Ranka den som PerronFrobenius Sporttabellen du aldrig sett förut

Institutionen för naturvetenskap och teknik Ranka den som PerronFrobenius Sporttabellen du aldrig sett förut Emelie Borg Johanna Johansson

Örebro universitet Institutionen för naturvetenskap och teknik Matematik C, 76 90 högskolepoäng Ranka den som PerronFrobenius Sporttabellen du aldrig sett förut Emelie Borg Johanna Johansson Januari 0 Handledare: Niklas Eriksen Examinator: Marcus Sundhäll Självständigt arbete, 5 hp Matematik, Cnivå, 76 90 hp

Sammanfattning Uppsatsen är skriven för att ta fram ett alternativt sätt att ranka lag i olika serier. Vi har lagt störst fokus på fotbollsallsvenskan, men även tabellerna i fotbolls-em, basketligan och elitserien i hockey kommer att jämföras. Vi kommer att introducera Perron-Frobenius sats med en kortare beskrivning och förklara hur Google använder satsen genom PageRank för att du ska kunna hitta just den artikel eller hemsida som du letar efter. Senare i uppsatsen beskriver hur vi använder PerronFrobenius sats för att få fram en alternativ ranking till den som används idag. Därefter följer jämförelser och resultat av de olika metoderna. Vi undersöker dessutom om det med hjälp av det nya rankingsystemet blir lättare att förutse hur serien slutar. För att förstå alla matematiska begrepp och resonemang krävs Matematik B på universitet eller motsvarande. Med ett gediget sportintresse kan man ändå få ut något av att läsa uppsatsen men för att inte helt tappa intresset hoppa över kapitel.

Innehåll Introduktion 6. Bakgrund............................. 6. Uppsatsens struktur....................... 7 PageRank 8. Hur fungerar det praktiskt?................... 8. Hur fungerar det matematiskt?................. 8.. Räkna ut egenvektorn med hjälp av potensmetoden.. 0.. En alternativ lösning..................... Lösa knytpunkter.......................4 Ett starkt sammanknutet internet.............5 Google-matrisen..................... 4..6 Att bestämma α..................... 4..7 Så används α i uppsatsen................ 5 Perron-Frobenius sats 6. PerronFrobenius sats...................... 6. Närmanden till ett bevis..................... 7. Användningsområden för satsen................. 9 4 Rankingmetoden 0 4. Vi skapar en matris........................ 0 4. Vi lägger till ett β-värde..................... 4. Ranking.............................. 5 Sport 5 5. Poängsystemet i fotboll Allsvenskan............. 5 5. Poängsystemet i fotboll EM.................. 6 5. Poängsystemet i basket Basketligan.............. 6 5.4 Poängsystemet i ishockey Elitserien.............. 7 6 Resultat och jämförelser 8 6. Fotboll allsvenskan....................... 8 6.. Vinster och förluster................... 9

6.. Mål............................ 0 6.. Kommentarer....................... 0 6. Fotboll EM 0........................ 6.. Vinster och förluster................... 6.. Mål med β........................ 6.. Mål med β, β och β 4.................. 6..4 Kommentar........................ 6. Basket basketligan....................... 6.. Vinster och förluster................... 6.. Mål............................ 4 6.4 Ishockey elitserien....................... 5 6.4. Vinster och förluster................... 6 6.4. Mål............................ 7 7 Slumpade omgångar 8 7. Allsvenskan 0 5 omgångar................ 8 7.. Resultat och analys av 5 omgångar.......... 8 7. Allsvenskan 0 5 omgångar................ 40 7.. Resultat av 5 omgångar................ 4 8 Slutsats 4 8. Det som talar för poänggivningsmetoden............ 4 8. Det som talar för rankingmetoden............... 44 8. Avslutande kommentar...................... 45 A Matchresultat i matriser 46 A. Fotboll allsvenskan....................... 46 A. Fotboll EM........................... 48 A. Basket basketligan....................... 50 A.4 Ishockey elitserien....................... 5 B Omgångar i tabeller 54 B. Poänggivningsmetoden 5 och 5 slumpade omgångar... 54 B. Rankingmetoden 5 och 5 slumpade omgångar....... 56 C Matchresultat i fotbollsem 0 58 C. Gruppspel............................. 58 C. Slutspel.............................. 59

Kapitel Introduktion Sport. Ett ord som kan locka fram hur många olika associationer som helst, beroende på vem man frågar. Roligt, engagerande, viktigt, spännande, prestigefyllt, blodigt allvar, lek, tråkigt, utmanande, fanatiskt eller fantastiskt? Lagsporter är ofta extra engagerande och i många länder, däribland Sverige, är fotboll sporten som får folk att ursäktande lämna matborden tidigare. Fotboll ger en outtalad tillåtelse att utan vidare lägga beslag på TVdosan och byta kanal för att kunna betrakta viktiga matcher och resultat, oavsett vad den som redan satt vid TV:n tittade på. Fotboll, vilken prestige det är att vara bra på, vilken prestige att bo i en stad som har ett bra lag eller leva i ett land som kan kamma hem VMtitlar. Vem är då bäst på fotboll? Den som vinner mest tänker de esta nu, men här pausar vi bandet. Tänk om est vinster inte är det mest optimala sättet att vaska fram en vinnare ur en serie, det kanske nns ett mer lämpligt sätt att mäta storheten hos ett lag i denna ärofyllda sport? Vi kanske kan använda matematik för att utveckla ett nytt sätt att vinna. Om vi tar oss igenom ytterligare några sidor i denna uppsats kommer vi se hur matematiken kan öppna upp nya vägar för framgång inom sport.. Bakgrund I fotbollsallsvenskan, fotbollsem, basketligan och elitserien i hockey används ett poängsystem som handlar om vinster och förluster. Detta system kommer vi att benämna med poänggivningsmetoden. Rangordningen av lagen i vardera serie görs genom parvisa jämförelser mellan varje lag och avgörs av antalet poäng som laget tjänat in genom de matcher som spelats dittills. Vad gäller rangordning inom sport så är det matchernas resultat som används i jämförelsen mellan två lag. Så hur fungerar poänggivningsmetoden som rankingsystem? För att beskriva detta utgår vi från allsvenskan där lagen belönas med tre poäng för varje vinst och ett poäng för varje match de spelar lika, det lag som förlorar 6

matchen blir utan poäng. På liknande sätt delas poäng ut till lagen under fotbollsem, i basketligan och under elitserien i hockey. Vi kommer i denna uppsats att jämföra detta poängsystem med ett annat som vi kallar rankingmetoden. I rankingmetoden ställs resultaten upp i en matris till vilken en specik egenvektor beräknas som då kommer att motsvara tabellens ranking. Kriterierna som matrisen måste uppfylla för att detta ska fungera formuleras i PerronFrobenius sats. Jämförelser som tidigare gjorts är till största delen från USA där serier med collegelag rankas med hjälp av Perron-Frobenius sats. Det nns era olika sätt att använda sig av denna sats, både direkt och indirekt i rankingen. Dessutom nns metoder för att jämföra lagens ranking både vad gäller vinster och förluster och mål. De största skillnaderna mellan rankingsystemen är med de matematiska algoritmerna och inte med de olika system som idag alltså används [7]. Största skillnaden mellan det som gjorts tidigare och vad vi kommer att göra är att vi jämför lag där alla möter alla, vilket inte är situationen vid collgefotboll där lagen möter sin region och därefter går vidare till spel mot de bästa lagen inom varje region. Dessutom är poängsystemet inte på samma sätt vad gäller ranking för collegelagen. Egentligen är det svårt att bestämma hur bra ett rankingsystem är eftersom varje ranking är subjektiv, det vill säga att inget rankingsystem egentligen är rätt eftersom varje system har sina egna fördelar och nackdelar speciellt beroende av vem som observerar rankingen [6], [7]. Ett annat sätt att använda Perron-Frobenius sats är till att ranka lagen först både oensivt och defensivt och sedan lägga ihop dessa till en gemensam ranking i form av en kvot. Detta rankingsystem kallas oensedefense-metoden och har utvecklats av Govan, Langville och Meyer i [4].. Uppsatsens struktur I kapitel beskriver vi hur Google använder PageRank för att du ska kunna hitta just den artikel eller hemsida som du letar efter, ty PageRank baseras på samma teori som rankingmetoden. I kapitel introduceras Perron-Frobenius sats med en kort beskrivning. Senare i uppsatsen under kapitel 4 beskriver vi hur vi använder Perron Frobenius sats för att få fram den alternativa rankingen och i kapitel 5 förklarar vi hur tabellerna i de olika serierna rangordnas idag. Därefter följer jämförelser och resultat av de olika metoderna. Vi undersöker dessutom om det med hjälp av det nya rankingsystemet blir lättare att förutse hur serien slutar. 7

Kapitel PageRank Har du någonsin undrat hur Google, bland alla miljoner hemsidor som nns på internet, kan hitta och presentera för dig precis vad du letar efter och ofta lyckas med att visa den exakta hemsidan du vill ha allra först? Jo, det kallas PageRank. Det är en rankingmetod som utvecklades i slutet av nittiotalet av två doktorander i datavetenskap från USA. Dessa två studenter, Larry Page och Sergey Brin, använde sina studentrum som kontor för sitt nya företag som senare utvecklade sig till just Google [9].. Hur fungerar det praktiskt? PageRank i sig är en väldigt genial lösning på ett enormt problem. Matematiken bakom principen grundar sig på Perron-Frobenius sats. I korta drag så går PageRank ut på att den skapar ett rankingsystem för alla internetsidor i vilken den mäter hur viktiga alla sidor är genom att räkna länkarna de har till sig. Dessa länkar räknas inte bara genom antal, det är inte alltid den som har est länkar till sig som får högst ranking utan även efter hur viktig sidan som länken kommer ifrån är. Så en länk från en viktig sida kan ge högre ranking än era länkar från fullständigt oviktiga sidor. Viktigheten hos en sida mäts i en ranking, så kallad PageRank. Eftersom att länkar hela tiden ändrar sig, folk tar bort eller lägger till, så är rankingen i konstant rörelse, man skulle kunna kalla ranking för en färskvara. Dessvärre fungerar det inte att Google till varje sökning räknar ut rankingen, det tar alldeles för lång tid. Istället görs varje månad en genomgång av alla sidor som Google hittar och låter datorer ställa upp dem i en gigantisk matris där egenvektorn räknas ut. Egenvektorn som genereras representerar sidornas ranking.. Hur fungerar det matematiskt? Denition... Inlänk är en länk som pekar mot en sida. 8

Denition... Utlänk är en länk som pekar från en sida. Vi antar att sida S i har L i ut-länkar. Om S i har en utlänk till sidan S j så ger S i värdet /L i av sin egen vikt till S j. Alltså om S i är värd och totalt har två länkar till olika sidor så får båda sidorna vardera i vikt. Om S i däremot bara hade en utlänk så skulle den sidan få all vikt. Därefter kan S j :s vikt beskrivas som summan av alla inlänkars vikt till sidan S j, uppsättningen av alla dess sidor som skickar en länk till S j kallar vi för U j. Vi kallar vikten V (S j ) för sidan S j :s PageRank. Detta skrivs V (S j ) = V (S i ). (.) L i S i U j Redan här dyker det upp ett väldigt intressant problem. Vi ser att för att veta hur viktig S j är så måste vi redan veta hur viktiga alla sidor som länkar till S j är. För att veta hur viktiga de är så måste vi redan veta hur viktiga alla sidor som länkar till dem är. Det fortsätter i oändligheten och vi har ett problem som liknar det med hönan och ägget []. Hur löser vi detta? Jo, vi formulerar om problemet och beskriver detta med ett litet mini internet som består av endast fem sidor. Figuren. kommer att ge oss sidorna S, S, S, S 4 och S 5 som ger L =, L =, L = 4, L 4 = och L 5 =. Figur.: Illustration av hur länkarna i ett småskaligt internet skulle kunna se ut, där pilarna motsvarar länkar och fyrkantena motsvarar de olika internetsidorna. Vi ställer upp resultatet från gur. i en matris A där kolumnerna representerar de länkar som sidorna ger till varandra och raderna de länkar som sidorna får. Komponenterna i matrisen A får följande utseende 9

A ij = { Li : S i U j 0 : S i / U j. (.) Där U = {S, S, S 4 }, U = {S, S 4 }, U = {S }, U 4 = {S, S 5 } och U 5 = {S, S 4 } så att 0 4 0 0 0 4 0 A = 0 0 0 0 0 0 4 0. (.) 0 0 4 0 Vi har nu fått ut en matris som uppfyller kraven för Perron-Frobenius sats, vilket beskrivs i kapitel. Kolumnerna är normerade och satsen ger då att det nns en egenvektor som svarar till egenvärdet. Vi tittar tillbaka på problemet som sa att för att veta hur viktig S j är så måste vi redan veta hur viktiga alla sidor som länkar till S j är. Om vi ställer upp det i en rekursiv formel på följande sätt V k+ (S j ) = V k (S i ) (.4) L i S i U j så ser det inte längre helt omöjligt ut. V k+ (S j ) är alltså rankingen som sidan S j har efter k + steg. Med hjälp av denna formel och matrisen A så kan vi göra ett försök till att räkna ut miniinternetets ranking från gur. [5]... Räkna ut egenvektorn med hjälp av potensmetoden För att överkomma problemet med att man måste börja någonstans så ger vi sidorna en första ursprunglig ranking som kommer att ändras när vi tar er steg i ekvation.4. Den ursprungliga rankingen får vikten n, där n står för det totala antalet sidor som vi har. I gur. innebär det att alla sidor startar med värdet 5. Den första rankingen staplar vi upp i en vektor v som ger att v 0 = (V 0 (S ), V 0 (S ), V 0 (S ), V 0 (S 4 ), V 0 (S 5 )). (.5) Genom att använda oss av att vi faktiskt har ett värde på vad alla länkar V 0 (S i ) är värda så kan vi räkna ut V (S j ). 0

V (S ) = V 0(S ) L + V 0(S ) L + V 0(S 4 ) L 4 = 5 + 0 + 5 = 9 60, V (S ) = V 0(S ) L + V 0(S 4 ) L 4 = 0 + 5 = 7 60, V (S ) = V 0(S ) L = 5, V (S 4 ) = V 0(S ) L + V 0(S 5 ) L 5 = 0 + 5 = 4, V (S 5 ) = V 0(S ) L + V 0(S 4 ) L 4 = 0 + 5 = 7 60. Från detta kan vi nu räkna ut värdet på vektorn v, som är (.6) v = (V (S ), V (S ), V (S ), V (S 4 ), V (S 5 )) = ( 9 60, 7 60, 5, 4, 7 ). (.7) 60 Hur mycket vi än skulle kunna hoppas är detta inte den slutgiltliga rankingen. För om vi nu upprepar proceduren i ekvation.6 får vi ytterligare nya värden. Det vi letar efter är när de här värdena konvergerar och går mot ett och samma värde oavsett hur många gånger vi utför proceduren. Vektorerna som vi precis har fått fram kan man uttrycka som en vektor matrismultiplikation med vår matris A. Där v = Av 0 och v k+ = Av k, k = 0,,,,.... (.8) Då vektor v k är beroende av ursprungsvärdet v 0 så kan vi uttrycka detta som en potens av A multiplicerat med ursprungsvärdet och får då att v k = A k v 0, k =,,,.... (.9) Det är här vi börjar leta efter var funktionen konvergerar. Om v k konvergerar nns det ett gränsvärde i form av en vektor u. Gränsvärdet där detta sker skriver vi som lim k Ak v 0 = u. (.0) Vad gäller exemplet vi har tittat på med miniinternet genereras vektorn u = 5 (4,,4,,). Så länge matrisen A uppfyller kraven i PerronFrobenius sats så kommer gränsvärdet att existera och vektorn u kommer att vara positiv, detta kallas för potensmetoden. Läs mer om satsen och varför vektorn konvergerar i kapitel. För att helt garantera att A uppfyller dessa krav så måste vi se till att det nns en koppling mellan alla sidor. När A uppfyller detta så har vi nått fram till Googlematrisen som genererar det slutgiltliga PageRankvärdet [5].

.. En alternativ lösning Med hjälp av Gauss-eliminering kan man räkna ut egenvektorn u till miniinternet på ett smidigare sätt. Om egenvektorn har utformningen u = (V (S ), V (S ), V (S ), V (S 4 ), V (S 5 )) (.) så vet vi med hjälp av formel. att Detta kan skrivas om till Au = λu. (.) (A I)u = 0 (.) där 0 motsvarar nollvektorn, eftersom u är egenvektorn till egenvärdet λ =. Därför kan u bestämmas med Gauss-eliminering genom att beräkna Null(A I). (.4) Eftersom hela internet är gigantiskt kan vi inte använda oss av Gausseliminering, därför återgår vi nu till att med hjälp av potensmetoden hitta Google-matrisen... Lösa knytpunkter Problemet som vi stöter på här är om exempelvis en sida inte har några utlänkar. Då kommer denna sidan att äta upp rankingen eftersom den aldrig ger ut någon ranking till någon annan. Detta kan även ske om det är en liten grupp av sidor som inte har ut-länkar till någon annan sida utanför gruppen. Fenomenet kallas för lösa knytpunkter och vi löser problemet om vi gör om A till att alltid vara en stokastisk matris. Denition... En stokastisk matris har inga negativa komponenter och summan av alla komponenter i varje kolumn är ett. Om vi för att illustrera detta skapar en nollkolumn i matrisen A så får vi 0 4 0 0 0 4 0 A = 0 0 0 0 0 0 0 4 0. (.5) 0 0 4 0 För att undvika problemet som uppstår ändrar vi alla komponenter i nollkolumnen till n där n är antalet komponenter i kolumnen. Så att

5 4 5 0 4 5 0 4 0 0 0 A = 5 0 0 0 0 5 0 4 0. (.6) Så denna sida som inte länkade till någon sida bidrar nu ändå till att fördela ut sin vikt till alla andra sidor inklusive sig själv. Syftet med detta är att tillfredsställa den så kallade slumpmässige surfaren, där tanken är att hen sitter och surfar på internet. Eftersom surfaren är slumpmässig går hen in på en sida, trycker slumpmässigt på en länk med sannolikheten L i och tar sig vidare. Så håller surfaren på tills hen kommer till en sida utan utlänkar. För att surfaren inte ska fastna där så vill man tillåta att hen istället kan teleportera sig till vilken annan sida som helst. Surfaren fastnar om det just är så att hen kommer till en sida som representeras av en kolumn i matrisen som är noll. Om man då ser till att inga kolumner är noll, utan istället är normerade som alla andra, så kommer surfaren inte kunna fastna utan alltid kunna förytta sig...4 Ett starkt sammanknutet internet Om internet hade varit starkt sammanknutet, alltså om de esta sidor haft länkar till de esta andra sidor, ja, då hade vi inte behövt göra så mycket mer. Saken är den att internet snarare uppfyller motsatsen. Det är väldigt ont om länkar mellan de esta sidorna. Även om mini-internet i gur. har relativt gott om länkar så använder vi den som ett exempel för att illustrera hur man kan försäkra sig om att matrisen man räknar ut är irreducibel. Denition..4. En matris är reducibel om och endast om den kan reduceras till en övre-triangulär form genom rad- eller kolumn-permutationer. Dessutom är matrisens komponenter inte starkt sammankopplade [9]. Denition..5. En irreducibel matris är inte reducibel. Vi använder matrisen J = (.7) till att skapa en matris F, där F = 5J. Om detta istället appliceras på hela internet använder man sig av ett J med storlek n n och F = nj, där n är antalet sidor.

Vi får att A + F = 5 5 6 5 5 5 6 5 5 5 5 5 9 0 9 0 5 9 0 9 0 8 5 8 5 5 5 8 5 5 5 5 6 5 5. (.8) Nu har vi garanterat ett starkt sammankopplat mini-internet [5]. Det är till och med så att alla sidor har länkar till varandra (om än olika värda)...5 Google-matrisen Nu börjar vi närma oss G, det A + F saknar är att normeras. Vi väljer ett α mellan 0 och och använder oss av att α + ( α) = och får då att G = αa + ( α)f. (.9) Eftersom vi nu vet att G alltid kommer att uppfylla Perron-Frobenius sats kan vi med gott samvete ersätta A med G i ekvation.0, så att lim k Gk v 0 = u. (.0) Där komponent m i vektorn u motsvarar m:te internetsidans PageRank [5]. Här kommer den slumpmässige surfaren åter in. När vi har sett till att sidorna vi sätter upp i vår matris är starkt sammanknutna så har vi också försäkrat oss om att oavsett var vår surfare benner sig på internet så kommer hen alltid att kunna teleportera sig vart som helst då alla sidor är länkade till varandra...6 Att bestämma α Hur hittar man det optimala värdet för α? Vi tittar på ekvationen.9, där vi ser att om α = är G = A. Det gör att alla dessa ändringarna som vi har gjort för att förbättra matrisen inte betyder något och vi får samma resultat som om vi bara använde A. Om däremot α = 0 så blir G = F, vilket innebär att vi skulle jobba med ett internet där alla sidor har lika stark koppling till varandra och PageRank blir helt oanvändbart. Därför vill vi ha ett α som är så nära som möjligt så att strukturen som vi har hittat ändå spelar någon roll, men nackdelen är att u konvergerar långsammare ju närmare α är. Page och Brin kom utifrån detta fram till kompromissen att ge α värdet 0,85 []. 4

..7 Så används α i uppsatsen Då potensmetoden inte är det enda sättet att räkna fram vektorn u så kommer vi senare i uppsatsen inte att använda oss av α på exakt detta sätt, istället används ett värde som vi kallar för β. Relationen mellan α och β i PageRank förhåller sig som β = α, men då vi vill kunna använda värden på β som är större än så ger det β = α α. (.) Vilket ger matrisen G utseendet G = A + βf. (.) α Eftersom matriserna som vi kommer att behandla inte heller är i närheten av att vara lika stora som Googlematrisen G så försvinner även behovet av matrisen F. Hur det istället förhåller sig kommer vi till efter att vi gått igenom PerronFrobenius sats mer grundläggande. 5

Kapitel Perron-Frobenius sats Oskar Perron tog fram satsen om irreducibla positiva matriser år 907, som senare under år 9 utvecklades av Ferdinand Frobenius till att även fungera för icke-negativa matriser. Då ingen av matriserna som vi kommer att arbeta med kommer att vara ickenegativa tas inte det med i satsen.. PerronFrobenius sats Sats... För positiva matriser Låt A vara en positiv kvadratisk matris. Då gäller: Det nns ett positivt egenvärde λ till A som har en tillhörande positiv egenvektor v. λ är till beloppet större än alla andra egenvärden till A. λ har algebraisk multiplicitet. Då A är en irreducibel matris så gäller att egenvektorn v är strikt positiv [7]. Satsen säger att för en positiv matris A nns en positiv egenvektor v, med tillhörande postivt egenvärde λ. Om A är irreducibel gäller att v är strikt positiv, enkel och unik, och dessutom att λ är det största egenvärdet för matrisen A. Denition... Spektralradien är det största egenvärdet för primitiva matriser. Denition... Låt A vara en ickenegativ matris. Då är A primitiv om det för någon positiv skalär m gäller att A m är en positiv matris. Då man upphöjer den positiva matrisen A med ett tal så kommer det positiva och största egenvärdet λ att konvergera mot matrisens spektralradie, 6

som maximalt är. Om spektralradien är mindre än kommer matrisen konvergera mot 0 vilket inte skulle ge något bra resultat vid rankning av lagen i en serie [0].. Närmanden till ett bevis Eftersom beviset för Perron-Frobenius sats är så pass komplicerat och långt så skulle enbart beviset vara en uppsats i sig, därför kommer vi inte att bevisa det i sin helhet. För den nykne matematikern så nns beviset i Suieon Khim [8]. Däremot är det möjligt att bryta ner beviset till mindre delar där vi kan bevisa att är ett egenvärde till en symmetrisk matris och att det endast nns en egenvektor med enbart positiva komponenter för symmetriska n n matriser. Sats... Låt A vara en positiv och symmetrisk matris som har kolumnoch radsummorna. Då gäller att:. ett egenvärde till A är ;. om A är starkt sammanknuten, har egenvärdet multiplicitet. Bevis.. Låt u = [,,..., ] t. Då gäller att Au = u, eftersom summan av alla komponenter i raderna i matrisen A är, så är ett egenvärde till A.. Låt x = [x, x,..., x n ] t beteckna en egenvektor där alla komponenter inte är lika. Anta att x j är den komponent i x med störst absolutbelopp. Vi får då (Ax) j = j a ji x i j a ji x i j a ji x j = x j. (.) Om någon av dessa olikheter är strikt kommer absolutbeloppet av egenvärdet att vara strikt mindre än. Den första olikheten kan endast bli en likhet om alla komponenter i x har samma tecken och den andra olikheten kan endast vara en likhet om alla komponenter i x har samma värde, något som skulle göra x till en multipel av u. På grund av detta kommer den totala olikheten att vara strikt, så att u är den enda egenvektorn till egenvärdet som därmed har multiplicitet. Lemma... För en positiv symmetrisk n n matris A gäller följande: Matrisen A är ortogonalt diagonaliserbar. Matrisen A har n ortonormerade egenvektorer. 7

Matrisen A har enbart reella egenvärden. Egenvektorer från olika egenrum är ortogonala []. Sats... Det nns enbart en positiv egenvektor till en symmetrisk matris A. Bevis. Enligt lemma.. är egenvektorerna till matrisen A ortogonala vilket betyder att skalärprodukten mellan varje egenvektor u och v är 0. Det här betyder i sin tur enligt formeln cos(θ) = u v (u) (v) (.) att cos(θ) = 0. För att detta ska gälla måste θ = π eller θ = π. Därmed har vi bevisat att vinkeln mellan varje egenvektor är π och då kan det bara nnas en egenvektor med enbart positiva komponenter. Vi ska nu göra ännu ett närmande till bevis men nu vad gäller konvergensen av ekvation.0, för fullständigt bevis se [8]. För att kunna göra detta använder vi oss av en matris A har kolumnsumman i alla kolumner och alla komponenter är icke-negativa. Genom detta följer även att om man multiplicerar en icke-negativ vektor v 0 med A så kommer vektorn v som genereras i Av 0 = v att vara icke-negativ. Om summan av komponenterna dessutom är i denna vektor v 0 kommer även komponenterna i v att vara det. Att v 0 är normerad gör att [,..., ]v 0 =, då alla kolumner i A är normerade följer även med hjälp utav matris-multiplikation att [,..., ]Av 0 = [,..., ]v 0 =. Då vi tidigare har sett utvecklingen av ekvation.8 till ekvation.9 vet vi att vi kan formulera om Av 0 = v till A k v 0 = v k. Vektorn v k är alltså ickenegativ, summan av alla dess komponenter är och den kan användas för att beräkna olika fall av sannolikhet, därför kallas den för en sannolikhetsvektor. Detta kan vi koppla samman med den slumpmässige surfaren, som slumpmässigt trycker på länkar. Komponenterna i vektorn skulle i detta fall representera olika sidor som i sin tur visar på sannolikheten att hamna på just den sidan. Om vi utvecklar vektorn v k till ett gränsvärde v är även det en sannolikhetsvektor. För att utveckla v k till ett gränsvärde så måste vi försäkra oss om att detta gränsvärde alltid nns. Vi kommer nu att bevisa att detta gränsvärde existerar vid egenvärdet λ = och förklara vad som händer med resterande egenvärden. Sats... Om A är en positiv matris där summan i varje kolumn är så är det största egenvärdet λ = och att egenvektorn c u fås vid detta gränsvärde v där v k = c (λ )u + c (λ ) k u + + c n (λ n ) k u n. 8

Bevis. För att ta fram vektorn v k börjar vi med att uttrycka v 0 som v 0 = c u + c u + + c n u n. (.) Som vi tidigare har visat så får vi fram v genom att v = Av 0 = A(c u + c u + + c n u n ) = c Au + c Au + + c n Au n = c λ u + c λ u + + c n λ n u n. (.4) Det sista steget i formel.4 sker då Au = λ u, då λ = får vi formel Av 0 = c u + c λ u + + c n λ n u n. Utvecklar vi detta ytterligare så får vi endast högre och högre potenser till λ. Enligt v = Av = c u + c (λ ) u + + c n (λ n ) u n. v k = c u + c (λ ) k u + + c n (λ n ) k u n. (.5) Att λ = är dominant och därför unikt följer från sats... Då alla andra värden på λ följer enligt = λ > λ... λ n 0 får vi Som ger lim (λ m) k = 0, m =,,,..., n. (.6) k lim v k = c u. (.7) k Vi ser att A k v 0 = v k konvergerar och att v alltid existerar vid λ = [8].. Användningsområden för satsen PageRank Googles sätt att ranka internetsidor [9]. Crosstalk Att räkna ut den optimala ljudnivån i exempelvis en restaurangmiljö med era bord. Där problemet som kan uppstå är att ljudnivån ökar succesivt när personer från olika bord försöker överrösta varandra, istället för att ligga på en stadig ljudnivå []. Prissättning av råvaror Flera olika industrier som behöver varandras hjälp för att producera sin produkt behöver komma överens om värdet på råvarorna []. 9

Kapitel 4 Rankingmetoden Med hjälp av PerronFrobenius sats.. kan vi skapa ett nytt rankingsystem som är lite mer komplicerat än det som används idag. Att helt enkelt räkna ihop vilket lag som har vunnit est matcher kan man göra hemma i TV soan. Men när man gör en matris av problemet, så ökar det en aning i dimension. Att ranka ett lag handlar om den relativa betydelsen av ett lag i en serie. Rankingen är i de allra esta fall en injektiv avbildning från lagen till mängden {,,..., n} (där n är antalet lag i serien). I vissa fall hamnar två eller era olika lag på samma ranking, vilket kräver ett visst rankingsystem för att lösa. För att ranka lagen så rättvist som möjligt används jämförelser mellan lagen för att skapa ett poängsystem som beror av någon typ av information som nns tillgänglig. Denna information berör i de allra esta fall antalet vinster, förluster eller lika matcher i serien dittills, men information som kan vara värdefull är mål, bollinnehav, oensiv och defensiv spelteknik med mera. Ranking av lagen görs genom parvisa jämförelser lagen emellan, där i princip alla nuvarande systemen har gemensamt att oberoende av vilket lag vinsten är emot ger det alltid samma poäng. Låt oss nu titta på vad som händer om vi använder oss av sats.. och skapar ett nytt rankingsystem. 4. Vi skapar en matris Denition 4... Rankingmetoden är den metod som med hjälp av sats.. utvecklats för att beräkna rankingen av olika lag inom sporter. Denition 4... Poänggivningsmetoden är den metod som idag används för att beräkna rangordningen av olika lag inom sporter. I allsvenskan möter alla lag varandra två gånger. Om ett lag vinner så tilldelas de i första steget av rankingmetoden poäng och om man spelar 0

lika så får båda lagen poäng. En förlust belönas inte med några poäng alls. Vi skapar en matris B, där raderna är poängen som lagen totalt har skrapat ihop och kolumnerna poängen som lagen delar ut. För att visa hur detta kan bli till att se ut så sätter vi in resultatet från allsvenskan 0 i matrisen B där laget som vann allsvenskan det året, Helsingborg, representeras av den första raden och den första kolumnen. Därefter föjler lagen, både kolumn- och radvis, i fallande ordning efter vem som ck mest poäng med poänggivningsmetoden. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B = 0 0 0. (4.) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Det syns tydligt att de välpresterande lagen enligt poänggivningsmetoden mycket oftare har gått obesegrade än de sämre presterande lagen. Ett lag som har spelat bra enligt poänggivningsmetoden behöver bara ha så många höga siror som möjligt i sin rad. Om laget däremot ska ha presterat bra enligt rankingmetoden så måste de höga sirorna vara mot de lag som inte delar ut så mycket poäng till andra, både vad gäller beräkningarna på antal vinster och på antal gjorda mål. Störst fokus ligger vid antal vinster och förluster men vi kommer också undersöka hur resultaten ser ut om rankingmetoden appliceras på antalet mål som lagen gör. Med rankingmetoden får lagen ett poäng för varje mål de gör, vilket betyder att ett lag får en större andel av rankingen om de gör er mål. För att beräkna rankingen tittar vi på hur många poäng som alla lag delar ut till varandra. Innan spelen börjar har alla lag värdet. Lagets etta delas ut proportionellt till lagen som har vunnit över eller spelat lika mot dem. För att lagen ska dela ut en etta var måste vi normera kolumnerna, men innan vi gör detta måste vi se till att rätta till en sak.

4. Vi lägger till ett β-värde Låt oss anta att ett lag har gått obesegrade ur turneringen. Då delar de inte ut någonting av sin etta utan äter massvis med ranking från alla andra, som beskrivits närmare i kapitel. För att undvika detta problem så adderar vi en liten positiv konstant β till alla komponenter så att det inte uppstår några hål som äter rankingen. Vi låter C = B + βj, (4.) där J är en matris med värdet på alla komponenter. Oavsett hur lagen spelar gör β att slutmatrisen som vi räknar ut endast har positiva värden i sig, den ser även till att matrisen C är stokastisk och irreducibel. Med hjälp av MatLab har vi kunnat jämföra olika värden på β för optimalt resultat. Vi startade med β = 0,5 ty det var detta värde som gett bäst resultat i Google-matrisen. För att inte ta för givet att detta är bäst även vid ranking av lag så har vi testat olika alternativ. De olika β-värden vi undersökt i allsvenskan är β = 0,5, β = och β =. Det vi ser när vi väljer ett större β är att skillnaden i rankingen minskar då vi jämför med poänggivningsmetoden. Därför förkastar vi β och β, då vi vill att rankingen ska ha en hög inverkan på resultatet. Syftet med att använda β är att försäkra sig om att matrisen är stokastisk och irreducibel, inte att få resultatet så likt poänggivningsmetoden som möjligt. Men rankingmetoden kan också bli orättvis om det är få lag som möter varandra och det som är avgörande är antalet mål, i exempelvis ett gruppspel. Detta är anledningen till att vi också testar olika β för EM-spel. De β vi valt är β = 0,5, β =, β = och β 4 =. Ett exempel på detta är om Lag A vinner mot alla lag och därmed gör mål mot alla lag, då borde Lag A vara det bästa laget. Men om Lag B gör det enda målet på Lag A så får Lag B hela Lag A:s utdelning och kan då gå om dem i ranking. Därför undersöker vi resultatet med ett högre β. Med hjälp av ett högre β får vi faktiskt en rättvisare ranking, då betydelsen av exakt vilket lag just Lag B gör mål mot minskar en aning. Vi valde dessutom att jämföra poängresultaten i basketligan eftersom ett lag i varje match kan göra uppåt 00 poäng jämfört med fotboll där fyra mål räknas som mycket. Vi valde att jämföra β = 0,5, β 5 = 5, β 6 = 00 och β 7 = 400. Anledningen till att vi valde just dessa värden på β är att vi ville ha ett värde som inte påverkar poängskillnader så mycket, ett värde som ligger i underkant och ett som ligger i överkant på poängsumman av alla möten mellan två lag. Det vi upptäckte var att oavsett värde genererar det samma ranking tabellmässigt. För att försäkra oss om att β verkligen är det ultimata värdet, undersöker vi också β 8 = 0, och β 9 = 0, i allsvenskan. Eftersom så små förändringar på β inte förändrar placeringarna i tabellerna väljer vi β till

0,5. 4. Ranking Matrisen C består av kolumnvektorerna c, c, c,..., c 6. Vi låter D vara C:s normerade vektorer. Alltså är ( ) c c c c 6 D =.... (4.) c c c c 6 Den normerade matrisen D får detta utseende D = 66 6 98 98 98 98 66 66 98 66 98 98 98 66 66 66 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 58 58 86 58 58 58 58 86 58 58 86 86 58 86 58 86 0 9 0 9 58 86 58 58 0 9 86 0 9 58 86 86 58 58 58 86 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 4 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 4 98 98 98 95 4 95 95 98 98 98 4 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 4 8 8 6 4 8 8 8 8 8 8 4 8 8 8 8 8 8 6 8 8 8 6 8 8 8 8 8 8 8 8 6 6 4 8 6 4 68 4 68 6 68 68 4 68 6 68 68 68 6 68 68 6 6 6 88 88 4 88 4 88 88 88 88 88 88 88 88 88 4 88 88 88 85 98 4 98 4 98 4 98 98 98 98 4 98 98 4 98 98 98 98 98 98 98 (4.4) För att beräkna detta så har vi använt dataprogrammet MatLab. Alla siror matas in till en matris och datorn räknar ut matrisens alla egenvektorer och egenvärden. Enligt sats.., så är det största egenvärdet och egenvektorn som genereras av detta egenvärde representerar rankingen, där laget som har blivit tilldelat det högsta värdet, har den högsta rankingen. Egenvektorn E genereras av egenvärdet till matrisen D, så att 98 4 98 98 98 98 98 98 4 98 98 98 98 4 98 98 98 98 98 4 448 448 4 448 448 4 448 4 448 4 448 448 448 448 448 448 448 448 448 448 4 468 4 468 468 56 4 468 4 468 6 468 56 468 468 56 4 468 4 468 56 56 4 58 4 58 4 58 4 58 4 58 4 58 4 58 58 58 58 4 58 58 58 58 58 58.

E = 0,45 0,89 0,07 0,896 0,7 0,78 0,507 0,50 0,8 0,85 0,5 0,994 0,5 0,570 0,74 0,0964. (4.5) Det översta talet står för det första inmatade lagets ranking.. Sådär, rankingmetoden är utvecklad och i nästa kapitel beskrivs hur poängsystemen ser ut idag för fotboll, basket och ishockey. 4

Kapitel 5 Sport Nedan följer några korta texter som förklarar hur man idag räknar poäng och tabeller inom de sporter som vi har valt att titta närmare på. Vi har valt era olika sporter för att kunna jämföra skillnader i antal mål, olika antal matcher mot varandra och för att kunna se vad som händer när alla lag inte möter varandra. 5. Poängsystemet i fotboll Allsvenskan I allsvenskan nns det 6 lag, alla lagen möter varandra två gånger, en hemmamatch och en bortamatch. Lagen får ett poäng för varje mål de gör, det lag som efter ordinarie speltid gjort est mål vinner. Om lagen gör lika många mål sker ingen förlängning under matcherna i grundserien. Poäng som räknas in i tabell ges enligt följande: poäng för vinst. poäng för lika. 0 poäng för förlust [7]. Om två eller er lag har lika poäng efter serien används denna ordning för att skilja lagen åt: Bäst målskillnad i serien. Flest antal gjorda mål. Inbördes resultat, det vill säga den som ck est poäng i mötet lagen emellan, där mål på bortaplan räknas som dubbla poäng. Skiljematch, för att skilja ut vilket/vilka lag som ska få priser och vid risk för nedplacering [6]. 5

5. Poängsystemet i fotboll EM I fotbolls EM är det 6 deltagande lag. I EM ger, liksom i allsvenskan, varje mål ett poäng och det lag som gjort est mål vinner matchen. EMspel är speciellt på det sättet att alla inte möter alla lag. För att ta reda på vilka lag som ska möta vilka sker en lottning av alla deltagande lag för att skapa fyra grupper om fyra lag. Inom varje grupp utförs ett slags miniseriespel, där lagen möter varandra en gång vardera. Under dessa seriespel beräknas poäng in i tabell enligt följande: poäng för vinst. poäng för lika. 0 poäng för förlust. När seriespelet är över går varje grupps etta och tvåa vidare till nalspel, vilket bestäms av vilka lag som har est poäng. Om två eller er lag har lika poäng efter gruppspelet används denna ordning för att skilja lagen åt: Inbördes möten, det vill säga den som ck est poäng i mötet mellan lagen. Om er än två lag hade samma poäng:. Bäst målskillnad i matchen mellan lagen med samma poäng, det vill säga störst dierens mellan gjorda och insläppta mål.. Störst antal mål i matchen mellan lagen. Bäst målskillnad i gruppen. Flest antal gjorda mål i gruppen. Högst placering i Uefas ranking. Bäst fair play uppförande, under slutspelet, där Uefa betygsätter beteendet hos samtliga lag. Lottning [8]. 5. Poängsystemet i basket Basketligan När ett lag kastar bollen genom korgen så får de poäng. Om spelaren som skjuter står innanför korgområdet så får laget två poäng. Om spelaren däremot står utanför och skjuter ett längre kast så får laget tre poäng. Korgområdet sträcker sig 6,5 meter från korgen. Om en spelare träar bollen i korgen under ett strakast får laget en poäng. 6

En basketmatch i basketligan, som vi har utgått ifrån i våra beräkningar består av fyra tio minuters perioder. Om lagen efter denna tid ligger lika så blir det förlängning och man fortsätter med förlängningar tills ett av lagen vinner. En match i basketligan kan alltså inte sluta oavgjort. När alla matcher i serien har spelats har alla lag mött varandra två gånger hemma och två gånger borta. Från varje match får lagen med sig ett antal poäng till seriespelet där man tävlar mot alla andra lag om mest poäng i grundserien. Poäng som räknas in i tabell ges enligt följande: poäng för vinst. 0 poäng för förlust [4]. 5.4 Poängsystemet i ishockey Elitserien I ishockey ger varje mål ett poäng, den som har gjort est mål vid slutsignalen vinner matchen. Om matchen efter ordinarie speltid är oavgjord, spelas en förlängning, så kallad sudden death, med en spelare färre i vardera laget under maximalt 5 minuter. Anledningen till att förlängningen kallas sudden death är att så fort ett av lagen gjort ett mål (under förlängningen) så är matchen avgjord. Om inget mål gjorts under förlängningen följer straäggning. Lagen får då turas om att lägga tre straar och det lag som gör est mål av dessa vinner matchen. Om det därefter fortfarande är lika får lagen slå varsin stra tills ett avgörande kommer. När serien är slut har alla lagen mött varandra fem gånger. Poäng som räknas in i tabellen ges enligt följande: poäng för vinst under ordinarie tid. poäng för vinst efter förlängning eller straar. poäng för förlust efter förlängning eller straar. 0 poäng för förlust under ordinarie tid [5]. Låt oss nu jämföra tabellerna för poänggivningsmetoden och rankingmetoden. 7

Kapitel 6 Resultat och jämförelser Totalt räknade vi ut resultaten för vårt poängsystem på två olika sätt, antingen med att antalet vinster eller med att antalet mål/poäng gav ranking. Vi analyserade två olika säsonger från vardera tre olika sporter. Hur tabellerna konstruerats har redovisats i tidigare kapitel. I basket kan som bekant matcherna inte sluta lika och lagen får istället poäng för vinst och 0 för förlust. I ishockey tilldelas lagen i den första matrisberäkningen poäng för vinst, 0,75 poäng för vinst efter ordinariespeltid, 0,5 poäng för förlust efter ordinariespeltid och 0 poäng för förlust. När tabellen beräknas på mål uppstår förändringar i hela tabellen. Det beror på att lagen kan få med sig poäng även om de inte vunnit matchen. I detta system räknas poängen för varje mål laget gör och inte beroende på om de vinner eller förlorar. För fullständiga matriser som har genererat våra resultattabeller i detta kapitel se bilaga A. Nedan följer de sammanfattande resultaten. 6. Fotboll allsvenskan Denition 6... Topplagen är de lag som i den verkliga tabellen placerade sig bäst. Denition 6... Bottenlagen är de lag som i den verkliga tabellen placerade sig sämst. Resultaten från säsongen 0 nns att betrakta i tabell 6. och säsongen 0 nns i tabell 6.. I tabellerna har vi i kolumn listat lagen som spelade i allsvenskan säsong 0 och 0. Helsingborg IF står överst i tabell 6. för att de var det lag som vann enligt poängsystemet som används idag och IF Elfsborg står längst upp i tabell 6. eftersom de vann allsvenskan 0. Lagen som är listade i kolumn fyra representerar den ordning som lagen hade kommit i om man använt sig av rankingmetoden där man räknar med vinster 8

och lagen i kolumn fem visar ordningen som det hade blivit om man räknar med antal mål. Lag enligt tabell Lag enligt vårt system Lag enligt antal mål Helsingborg IF Helsingborg IF Helsingborg IF AIK - AIK IF Elfsborg IF Elfsborg + IF Elfsborg BK Häcken 4 Malmö FF -6 Malmö FF GAIS 5 GAIS - + Gee IF FF AIK 6 BK Häcken + BK Häcken Trelleborgs FF 7 IFK Göteborg - GAIS IFK Göteborg 8 Kalmar FF Kalmar FF Kalmar FF 9 Gee IF FF +4 - IFK Göteborg Örebro SK 0 Mjällby AIF - -4 IFK Norrköping FK Malmö FF Djurgården IF - Mjällby AIF Djurgården IF Örebro SK - + Djurgården IF Gee IF FF IFK Norrköping FK + Örebro SK IFK Norrköping FK 4 Syrianska FC - - Trelleborgs FF Mjällby AIF 5 Trelleborgs FF + +9 Syrianska FC Halmstad BK 6 Halmstad BK + Halmstad BK Syrianska FC Tabell 6.: Fotboll allsvenskan 0: Kolumn syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn till kolumn 4, kolumn syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn till kolumn 5. 6.. Vinster och förluster Största skillnaden mellan rankingmetoden och poänggivningsmetoden i tabell 6. är det som sker för Gee IF FF och IFK Norrköping FK. Gee IF FF puttar ner GAIS och IFK Göteborg eftersom Gee IF FF spelar bättre mot topplagen än vad GAIS gör och GAIS vinner er matcher mot sämre lag som då inte kan väga upp med rankingmetoden. På samma sätt gick Gee IF FF om IFK Göteborg. IFK Norrköping FK petar ner Mjällby AIF, Djurgården IF och Örebro SK ett steg vardera. IFK Norrköping FK vinner en match mot topplagen vilket är bra i jämförelse med att Djurgården IF och Örebro SK endast spelar lika en gång vardera och Mjällby AIF förlorar allt mot topplagen. Det intressanta fallet i tabell 6. är AIK som går om både BK Häcken och Malmö FF eftersom de har er vinster mot topplagen. AIK har en vinst i kombination med en lika mot topplagen där IF Elfsborg enbart fått till en vinst mot dessa lag. 9

Lag enligt tabell Lag enligt vårt system Lag enligt antal mål IF Elfsborg - - AIK BK Häcken BK Häcken - + IF Elfsborg Helsingborg IF Malmö FF - - BK Häcken IF Elfsborg 4 AIK + - Malmö FF IFK Norrköping FK 5 IFK Norrköping FK + IFK Norrköping FK Malmö FF 6 Helsingborg IF +4 Helsingborg IF Åtvidaberg FF 7 IFK Göteborg - IFK Göteborg AIK 8 Åtvidaberg FF - + Kalmar FF Kalmar FF 9 Djurgården IF - Djurgården IF IFK Göteborg 0 Kalmar FF + + Åtvidaberg FF Djurgården IF Gee IF FF -5 Gee IF FF GIF Sundsvall Mjällby AIF Mjällby AIF Mjällby AIF Syrianska FC - GIF Sundsvall Syrianska FC 4 GIF Sundsvall + + Syrianska FC Örebro SK 5 Örebro SK + Örebro SK GAIS 6 GAIS + GAIS Gee IF FF Tabell 6.: Fotboll allsvenskan 0: Kolumn syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn till kolumn 4, kolumn syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn till kolumn 5. 6.. Mål I tabell 6. gör Trelleborg FF en klättring från 5:e till sjätte plats där de går om mer än halva tabellen. Anledningen till att de går om så många lag är för att de sammanlagt gjort er mål än dessa. Utmärkande gjorde de fyra mål mot Helsingborg IF vilket inget annat lag lyckades med. De gjorde även tre mål mot vardera IF Elfsborg och Malmö FF som hjälpte till att ta dem förbi de andra lagen med sämre målstatistik. Malmö FF som tappar sex placeringar gör många mål mot de två sämre lagen men inte tillräckligt många mot de bra, vilket alltså inte räcker för att hålla sig i toppen av tabellen. I jämförelse med de fem bottenlagen i tabell 6. gör Gee IF FF få mål mot topplagen vilket placerar dem på 6:e plats. 6.. Kommentarer Oavsett om vi väljer att titta på vinster eller antal mål så åker Syrianska FC ur allsvenskan enligt rankingmetoden i tabell 6., detta eftersom de varken gör tillräckligt många mål eller vinner mot de värdefulla lagen i toppen av tabellen. Till skillnad från Syrianska FC så skulle Gee IF FF klara sig om man tittar på vinster och förluster. Tittar man däremot på antalet mål skulle det 0

kosta Gee IF FF en plats i allsvenskan enligt rankingmetoden, då de inte gjort tillräckligt många mål. 6. Fotboll EM 0 Resultaten från detta mästerskap nns att betrakta i tabell 6.. Här har vi listat i kolumn lagen som spelade i fotbollsem 0. Lagen som är listade i kolumn fyra representerar den ordning som lagen hade kommit i om man använt sig av rankingmetoden där man räknar med vinster och lagen i kolumn fem visar ordningen som det hade blivit om man räknar med antal mål. I bilaga C nns fullständiga resultat av matcherna som spelades under fotbollsem 0. Lag enligt tabell Lag enligt vårt system Lag enligt antal mål Tjeckien - - Ryssland Ryssland Ryssland + + Tjeckien Tjeckien Grekland Grekland Grekland 4 Polen Polen Polen Tyskland - Tyskland Danmark Portugal - Portugal Tyskland Danmark + Danmark Portugal 4 Holland Holland Holland Spanien - Spanien Italien Italien + Italien Spanien Kroatien Kroatien Kroatien 4 Irland Irland Irland England - England Sverige Frankrike - Frankrike England Sverige + Sverige Frankrike 4 Ukraina Ukraina Ukraina Tabell 6.: Fotboll EM 0: Kolumn syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn till kolumn 4, kolumn syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn till kolumn 5. I EM är de 6 lagen uppdelade i fyra olika grupper som skiljs åt av de horisontella linjerna i tabellen. 6.. Vinster och förluster Då Ryssland är det enda laget som vinner över Tjeckien så får de hela deras värde i utgående ranking i grupp. Eftersom Tjeckien dessutom inte besegrar Ryssland så får Ryssland tillräckligt hög ranking för att gå om Tjeckien.

Lag med Lag med ranking ranking β β, β och β 4 Ryssland Ryssland Tjeckien Tjeckien Grekland Grekland 4 Polen Polen Danmark - Tyskland Tyskland + Portugal Portugal + Danmark 4 Holland Holland Italien - Spanien Spanien + Italien Kroatien Kroatien 4 Irland Irland Sverige Sverige England England Frankrike Frankrike 4 Ukraina Ukraina Tabell 6.4: Fotboll EM 0 beräknat på mål med olika β: Kolumn syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn med β = 0,5 till kolumn 4 med β =, β = och β 4 =, eftersom dessa gav samma resultat. I EM är de 6 lagen uppdelade i fyra olika grupper som skiljs åt av de horisontella linjerna i tabellen. I grupp sker inga förändringar då det inte nns några oavgjorde matcher och varje lag vinner över alla de lag som enligt poänggivningsmetoden presterade sämre än dem. I grupp och 4 sker heller inga förändringar då de lag som spelat bäst enligt poänggivningametoden även spelar bäst enligt rankingmetoden. 6.. Mål med β Då Sverige i grupp 4 gör två mål mot både England och Frankrike får de av vardera lags utdelning. Detta ger Sverige en högre ranking än de båda lagen, då England och Frankrike endast får vardera. Detta leder till att Sverige vinner sitt gruppspel och går vidare till slutspel. Danmark går om både Tyskland och Portugal i grupp då de får hälften av båda lagens utdelning. Då både Tyskland och Portugal har gjort mycket mål mot Danmark och Holland ger de målen inte lika hög ranking. I grupp går Italien om Spanien för att de får hela Spaniens utdelning och Spanien endast får halva Italiens utdelning. Så trots att Spanien gör fyra mål på Irland som ger 4 9 av Irlands utdelning och Italien bara får 9 så vinner

Italien. 6.. Mål med β, β och β 4 Under rubriken 4. kommer vi fram till att β inte är det mest optimala värdet när det gäller just EMspel där resultatet avgörs av antal mål. Därför redovisar tabellen 6.4 för hur resultatet förändras med ett högre βvärde. Som tidigare beskrivit får Danmark höga poäng från både Tyskland och Portugal i grupp tre. Då detta kanske inte är helt rätt förtjänat eftersom de inte vunnit någon av matcherna mot dessa lagen så rättar det högre βvärdet till detta. 6..4 Kommentar Värt att kommentera är att Italien och Spanien gick till nal vilket betydde att de var de bästa lagen. Från det här kan man spekulera om hur bra Kroatien och Irland var. Eftersom de mötte de bästa lagen i gruppspelet åkte de ut. Om de istället hade placerats i en annan grupp hade kanske möjligheten funnits att de tagit sig vidare längre i mästerskapet. Prestationsmässigt hade de kunnat hamna på en tredje eller fjärde plats om lottningen varit till deras fördel. Alternativet är att de faktiskt inte var tillräckligt duktiga för att besegra några lag och ta sig vidare från gruppspelet. Varken rankingmetoden eller poänggivningsmetoden har någon bra lösning på problemet. 6. Basket basketligan Resultaten från säsongen 00/ nns att betrakta i tabell 6.5 och säsongen 0/ nns i tabell 6.6. I tabellerna har vi listat i första kolumnen lagen som spelade i basketligan säsong 00/ och 0/. Sundsvall Dragons står överst i tabell 6.5 för att de var det lag som vann enligt poänggivningsmetoden och Norrköping Dolphins står överst i tabell 6.6 då de vann denna säsong. Lagen som är listade i kolumn fyra representerar den ordning som lagen kommit i om man använt sig av rankingmetoden där man räknar med vinster och lagen i kolumn fem visar ordningen som det hade blivit om man räknar med antal mål. 6.. Vinster och förluster Varken i tabell 6.5 eller 6.6 sker det några större förändringar. Mot de bättre lagen spelar LF Basket och Sundsvall Dragons varannan gång bättre i tabell 6.5. Men LF Basket får med sig högre poäng från dessa och de två topplagen byter placering.