Kapitel I Mer om integraler I detta kapitel bevisar vi de resultat om integraler som i boken lämnats utan bevis. En del av bevisen utnyttjar begreppet likformig kontinuitet från Kapitel K i detta nätmaterial. I.1 Integraler et första resultat vi visar är att varje funktion av typen R 2 R som är kontinuerlig på en kompakt rektangel okså är integrerbar på denna (Sats 7.2 på sidan 222 i boken). Vi kommer då att använda följande begrepp: et slutna höljet av en mängd, beteknat, är mängden som bildas då vi till lägger till alla dess randpunkter. Med betekningarna i boken gäller det alltså att =. Notera speiellt att är en sluten mängd, så om är begränsad blir kompakt. Sats 7.2. Om funktionen f är kontinuerlig på den kompakta rektangeln så är f integrerbar på. Bevis. Vi skall visa att det för varje tal >0 finns trappfunktioner Φ oh Ψ, under respektive över f, sådana att skillnaden mellan deras integraler är mindre än. Enligt Sats K.5 vet vi att f är likformigt kontinuerlig på. Speiellt finns det då ett tal δ>0 sådant att f (x 1, y 1 ) f (x 2, y 2 ) < då (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ), (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) <δ, (I.1) µ() där µ() som vanligt beteknar arean av. (et kommer att framgå senare varför vi valt /µ() i stället för.) 1
2 Kapitel I. Mer om integraler Vi väljer en indelning av i rektanglar 1, 2,..., n sådan att diagonalen d k i varje delrektangel k är mindre än δ. Speiellt gäller d k det då att avståndet mellan två godtykliga punkter i k är mindre än δ. k Eftersom f är kontinuerlig på de kompakta rektanglarna k så antas enligt Sats 3.1 ett största värde M k oh ett minsta värde m k i varje k ; antag att M k antas i punkten (x Mk, y Mk ) oh m k i punkten (x mk, y mk ). et gäller enligt ovan att (x Mk, y Mk ) (x mk, y mk ) <δ, oh enligt (I.1) är därför f (x Mk, y Mk ) f (x mk, y mk ) < µ(), dvs. M k m k < µ(). Vi definierar nu två trappfunktioner Φ oh Ψ enligt följande: Φ(x, y)=m k, Ψ(x, y)= M k då (x, y) k. (I.2) et gäller (med lämpliga val av Φ(x, y) oh Ψ(x, y) på randen av varje delrektangel) att Φ(x, y) f (x, y) Ψ(x, y) då (x, y), oh ser vi tillbaka på hur integralen av en trappfunktion definierades får vi Ψ(x, y)dxdy Φ(x, y)dxdy= M k µ( k ) m k µ( k )= = (M k m k )µ( k )< µ() µ( k)= µ() µ( k )= µ()=. µ() etta var preis vad vi ville uppnå, så vi konstaterar att satsen är bevisad. Härnäst visar vi resultatet som innebär att vi kan använda itererad integration för en kontinuerlig funktion. Vi påminner först om Sats 7.3 på sidan 224. Sats 7.3. Antag att funktionen f är integrerbar på rektangeln å gäller det att f (x, y) dxd y= = { (x, y); a x b, y d }. ( b a ) f (x, y) dx d y= b a ( under förutsättning att enkelintegralerna existerar. ) f (x, y) d y dx, (I.3) Vi vet att varje funktion som är kontinuerlig på okså är integrerbar på (Sats 7.2), men för att praktiskt använda satsen så behöver vi okså veta att enkelintegralerna i (I.3) existerar. etta blir nästa sak vi visar.
I.1. Integraler 3 Bevis. Vi visar att enkelintegralerna i ledet längst till höger i (I.3) existerar; mellanledet i (I.3) behandlas på motsvarande sätt. Eftersom f är kontinuerlig på så är, för varje x mellan a oh b, funktionen g(y) = f (x, y) kontinuerlig på intervallet [, d]. Enligt envariabelteorin är därför g integrerbar på [, d], så d g(y)dy= f (x, y)dy existerar. För att visa att den yttre enkelintegralen i högerledet av (I.3) existerar så skall vi visa att h(x)= f (x, y)dy (I.4) är integrerbar på [a,b], något som följer om h(x) är kontinuerlig på [a,b]. et är dok enklare att visa det starkare villkoret att h(x) är likformigt kontinuerlig på [a,b], dvs. att det för varje >0 finns ett tal δ sådant att h(x 1 ) h(x 2 ) < för alla x 1,x 2 [a,b] sådana att x 1 x 2 <δ. Låt nu >0 vara givet. Vi vet enligt Sats K.5 att f (x, y) är likformigt kontinuerlig på, så det finns ett tal δ sådant att f (x 1, y 1 ) f (x 2, y 2 ) < d då (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ), (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) <δ. Eftersom x 1 x 2 = (x 1, y) (x 2, y) för varje y så ger nu villkoret x 1 x 2 <δ för detta δ, med hjälp av triangelolikheten för integraler, för alla x 1,x 2 [a,b] att d h(x 1 ) h(x 2 ) = f (x 1, y)dy f (x 2, y)dy = (f (x 1, y) f (x 2, y)) dy f (x 1, y) f (x 2, y) dy< d dy= (d )=. d Vi har därmed visat att h(x) är likformigt kontinuerlig på [a,b], oh därför okså kontinuerlig. etta avslutar beviset av vårt påstående att enkelintegralerna i (I.3) existerar. Slutsatsen är alltså att vi kan använda metoden med itererad integration då vi vill integrera en kontinuerlig funktion över en (kompakt) rektangel. Vi passar nu även på att bevisa den del som saknas i vårt bevis av Sats 7.7; vi har på sidan 261 i boken kvar att visa att F(x)= ψ(x) φ(x) f (x, y) d y är kontinuerlig på intervallet [a, b], förutsatt att f (x, y) är kontinuerlig på mängden = { (x, y); a x b,φ(x) y ψ(x) }, där funktionerna φ oh ψ är kontinuerliga på [a, b].
4 Kapitel I. Mer om integraler Bevis. I föregående bevis visade vi att h(x) i (I.4) är kontinuerlig på [a,b]. En skillnad jämfört med F(x) ovan är dok att vi i h(x) har konstanter i integrationsgränserna. Vi skall därför göra ett variabelbyte där de nya gränserna i F(x) blir konstanter. Ett exempel på ett sådant byte är y=φ(x)+ t(ψ(x) φ(x)), 0 t 1, eftersom t = 0 ger just y = φ(x) oh t = 1 ger y = ψ(x). Vidare gäller det att dy=(ψ(x) φ(x))dt, så F(x)= Integranden ψ(x) φ(x) f (x, y)dy= 1 0 f (x,φ(x)+ t(ψ(x) φ(x))(ψ(x) φ(x))dt. g(x,t)= f (x,φ(x)+ t(ψ(x) φ(x))(ψ(x) φ(x)) är en sammansättning av kontinuerliga funktioner oh blir därför kontinuerlig på rektangeln = { (x,t); a x b,0 t 1 }, så preis som i det föregående beviset får vi slutligen att F(x)= ψ(x) φ(x) är kontinuerlig på [a,b]. f (x, y)dy= 1 0 f (x,φ(x)+ t(ψ(x) φ(x))(ψ(x) φ(x))dt Vi bevisar nu integralkalkylens medelvärdessats, dvs. Sats 7.5 på sidan 228 i boken. Sats 7.5. Antag att funktionen f är kontinuerlig på det kompakta oh bågvis sammanhängande området, oh låt µ() betekna arean av. å finns det (minst) en punkt (ξ,η) sådan att f (x, y) dxd y= f (ξ,η)µ(). Bevis. Eftersom f är kontinuerlig på så antar f enligt Sats 3.1 ett minsta värde m respektive ett största värde M i området; det gäller alltså att m f (x, y) M för alla (x, y). Enligt (7.14) bevaras olikheter vid integration, så vi får mµ() = mdxdy f (x, y)dxdy M dxdy=mµ(). ivision med µ() ger m 1 f (x, y)dxdy M. µ() (I.5)
I.1. Integraler 5 Kontinuiteten innebär, som en följd av Sats 3.2, att f antar alla värden mellan m oh M i, speiellt antas mellanledet i (I.5). et existerar därför en punkt (ξ,η) sådan att f (ξ,η)= 1 µ() Satsen är därmed bevisad. Nollmängder f (x, y)dxdy, dvs. f (x, y)dxdy= f (ξ,η)µ(). Vi nämner i boken att varje kontinuerlig funktionskurva y = f (x) (på ett kompakt intervall) är en nollmängd, oh att detsamma gäller varje kurva som definieras enligt efinition 6.4 på sidan 210. essa påståenden kommer nu att bevisas. Vi påminner först om att en att nollmängd i planet är en mängd som kan övertäkas med en följd av (axelparallella) rektanglar med en godtykligt liten sammanlagd area. Som vi kommer att se i de två följande bevisen så kan de ovan nämnda kurvorna övertäkas med ett ändligt antal rektanglar. Sats I.1. Antag att funktionen f av typenr R är kontinuerlig på det kompakta intervallet [a, b]. å är funktionskurvan y = f (x), a x b, en nollmängd. Bevis. Vi skall visa att vi för varje > 0 kan övertäka kurvan med rektanglar med sammanlagd area <. Även i det endimensionella fallet så är en kontinuerlig funktion på en kompakt mängd (t.ex. ett kompakt intervall) likformigt kontinuerlig, så det finns i analogi med (I.1) på sidan 1 ett tal δ>0 sådant att f (x 1 ) f (x 2 ) < 2(b a) för alla x 1,x 2 [a,b] sådana att x 1 x 2 <δ. (I.6) Vi väljer nu en indelning a= x 0 < x 1 <...<x n = b av [a,b] sådan att längden av det längsta delintervallet är mindre än δ. et gäller då enligt (I.6) att funktionsvärdena på varje delintervall skiljer sig åt med mindre än 2(b a). För varje delintervall [x k 1,x k ] kan vi därför täka motsvarande del av funktionskurvan med en rektangel med bas x k x k 1 oh höjd 2(b a). Vi får då en övertäkning av kurvan med ändligt många rektanglar, med sammanlagt area 2(b a) (x k x k 1 )= (x k x k 1 )= 2(b a) 2(b a) (b a)= 2 <, vilket avslutar beviset av satsen
6 Kapitel I. Mer om integraler Som vi nämnt på sidan 211 i boken så menar vi i allmänhet, då vi talar om en kurva, en stykvis reguljär kurva. Eftersom en stykvis reguljär kurva består av ett ändligt antal reguljära kurvstyken så räker det, för att bevisa att denna är en nollmängd, att visa att varje reguljärt kurvstyke (se efinition 6.4 på sidan 210) är en nollmängd. (En union av ett ändligt antal nollmängder är en nollmängd.) Sats I.2. Varje reguljärt kurvstyke γ i planet är en nollmängd. Bevis. Vi skall visa att det för varje >0 går att övertäka γ med rektanglar med sammanlagd area <. Antag att r(t)=(r 1 (t),r 2 (t)), t [a,b], är en reguljär parametriserning av γ. Enligt efinition 6.4 på sidan 210 i boken är r deriverbar på [a,b] med kontinuerlig derivata, så speiellt gäller det att r 1 oh r 2 är kontinuerliga på [a, b]. essa derivator är därför begränsade på det kompakta intervallet [a,b] (de antar ett största oh ett minsta värde); låt K vara ett tal sådant att r 1 (t) <K oh r 2 (t) <K för alla t [a,b]. Antag nu att n är ett heltal som uppfyller att n> 4K2 (b a) 2, (I.7) oh låt a= t 0 < t 1 <...<t n = b vara en indelning av [a,b] i n styken lika långa delintervall, dvs. delintervall med längd (b a)/n. För varje delintervall [t k 1,t k ] gäller det enligt medelvärdessatsen (se Sats 10.7 i boken Endimensionell analys) att r 1 (t k ) r 1 (t)= r 1 (ξ)(t k t) (t<ξ< t k ) för alla t [t k 1,t k ], oh detta leder till att r 1 (t k ) r 1 (t) = r 1 (ξ) (t k t) < K(t k t k 1 )= K b a n. Varje funktionsvärde r 1 (t), t [t k 1,t k ], skiljer sig alltså från r 1 (t k ) med mindre än K(b a)/n, vilket innebär att samtliga kurvans x-koordinater r 1 (t), t [t k 1,t k ], ryms inom ett avstånd 2K(b a)/n. Med samma argument ser vi, utgående från r 2 (t k ), att detsamma gäller y-koordinaterna r 2 (t), t [t k 1,t k ]. Om γ k beteknar den del av γ som motsvarar parameterintervallet [t k 1,t k ] så följer därför att γ k kan täkas över med en (r 1 (t k ),r 2 (t k )) (r 1 (t k 1 ),r 2 (t k 1 )) }{{}}{{} K(b a) n K(b a) n kvadrat med sida 2K(b a)/n, dvs. en kvadrat med area 4K 2 (b a) 2 /n 2. Eftersom γ består av n sådana delar kan nu γ övertäkas med sådana kvadrater med sammanlagd area n 4K2 (b a) 2 n 2 = 4K2 (b a) 2 < 4K2 (b a) 2 n 4K 2 (b a) 2 / =, där olikheten följer av (I.7). etta slutför beviset av satsen.
I.1. Integraler 7 Vi vet att varje funktion f som är kontinuerlig på en rektangel okså är integrerbar, oh vi påstår i boken på sidan 229 att detta resultat kan skärpas så att f endast behöver vara kontinuerlig nästan överallt (oh begränsad) på rektangeln, dvs. kontinuerlig överallt förutom på en nollmängd. För att undvika alltför många tekniska detaljer då vi visar detta så antar vi dok att en nollmängd är definierad så att den, för varje >0, kan övertäkas med ett ändligt antal rektanglar med sammanlagd area. (I efinition 7.5 har vi som krav att det skall finnas en följd av rektanglar.) Vi har ju preis sett att de kurvor vi kommer att arbeta mest med kan övertäkas med ett ändligt antal. Sats I.3. Om funktionen f är kontinuerlig nästan överallt samt begränsad på den kompakta rektangeln så är f integrerbar på. Bevis. Eftersom f är begränsad på så finns det ett tal K sådant att f (x, y) <K, dvs. K < f (x, y) < K, för alla (x, y). Mängden som f ej är kontinuerlig på är en nollmängd, så denna kan för varje > 0 övertäkas med ett ändligt antal rektanglar med sammanlagd area mindre än /4K; låt unionen av en sådan uppsättning rektanglar beteknas med. På varje rektangel i övertäkningen sätter vi nu et gäller då speiellt att Φ(x, y)= K oh Ψ(x, y)= K. Ψ(x, y)dxdy Φ(x, y)dxdy=kµ( ) ( K)µ( )= = 2Kµ( )<2K 4K = 2. Vi kan utan problem förutsätta att övertäkningen är öppen. Mängden \ blir då sluten, speiellt kompakt, oh eftersom f är kontinuerlig på \ så blir f även likformigt kontinuerlig. Med samma prinip som i beviset av Sats 7.2 i början av detta kapitel kan vi därför utvidga Φ oh Ψ ovan till trappfunktioner på \, sådana att Ψ(x, y)dxdy Φ(x, y)dxdy= \ \ 2. (Här är inte \ en rektangel, men vi kan göra en indelning av \ i rektanglar av godtykligt liten area.) Funktionerna Φ oh Ψ kan nu ses som trappfunktioner på hela rektangeln, oh vi får till slut
8 Kapitel I. Mer om integraler = Ψ(x, y)dxdy Φ(x, y)dxdy= Ψ(x, y)dxdy Φ(x, y)dxdy+ Ψ(x, y)dxdy \ < 2 + 2 =. Φ(x, y)dxdy< \ etta är, för ett godtykligt > 0, preis definitionen av att f är integrerbar på, så vi konstaterar att satsen är bevisad. Slutligen bevisar vi Sats 7.10, som säger att en följd av Riemannsummor konvergerar mot motsvarande integral. Vi påminner om att en Riemannsumma till en funktion f av typen R 2 R på ett område är en summa på formen f (ξ k,η k )µ( k ), där 1, 2,..., n är en indelning av, oh (ξ k,η k ) k för varje k. Sats 7.10. Antag att f är kontinuerlig på det kompakta området, oh att f (ξ k,η k )µ( k ) är Riemannsummor till f på (för olika indelningar). å gäller det att f (ξ k,η k )µ( k ) f (x, y) dxd y när indelningarnas finhet går mot noll. Vi kommer även i beviset av denna sats att till viss del använda samma metod som i beviset av Sats 7.2. Bevis. Vi skall visa att det för ett godtykligt tal >0 gäller att f (ξ k,η k )µ( k ) f (x, y)dxdy < om bara indelningen av är tillräkligt fin. Välj därför återigen ett tal δ > 0 som uppfyller (I.1) på sidan 1. Eftersom indelningarnas finhet går mot noll så kommer vi så småningom att ha en indelning med finhet < δ, dvs. diametern av varje område k i indelningen kommer att vara mindre än δ. Speiellt kommer då avståndet mellan varje par av punkter i k att vara mindre än δ.
I.1. Integraler 9 För en sådan indelning tar vi fram tal M k oh m k, samt skapar funktioner Φ oh Ψ enligt samma prinip som i beviset av Sats 7.2. (Vi får här en typ av trappfunktioner på, dok i allmänhet ej definierade med hjälp av rektanglar.) Eftersom (ξ k,η k ) k så gäller det att m k f (ξ k,η k ) M k för varje k, oh såklart även att m k µ( k ) f (ξ k,η k )µ( k ) M k µ( k ). (I.8) Vi har exempelvis att Φ(x, y)dxdy= k m k dxdy=m k k 1dxdy=m k µ( k ), k oh således att Φ(x, y)dxdy= k Φ(x, y)dxdy= m k µ( k ). På motsvarande sätt är Ψ(x, y)dxdy= n M kµ( k ), så vi kan med hjälp av (I.8) dra slutsatsen att Φ(x, y)dxdy f (ξ k,η k )µ( k ) Ψ(x, y)dxdy. Eftersom det samtidigt gäller att Φ(x, y)dxdy f (x, y)dxdy Ψ(x, y)dxdy så får vi slutligen f (ξ k )µ( k ) f (x, y)dxdy Ψ(x, y)dxdy Φ(x, y)dxdy<, där den sista olikheten följer på samma sätt som i beviset av Sats 7.2.