Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Erik Lindström 25 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 1/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Begrepp Samband Oberoende Grundläggande begrepp Utfall resultatet av ett slumpmässigt försök. Bet. ω 1, ω 2,... Händelse en samling av ett eller flera utfall. Bet. A, B,... Utfallsrum mängden av möjliga utfall. Bet Ω Kolmogorovs axiomsystem 0 P(A) 1 En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 P(Ω) = 1 Sannolikheten att något skall hända är 1 P(A B) = P(A) + P(B) Om och endast om A och B är oförenliga Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 2/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Begrepp Samband Oberoende Några viktiga samband Additionssatsen: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Betingad sannolikhet: P(A B) = P(A B) P(B) Total sannolikhet: P(A) = n i=1 P(A H i)p(h i ) om H i H j =, i j och n H i = Ω i=1 Bayes sats: P(H i A) = P(A H i )P(H i ) P(A) Oberoende: Händelserna A och B är oberoende P(A B) = P(A)P(B) Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 3/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Begrepp Samband Oberoende Exampel, cyklister Vid en trafikmätning i trafikintensiv stadsmiljö studerade man vuxna cyklister. Man noterade kön och om cyklisten använde cykelhjälm eller inte. För totalt 1000 cyklister fick man följande antal i de olika grupperna: Kvinnor Män Hjälm 330 188 Ej hjälm 270 212 (a) Vad är slh att en slumpmässigt vald cyklist är kvinna? (b) Vad är slh att en slumpmässigt vald cyklist är kvinna och bär hjälm? (c) Vi ser att vår slumpmässigt valda cyklist är kvinna. Vad är slh att hon bär hjälm? (d) Vad är slh att en slumpmässigt vald cyklist bär hjälm? (e) Vi ser att vår slumpmässigt valda cyklist bär hjälm. Vad är slh att cyklisten är en man? Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 4/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Begrepp Samband Oberoende Exampel, larm Om inbrott görs en natt ringer tjuvlarmet med sannolikheten 0.99. Om inget inbrott görs ringer larmet med sannolikheten 0.02. Antag att sannolikheten är 0.001 att ett inbrott inträffar under en viss natt. (a) Beräkna sannolikheten att tjuvlarmet ringer en slumpmässigt utvald natt. (b) En natt ringer tjuvlarmet. Beräkna (den betingade) sannolikheten att ett inbrott har skett. Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 5/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Begrepp Samband Oberoende Oberoende händelser Om det visar sig att P(A B) = P(A), påverkas inte A av att B inträffat eller ej, de är oberoende. Detta kan med definitionen av betingad sannolikhet skrivas om som P(A B) = P(A)P(B). Def. Händelserna A och B är oberoende av varandra P(A B) = P(A)P(B) Obs. Skilj mellan oberoende och oförenliga. Kan två oberoende händelser vara oförenliga? Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 6/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Stokastisk variabel En stokastisk variabel eller slumpvariabel är ett tal vars värde styrs av slumpen (en funktion Ω R). Bet X, Y,.... En stokastisk variabel är Diskret om den kan anta ett ändligt antal (ex 1, 3, π), eller uppräkneligt oändligt (ex 0, 1, 2,...). Ex: X = Antal sönderfallande partiklar i ett radioaktivt ämne under 1 s. Y = Antal personer av 100 som svarar ja på frågan Skulle du rösta ja om det vore EMU-val i dag? Kontinuerlig om den kan anta alla reella tal i ett intervall, typsikt resultatet av en mätning. Ex: X = Hastigheten hos nästa bil som passerar. Y = Temperaturen i morgon. Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 7/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Sannolikhetsfunktion Sannolikhetsfunktion För en diskret s.v. X definieras sannolikhetsfunktionen som p X (k) = P(X = k) Några egenskaper: 0 p X (k) 1, eftersom det är sannolikheter b P(a X b) = p X (k) k=a p X (k) = 1. Slh att X skall anta något värde är 1. alla k Observera att en stokastisk variabel jämförd med ett tal är en händelse. Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 8/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Sannolikhetsfunktion Exempel: Tärning En vanlig tärning har sex sidor, som fås med samma sannolikhet Låt X = Antal vinstnr man prickar in. X sannolikhetsfunktion är k 1 2 3 4 5 6 p X (k) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 9/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Sannolikhetsfunktion Exempel: Keno-3 I Keno-3 väljs 3 av 70 nr. Vid dragning väljs 20 av dessa 70 ut som vinstnummer. Låt X = Antal vinstnr man prickar in. X sannolikhetsfunktion är k 0 1 2 3 p X (k) 0.36 0.45 0.17 0.02 Två vinstnr ger 5 kr och 3 vinstnr ger 90 kr. a) Vad är sannolikheten att vinna något? b) Vad är sannolikheten att man fått två vinstnummer under förutsättning att man vunnit? Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 10/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Täthetsfunktion Täthetsfunktion En kontinuerlig s.v X har i stället en täthetsfunktion f X (x). P(X A) = f X (x) dx A Några egenskaper: f X (x) 0 P(a X b) = b a f X (x) dx f X (x) dx = 1. Slh att X skall anta något värde är 1. Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 11/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Täthetsfunktion Rektangel- eller likformig fördelning Beteckning: X R(a, b) eller X U(a, b) (eng. uniform) Täthetsfunktion: f X (x) = { 1 b a, 0 f.ö. a x b 1/(b a) 0 a b Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 12/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Täthetsfunktion Normalfördelning Beteckning: X N(µ, σ) Täthetsfunktion: f X (x) = 1 (x µ) e 2σ 2, 2 < x < 2πσ 2 0.5 µ = 4 0.15 σ = 2 σ = 1 f X (x) f X (x) µ = 0 µ = 10 σ = 2 0 2 0 2 4 6 8 10 x 0 20 0 20 40 x Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 13/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Exempel Glödlampa Fördelningsfunktion För att räkna ut sannolikheter behöver man summera p X (k) eller integrera f X (x). Det kan därför vara användbart att ha en fördelningsfunktion (borde heta kumulativ förd.funk.) F X (x) = P(X x) Några egenskaper: 0 F X (x) 1, eftersom det är en sannolikhet F X (x) är växande. Diskret Kontinuerlig F X (x) = k x p X (k) F X (x) = x p X (k) = F X (k) F X (k 1) f X (x) = d dx F X (x) f X (t) dt Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 14/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Exempel Glödlampa Fördelningsfunktion Diskret b P(a < X b) = p X (k) P(a < X b) = F X (b) F X (a) k=a+1 p X (k) F X (x) P(a < X b) = a b a b k k b a f X (x) dx Kontinuerligt P(a < X b) = F X (b) F X (a) f X (x) F X (x) a b x a b x Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 15/16
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Exempel Glödlampa Exempel Glödlampa Låt X = Livslängden hos en glödlampa i år. Antag att fördelningen för X beskrivs av följande täthetsfunktion { e x, x 0 f X (x) = 0 x < 0 a) Beräkna F X (x) samt skissa den och f X (x). b) Beräkna sannolikheten att lampan håller minst två år. c) Om vi sett att lampan lyst ett år, vad är sannolikheten att den lyser två år till? Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 16/16