ANALYTISK GEOMETRI. Xantcha

ANALYTISK GEOMETRI Xantcha 4 april 06

Innehåll Linjer och plan Linjens och planets ekvationer Linjens ekvation Planets ekvation Incidens 4 Incidens mellan plan 4 Incidens mellan linje och plan 5 3 Incidens mellan linjer 5 Geometriska problem 8 Area, volym och vinklar 8 Area 8 Volym 9 3 Vinklar Avstånd Avstånd till plan 3 Avstånd till linjer 4 3 Linjära avbildningar 8 3 Geometrisk tolkning 9 3 Avbildningsmatriser 9 3 Lustiga huset 0 33 Basbyte 3 Algebraisk framställning 6 3 Projektion 7 3 Spegling 8 33 Rotation 9 34 Sammansättning och invers 3 Facit 34

Kapitel Linjer och plan Vi skall nu först visa, hur linjer och plan i rummet låter sig beskrivas algebraiskt Linjens och planets ekvationer Linjens ekvation Givet en punkt P 0 px 0, y 0, z 0 q och en vektor v pα, β, γq, så beskriver punkterna px, y, zq px 0, y 0, z 0 q ` tpα, β, γq, t P R, en linje i rummet Se Figur Vektorn pα, β, γq säges vara en riktningsvektor för linjen Punkterna ovan beskriver hela linjen, då parametern t genomlöper alla reella tal Man kan tänka på ekvationen ovan som beskrivande en rymdfarkosts bana Parametern t tolkas som tiden Farkosten rör sig i en rät linje med riktningen pα, β, γq, och befinner sig i positionen px 0, y 0, z 0 q vid tiden t 0 Linjens ekvation är inte entydigt bestämd Varje multipel av pα, β, γq är också en riktningsvektor, och vilken punkt som helst på linjen kan tjäna till startpunkt Figur : Linjen

Exempel Linjen genom punkterna P p,, q och Q p, 3, 5q har en riktningsvektor PQ # p, 4, 3q Utgår vi från startpunkten P, så blir en ekvation för linjen px, y, zq p,, q ` tp, 4, 3q, t P R Man kan också utgå från startpunkten Q och använda # QP p, 4, 3q som riktningsvektor, vilket ger ekvationen px, y, zq p, 3, 5q ` sp, 4, 3q, s P R För linjer i planet finns två alternativ Ett är, att beskriva linjen genom punkten px 0, y 0 q med riktningsvektor pα, βq genom parameterekvationen px, yq px 0, y 0 q ` tpα, βq, t P R Ett annat sätt är, att ge linjens ekvation på allmän form: ax ` by ` c 0 För att se, hur dessa två former låter sig transformeras uti varandra, ger vi två exempel Exempel Linjen med parameterekvationen px, yq p, q ` tp, q p ` t, ` tq kan skrivas på allmän form genom elimination av parametern t: x t y ` ô x y 3 0 Exempel 3 Linjen med allmänna ekvationen x ` y 0 kan skrivas på parameterform genom att artificiellt introducera en parameter Enklast är att helt enkelt döpa om någon av variablerna x eller y till parameter Införes tex t y, fås x t, det vill säga parameterekvationen px, yq p, 0q ` tp, q Planets ekvation Vi skall nu beskriva det plan, som passerar genom en fix punkt P 0 px 0, y 0, z 0 q och är ortogonalt mot vektorn n pa, B, Cq Punkten P px, y, zq ligger i planet om och endast om vektorn # P 0 P px x 0, y y 0, z z 0 q

Figur : Planet Figur 3: Tre punkter i planet är vinkelrät mot vektorn n Se Figur Detta ger ekvationen 0 pa, B, Cq px x 0, y y 0, z z 0 q Apx x 0 q ` Bpy y 0 q ` Cpz z 0 q Sätter vi nu D Ax 0 By 0 Cz 0, är detta ekvivalent med Ax ` By ` Cz ` D 0, vilken alltså är planets ekvation Vektorn pa, B, Cq är planets normalvektor Exempel 4 Vi söker ekvationen för planet genom punkterna P p,, 0q, Q p, 0, q och R p0,, q Se Figur 3 Vektorerna # PR p, 0, q och # PQ p0,, q ligger i planet Som normalvektor kan därför tagas vektorprodukten (som ju per konstruktion är vinkelrät mot både PR # och PQ) # # PR ˆ PQ # p, 0, q ˆ p0,, q p,, q, så att planets ekvation är på formen x`y`z`d 0 Som punkten P p,, 0q tillhör planet, måste D Planets ekvation är alltså x ` y ` z 0 Övningar (a) Ange tre punkter på linjen px, y, zq p,, 0q ` tp,, 3q (b) Ligger punkten p,, 3q på linjen? Ange en ekvation för linjen genom punkterna p3, 6, 5q och p4, 3, 3q 3 Ange en ekvation för linjen genom punkterna p, q och p, q (a) på parameterform; (b) på allmän form 3

4 (a) Ange tre punkter i planet 3x ` y z (b) Ligger punkten p 4, 7, 4q i planet? 5 Bestäm ekvationen för planet genom punkterna p,, 0q, p0,, q och p,, 3q 6 Ligger de fyra punkterna p,, 0q, p0, 4, q, p, 0, q och p, 3, q i samma plan? 7 Ange ekvationen för det plan, som går genom punkten p,, q och innehåller linjen px, y, zq p3,, q ` tp,, 3q 8 Ekvationen px, yq px 0, y 0 q ` tpα, βq beskriver en linje i planet Visa, att dess riktningskoehcient (k-värde) är β α 9 Ekvationen ax ` by ` c 0 beskriver en linje i planet på allmän form Visa, att vektorn pa, bq är ortogonal mot linjen Incidens I detta avsnitt studerar vi problemet, att finna var och hur två linjer eller plan skär varandra Vi vill alltså undersöka, hur linjer eller plan kan ligga i förhållande till varandra i rummet Incidens mellan plan För två plan i rummet finns tre möjligheter, skisserade i Figur 4 De kan skära varandra längs en linje, vara parallella eller också sammanfalla Exempel 5 Planen x z och x ` y ` z skär varandra längs linjen $ # x z & x ` t ô y t x ` y ` z % z t 4

Figur 4: Skärande, parallella och sammanfallande plan Figur 5: Linje och plan Incidens mellan linje och plan För en linje och ett plan i rummet finns också tre möjligheter, skisserade i Figur 5 Linjen kan skära planet i en unik punkt, vara parallell med planet, eller också ligga inuti planet Exempel 6 Vi undersöker linjen px, y, zq p t, ` t, ` tq och planet x ` y z 0 En godtycklig punkt på linjen är p t, ` t, ` tq, vilken substitueras i planets ekvation: 0 p tq ` p ` tq p ` tq t ô t Linjen skär alltså planet i punkten p, 3, 5 q 3 Incidens mellan linjer För två linjer i rummet finns däremot fyra möjligheter, skisserade i Figur 6 Förutom fallen, då linjerna är parallella, sammanfallande eller skärande, tillkommer här en fjärde möjlighet Linjerna kan nämligen passera förbi varand- 5

Figur 6: Parallella, sammanfallande, skärande och skeva linjer ra, utan att för den skull vara parallella (Tänk på planskilda korsningar på motorvägen) Man säger då, att linjerna är skeva Exempel 7 Två rymdfarkoster färdas längs linjerna px, y, zq p t, ` t, 3tq respektive px, y, zq p t, ` t, tq, där t är tiden För att undersöka, huruvida de kolliderar, kan vi helt enkelt sätta motsvarande koordinater lika, och lösa ekvationssystemet $ & t t ` t ` t % 3t t, vilket saknar lösning Farkosterna kolliderar inte; de befinner sig aldrig på samma plats vid samma tidpunkt Låt oss nu i stället undersöka om banorna skär varandra Vi vill nu veta, huruvida farkosterna passerar samma punkt i rymden, oavsett om de råkar passera samtidigt eller ej (vilket vi redan vet, att de inte gör) Eftersom tiderna t nu kan vara olika, utbyter vi parametern i ena ekvationen mot en ny bokstav s och löser ekvationssystemet $ & s t # s ` s ` t ô % t 3s t Vid tidpunkterna respektive passerar därför farkosterna den gemensamma punkten p0, 3, 4q Exempel 8 Linjerna px, y, zq p, 0, q ` sp,, 0q och px, y, zq p,, 0q ` tp,, q 6

saknar skärning, ty ekvationssystemet $ & s ` t s ` t % t saknar lösning Linjerna är ej heller parallella, eftersom riktningsvektorerna p,, 0q p,, q De är alltså skeva Övningar Undersök, hur planen x`y 3z 5 och x`y z 4 ligger i förhållande till varandra Undersök, hur linjerna px, y, zq p,, 0q ` sp,, q och px, y, zq p, 0, q ` tp,, q ligger i förhållande till varandra 3 Undersök linjerna och px, y, zq p, 4, 5q ` sp5,, 33q px, y, zq p6,, 6q ` tp 65, 9, 43q 4 (a) Bestäm ekvationen för planet genom punkterna p,, q, p,, q och p0, 0, q (b) Avgör, huruvida linjen px, y, zq p,, 0q ` tp,, q skär detta plan, och bestäm i så fall var 7

Kapitel Geometriska problem I detta kapitel skall vi nu lösa konkreta geometriska problem gällande beräkning av areor, volymer, vinklar och avstånd Area, volym och vinklar Area Två vektorer u och v uppspänner i Figur en parallellogram Parallellogrammens area ges av längden av vektorprodukten, alltså u ˆ v Triangelns area är hälften av detta, alltså u ˆ v Figur : Area av parallellogram och triangel 8

Figur : Volym av parallellepiped Volym Tre vektorer u, v och w uppspänner i Figur en parallellepiped Vi skall nu visa, att dess volym kan beräknas med hjälp av determinanten detpu, v, wq, varuti vektorerna u, v och w bildar kolonner (eller rader; sak samma) Detta gör vi genom att visa, att determinanten är lika med den så kallade skalära trippelprodukten pu ˆ vq w Sats Vektorerna u, v och w uppspänner en parallellepiped med volymen V Då gäller att determinanten $ & V om u, v, w ligger positivt orienterade; detpu, v, wq 0 om u, v, w ligger i samma plan; % V om u, v, w ligger negativt orienterade Bevis Se Figur Med beteckningarna u px, x, x 3 q, v py, y, y 3 q, w pz, z, z 3 q kan den skalära trippelprodukten beräknas rent algebraiskt: pu ˆ vq w px, x, x 3 q ˆ py, y, y 3 q pz, z, z 3 q px y 3 x 3 y, x 3 y x y 3, x y x y q pz, z, z 3 q x y z px y 3 x 3 y qz ` px 3 y x y 3 qz ` px y x y qz 3 x y z x 3 y 3 z 3 Trippelprodukten är alltså lika med determinanten detpu, v, wq Geometriskt betyder trippelprodukten pu ˆ vq w u ˆ v w cos θ 9

Figur 3: Volym av tetraeder Kvantiteten u ˆ v är arean av basytan i parallellepipeden Om u, v, w ligger positivt orienterade, så är 0 ď θ ă 90 och cos θ ą 0 Parallellepipedens höjd är då w cos θ, vilket betyder att trippelprodukten är precis volymen V (basytan gånger höjden) Om vektorerna ligger negativt orienterade, är 90 ă θ ď 80 och cos θ ă 0 Parallellepipedens höjd är då w cos θ, vilket betyder att trippelprodukten är V Slutligen, om θ 90, så ligger u, v och w i samma plan Trippelprodukten är då noll (och ävenså volymen V ) Sammanfattningsvis är alltså volymen av parallellepipeden, som uppspänns av vektorerna u, v och w, lika med absolutbeloppet av deras determinant, alltså detpu, v, wq Determinantens tecken ger information om vektorernas inbördes lägen Positiv determinant betyder, att vektorerna u, v, w, tagna i denna ordning, ligger positivt orienterade Negativ determinant betyder, att de är negativt orienterade Vektorerna u, v och w uppspänner i Figur 3 en tetraeder Dess volym är en sjättedel av parallellepipedens, alltså detpu, v, wq 6 Ty om parallellepipeden har basytan B och höjden h, så är dess volym Bh Tetraedern har samma höjd h, men halva basytan B, så att dess volym är 3 B h 6 Bh Exempel De tre vektorerna p,, 0q, p, 0, q och p0,, q spänner upp en parallellepiped Eftersom 0 0, 0 0

Figur 4: Vinkel mellan linje och plan så har denna volymen Minustecknet betyder att vektorerna, i given ordning, ligger negativt orienterade Tetraedern, som de spänner upp, har volymen 3 Vinklar 6 3 Vinklar mellan linjer och plan låter sig med lätthet beräknas Vinkeln mellan två linjer är helt enkelt vinkeln mellan deras riktningsvektorer Vinkeln mellan två plan är densamma som vinkeln mellan deras normalvektorer Vinkeln mellan en linje och ett plan är obetydligt svårare att beräkna Vi visar med ett exempel, hur det går till Exempel Planet x ` y ` z 999 och linjen px, y, zq p344, 566, 788q ` tp,, 0q måste skära varandra någonstans, ty linjens riktningsvektor p,, 0q är inte vinkelrät mot planets normalvektor p,, q (skalärprodukten är ej noll) Se Figur 4 Vinkeln β mellan linjen och planets normal fås av cos β p,, 0q p,, q p,, 0q p,, q 3???, 9 så att β 45 Vinkeln mellan planet och linjen är α 90 β 45 Övningar Finn arean av triangeln med hörn i p,, q, p,, q och p,, 3q En triangel har två hörn p, 0, q och p,, 0q Det tredje hörnet ligger på linjen px, y, zq pt, t, tq Vilken är dess minsta möjliga area?

3 Låt b vara ett reellt tal, och betrakta de tre vektorerna u p,, bq, v p,, ` bq och w pb, b, bq (a) Finn volymen av parallellepipeden, som uppspänns av dem (b) För vilka värden på b utgör vektorerna u, v, w en bas för rummet? (c) För vilka värden på b utgör vektorerna u, v, w en positivt orienterad bas? 4 Betrakta de fyra punkterna A p,, 3q, B p7,, 3q, C p4, 3, q och D p, 4, q (a) Visa, att fyrhörningen ABCD är en parallellogram (b) Beräkna dess area (c) Bestäm ekvationen för planet den ligger i 5 Betrakta de två linjerna px, y, zq p t, t, ` tq px, y, zq p 3t, t, tq (a) Visa, att de skär varandra i en punkt, och bestäm skärningspunktens koordinater (b) Bestäm skärningsvinkeln 6 Bestäm vinkeln mellan planen x y z 3 och x ` 4y ` z 5 7 (a) Visa, att planet 4x y 5z skär linjen i en punkt och bestäm denna (b) Beräkna skärningsvinkeln px, y, zq p, 3, q ` tp,, 4q Avstånd Vi ger nu en systematisk genomgång av de olika metoderna för avståndsberäkning i rummet Ett fundamentalt verktyg är följande formel Sats : Projektionsformeln formeln Projektionen av vektorn u på vektorn v ges av proj v u u v v v

Figur 5: Projektion av vektor Bevis Vi ser i Figur 5, att projektionen proj v u kännetecknas av tre egenskaper: () den är parallell med v, () den pekar åt samma håll som u och (3) dess längd är u cos θ Vi visar nu, att u v v v har dessa tre egenskaper, och alltså är lika med den sökta projektionen proj v u () Eftersom u v v är en skalär (ett tal), så ser vi direkt, att u v v v är en multipel av v () Vidare är u v u v cos θ v v v v u cos θ v v Om θ är spetsig eller rät, så är cos θ ě 0, varför denna vektor pekar åt samma håll som både v och u Om θ är trubbig, så är cos θ ă 0, och vektorn pekar åt motsatt håll som v, det vill säga återigen åt samma håll som u (3) Slutligen är u v v v så att vektorn u v v v även har rätt längd Avstånd till plan u v cos θ v v u cos θ, Exempel 3 Vi söker avståndet mellan planet x ` y ` z 3 och punkten P p, 3, 3q Se Figur 6 Utgå från någon punkt i planet, säg Q p0, 3, 0q Projektionen av vektorn QP # p, 0, 3q på planets normalvektor n p,, q är # p, 0, 3q p,, q proj n QP p,, q p,, q 5 p,, q 6 enligt Projektionsformeln Avståndet från P till planet är därför 5 6 p,, q 5? 6 6 3

Figur 6: Avstånd från punkt till plan Vidare är projektionen av # QP p, 0, 3q ned i planet # # QP proj n QP p, 0, 3q 5 6 p,, q p, 5, 8q, 6 så att den punkt i planet, som ligger närmast punkten P, är P p, 0, 3q ` 6 p, 5, 8q p 7, 5, 6q 6 Antag nu, att vi söker avståndet mellan två parallella plan Avståndet är konstant överallt, och vi kan därför välja valfri punkt P i det ena planet, och söka avståndet mellan P och det andra planet med metoden ovan Samma sak gäller, när vi söker avståndet mellan ett plan och en linje parallell med detta Välj någon punkt P på linjen och sök avståndet mellan P och planet Exempel 4 Linjen px, y, zq p, 3, 3q ` tp,, q är parallell med planet x ` y ` z 3, ty linjens riktningsvektor p,, q är vinkelrät mot planets normalvektor p,, q (skalärprodukten är 0) Avståndet mellan dem är därför detsamma som avståndet mellan planet och punkten P p, 3, 3q på linjen, vilket vi beräknade i exemplet ovan Avstånd till linjer För att finna avståndet mellan en punkt P och en linje, kan man återigen nyttja Projektionsformeln Metoden är väsentligen densamma, som för avståndet mellan en punkt och ett plan Se Figur 7: () Utgå från valfri punkt Q på linjen, och beräkna vektorn QP # 4

Figur 7: Avstånd från punkt till linje Figur 8: Avstånd mellan linjer # () Beräkna dess projektion proj v QP på linjens riktningsvektor v (3) Avståndet mellan punkten och linjen ges av QP # # proj v QP Helt annorlunda går man tillväga, då man önskar beräkna avståndet mellan två linjer Vi demonstrerar metoden genom ett exempel Exempel 5 Linjerna px, y, zq p 5, 3, 4q ` sp, 0, q och px, y, zq p8,, q ` tp6,, q är skeva Detta inses därav, att de ej skär varandra (lätt räkning), samt det faktum att riktningsvektorerna u p, 0, q och v p6,, q ej är parallella Låt oss beräkna minsta avståndet mellan dem Se Figur 8 En godtycklig punkt på vardera linjen är P p 5 s, 3, 4 ` sq respektive Q p8 ` 6t, t, tq Där avståndet är som minst, skall vektorn # PQ p3 ` s ` 6t, t, 3 s tq vara vinkelrät mot både u och v Detta ger ekvationssystemet # 0 p, 0, q p3 ` s ` 6t, t, 3 s tq 9 5s 4t 0 p6,, q p3 ` s ` 6t, t, 3 s tq 83 ` 4s ` 4t, med lösningen s 3 och t De två punkter på linjerna, som ligger närmast varandra, är P p, 3, q och Q p,, 3q Avståndet mellan linjerna är PQ # p,, q 3 5

Övningar Visa, att de två planen x ` y ` z och x ` y ` z är parallella, och sök avståndet dem emellan Visa, att linjen px, y, zq p, 3, q ` tp3,, 0q är parallell med planet x ` 3y z 5 0 Sök avståndet mellan dem 3 Beräkna avståndet från punkten p3,, 0q till det plan, som går genom punkterna p, 3, 0q och p,, q, samt är parallellt med linjen px, y, zq p,, q ` tp,, q 4 Vilken punkt i planet genom punkterna p, 3, q, p,, 0q och p, 3, q ligger närmast punkten p,, q? 5 Rymdrebellerna Lukas Molnpromenerare och Hans Ensamvarg är ute på bevakningsuppdrag Var och en av dem spejar över ett plan i rymden, med order att nedskjuta alla fientliga farkoster inom detta I Rymdimperiets ohciella koordinater har dessa plan ekvationerna x ` y ` 3z respektive x y ` z (a) Prinsessan Laila är en nyckelperson i frihetskampen, och skall därför stå under dubbel bevakning Vilken linje skall hon färdas längs, för att beskyddas av båda rymdrebellerna? (b) Imperiets ondskefulle kejsare Pampatine färdas längs linjen px, y, zq p,, 0q ` tp,, q Visa, att han därmed undviker upptäckt av den ene av rebellerna, och ange vilken (c) Beräkna avståndet mellan kejsar Pampatines bana och planet denne rebell bevakar 6 Beräkna det kortaste avståndet från punkten p,, 3q till linjen px, y, zq p, 4, 3q ` tp,, q Bestäm även den närmaste punkten på linjen 7 Beräkna det kortaste avståndet mellan linjerna px, y, zq tp 3, 3, q och px, y, zq p, 0, 0q ` tp,, q 6

8 Rymdrebellerna Lukas Molnpromenerare och Hans Ensamvarg färdas med sina rymdskepp längs linjerna px, y, zq p,, 0q ` tp,, q respektive px, y, zq p, 0, q ` tp, 4, q, där t betyder tiden (a) Avgör, huruvida deras banor är sammanfallande, parallella, skeva eller skärande Om de skär varandra, skall skärningspunkten anges (b) I origo befinner sig Rymdimperiets ondskefulle kejsare Pampatine med sin kraftfulla dator Dödshjärnan Han önskar förinta Lukas Molnpromenerare, då denne befinner sig som närmast origo på sin bana Därför programmerar han Dödshjärnan att beräkna vid vilken tidpunkt detta inträvar, vilken den närmaste punkten är samt avståndet till denna punkt Hjälp kejsar Pampatine att besvara dessa frågor (Kejsar Pampatine torde dock bli förbaskad över svaret) 9 Härled en formel för avståndet från punkten P px 0, y 0, z 0 q till planet Ax ` By ` Cz ` D 0 0 En linje passerar genom punkten P och har riktningsvektor v Visa, att avståndet till linjen från punkten Q ges av PQ # ˆ v v 7

Kapitel 3 Linjära avbildningar En vanlig reell funktion f : R Ñ R avbildar varje reellt tal på ett nytt tal Exempelvis avbildar kvadreringsfunktionen x ÞÑ x talet på 4, medan talet avbildas på sig själv Geometriskt transformerar alltså funktionen varje punkt på reella tallinjen till en ny punkt Vi skall nu vidga våra vyer och studera funktioner eller avbildningar i flera dimensioner Analytikerna brukar tala om funktioner, medan algebraikerna föredrar termen avbildning En avbildning T : R Ñ R transformerar således varje punkt i planet till en ny punkt i planet En avbildning T : R 3 Ñ R 3 varje punkt i rummet till en ny punkt i rummet Funktioner och avbildningar finns det gott om Många komplicerade sådana (polynomiella, rationella, trigonometriska, cyklometriska, ) studeras ju inom den endimensionella analysen Vi skall nöja oss med, att studera den allra enklaste klassen av avbildningar i flera dimensioner, de linjära En vanlig reell funktion f : R Ñ R är linjär, om den ges av en simpel formel y ax, där a är någon konstant (Inom analysen brukar visserligen även funktioner av typen y ax ` b anses vara linjära; så ej inom algebran) På motsvarande sätt ges en linjär avbildning i flera dimensioner av en formel Y AX, där A nu är en matris (och X och Y är kolonnmatriser) Många geometriska transformationer visar sig vara linjära till sin natur, exempelvis projektioner, speglingar och rotationer Mer komplicerade funktioner behandlas inom den flerdimensionella analysen 8

3 Geometrisk tolkning 3 Avbildningsmatriser Definitionen av en linjär avbildning är något teknisk: Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R 3 Ñ R 3 ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla skalärer a, b P R och alla vektorer u, v P R (eller u, v P R 3 ) Vårt första mål är att beskriva linjära avbildningar med hjälp av matriser Låt alltså T vara en linjär avbildning Antag, att x u x e ` x e px, x q x är en godtycklig vektor i planet Enligt lineariteten avbildas u på T puq T px e ` x e q x T pe q ` x T pe q Den transformerade vektorn T puq beror alltså entydigt på bilderna T pe q och T pe q av de två basvektorerna Sätt T pe q pa, bq och T pe q pc, dq: ax T puq x pa, bq`x pc, dq pax `cx, bx ` cx a c x `dx q bx ` dx b d x Då vektorer skrivs som kolonnmatriser, betyder alltså avbildningen T helt a c enkelt multiplikation med avbildningsmatrisen, vars kolonner är b d bilderna T pe q och T pe q Motsvarande gäller för en avbildning i rummet: Sats formeln Den linjära avbildningen T : R Ñ R (eller R 3 Ñ R 3 ) uttrycks med Y AX, där kolonnmatrisen X ger koordinaterna för en vektor u, kolonnmatrisen Y ger koordinaterna för T puq, och kolonnerna i avbildningsmatrisen A är T pe q, T pe q (och T pe 3 q) Exempel Som ett första exempel kan vi betrakta den tredimensionella avbildningen T med matrisen 0 T 0 0 0 9

Direkt ur matrisen kan vi avläsa, att basvektorerna e, e och e 3 avbildas på p,, q, p0,, 0q respektive p, 0, 0q (kolonnerna i T ) Vektorn u p,, 0q transformeras till 0 T puq 0 3 0 0 0 Två naturliga problem inställer sig nu Hur kan en given avbildningsmatris tolkas geometriskt? Hur bestäms matrisen för en given geometrisk avbildning? Dessa frågeställningar utredes i de kommande avsnitten 3 Lustiga huset Här följer nu några enkla geometriska exempel på linjära avbildningar i planet Se Figur Identitetsavbildningen: 0 E 0 Här är Epe q p, 0q e och Epe q p0, q e Alla vektorer (och punkter) avbildas på sig själva Skalning med faktorn : 0 A 0 Här är Ape q p, 0q e och Ape q p0, q e Alla vektorer sträcks ut till dubbla sin längd 3 Töjning med faktorn i x-led: 0 B 0 Här är Bpe q p, 0q e och Bpe q p, 0q e Avbildningen töjer varje vektor horisontellt med faktorn Den vertikala komponenten påverkas inte 0

4 Skjuvning med faktorn i x-led: C 0 Här är Cpe q p, 0q och Cpe q p, q 5 Vridning vinkeln θ moturs: cos θ R sin θ sin θ cos θ 6 Spegling i x-axeln: 7 Projektion på x-axeln: S 0 0 0 P 0 0 33 Basbyte Givet en bas, så ges en linjär avbildning av multiplikation med avbildningsmatrisen enligt formeln Y AX Men avbildningsmatrisen är inte fix, utan förändrar utseende när man byter bas I det föregående avsnitten utgick vi från standardbasen e p, 0q och e p0, q i planet (och motsvarande för rummet) Nu ämnar vi beskriva evekterna av ett basbyte på avbildningsmatrisen Metoden för att analysera en godtycklig avbildning är nämligen, att byta till någon bas, i vilken avbildningsmatrisen antager en särskilt enkel form Vi påminner om de allmänna principerna för basbyte I planet arbetar vi ständigt med koordinater givna relativt standardbasen e, e Den förutsättes alltid ortonormerad (för att få enkla formler för skalär- och vektorprodukt) Införandet av en ny bas enligt # e ae ` be e ce ` de kodas av basbytesmatrisen a Q b c d

Figur : Exempel på linjära avbildningar

Observera följande I matrisen för en linjär avbildning ges första kolonnen av bilden av första basvektorn, &c I basbytesmatrisen ges första kolonnen av den nya första basvektorn, &c Det är alltså väsentligen samma princip Koordinatbyte sker enligt formeln X QX, där X anger koordinaterna för en vektor i den gamla basen och X anger koordinaterna för samma vektor i den nya basen Antag nu, att avbildningen T : R Ñ R ges av matrisen A i standardbasen Om kolonnmatrisen X ger koordinaterna för vektorn u i standardbasen och Y ger koordinaterna för T puq, så gäller att Y AX Efter koordinatbytet har u koordinaterna X och T puq koordinaterna Y Sambanden X QX och Y QY ger QY Y AX AQX ô Y Q AQX I de nya koordinaterna beskrivs alltså avbildningen T av multiplikation med matrisen Q AQ, vilket därför är avbildningsmatrisen i den nya basen: Sats Låt en avbildning ha matrisen A i någon bas Avbildningsmatrisen i en ny bas, där basbytet kodas av basbytesmatrisen Q, är A Q AQ Exempel Avbildningen T har matrisen A? i standardbasen För att analysera denna geometriskt, inför vi en ny bas enligt $ & e a? pp `?qe ` e q 4 ` % e a? p e ` p `?qe q 4 ` Basbytesmatrisen är Q ` a? 4 `? `?, 3

vilken är ortogonal, ty Q Q Avbildningsmatrisen i den nya basen är ` a? 4 `? `? A Q AQ 0 0 Av denna övernaturligt simpla form (givet det invecklade basbytet) sluter vi, att T helt enkelt betyder spegling i e I exemplet var det väsentligt för den geometriska tolkningen, att den nya basen var ortonormerad Spegling sker nämligen alltid ortogonalt mot den linje eller det plan, som speglas i I en snedvinklig bas skulle matrisen A inte längre betyda spegling, utan något mer komplicerat Av denna anledning vill man oftast byta till en ny ortonormerad bas Läsaren ställer sig nu kanske med rätta frågan, hur man får sina avbildningsmatriser att antaga en så behaglig form, som i exemplet ovan Hur finner man den magiska basen? Svaret ges inte här, men det finns en systematisk metod (teorien för diagonalisering och egenvektorer), som undervisas i mer avancerade kurser i linjär algebra Övningar Betrakta avbildningen 3 T 4 (a) Bestäm bilderna av basvektorerna under T (b) Bestäm bilden av vektorn p, q (c) Vilka vektorer avbildas på p, 0q? Hur transformeras smileyn under avbildningen 0? 0 3 Hur transformeras smileyn under avbildningen? 4

4 Tolka geometriskt avbildningen? 3? 3 5 Tolka geometriskt avbildningen? 6 Tolka geometriskt avbildningen 0 0 3 7 Tolka geometriskt avbildningen 0 0 0 0 0 0 0 8 Avbildningen T har matrisen A 5 4 i standardbasen (a) Visa, att en ny ortonormerad bas ges av $ & e? 5 pe ` e q % e? 5 p e ` e q (b) Bestäm matrisen A för T i denna nya bas (c) Tolka avbildningen geometriskt 9 Låt T vara den linjära avbildning, som i standardbasen har matrisen A 5 6 5 5

(a) Inför en ny bas enligt $ e &? 6 pe e ` e 3 q e? pe e 3 q % e3? 3 pe ` e ` e 3 q Visa, att denna nya bas är ortonormerad (b) Finn avbildningsmatrisen för T i den nya basen (c) Tolka avbildningen T geometriskt 0 Avbildningen T har matrisen 5 5 0 5 8 8 7 6 i standardbasen Vad är matrisen för T i den bas, som ges av $ & e e ` 3e ` e 3 e 3e ` 4e ` e 3? % e3 e ` e ` e 3 Tolka avbildningen geometriskt (Detta är möjligt, trots att den nya basen ej är ortonormerad) Visa följande för en linjär avbildning T : (a) T pu ` vq T puq ` T pvq för alla vektorer u, v; (b) T pauq at puq för alla vektorer u och reella tal a; (c) T p 0q 0 Visa, att avbildningen inte är linjär T px, yq px ` y, x ` yq 3 Algebraisk framställning Vi beskriver nu, för tre mycket vanliga typer av geometriska avbildningar, hur avbildningsmatrisen låter sig beräknas Dessa är: projektion, spegling och rotation (vridning) 6

Figur : Projektion på linjen px, yq tp, q 3 Projektion Vi skall inleda med att studera projektion på en linje och på ett plan Det är mycket viktigt att notera, att den linje eller det plan, som man projicerar på, måste passera genom origo Ty annars kommer inte origo att projiceras på sig själv, och detta är ett nödvändigt krav på en linjär avbildning (övning 3 i förra avsnittet) Vi påminner om det viktiga verktyget Projektionsformeln proj v u u v v v, som ger projektionen av vektorn u på vektorn v Exempel 3 Vi söker matrisen för projektionen P på linjen px, yq tp, q Se Figur En godtycklig vektor px, yq projiceras på px, yq p, q Ppx, yq proj p,q px, yq p, q p, q x ` y p, q 5 5 px ` y, x ` 4yq x ` y x 5 x ` 4y 5 4 y Projektionsmatrisen är därför 5 4 Exempel 4 Vi söker matrisen för projektionen P på planet x z 0 Se Figur 3 Projektionen av en godtycklig vektor px, y, zq på planets normalvektor p, 0, q är proj p,0, q px, y, zq px, y, zq p, 0, q p, 0, q 7 p, 0, q x z p, 0, q

Figur 3: Projektion på planet x z 0 och projektionen ned i planet ges av Ppx, y, zq px, y, zq proj p,0, q px, y, zq px, y, zq x z p, 0, q px ` z, y, x ` zq x ` z y 0 x 0 0 y x ` z 0 z Projektionsmatrisen är därför 0 0 0 0 3 Spegling För spegling används väsentligen samma metod som för projektion Åter gäller, att den linje eller det plan, som vi speglar i, måste passera genom origo, för att avbildningen skall vara linjär Det fundamentala verktyget är återigen Projektionsformeln Exempel 5 Vi söker matrisen för speglingen S i linjen px, yq tp, q Se Figur 4 Projektionen av vektorn px, yq på linjen är, enligt Exempel 3, proj p,q px, yq px ` y, x ` 4yq 5 Projektionen på linjens normalvektor är varför speglingen av px, yq i linjen är px, yq proj p,q px, yq, 8

Figur 4: Spegling i linjen px, yq tp, q Spx, yq px, yq px, yq proj p,q px, yq proj p,q px, yq px, yq 5 px ` y, x ` 4yq px, yq p 3x ` 4y, 4x ` 3yq 5 3x ` 4y 3 4 5 4x ` 3y 5 4 3 x y Speglingsmatrisen är därför 3 4 5 4 3 33 Rotation Vridning i planet vinkeln θ moturs kring origo har, som vi tidgare sett, matrisen cos θ sin θ sin θ cos θ Exempel 6 Matrisen för vridning vinkeln 60 moturs är cos 60 sin 60?3 sin 60 cos 60? 3 För rotation kring en linje i rummet är det mer komplicerat Vi betraktar först det enklaste fallet, nämligen rotation kring z-axeln Matrisen för vridning vinkeln θ moturs kring z-axeln (sett från spetsen av e 3 ) är cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 9

Basvektorerna e och e vrides på samma sätt som tidigare (första och andra kolonnerna); deras z-koordinater är 0 även efter rotationen Basvektorn e 3 påverkas inte av rotationen, utan avbildas på sig själv (tredje kolonnen) Rotation kring en godtycklig vektor v kan nu behandlas genom att byta till en ny positivt orienterad ortonormerad bas e, e, e3, där e3 v v är en enhetsvektor, som pekar åt samma håll som v I denna nya bas är nämligen avbildningsmatrisen på ovanstående enkla form (Basen måste vara positivt orienterad för att undvika teckenfel, då det är tal om moturs och medurs) Exempel 7 Låt oss finna matrisen för rotation kring linjen px, y, zq tp,, q vinkeln 90 moturs, sett från spetsen av p,, q Som första steg inför vi en ny ortonormerad bas Tredje basvektorn fås genom att normera p,, q: e3? p,, q 3 En vektor som är vinkelrät mot denna är till exempel p,, 0q, vilken normeras till e? p,, 0q Som andra basvektor måste vi då ta e e 3 ˆ e? 6 p,, q Nu blir nämligen e3, e, e positivt orienterade, och därför också e, e, e3 Vektorn e får automatiskt längden, ty om e3 och e är ortogonala med längden, spänner de upp en kvadrat med arean I denna nya bas är avbildningsmatrisen cos 90 sin 90 0 0 0 A sin 90 cos 90 0 0 0 0 0 0 0 Basbytesmatrisen är Q??? 6 3??? 6 3 0? 6? 3, och eftersom basbytet skedde mellan ortonormerade baser, är denna matris ortogonal, det vill säga Q Q?? 0? 6? 6? 6? 3? 3? 3 30

Avbildningsmatrisen i standardbasen är således A QA Q 3 3 ` 3 3? 3 3 `? 3? 3 3 3? 3? 3? 3 3, eftersom A Q AQ enligt formeln för basbyte 34 Sammansättning och invers Låt F vara en avbildning, som beskrivs av multiplikation med matrisen A, och låt G beskrivas av multiplikation med matrisen B Detta betyder att X F ÞÑ AX, X G ÞÑ BX Utförs först G och sedan F, uppnås följande evekt: X G ÞÑ BX F ÞÑ ABX Denna avbildning kallas för den sammansatta avbildningen FG, som alltså har matrisen AB Avbildningen FG betyder transformering först med G, sedan med F (Observera ordningen) Exempel 8 Matriserna för projektion på planet x z 0 och rotation 90 kring linjen px, y, zq tp,, q beräknades i Exempel 4 och 7 till 0 3 3? 3 3 `? 3 0 0 respektive 3 `? 3 3 3? 3 0? 3 3? 3 3 Avbildningen, som består i att först rotera och sedan projicera, har därför matrisen 0 3 3? 3 3 `? 3 0 0 3 `? 3 3 3? 3 3? 3 3 3 `? 3 3 `? 3 3 3? 3 0? 3 3? 3 3 3 ` 3? 3 3 Låt oss nu betrakta en enskild linjär avbildning F med matrisen A Om A är inverterbar, kan vi definiera inversen F som avbildningen med matris A Applicerar vi först F och sedan F, fås X F ÞÑ AX F ÞÑ A AX X? 3 3

Samma sak sker, om vi först applicerar F och sedan F: X F ÞÑ A X F ÞÑ AA X X Det gäller alltså att FF F F E, identitetsavbildningen Avbildningen F transformerar, och F transformerar tillbaka Exempel 9 Vi vet från tidigare, att matrisen cos θ sin θ R θ sin θ cos θ betyder vridning vinkeln θ moturs Geometriskt inser vi, att den inversa transformationen R θ bör vrida tillbaka, alltså betyda vridning vinkeln θ medurs Mycket riktigt finner vi algebraiskt, att R θ har inversen R cos θ sin θ cosp θq sinp θq θ R θ sin θ cos θ sinp θq cosp θq Rotationer är alltså inverterbara En spegling är alltid sin egen invers En projektion kan däremot aldrig vara inverterbar Övningar Bestäm matrisen för projektion på linjen x ` y 0 Bestäm matrisen för projektion på linjen px, y, zq tp,, q, och finn därefter projektionen av vektorn p,, 3q 3 Bestäm matrisen för projektion på planet x ` y ` z 0 4 Bestäm matrisen för spegling i linjen px, y, zq tp,, q, och finn därefter spegelbilden av vektorn p,, 3q 5 Bestäm matrisen för spegling i planet x ` y ` z 0 6 Bestäm matrisen för vridning vinkeln 30 medurs i planet, och finn därefter vad vektorn p, q vrides till 7 Finn matrisen för rotation vinkeln 90 moturs kring x-axeln (i rummet) 8 Finn matrisen för rotation vinkeln 90 moturs kring vektorn p,, q 9 Finn matrisen för rotation vinkeln 45 moturs kring vektorn p0,, q 3

0 Låt T vara den linjära avbildning, som har avbildningsmatrisen Avgör om T är inverterbar, och bestäm i så fall matrisen för T Låt T betyda spegling i planet 3x ` y z 0 (a) Finn avbildningsmatrisen för T i standardbasen (b) Är avbildningen T inverterbar? Motivera svaret Bestäm matrisen för den avbildning, som består i att först spegla i linjen px, yq tp, q och sedan vrida vinkeln 45 moturs 3 (a) Verifiera algebraiskt (genom att multiplicera ihop matriserna), att det för vridningar gäller sambandet Tolka detta geometriskt R α`β R α R β (b) Verifiera för någon speglingsmatris S (från ett exempel eller övning), att S E Tolka detta geometriskt (c) Verifiera för någon projektionsmatris P, att Tolka detta geometriskt P P 33

Facit a Tex p,, 0q, p, 3, 3q och p3, 5, 6q, som svarar mot t 0,, b Ja (t 3 ) Tex px, y, zq p3, 6, 5q ` tp, 3, q 3a Tex px, yq p, q ` tp, q 3b x ` y 3 0 4a Tex p0,, 0q, p0, 0, q och p0,, q 4b Nej 5 3x y ` z 0 6 Ja; planet är x y ` 3z 7 x y z 0 8 Elimineras t, fås ekvationen y y 0 βx0 α ` β α x 9 En parameterform är px, yq p c bt ba a, tq p ca, 0q ` tp, q Riktningsvektorn p, q är ortogonal mot pa, ba bq Skärande längs linjen px, y, zq p,, 0q ` tp5,, 3q Linjerna är skeva 3 Linjerna sammanfaller 4a x y ` z 4b Skärningspunkten är p 3, 3, q (för t )? 6 34

Minsta arean erhålles då t 3a Volymen är absolutbeloppet av determinanten b b b b, b ` b b således b b 3b Vektorerna utgör en bas precis då b b 0, alltså då b 0, 3c Basen är positivt orienterad precis då b b ą 0, vilket sker då b ă 0 eller b ą 4a Sidorna är lika långa och parallella, ty 4b Arean är # AB p6,, 0q DC # och # BC p 3,, q AD # AB # ˆ AD # p6,, 0q ˆ p 3,, q p,, 9q? 9 4c En normalvektor till planet är AB # ˆ AD # p,, 9q, så att ekvationen för planet är på formen x ` y ` 9z k, där konstanten k bestäms genom substitution av tex punkten A i ekvationen: Planets ekvation är x ` y ` 9z 53 k ` ` 9 3 53 5a Med parametern s för den första linjen, fås ekvationssystemet $ # & % s 3t s t ` s t Linjerna skär varandra i punkten p,, q ô s 3 t 5b Linjernas riktningsvektorer har skalärprodukten varför linjerna är ortogonala 6 35 eller 45 p,, q p 3,, q 0, 35

7a 3 p5, 8, q (för t 3 ) 7b 30 Deras normalvektorer är parallella Avståndet är? 3 Linjens riktningsvektor är vinkelrät mot planets normalvektor Avståndet är? 4 3 Planets ekvation är 3x y ` z och avståndet är? 4 4 Planets ekvation är 3x ` y ` z 4 och närmaste punkten är p,, q 5a Prinsessan Lailas bana fås från ekvationssystemet $ # x y ` z # x y ` z & x 5 ` 5t ô ô y 3 4t x ` y ` 3z y ` 4z 3 % z t 5b Substitueras kejsar Pampatines koordinater i ekvationen för Lukas Molnpromenerares plan, fås Linjen och planet saknar skärning p ` tq ` p ` tq ` 3p tq 3 5c Tag valfri punkt i Lukas Molnpromenerares plan, tex Q p, 0, 0q Vektorn till en godtycklig punkt P p ` t, ` t, tq på kejsar Pampatines bana är # QP pt, ` t, tq Projektionen av QP # på planets normalvektor är # pt, ` t, tq p,, 3q proj p,,3q QP p,, 3q p,, 3q 4 p,, 3q p,, 3q 7 enligt Projektionsformeln Det sökta avståndet, mellan kejsar Pampatines bana och Lukas Molnpromenerares plan, är då # proj p,,3q QP p,, 3q 7 7? 4 6 Avståndet är? 3 och närmaste punkten är p, 0, q 7? 4 36

8a Ekvationssystemet $ & ` s t ` s 4t % s ` t har en entydig lösning s, t Linjerna skär varandra därför i punkten p 3,, q 8b Vektorn u p,, 0q går från origo till punkten p,, 0q på Lukas Molnpromenerares bana Projektionen på linjens riktningsvektor är u p,, 0q p,, q p,, q p,, q 3 6 p,, q p,, q Projektionen av u på en vektor vinkelrät mot linjen är därför u u p,, 0q p,, q, 0, Punkten p, 0, q på Lukas Molnpromenerares bana ligger sålunda närmast origo Han passerar denna punkt vid tiden t Avståndet från origo till denna punkt är, 0,? (Ypperligt skottläge, således en halv tidsenhet för sent!)? Ax0`By 9 0`Cz 0`D A `B`C 0 Om θ betecknar vinkeln mellan v och PQ, # så är det sökta avståndet PQ # sin θ PQ v sin θ v PQˆv v 3a T p, 0q p, q, T p0, q p 3, 4q 3b p, 3q 3c p4, q 3 Spegling i linjen x y 33 (Rita figur) 34 35? 3? 3 cos 30 sin 30 cosp 45 q? sinp 45 q sin 30 betyder vridning 30 moturs cos 30 sinp 45 q betyder vridning 45 medurs cosp 45 q 37

36 Töjning faktorn horisontellt och faktorn 3 vertikalt 37 Projektion på xy-planet 38a Basbytesmatrisen Q? 5 är ortogonal, ty QQ E 38b A Q AQ Q 0 AQ 0 0 38c Projektion på vektorn e 39a Basbytesmatrisen Q??? 6 3? 6 0? 3? 6?? 3 är ortogonal, ty QQ E 0 0 0 39b A Q AQ Q AQ 0 0 0 0 39c Avbildningen betyder projektion på e e 3-planet 0 0 30 0 0 0 0 3 Töjning med faktorn längs e och töjning med faktorn 3 längs e3 3a Sätt a b i definitionen 3b Sätt v 0 i definitionen 3c Sätt a b 0 i definitionen 3 Till exempel är T p0, q p, q och T p0, q p4, q För en linjär avbildning måste T p0, q T p0, q 3 38

3, p,, q 3 33 5 6 5 34, p3,, q 3 35 4 4 4 4 6 4 4 36? 3? 3 0 0 37 0 0 0 0 38 4 8 8 4 9 4 7 4 39? `??, ˆ? 3 `,? 3?? `? 30 Inversen existerar med matris 3a Projektionen av vektorn u px, y, zq på planets normal ges av Projektionsformeln: u px, y, zq p 3,, q p 3,, q Spegelbilden av u i planet är p 3,, q 3x ` y z p 3,, q p9x 3y ` 3z, 3x ` y z, 3x y ` zq 39

u u px, y, zq p9x 3y ` 3z, 3x ` y z, 3x y ` zq varur speglingsmatrisen avläses till 7 6 6 6 9 6 9 p 7x ` 6y 6z, 6x ` 9y ` z, 6x ` y ` 9zq, 3b En spegling är alltid sin egen invers (Man kan också lätt kontrollera, att determinanten är nollskild) 3 Speglingen är S 3 4, vridningen är R? och den 5 4 3 sökta matrisen är RS 7 5? 7 33a Vridning först vinkeln β och sedan vinkeln α betyder sammantaget vridning vinkeln α ` β 33b Spegling två gånger i samma plan (eller linje) är ekvivalent med att inte transformera alls 33c Projektion två gånger ned i samma plan (eller linje) är ekvivalent med att projicera en gång 40