MA 11 Talteori och logik 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi propositionssymboler: bokstäver konnektiv Paranteser konnektiv negation inte disjunktion eller konjunktion och implikation om ekvivalens p, q,... små Hur starkt de binder Negation starkast...
Uppgifter 401 402 403 404 405 propositionssatser propositionssymbolerna är propositionssatser Om A och B är propositionssatser, så är också A, A Λ B, A V B, A B, A B (p Λ q) ( p V q) sanningstabell tautologi (p Λ q) ( p V q) En propositionssats är en tautologi om den får sanningsvärdet sant för varje kombination av sanningsvärden för de symboler som ingår i satsen Logisk ekvivalens Uppgifter 406 407 408 409 410 411 401 402 403 404 405
412 416 a 411 Predikatlogik Samma symboler som i satslogiken + Kvantorer, Likhet Dessutom Variabler, konstantsymboler, relationssymboler, funktionssymboler Hundar är arga Formalisering För varje djur gäller det att om djuret är en hund så är djuret argt H(x) : x är en hund, x H(x) A(x) A(x): är arg Inga tvetydigheter Kvantorer Förekomst eller existenskvantor det existerar x R : x 2 + 3x + 2 = 0 Universalkvantor för alla 431 432 433 434 2 2 2 a b : ( a + b) = a + b + 2ab bundna variabler
7 Talteori Vi arbetar med de hela talen Vad händer när man dividerar heltal. Delningsekvation Varje positivt heltal n kan skrivas: n = d q+r där d, q, r är heltal och 0 r < d 9/3 = 10/3 = d, devisor q, kvot r, rest n, dividend Delningsrelation Vi säger att d delar n om n/d är ett heltal. d.v.s. om det finns q så att n = d q Talsystem 562 = 500 + 60 + 2 = 5 100 + 6 10 + 2 1 = 5 10 2 + 60 10 1 + 2 10 0 Vi använder beteckningen d n = 1 7 3 + 4 7 2 + 3 7 1 + 2 7 0 = 1432 7 vanliga baser: binära, oktala, hexadecimala Primtal 701 703 705 706 Ett heltal p 2 som inte är delbart med andra positiva heltal än sig själv och talet 1 kallar vi ett primtal. 704 p är ett primtal omm p 2 Om d p så är d = 1 eller d = p
Aritmetikens grundsats Varje heltal n 2 kan skrivas som en produkt av primtal. Denna primtalsuppdelning är entydig bortsett från faktorernas ordningsföljd Det finns oändligt många primtal Eratosthenes såll 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Skriv upp talen 2 till N 11 12Stryk 13talen 14större 15än 16 2, som 17är delbara 18 19 med 202 21 Ta det minsta talet som inte är stuket 22stryk 23alla 24 större 25tal som 26 är 27 delbara 28med 29det talet 30 31 Ta nästa tal som inte är struket och gör likadant 32Fortsätt 33 tills 34 du 35 kommer 36 till 37 talet N 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Vi slutar när vi kommit till 50 = 11 716 717 730 731 732 733 siffror Kongruens Anta att a, b och m > 0 är heltal Vi säger att a och b är kongruenta modulo m om m (a-b) Vi betecknar detta a b (mod m) 735 (om ni inte kan programmera så gör för hand) Kongruens Personnummer 11 3 mod 4 11-3 = 8 = 4 2 dvs 4 (11 3) 25 9 mod 8 25-9 = 16 = 2 8 dvs 8 (25 9) 341 5 mod 7 7 (341-5) Tolkning 11 / 4 ger resten 3 25 delat med 8 kan ge resten 9 141989-151? 141989151 Dividera med 31 och titta vad som blir rest 141989151 = ( ) 31 + r 141989151 r mod 31, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A, B, C, D, E, F, H, J, K, L, M, N, P, R, S, T, U, V, W, X, Y
Om en björn går i ide en dag kl 17 och sover i 2557 timmar. Om man vill veta vid vilket klockslag den vaknar dividerar man först 2557 med 24 och får 2557 = 106 24 + 13, dvs. 2557 13 (mod 24). (17 + 13) = 30 6 (mod 24) Därför är (17 + 2557) (17 + 13) (mod 24) = 6 (mod 24) vilket betyder att björnen vaknar kl 6. Kongruens Anta att a b (mod m) och c d (mod m) Då gäller a + c b + d (mod m) och a c b d (mod m) Exempel stora tal Visa att 2 342 1 är delbart med 7 2 342 = 2 3 114 = (2 3 ) 114 = (8) 114 8 1 mod 7 (8) 114 (1) 114 1 mod 7 dvs (2 3 ) 114 delat med 7 ger resten 1 dvs 2 342 1 är delbart med 7 Sid 124 Kolla eget personnummer 737 738 739 b, c 740 a 741 742 8 Diofantiska ekvationer Förkorta bråket. 2 4 5 15 30 45 Dela täljare och nämnare med största gemensamma faktor 84 140 största gemensamma faktor Heltalet d kallas för den största gemensamma faktor för heltalen a och b om d är det största talet som delar både a och b sgf(a,b) gcd(a,b) Heltalet m kallas den minsta gemensamma multipeln för heltalen a och b om m är det minsta positiva heltalet som är delbart med a och b mgm(a,b)
mgm(2,5) sgf(2,5) mgm(6,9) Anta att a och b är positiva heltal. Då gäller att: mgm(a, b) = ab sgf(a, b) sgf(6,9) Euklides algoritm hitta sgf(255,114) Delningsalgoritmen n = dq + r 255 = 114 * 2 + 27 114 = 27 * 4 + 6 27 = 6 * 4 + 3 6 = 3 * 2 + 0 sgf(255,114) = 3 sgf(n,d) = sgf(d,r) Euklides algoritm Hitta sgf(255,114) Delningsalgoritmen n = dq + r 255 = 114 * 2 + 27 114 = 27 * 4 + 6 27 = 6 * 4 + 3 6 = 3 * 2 + 0 sgf(255,114) = 3 Hitta sgf(n,d) Skriv delningsekvationen för n och d n = dq+r Skriv upp delningsekvationen för d och för divisionsresten. Skriv upp delningsekvationen för divisorn och för divisionsresten från föregående delningsekvation. sgd(n,d) är den sista divisionsresten som inte är noll. 801 802 803 804 805 806 807 815 Fermat's Last Theorem (1996) http://video.google.com/videoplay?docid=8269328330690408516#
Diofantiska ekvationer ax + by = c 45x + 27y = 9 ax + by = c 45x + 27y = 9 Minst två variabler Heltalslösningar Euklides algoritm på a och b 45 = 1 27 + 18 27 = 1 18 + 9 18 = 2 9 + 0 Euklides algoritm på a och b sgf(45, 27) = 9 Baklänges ax + by = c 45x + 27y = 9 45 = 1 27 + 18 27 = 1 18 + 9 18 = 2 9 + 0 sgf(45, 27) = 9 9 = 27-1 18 den ovanför 18 = 45-1 27 Insättning 9 = 27-1 (45 1 27) 9 = 2 27 1 45 x = -1 och y = 2 Löser ekvationen 45x + 27y = 9 Sätt c = 0 Dela med sgf 45x 27y + = 0 9 9 5x + 3y = 0 5x = -3y måste ha gemensam faktor x=3m, y =5n Dessutom gäller att m = -n ax + by = c Diofantiska ekvationer 45x + 27y = 9 x = -1 och y = 2 Löser ekvationen x=3m, y =5n m = -n Ekvationen har lösningarna x= -1 + 3m, y = 2 + 5n y = 2 5m ax + by = c Euklides algoritm på a och b Följ algoritmen baklänges ger 1 lösning Sätt c = 0 Dividera med sgf a x + b y = 0 x = b n y = -a n
7x + 4y = 100 Diofantiska ekvationer 7 = 1 4 + 3 4 = 1 3 + 1 3 = 3 1 + 0 Baklänges 1 = 4-1 3 1 = 4 (7-4) 1 = 2 4-7 Multiplicera med 100 Partikulärlösning x 0 = -100, y 0 = 200 Sätt c = 0 7x + 4y = 0 sgf = 1 x n = 4n y n = -7n Allmän lösning x = -100 + 4n y = 200 7n ax + by = c Ekvationen har heltalslösningar om c är delbar med sgf(a,b) 816 817 818 820 821 Reella tal Algebran har sina regler som finns uppräknade i axiomsystemet Axiomen beskriver alla egenskaper för addition + multiplikation + ordning < noll 0 och ett 1 Algebraiska axiom Kommutativa lagarna a + b = b + a ab = ba associativa lagarna a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c distributiva lagen a(b + c) = ab + ac Neutrala element 0 är neutralt element för addition a + 0 = a 1 är det neutrala elementet för multiplikation 1 a = a
motsatta tal Sats (-a)b = - (ab) För varje a existerar ett b så att a + b = 0 talet b kallas det motsatta talet till a b = - a... För varje a 0 existerar ett b så att a b = 1 talet b kallas det inverterade talet till a b = 1 / a eller b = a -1 201 a Visa att: (a 3 - b 3 ) = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) likhet x = x om x = y så är y = x om x = y och y = z, så är x = z Substitutionsprincipen (ex.) om x = y så f(x) = f(y) Uppgifter Jämförelse 202 203 204 205 201 a Exakt en av följande relationer gäller a < b, a = b eller a > b om a < b och b < c så är a < c om a < b så är a + c < b + c om 0 < a och 0 < b så är 0 < ab Fullständighetsaxiomet
Uppgifter 212 213 223 224 207 208