Ingenjörsmetodik IT & ME 2010 Föreläsning 5

Relevanta dokument
Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Föreläsning 11

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1

Forskningsmetodik 2006 lektion 2

Kort om mätosäkerhet

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

Grundläggande matematisk statistik

EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):

FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 5, a 2 e x2 /a 2, x > 0 där a antas vara 0.6.

F8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

a = a a a a a a ± ± ± ±500

F3 Introduktion Stickprov

Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3

Föreläsning 4. Kapitel 5, sid Stickprovsteori

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

a n β n + a n 1 β n a 0 + a 1 β 1 + a 2 β , x = r β e ; 0.1 r < 1; e = heltal.

13.1 Matematisk statistik

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd

1 Mätdata och statistik

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Vetenskaplig metod och statistik

Vetenskaplig metod och statistik

Uppgift 1. f(x) = 2x om 0 x 1

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab

medelvärdet för tid svarar mot medelvärdet för hastighet

Grundläggande matematisk statistik

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Stockholms Universitet Fysikum Tentamensskrivning i Experimentell fysik för lärare 7.5 hp, för FK2004. Onsdagen den 14 december 2011 kl 9-14.

Ingenjörsmetodik IT & ME 2010 Föreläsning 3. Uppskattningar en effektiv teknisk problemslösningsmetod

Forskningsmetodik 2006 lektion 4 Felkalkyl. Per Olof Hulth

en observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

LAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M

Arbeta med normalfördelningar

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

Studietyper, inferens och konfidensintervall

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

Vad är rätt och vad är fel?

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken

Prediktera. Statistik för modellval och prediktion. Trend? - Syrehalt beroende på kovariater. Sambands- och trendanalys

Datorövning 1: Fördelningar

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

F13 Regression och problemlösning

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

Vetenskaplig metod och Statistik

Tryckfel i K. Vännman, Matematisk Statistik, upplaga 2:13

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer

TENTAMEN Datum: 14 feb 2011

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIKTE- ORIN (INFERENSTEORIN):

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

F9 Konfidensintervall

Hur skriver man statistikavsnittet i en ansökan?

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319)

Mer om konfidensintervall + repetition

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Mer om slumpvariabler

Parade och oparade test

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband

34% 34% 13.5% 68% 13.5% 2.35% 95% 2.35% 0.15% 99.7% 0.15% -3 SD -2 SD -1 SD M +1 SD +2 SD +3 SD

Ingenjörsmetodik IT & ME Föreläsare Dr. Gunnar Malm

Fel- och störningsanalys

Introduktion till statistik för statsvetare

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar

TMS136. Föreläsning 7

Labbrapport svängande skivor

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

Avkoppla rätt en kvantitativ undersökning av parasitinduktans hos olika layoutalternativ

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Fysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Två innebörder av begreppet statistik. Grundläggande tankegångar i statistik. Vad är ett stickprov? Stickprov och urval

Planering för kurs A i Matematik

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

Monte Carlo-metoder. Bild från Monte Carlo

Hur man tolkar statistiska resultat

Föreläsning G60 Statistiska metoder

SF1901 Föreläsning 14: Felfortplantning, medelfel, Gauss approximation, bootstrap

SF1915 Sannolikhetsteori och statistik 6 hp. χ 2 -test

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

faderns blodgrupp sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Avd. Matematisk statistik

Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer

Övningstentamen i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120)

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum Skrivtid

Tentamen i matematisk statistik (92MA31, STN2) kl 08 12

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p)

2 Dataanalys och beskrivande statistik

Transkript:

Ingenjörsmetodik IT & ME 010 Föreläsning 5 Sammansatt fel (Gauss regel) Felanalys och noggrannhetsanalys Mätvärden och mätfel Medelvärde, standardavvikelse och standardosäkerher (statistik) 1

Frågor från förra gången?

Statistik som tekniskt hjälpmedel Ingenjörer tittat på fördelningar och avvikelser inte torra tabeller! 3

Repetition En matematiker, en fysiker och en ingenjör reste med tåg genom Skottland när de såg ett svart får F3 Uppskattningar - en effektiv teknisk genom problemslösningsmetod fönstret. "Aha," säger ingenjören, "skotska får är svarta!". "Hmmm...," säger fysikern, "du menar Tryckte på valet av metod och i praktiken väl egentligen på varifrån att du man nu vet hämtar att det kända finns värden/fakta svarta får i Skottland!". "Nej," Rimlighetsanalysen kan leda till att är att det finns minst ett får i tid/resurser inte är tillräckliga för ett svar av man fåret är är nöjd svart!". med. IDAG gör vi en noggrann beräkning av felet i våra tekniska beräkningar säger matematikern, "det enda vi vet Skottland, och att åtminstone en sida 4

Kopplingen till gymnasiematten Dagens föreläsning Gauss formel för sammanlagda mätosäkerheter använder partiella derivator för att studera inverkan av olika variablers osäkerhet på slutresultatet EXEMPEL om både hastigheten och körsträckan är okända är det svårt att beräkna tiden att nå målet! 5

6 Exempel Gauss formel Formeln beskriver: ett litet fel i funktionen F p.g.a osäkerhet i de uppmätta värdena x och y Osäkerheten betecknas Det värde vi sätter in är oftast det uppskattade mätfelet standardosäkerheten u som fås genom statistisk behandling av många uppmätta värden F F x y x y F + x y, ( ) ( ) ( ) 0 0 + y u y f x u x f f u y y x x c

Exempel Gauss formel I vårt exempel är F restiden t, x vägsträckan s och y bilens hastighet v Dvs: s vt t t s v (, ) t( sv, ) (, ) (, ) t sv 1 t sv s, s v v v t sv s + v s v 7

Exempel Gauss formel Vi kanske kör med 70 km/h med en osäkerhet på 0 km/h Sträckan kanske är 30 km med en osäkerhet på 5km Fråga: bör vi gå över till grundenheter i SIsystemet för kommande beräkning? v 70 km / h v 0 km / h s 30km s 5km 8

Exempel Gauss formel 1 s t s + v v v 1 30 5 + 0 70 70 0.15h 8min 30s t v s 30 5 35, 60 5.7 min, 16.7 min, 70 90 50 4min Minsta värde Medelvärde Största värde 16.7 min 5.7 min 4 min 9

Alternativ metod Lägg ihop de relativa osäkerheterna t t t v s 5 5 + + 0.381lös ut t v s 70 30 t 0.381 5.7 0.381 6.1min 10

Exempel Gauss formel Finns två formler som är användbara om man är osäker på partiella derivator, funkar nästan alltid! För en summa av potenser För en produkt av potenser ( a 1 ) ( b 1 Aax ) 1 x1 Bbx x F + F F x 1 x a + b x 1 x Definition av relativt fel, enhetslöst men procent % ger ett lätthanterligt svar 11

1 Exempel Gauss formel Vilken av formlerna fungerar på det exemplet vi just visade? SVAR: produkt av potenser ( ) 1 1 1 1 + + + + v v s v s v v t s s t t v v s s v v s s t t v s v s t

Hur kan Gauss formel användas För en ingenjör gäller att kraven på produkten måste uppfyllas Detta ska göras på ett sätt som är pålitligt och inte för komplicerat 13

Hur kan Gauss formel användas f 1 π LC Tag en radiomottagarkrets i en mobiltelefon som exempel I 3G gäller det att ställa in rätt frekvens, med hjälp av en induktans (spole) och en kapacitans (kondensator) http://www.umtsworld.com/umts/faq.htm Värdet på L och C bestäms av kretsens layout och varierar något 190-1980 and 110-170 MHz Frequency Division Duplex (FDD, W-CDMA, channel spacing is 5 MHz and raster is 00 khz. 14

Hur kan Gauss formel användas Spolar VCC Kondensatorer Layout och kretsschema 15

Hur kan Gauss formel användas Givna värden för frekvensen L 0.6 ± 0.1nH C 10.0 ± 0.1pF ger Δf f f π 0.01 0.6. 0547 10 1 L L 9 10. 0 10 1 1 1 C + C 0. 6 10 0.01 + 10.0 9. 0547 10 0.0835 eller 0. 0835 01716. GHz 1716. MHz Detta kan uttryckas som 8% variation och är inte tillräckligt bra eftersom kanalseparationen ska vara bara 5 MHz! 9 Hz 16

Mätvärden och mätfel Vad mäter vi? Fysikaliska storheter: Strömmar, spänningar, temperaturer Mer komplicerade storheter som överföringshastighet, bit error rate En ingenjör vill oftast testa sin konstruktion, fungerar enligt kraven eller inte? Se radiokretsexemplet ovan! I produktion vill man undersöka kvaliteten 17

Mätvärden och mätfel Nu går vi in på hur man behandlar resultaten från många mätningar med statistik 1. Grunden är att man använder medelvärden för att uppskatta ett så kallat sant värde. Standardavvikelsen talar om hur mätvärdet varierar 3. Standardosäkerheten talar om hur medelvärdet varierar 18

Mätvärden och mätfel Tre möjliga typer av mätfel 1. Grova fel, felavläsning. Systematiska fel, ex.vis något med mätutrustningen som varierar med temperatur 3. Slumpmässiga fel, kortvariga variationer 19

Mätvärden och mätfel Skillnaden mellan precision och noggrannhet illustrerar konceptet med medelvärde och sant värde 0

Mätvärden och mätfel Medelvärde (aritmetiskt) x Sant värde µ Standardavvikelse s σ Variansen σ Standardosäkerhet u För n st mätningar s n 1

Mätvärden och mätfel Grunden är att man använder medelvärden för att uppskatta ett så kallat sant värde µ Man säger att är en skattning av µ x

Mätvärden och mätfel Standardavvikelsen talar om hur mätvärdet varierar Jämförelsen görs med medelvärdet eller det sanna värdet µ Vi ser från formeln att det spelat stor roll hur många (antalet n) mätningar vi gjort σ 1 n n i 1 ( x x ) n 1 s σ xi x n 1 1 ( ) 3

Mätvärden och mätfel Om vi vill veta hur medelvärdet varierar kan vi också använda standardavvikelsen Vi definierar ett nytt samband som kallas standardosäkerheten Även här spelar antalet n mätningar roll u s n där s beräknas på samma sätt som tidigare 4

Normalfördelningen f(x) Figur 4. 1.5 1 0.5 0 Gaussfördelningen σ0.5 σ0.5 µ0.5-0.5 - -1 0 1 3 x Visar förväntad spridning för två värden på standardavvikelsen Kan uttryckas med välkänd formel, kallas normalfördelning f ( x) σ ( x µ ) 1 σ e π 5

Normalfördelningen Figur 4.3 1 0.8 Gaussfördelningen µ f(x) 0.6 0.4 µ-σ µ+σ 0. µ-σ µ-3σ 0 - -1 0 1 3 x µ+σ µ+3σ Man kan dela in området (arean) under kurvan och ange procenttal för deras respektive sannolikhet 6

Normalfördelningen Sannolikheten att hitta µ i intervallet zσ (ett sigma) är: µ + σ µ + σ ( µ σ, µ σ ) f ( x) dx f ( x) dx 1 0. 68 P + (4.8) µ σ Detta kan jämföras med sannolikheten att hitta ett sant värde i intervallet ( µ σ ) < < ( µ + σ ) x (två sigma) som är: percentage within CI 1σ 68.68949% 1.645σ 90% 1.960σ 95% σ 95.4499736%.576σ 99% 3σ 99.730004% P µ + σ µ + σ ( µ σ, µ σ ) f ( x) dx f ( x) dx 1 0. 954 + µ σ http://en.wikipedia.org/wiki/standard_deviation 3.906 σ 99.9% 4σ 99.993666% 5σ 99.999946697% 6σ 99.999999807% 7σ 99.999 999 999 7440% 7

Exempel på mätvärdesbehandling Exempel Vid vägning av ett antal personer erhölls följande resultat: Massa (kg) 58-6 6-66 66-70 70-74 74-78 78-8 8-86 86-90 Antal 8 45 60 66 41 17 7 8

Exempel på mätvärdesbehandling 70 60 Antal personer 50 40 30 0 10 0 60 64 68 7 76 80 84 88 Massa (kg) 9

Exempel på mätvärdesbehandling Standardavvikelsen s kan beräknas enligt: s m j 1 k ( x) j ξ j n 1 8 j 1 k j v n 1 j 10418.906 65 6.3 ( kg) Svar blir: medelvärdet73.7 kg, standardavvikelsen6.3 kg. 30

Exempel på mätvärdebehandling Histogram Frequency 45 40 35 30 5 0 15 10 5 0 10 0 30 Medel: 33,1 Standardavvikelse: 5,3 40 50 60 70 80 90 0,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,05 0,0 0,015 0,01 0,005 0 Bin Verkligt material gamla tentaresultat, följer inte gaussfördelning helt och hållet Flera resultat ligger utanför 1σ intervallet 31

Sammanfattning Vi har definierat sammansatt fel eller Gauss regel mha partiella derivator Har visat grunderna i statistisk mätvärdesbehandling 3

Nästa föreläsning(ar) Tis 14 sep faller bort pga schemakrock, mer info om detta kommer efterhand Ons, 15 Sep, 10:00-11:45 Gästföreläsning från Annika Tidblad- Ahlberg från Intertek i Kista Årets tema: Batterier Ons, 15 Sep, 13:00-14:45 Richard Nordberg skrivande med särskilt fokus på problemlösande. I ELECTRUM sal C!!! 33

Läxa till nästa gång Installera och aktivera MATLAB från adressen: progdist.ug.kth.se/ Logga in med ditt KTHnamn med tecknen: UG\ framför Inga extra tecken för lösenordet 34

Värdesiffror Vid beräkningar får man ta hänsyn till antalet värdesiffror i de ingående termerna eller faktorerna Värdesiffrorna kan också bestämmas genom en beräkning av det sammansatta felet eller standardosäkerheten! 35

Värdesiffror a) När man presenterar experimentella resultat, är det bara den sista siffran skild från noll som får vara osäker. Exempelvis när man mäter upp höjden av en bokhylla med ett vanligt måttband. Det minsta markerade avståndet är millimeter (mm). Då får man ett mätfel på minst ±0.01 cm, och man har ingen chans att mäta, tex, 11.956 cm. 36

Värdesiffror b) När man avrundar en numerisk siffra, gör man som vanligt: 11.956 till 11.96 och 11.954 till 11.95. 37

Värdesiffror c) Antal signifikanta siffror beror inte på var decimal-punkten ligger, eftersom det beror på val av enhet (meter eller millimeter, t.ex.) och har ingenting att göra med noggrannheten. Det påverkas inte heller av hur man presenterar sina resultat: 11.95 cm har lika många signifikanta siffror (4) som 1.195 10-4 km. En nolla innan den första siffran skild från noll behandlas inte som en signifikant siffra. Men en nolla efter den sista siffran skild från noll påverkar antalet signifikanta siffror. 38