor, Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik 1, sid. 350 och följande, Leipzig, Teubner, 1880.

P. G. Laurin, Lärobok i geometri för gymnasiet, I, Lund, Gleerup P. G. Laurin, Öfningsbok i geometri för gymnasiet, Lund, Gleerup 1906.

SAMLING RAKNE-EXENPEL, till Folkskolornas tjenst. P. A. SlLJESTRÖM.

Teorifrå gor kåp

METER-SYSTEMET. MED TALRIKA RÄKNEUPPGIFTER, FÖR SKOLOR OCH TILL LEDNING VID SJELFUNDERVISNING

EUCLIDES F Y R A F Ö R S T A B Ö C K E R ' CHR. FR. LINDMAN MED SMÄERE FÖRÄNDRINGAR OCH TILLÄGG UTGIFNA AF. Matheseos Lector i Strengnäs, L. K. V. A.

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

') Eivald Horn, Das höliere Sclmlwesen der Staten Europas, Andra uppl., Berlin, Trcnvitzsch & Sohn

Efter Euclides föredöme skrifna läroböcker lämna, läraren fria händer att följa den genetiska framställning, som lian finner lämpligast.

Med anledning af lektor Nordlunds i åttonde häftet af Pedagogisk tidskrift införda»svar på lektor Damms genmäle» ber jag att ännu en gång få taga

MA2047 Algebra och diskret matematik

5B1134 Matematik och modeller

Båda tabellerna finnas också i ett band till ett pris at 1 kr. 20 öre. Det förra tabellverket innehåller till en början: tab. I kvadraterna af talen

Några saker att tänka på inför dugga 2

Stadgarför. Djurskyddsföreningen i Åbo. hvarigenom djuren antingen sargas eller förorsakas plågor;

LÖSNING AF UPPGIFTER

5B1134 Matematik och modeller

$OSI X. /x. Fastsfäldt af Kejserliga Senalen för Finland den 5 Maj Tammerfors, i Tammerfors. Emil Hagelberg & C:os boktryckeri, 1876.

ELEMENTARBOK A L G E BRA K. P. NORDLUND. UPSALA W. SCHULTZ.

RAKNEKURS FÖR FOLKSKOLOR, FOLKHÖGSKOLOR, PEDÅGOGIER OCH FLICKSKOLOR, FRAMSTÄLD GENOM. t RÄKNE-EXEMPEL, UTARBETADE OCH DTGIFNA L. O.

Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.

Matematik D (MA1204)

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

En matematiker, hvars omdöme jag skattar högt, yttrade till mig i slutet af 1880-talet, då han själf nyss genomgått sitt profår:»i hela

SF1620 Matematik och modeller

PRÖVNINGSANVISNINGAR

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π

Kontinuitet och gränsvärden

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9

5B1134 Matematik och modeller

Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys. E. Oscar A. Nilsson

Bilaga 5 till protokoll fördt vid Svenska Pappers- och Cellulosaingeniörsföreningens möte den 23 och 24 febr F Ö R S L A G

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15

Lösning till tentamen i 5B1126 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl

I Frankrike och England har under den senaste tiden gjort sig gällande bland lärare i matematik den åsikten att mycket tidigt vid undervisningen i

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Mina videos Jag har satt samman en snabbkurs för er som behöver repetera grundskolans matematik:

Vektorgeometri för gymnasister

Tentamen i Envariabelanalys 1

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Avsnitt 5, introduktion.

afseende på vigten af den s. k. hufvudräkningen.

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

TATM79: Föreläsning 5 Trigonometri

någon skulle föreslå, att ur våra räkningar utesluta tecknet "j/, så att man t. ex. skulle skriva lösningen av

Repetition av cosinus och sinus

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

Några ord om den analytiska geometrin och undervisningen däri.

Djurskyddsföreningen. S:tMichel. S:t MICHEL, Aktiebolags t ryckeri e t, 1882

Andra lagen. 2. Sedan man sålunda funnit, att ' a. = 1 1 h (a st.) = a : n, n n n n där a och n beteckna hela tal, definierar

Kongl. Maj:ts befallningshafvandes femårsberättelse för åren... Stockholm, Täckningsår: 1817/ /55.

vetenskaplig lärobok i elementargeometri.

a (och liknande ekvationer). a har lösningar endast om 1 a 1 (eftersom 1 sin( x ) 1). 3 saknar lösningar.

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen

HEM KURSER SKRIV UT HEM ÄMNE SKRIV UT

Repetitionsuppgifter. Geometri

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla följande:

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

El SAMLING RÄKNEUPPGIFTER

Geometri och Trigonometri

Ma7-Per: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.

MATEMATIK. Ämnets syfte

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)

Kapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm

STADGAR DJURSKYDDSFÖRENINGEN I LOVISA <I^M^ FÖR af guvernörsämbetet i Nylands län faststälts till efterrättelse. LOVISA ~()Btr» 1897

NpMa3c vt Kravgränser

Notera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.

Transkript:

E. J. Mellberg, Plan trigonometri, Helsingfors, förlagsaktiebolaget Helios 1906. (Björck & Börjesson, Stockholm). I Finland har enligt arbetets förord länge gjort sig gällande behofvet af en lärobok, lämpad såväl för klassiska som reallyceer, och det är detta behof, som föreliggande arbete, hvartill manuskriptet efterlämnats af den aflidne öfverläraren vid svenska normallyceet i Helsingfors, professor E. J. Mellberg, söker tillgodose. Man finner att författaren sträfvat att nå detta dubbla syftemål genom att be-

gränsa innehållet till det allra nödvändigaste samt göra framställinngen så lättfattlig och i detalj utförlig, som gärna är tänkbart. Hvad nämnda begränsning angår, så är den i det stora hela lyckligt vald, men en realist i vårt land torde kunna nöja sig med den här framställda kursen, endast under förutsättning, att problemsamlingen väsentligen ökas och en del saker däri inläggas, hvilka texten endast antyder. I hela boken finnas allt som allt endast 64 uppgifter, nästan utan undantag ytterligt lätta, hvilket antal med fördel kunnat ökas med en del speciellt för realister afsedda öfningar. Trots det att, såsom nyss blifvit sagdt, innehållet redan är starkt begränsadt, kunde utan afsaknad en del saker varit borta, nämligen det, som rör secant, cosecant, sinus versus, cosinus versus, hvilket upptager inemot 6 sidor. Allra största delen häraf kunde om det nu eljest förtjänar att medtagas hafva gifvits i form af exempel till lärjungarnas eget begrundande. Utförandet är också i vissa punkter allt för omständligt, t. ex. då författaren för»härledning af formler för rätvinkliga trianglars upplösning» och dessas belysning med ett enda utfördt exempel behöfver nära 5 sidor och däri särskiljer 5 olika»händelser». Särskiljandet af»händelser» är fullkomligt onödigt i detta fall. Lärjungen behöfver för detta ändamål intet annat än den på rätvinkliga triangeln gjorda tillämpning af genast i början uppställda allmänna definitioner, hvilken författaren gör i 39 under namn af allmänna satser. I afdelning 4 kapitel II om»härledning af formler för sned vinkliga trianglars upplösning», däri författaren äfven särskiljer 5»händelser», böra händelserna I och III sammanslås. I»händelsen I» känner man två vinklar och en motstående sida och i»händelsen III» två vinklar och en mellanliggande sida. Då två vinklar äro gifna, äro ju alla tre bekanta, hvadan det är fullkomligt likgiltigt, hvilken sida förutsattes vara gifven. Recensenten håller alltså före, att de 12 sidor, som innehålla nyss uppräknade obehöfliga saker, och hvilka utgöra ungefär Ve af hela arbetet, kunnat med största fördel utgå och ersättas med några af de talrika tillämpningsömingar, hvartill ämnet kan gifva rik anle.dning. Dylika äro särskildt för reallinjen oundgängliga och måste därför af den lärare, som till äfventyrs använder boken vid undervisningen, hämtas från andra källor.

En brist är, åtminstone för reallinjen, att författaren ej ens antydt de trigonometriska funktionernas periodicitet eller de inversa funktionernas mångtydighet. Måhända finner författaren detta vara utan gagn, då han icke inlåtit sig på grafisk framställning af funktioner eller på koordinatbegreppet äfver hufvud. inskränker sig hufvudsakligen begreppet negativ vinkel är också infördt. Författaren till vinklar mellan 0 och 360, men (I svaren till ett par af exemplen äro ej ens alla lösningar medtagna, som ligga inom det intervall, hvartill författaren uttryckligen sagt, att han begränsat sig). En följd af denna inskränkning blir, att då författaren ej kan undgå att stöta på en vinkel, som är större än 360 exempelvis i formlerna sin (a + fl) o. s. v., så blir det hela en smula sväfvande, då det förut aldrig i uttryckliga ordalag satts i fråga en sådan möjlighet vid definitionernas fastställande. Arbetet sönderfaller i två kapitel. Det första handlar om»vinklars mätning och de trigonometriska funktionerna». Dessa definierar författaren endast som linjelängder ej såsom tal och i stället för att införa namnen koordinataxlar använder författaren benämningarna»primitiv diameter» och»perpendikulär diameter». Detta bidrager i sin mån till att öfverenskommelsen om de trigonometriska funktionernas tecken blir synnerligen konstlad. Öfverallt vimlar framställningen i detta hänseende af oegentligheter, för att använda ett mild t omdöme. växer från 180 till Så för exempel säger författaren i 8:»medan vinkeln 270, tillväxer sinus från 0 till 1, hvarefter sinus slutligen, under det vinkeln växer från 270 till 360, aftager från 1 till 0». Först sedermera i 9 göres en öfverenskommelse om tecknen. Samma oegentligheter gå igen, dock under en mildare form i paragraferna 12, 16, 20 och 25. De möta också i svaren till de fyra första öfningsuppgifterna, där det t. ex. bland annat heter: sin v ==-- beräkna cos v och tang v! Svaret lyder: cos v =..j och tang v = i första kvadranten o. s. v. ==, likasom om v med nödvändighet behöfde ligga Dylika oegentligheter möta på många andra ställen och det må vara nog att nämna ännu ett exempel från sidan 51, elär det heter, att om n är ett jämt tal och R = 90, är sin (n B + v) = sin v. En dylik ekvation väcker stor anstöt, hvilken blott obetydligt för- - mildras af den ett par rader längre ned kommande upplysningen, att»icke något afseende å tecknet för sin v blifvit fästadt».

I detta samband må också nämnas, att då författaren definierar cosinus, cotangent och cosecant för en vinkel såsom ifrågavarande vinkels komplements sinus, tangent och secant respektive, han»räknar bågarnas begynnelsepunkt från den perpendikulära diameterns ändpunkt,» hvarigenom han finner sig nödsakad att nu räkna bågarna positiva åt motsatt håll mot det, som han nyss förut i öfverensstämmelse med häfdvunnet bruk fixerat. Ett så hastigt ombyte måste förbrylla nybörjaren och kan med största lätthet undvikas. Kapitlet II, plana trianglars upplösning, börjar med att tillämpa förut gjorda definitioner på en rätvinklig triangel. Som förut är sagdt, har författaren definierat de trigonometriska funktionerna såsom linjelängder och denna oegentlighet, som nu kunnat lätt häfvas, öfverglides en smula lättvindigt. Det hade bort betonas att nämnda storheter äro tal och icke längder och detta hälst redan från första början i kapitlet I. Af den lämnade framställningen kan lärjungen näppeligen undgå att få en oriktig föreställning om ifrågavarande storheters dimension. Såsom särskilda förtjänster hos boken må antecknas: 1) härledning af cosinusteoremet från formlerna a =- b cos C + c cos B o. s. v., hvilket torde ha en del fördelar framför härledning ur de bekanta satserna i Euklides' andra bok; 2) solveringen af en triangel, då man känner två sidor och mellanliggande vinkel; 3) likaledes solveringen af en triangel, då man känner hans tre sidor, samt 4) de planimetriska satser, som därtill ansluta sig. Formlerna för de i momenten 2) och 3) nämnda uppgifterna härledas ur sinus- och cosinusteoremen, hvarefter följa geometriska tolkningar. Som en liten detaljsak förtjänar här påpekas fördelen af att då i en följd af formler en efterföljande kan erhålles ur en föregående genom permutation, bokstäfver och indices i en efterföljande måtte skrifvas i den ordning, hvari de direkt genom permutationen hafva erhållits, på det att lärjungarnas uppmärksamhet måtte fästas på detta sätt att deducera dem. Författaren har på de få ställen, där tillfälle därtill erbjuder sig, icke beaktat denna omständighet. Af de framställda anmärkningarna, hvilkas antal recensenten icke vill föröka för att ej löpa risken att synas småaktig, framgår tillräckligt, att arbetet icke fyller de kraf på stränghet, som vi i Sverige hafva på en matematisk lärobok. Det ser ut, som om författaren i

sin sträfvan efter att göra framställningen populär uppoffrat krafvet på, att den måste vara fullkomligt exakt. För visso är emellertid framställningens lättfattlighet ingalunda oförenlig med dess stringens. Den möjligheten synes icke heller vara utesluten, att författaren vid.sin bortgång icke hunnit lägga sista handen vid sitt verk. Åtskilligt tyder därpå såsom utom mängden af oegentligheter af of van angifven art, för exempel ett uttryck som detta:»i den plana trigonometrien föreligga uppgifter att beräkna en rätlinig triangels vinklar på grund af dess sidor som gifna, och tvärtom sidorna på grund af vinklarna såsom gifna». (Forts.) E. Gn.