Torodd Lunde Verktyg och kvalitet bedömning i två dimensioner Med hjälp av mål, kriterier och matriser kan lärare utveckla sin bedömarkompetens. Modellen som presenteras här använder metaforen verktyg för de kunskaper som avses. Det som ska bedömas blir då både de verktyg som eleven kan hantera och hur funktionella verktygen är för användaren, oavsett matematiskt område. Forskning om bedömning visar att när enbart betyg eller poängsumma används i bedömningen av enstaka arbeten ger det inga eller ibland till och med negativa effekter på lärandet. När enbart kommentarer används påverkar det däremot lärandet positivt. Kombinerar man betyg eller poängsumma med kommentarer försvinner dock den positiva effekten (Skott, Jess & Hansen, 2008). En förklaring till detta är att betyget/poängsumman får eleverna att rikta uppmärksamheten mot sig själva som goda eller dåliga presterare. De högpresterande känner sig tillräckligt bekräftade genom sitt resultat och ser ingen anledning att ta nya utmaningar med risk för att misslyckas, medan de lågpresterande känner sig modfällda. Därmed skapas det med hjälp av kommentarer inte någon inre motivation att försöka utvecklas, vare sig för de högeller lågpresterande (Hodgen & Dylan 2006: 5). Detta är ett problem. Det måste finnas ett väl grundat underlag för betygsättningen samtidig som betyg/poängsumma i bedömningen av enstaka arbeten inte är att föredra om lärandet står i centrum. I didaktisk litteratur skiljer man mellan två olika bedömningar, summativ och formativ, som har olika syften. Summativ bedömning är bedömning av lärande och ska resultera i ett betyg eller omdöme, medan formativ bedömning är bedömning för lärande och ska resultera i ett bättre lärande. Formativ bedömning är önskvärd, men kan inte helt ersätta den summativa. Elever i senare delen av skolan måste i slutändan betygsättas. Båda bedömningssyftena måste därför bejakas. Svårigheten är att skapa en kombination av bedömning som kan bibehålla en positiv effekt på lärandet. Men först måste vi fundera över vad som ska bedömas. 12 Nämnaren nr 3 2010
Förskjutning i kunskapssynen Traditionellt sett har skolmatematiken dominerats av en rad centrala begrepp och färdigheter som eleven ska känna till och behärska. Det kan till exempel vara de fyra räknesätten, bråk, procent, att lösa ekvationer eller beräkna area och volym. Detta har efterhand blivit så förknippat med matematik att det för många är vad matematik handlar om, det vill säga att kunna använda en känd procedur för att komma fram till rätt svar. Under de senaste årtiondena har det däremot skett ett skifte i skolmatematikens innehåll och arbetsmetoder. Utöver att behärska begrepp och färdigheter ska elever också kunna undersöka, beskriva, förklara och förutsäga samband och mönster av olika slag. Denna förändring av skolmatematiken kan beskrivas som en förskjutning från ensidig fokus på ämnets produkter till en ständigt större betoning av ämnets processer. Produkter och processer anger alltså två olika perspektiv på skolmatematik som är relevanta för undervisningen. Denna förskjutning från produkt till process får också konsekvenser för vad det är vi ska bedöma. Ett färdighetsprov med ett antal uppgifter som ska lösas på en given tid där antal rätta svar sedan bildar underlag för en poängsumma och ett betyg är en form av kvantitativ bedömning. Denna bedömningsform är förknippad med den traditionella matematikundervisningen och ser hur väl eleven kan använda en känd procedur för att komma fram till rätt svar. Vill man däremot bedöma elevers kompetenser i att undersöka, beskriva, förklara och förutsäga samband och mönster måste processkunskaper lyftas fram i bedömningen. I så fall är det mer motiverat att använda kvalitativa bedömningsmetoder som kan fånga upp mer av komplexiteten i denna typ av kunskap. Med detta i bakhuvudet ska jag nu beskriva och ge förslag på hur bedömning i skolvardagen skulle kunna utformas och genomföras. För att beskriva mina tankar utgår jag från begreppsparen produkt/process och kvantitet/ kvalitet. Bedömning i två dimensioner ger möjligheter Något förenklat kan vi tala om två olika dimensioner av kunskap, en kvantitativ med procedurer och begrepp som bas och en kvalitativ med processkunskap som bas. För att ge de två dimensionerna en förankring i vardagsspråket använder jag metaforerna verktygslåda och verktygens användning. Med det menar jag de verktyg som eleven kan hantera, respektive hur funktionella verktygen är för användaren, oavsett vilket matematikområde det handlar om. En uppdelning av kunskap i två dimensioner ger mig större möjligheter att bedöma olika aspekter av kunskap separat och därmed utnyttja olika bedömningsverktyg efter behov. Den summativa bedömningen kan huvudsakligen riktas mot kvalitetsaspekter i kunskapen, och mängden funktionella verktyg måste fortfarande utvärderas, men kan i större grad bedömas formativt. Bedömningen tvingar mig på detta sätt att betrakta både produkt- och processkunskaper i undervisningen. Därmed kan inte produktkunskaper bortprioriteras och processkunskaper måste preciseras vad är det som ska bedömas och hur? Nämnaren nr 3 2010 13
Verktygsmål att fylla en verktygslåda med verktyg Den största delen av skolans matematikundervisning rör sig inom områdena taluppfattning, beräkning, geometri, statistik, sannolikhet och algebra. Inom alla dessa områden finns det färdigheter och faktakunskaper, dvs produktkunskaper som eleverna i varierande grad behöver bemästra, bland annat för att i problemlösning kunna undersöka, beskriva och förklara. Vad en funktionell verktygslåda ska eller bör innehålla beror på årskurs och måste konkretiseras och förankras hos eleverna. Detta kan Verktygsmål Taluppfattning För G har du förståelse och kan hantera: hela tal tal i bråkform tal i decimalform Beräkningar För G kan du göra beräkningar/överslag i huvudet, på papper och med miniräknare med: hela tal tal i decimalform procent proportionalitet Tillhörande målkriterier för punkten Taluppfattning, tal i bråkform. För G har du förståelse för och kan hantera tal i bråkform. Verktygsmålet är uppnått när du kan: skilja på täljare och nämnare och deras innebörd jämföra, storleksordna och uppskatta bråks värden skilja på del, hel och andel och skriva en andel som bråk... G strävan ske genom ständiga diskussioner om målens innebörd, kopplingar mellan mål och undervisningsinnehåll eller genom målkriterier som visar vad som krävs för måluppfyllelse. En fördel med målkriterier är att kraven blir konkreta och kan utnyttjas när en elev riskerar att inte nå målen och ett åtgärdsprogram ska upprättas. En nackdel med detaljerade målkriterier är att de fort kan bli alldeles för omfångsrika och därmed avskräckande för elever och lärare, detta gäller särskilt när kunskapskraven blir mer komplexa. Det finns därför goda skäl att bara använda mer detaljerade målkriterier när det handlar om faktaoch färdighetskunskaper (verktygen), och då särskilt för den grundläggande nivån, måttet på det absolut nödvändiga. Här intill ger jag exempel på hur kraven på en funktionell verktygslåda kan se ut för verktygsmål i området taluppfattning och beräkning. I undervisningssekvenser där fokus ligger på produktkunskaper kan lärare rikta bedömningen mot kvantitet, hur många verktyg kan eleven hantera. Formativ bedömning kan då användas för att utveckla elevens färdigheter och faktakunskaper. När eleverna ska få en fingervisning om sin kunskapsutveckling i relation till målen kan en grov skala användas, dels med ett minsta krav för verktygshantering och dels en indikator som visar om verktygshanteringen är väl utvecklad. Denna bedömning är inte avsedd som en definitiv summativ bedömning utan som ett stöd i kommunikationen mellan lärare och elev. Eleven kan själv, med stöd av lärare, uppskatta sitt läge på en axel som i figuren. Finns det målkriterier för G kan dessa användas som underlag för uppskattning om eleven nått de lägsta kravet, medan strävan blir att nå utöver detta. 14 Nämnaren nr 3 2010
Egna skriftliga eller muntliga verktygsprov eller bedömningsaktiviteter kan användas dels i ett diagnostiskt syfte för information om elevers behov och förkunskaper och dels för att hjälpa eleven att bli varse sina egna kunskaper och utvecklingsbehov. I diagnosmaterialet Förstå och använda tal (McIntosh 2009) finns exempel på relevanta uppgifter som diagnostiserar kritiska punkter i elevers kunskapsutveckling. Andra exempel är uppgifter från NP del B1 och diagnosmaterialet Diamant/Briljant. Använder man väl genomtänkta uppgifter kan eleverna lätt diagnostisera sig själva. I responsen kan man kommentera med hjälp av frågor, motexempel eller en vink som kan tydliggöra felaktiga tankesätt. Det är viktigt att uppmana eleverna att ta reda på varför något blev fel, och sedan ge dem tid och möjlighet att undersöka detta. Samtidigt skapas möjligheter för grupp- och klassdiskussioner där olika aspekter av matematik kan lyftas fram och dryftas. Fel och misstag kan därmed bli något värdefullt, en möjlighet att lära och utvecklas. Andra alternativ är att använda praktiska aktiviteter i bedömningen, låta eleverna storleksordna, jämföra och uppskatta värdet på en bunt kort med olika bråk eller uppskatta bråks placering på en tom tallinje. Finns det tydliga målkriterier blir det lätt att variera bedömningen i och med att den enkelt kan riktas mot en bestämd del av innehållet. Bedömningen kan på detta sätt förvandlas till en aktivitet som stöder lärandet och fokuserar på nästa steg, från kan inte till kan. Nedtonas den summativa bedömningen från verktygsdimensionen öppnar det för många rika och utvecklande bedömningsalternativ. Kvalitetsmål att använda verktygen I en kvalitativ bedömning av processkunskaper är det viktigt att tänka över vilka bedömningsredskap som används. Tillhör bedömningsredskapen en annan kunskaps- och bedömningstradition är det risk för att vi inte mäter det vi är intresserade av. I artikeln Bedömningsmatriser en metod för analytisk bedömning (Kjellström, 2005) presenterar Katarina Kjellström bedömningsmatriser som ett sätt att möta efterfrågan på nya bedömningsredskap. Sådana används i delar av bedömningen av de nationella proven. En bedömningsmatris lyfter fram och beskriver olika aspekter av kunskap. Därmed tydliggörs och nyanseras vilka kvaliteter bedömningen avser. Detta skapar bra förutsättningar för att genomföra formativ bedömning. Matrisen är bra att använda som underlag för diskussioner om kvalitet och som utgångspunkt i arbetet med bedömning. Fokus kan flyttas från verktygslådan till verktygens användning från produkt till process, från kvantitet till kvalitet. På nästa sida finns en omarbetning som jag har gjort av en matris för de nationella proven i matematik för årskurs 9. Verktygsmetaforen är inarbetad och den har kopplats samman med det nuvarande betygssystemet. Exempel på uppgifter som är lämpade för denna typ av bedömning är öppna och/eller rika matematiska problem, matematiska undersökningar eller uppgifter från NP del A och del B2 (Larson 2009; Hagland, Hedrén & Taflin 2005; Trygg, L. 2002). Det är problem där lösningsmetoden inte är känd i förväg och som ställer krav på ett matematisk tänkande. Nämnaren nr 3 2010 15
Beskrivning av kvalitet i matematisk verksamhet Förståelse och angreppssätt Genomförande och förståelse av resultat Redovisning och matematiskt språk Kvalitet för G Kvalitet för VG Kvalitet för MVG Du har en idé om vad du ska göra men har svårt att välja verktyg. Du kan använda dina verktyg men det blir ibland svårt. Kommer oftast fram till någon lösning. Du redovisar så att det är förståeligt för andra. Du inser vad du ska göra och väljer lämpliga verktyg. Du använder verktyg bra, men ibland omständligt. Klarar de väsentliga delarna och förstår innebörden av dina resultat. Du redovisar hur du gör. Du förstår vad du ska göra och väljer bra verktyg efter behov. Du kan använda och anpassa verktyg rätt och granskar innebörden av dina resultat. Du redovisar hur du gör och varför du gör det du gör. Du använder ibland det matematiska språket på sätt som inte stämmer med reglerna. Du deltar med argument. Du använder ett matematiskt språk, nästan fullgott. Du använder ett lämpligt matematiskt språk på rätt sätt. Delaktighet i matematiska diskussioner Du förstår och prövar andras förklaringar. Du tar del av andras förklaringar och bidrar med nya infallsvinklar. Till kriterierna i matrisen ovan använder jag uppgifter och tillhörande elevredovisningar från NP för att konkretisera innebörden av de olika kvalitetsaspekterna och nivåerna. I bedömningen av enskilda skriftliga elevarbeten kan kommentarer användas i formativt syfte. Dessa ska ge återkoppling på vad eleven kan och vilka kvaliteter som elevens prestationer visar. Dessutom ska de visa vad eleven bör fokusera på i sitt fortsatta lärande, gärna uttryckt som konkreta mål. Kommentarerna kan skrivas direkt i arbetet. Senare kan eleven själv göra en egen liknande uppgift och lösa den och därigenom visa om det skett en utveckling. En matris som ovan eller en tom matris med plats för kommentarer kan användas som underlag för diskussioner och uppskattningar av kvaliteter i arbeten. Därmed får eleven goda förutsättningar att reflektera över var han står nu och vad han bör fokusera på att utveckla framöver. 16 Nämnaren nr 3 2010
Inför betygsättningen är matrisen bra som underlag för diskussioner med elever om betyg och inför utvecklingssamtal som underlag för kunskapsomdöme. Omdömet och betygsdiskussionen kan då riktas mot kvalitet. Elever som inte visar kvaliteter för G i denna dimension behöver också åtgärdsprogram. Har eleven till exempel svårt att redovisa eller svårt att förstå innebörden i en uppgift kan det bero på språkliga problem eller brister i läsförståelsen. Då kan åtgärdsprogrammet riktas mot dessa problem. Mellan produkt och process Redovisningsuppgifter av mindre komplex karaktär befinner sig mellan de två ytterpunkterna produkt och process. När det inte finns möjlighet att uppvisa så många kvalitetsaspekter i en och samma uppgift kan en gradering av uppgifter användas med avseende på möjligheten att visa kvalitet, vi kan markera uppgifterna som G-, VG- och MVG- uppgifter. G-uppgifter har då stark slagsida mot produktkunskaper och MVG- uppgifter mot process. I och med att uppgifterna redan är graderade behöver enbart kommentarer för återkoppling och framåtsyftning att användas vid bedömningen. Eleven kan i dessa kommentarer få tydlig information om nivån på kvalitetsstandarden. I bedömningen bör eleverna ges möjlighet att diskutera lösningar med varandra, bearbeta kommentarerna och ta reda på vad de måste arbeta med för att utvecklas. Bedömningen blir en del av lärandeprocessen, inte en slutgiltig betygsdom. I denna artikel har jag argumenterat för en uppdelning av bedömning i två dimensioner för att vi ska bibehålla den positiva effekten som kommentarer har på lärandet. Bedömning kan då förvandlas från att bara vara en ensidig bedömning av lärande till att bli en effektiv aktivitet i arbetet med elevernas kunskapsutveckling, en bedömning för lärande. Litteratur Hagland, K., Hedrén R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem inspiration till variation. Stockholm: Liber. Skott, J., Jess, K. & Hansen, C.H. (2008). Matematik for lærarstuderende Delta Fagdidaktik. Frederiksberg: Forlaget samfundslitteratur. Hodgen, J. & William, D. (2006). Mathematics inside the black box. London: nfernelson. Hedenquist, J-A. & Håkansson, J. (2008). Formulera och utvärdera mål. www.ettnet.se/~jan.hed/ bokinfo.html Kjellström, K. (2005). Bedömningsmatriser en metod för analytisk bedömning. I Linström & Lindberg (red) Pedagogisk bedömning. Stockholm: HSL förlag. Larson, M. (2009). 32 Rika problem i matematik. Stockholm: Liber. McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal en handbok. NCM, Göteborgs universitet. Måhl, P. (2005). I förväg uppställda krav. I Linström & Lindberg (red) Pedagogisk Bedömning. Stockholm: HSL förlag. Skolverket (2000). Grundskolan kursplaner och betygskriterier 2000. Stockholm: Skolverket. Trygg, L. m fl (red) (2002). Nämnaren TEMA: Uppslagsboken. NCM, Göteborgs universitet. Tidigare ämnesprov för åk 9 finns på: http://www.prim.su.se/matematik/tidigare_9.html Nämnaren nr 3 2010 17