Svängningar och frekvenser Vågekvationen för böjvågor Vågekvationen för böjvågor i balkar såväl som plattor härleds med hjälp av elastiska linjens ekvation. Den skiljer sig från de ovanstående genom att den består av fjärde rumsderivatan av förskjutningen istället för andraderivatan som ovan 4 w w B S 0 (1) 4 x t Där B är balkens böjstyvhet, för rektangulärt tvärsnitt 3 bh B EI E () 1 och S är balkens tvärsnittsarea. I en lång balk är vågekvationens (harmoniska) lösning w w( x, t) wˆ cos( t kx) (3) vilket är samma som för longitudinella vågor. När man sätter in lösningen i vågekvationen kan man lösa ut våghastigheten c f som c f k B S Eh 1 4 4 (4) Vad man kan observera här är det viktiga resultatet att våghastigheten är beroende av frekvensen, ju högre frekvens desto snabbare går vågen. Våghastighetens frekvensberoende kallas dispersion och sambandet ovan kallas dispersionsrelation. För de tidigare nämnda vågtyperna är ju våghastigheten samma oavsett frekvens. Vidare kan man observera att om frekvensen går mot oändligheten, vilket är fysikaliskt möjligt, så går hastigheten också mot oändligheten, vilket inte är fysikaliskt möjligt då information inte kan färdas snabbare än ljuset. Dessförinnan sätter dock teorin begränsningar i att antagandena hos balkteorin som ligger till grund för elastiska linjens ekvation inte längre gäller. Våglängden, som ska vara betydligt längre än balkens tjocklek, minskar med högre frekvens. 1
Figur från boken Ljud och vibrationer (Bodén m fl.) Egensvängningar i balkar Egensvängningar i balkar inträffar om balkens våglängd (utböjningsformen) stämmer överens med avståndet mellan stöden, se figuren nedan. För en fritt upplagd balk gäller att den lägsta egenfrekvensen inträffar om exakt en halv våglängd ryms på balkens längd, L = /. Då är f k (6) c Figur 1. Utböjningsform för lägsta egenfrekvensen i böjsvängningen. Från de uttrycken kan vi lösa ut egenfrekvensen för den lägsta egenfrekvensen f 0 1 Eh (7) L 1 Man får alltså en egenfrekvens för svängning i horisontalled och en för svängning i vertikalled genom att byta ut h från höjd till bredd. Högre egenfrekvenser, den n:te, kan man få genom att
multiplicera f 0 med n, där n =, 3, 4 osv, så att f n = f 0 n. Mest rörelseenergi finner man dock vid den lägsta egenfrekvensen, så den är mest intressant att studera och lättast att hitta. För en konsolbalk ser svängningarna lite annorlunda ut Figuren är från boken Ljud och vibrationer (Bodén m fl.) och visar olika svängningsformer som är kopplade till respektive egenfrekvens. Den viktigaste är i regel den lägsta då den innehåller mest rörelseenergi. Det kan dock vara viktigt om någon drivfrekvens skulle sammanfalla med någon av egenfrekvenserna. Den här typen av svängningar behandlas mera utförligt i kursen Strukturdynamik som ges vid Byggnadsmekanikavdelningen. Lite om frekvensanalys Egenfrekvenser hos strukturelement eller hela strukturer är viktiga att identifiera eftersom energi lätt fortplantar sig och vi får stora rörelser vid dessa frekvenser. Om man vill undersöka egenfrekvenser så kan man excitera den, antingen genom att utsätta den för en sinusformad kraft där man sveper frekvensen eller med en plötslig impuls som man åstadkommer genom att knacka på den. När man knackar på en balk så exciterar man alla frekvenser på en gång och de frekvenser som blir kvar i balken en stund efter excitationen är egenfrekvenserna. Alla andra frekvenser dämpas snabbt ut. Genom att mäta rörelsen med accelerometer som mäter accelerationen som funktion av tiden och studera frekvensinnehållet kan man uppskatta utminstone de lägsta egenfrekvenserna. Matematiskt kallar man detta för en Fouriertransform när man tar en tidssignal och transformerar den till en frekvenssignal. Den definieras som F it ( ) p( t) e dt (8) och finns tabellerad för många tidsfunktioner p(t). Den nya funktionen F() visar alltså funktionen p:s frekvensinnehåll. Frekvensanalys använder man förstås också för ljudtrycksmätningar och mätinstrument klarar av att göra denna i realtid så att man ser frekvensinnehållet i en signal samtidigt som man mäter den. En Fouriertransform är en linjär transformation, vilket medför att Fouriertransformen för en sammansatt signal är summan av Fouriertransformerna för delsignalerna. Fouriers teorem säger att alla periodiska signaler kan uttryckas som en summa av sinus- och cosinusfunktioner med olika amplituder och frekvenser. Mer om frekvensnalys i kursbokens andra kapitel. 3
Medelvärdesbildning av mätningar När man genomför mätningar av ljudnivå, efterklangstid eller acceleration är det viktigt att göra flera mätningar eftersom mätresultatet varierar av olika anledningar. Medelvärdesbildning av flera ljudmätningar görs genom att lägga ihop ljudsignalerna enligt okorrelerad addition. L medel 10 10log 10 10 10 n L 10 L L3 10 1... (9) där n är antal mätningar. 4
Uppgifter 1. Järnvägsräls på svenska stambanan har följande data: tvärsnittsarean S = 63.710-4 m och yttröghetsmomentet I b = 045 10-8 m 4. Materialdata för stål är E = 00 GPa, = 0.3 och = 7800 kg/m 3. Beräkna böjvågens våglängd vid frekvenserna 100 Hz, 1 khz och 10 khz. (Exempel 6-8 från boken Ljud och vibrationer Bodén m fl.). En stålplatta med tjockleken mm svänger genom att böja sig och sänder ut ljud. a) För vilken frekvens är våghastigheten samma för luft som för böjvågen i plattan? Över denna frekvens kallas supersoniskt område. b) Vilket våglängd har böjvågen vid koincidens? c) Vilken frekvens har ljudet som sänds ut från plattan? d) Vilken våglängd har ljudet som sänds ut från plattan? e) I vilken riktning sänds ljudet ut från plattan? 3. Beräkna koincidensfrekvensen för en gipsskiva med koincidenstal 3 m/s och tjockleken 13 mm. 4. Järnvägsräls monteras på tunga betongsyllar. Syllarna placeras i spårbredden med ett inbördes avstånd a på ungefär 0.65 m. Varje sylls massa medför att utbredningen av de böjvågor som genereras då tågets hjul rullar på rälen försvåras. Vid de frekvenser där halva böjvåglängden i rälen är lika med ett helt antal syllavstånd a kan dock böjvågorna spridas på stora avstånd från källans. Vilken är den lägsta av dessa frekvenser? (Exempel 6-11 från boken Ljud och vibrationer Bodén m fl.) 5. I gamla westernfilmer kan man se hur tågrånarna lyssnar efter tåget genom lyssna på rälsen. Fungerar detta verkligen i verkligheten? 6. Skissa hur frekvensspektrum ser ut för följande signaler a) p a (t) = A sin(10t) b) p b (t) = B sin(3t) c) p c (t) = p a (t) + p b (t) d) Brus e) Total tystnad 7. Beräkna medelvärdesbildad ljudnivå från fem mätningar med följande resultat: L 1 = 60.5 db, L = 61. db, L 3 = 65.1 db, L 4 = 6.0 db, L 5 = 61.1 db 5
Svar 1. b = 4. m vid 100 Hz, b = 1.34 m vid 1 khz och b = 0.4 m vid 10 khz. a) f c = 6300 Hz b) c = 54 mm c) f l = 6300 Hz d) c = 54 mm e) Parallellt med plattans yta (strykande) 3. f c =.5 khz 4. f = 1070 Hz 5. Ja, det fungerar i verkligheten. Ljudet färdas längre sträcka genom stålrälen dels eftersom materialdämpningen i stålet är liten och dels för att vågutbredningen är endimensionell till skillnad från den sfäriska utbredningen i luft. 6. 7. L m = 6.3 db. Rak medelvärdesbildning skulle ge 6.0 db. 6