TANA09 Föreläsning 8 Approximerande Splines B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor. Design av kurvor och ytor. Tillämpning - Matematisk typografi. 10 december 2014 Sida 1 / 29
Kubiska splines s 1 s 2 s 3 s 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Definition En funktion s(x) är en kubisk spline med noder x 1,...,x n om 1. s(x), s (x), och s (x) är kontinuerliga på [x 1, x n ]. 2. s(x) ges av ett tredjegrads polynom på varje delintervall [x i, x i+1 ]. 10 december 2014 Sida 2 / 29
Lemma Mängden kubiska splines S, med noder x 1,...,x n, utgör ett linjärt rum av dimension n+2. Hittar vi n+2 linjärt oberoende kubiska spline funktioner har vi en bas för rummet. Hur skall en lämplig uppsättning basfunktioner väljas? Man kan på liknande sätt bilda rum av linjära eller kvadratiska splines men det används nästan aldrig. 10 december 2014 Sida 3 / 29
B-Splines Sats Låt x 1,...,x n vara givna noder. Till varje intervall [x i, x i+4 ] finns en kubisk spline funktion B i (x) med egenskaperna 1. B i (x) = 0 för x x i och x x i+4. 2. B i (x i+1 ) = B i (x i+3 ) = 1/6 och B i (x i+2 ) = 2/3. Denna funktion kallas för den kubiska B-spline funktionen. Sats Låt x 2, x 1,...,x n+2, x n+3 vara noder. Om{B i (x)} n 1 i= 2 är kubiska B-splines gäller att de bildar en bas för rummets och n 1 i= 2 B i (x) = 1, x 1 < x < x n. 10 december 2014 Sida 4 / 29
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 Exempel Låt B(x) vara den naturliga kubiska spline funktion som interpolerar tabellen, x -2-1 0 1 2 B(x) 0 1/6 2/3 1/6 0 Om noderna x 2,...,x n+3 är ekvidistanta, med steglängd h=x 2 x 1, så gäller att B i (x) = B((x x i )/h). 10 december 2014 Sida 5 / 29
x 2 x 1 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Alla B-spline basfunktioner som behövs för intervallet x 1 < x < x 5. Totalt 7 basfunktioner behövs för att beskriva rummets. Vi har alltså S = span(b 2 (x), B 1 (x),...,b 4 (x)). 10 december 2014 Sida 6 / 29
Minsta Kvadrat Anpassning med Splines Exempel Vi vill studera koncentrationen av ett visst kemiskt ämne i ett vattendrag. Vi har därför placerat ut ett instrument som mäter koncentrationen fyra gånger dagligen, under 100 dagar. Vi är intresserade av att behandla den uppmätta signalen teoretiskt, exempelvis vill vi kunna beräkna derivator vid olika tid punkter. Mätningarna innehåller även en del slumpmässiga mätfel. Dessa vill vi i möjligaste mån eliminera. 3 2.8 2.6 Koncentration [g/m 3 ] 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tid [dag] 10 december 2014 Sida 7 / 29
Vi väljer ett grovt grid x 2 < x 1 < < x N+3 sådant att x 1 = 0 och x N = 100. Antalet grid punkter bestämmer hur mycket detaljer spline approximationen kommer att innehålla. Ansats F(t) s(x) = N 1 c i B i (x). i= 2 Vi väljer nu ett fint grid 0=x 1 <x 2 <...<x 1 <x n=100, som svarar mot mätningarna, dvs F i = F(x i ) är kända. Formulera problemet att bestämma koefficienterna c som ett överbestämt ekvationssystem Ac = F. 10 december 2014 Sida 8 / 29
3 2.8 2.6 Koncentration [g/m 3 ] 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tid [dag] Resultatet med steglängd h 1 = 5 dagar, eller 23 B-spline basfunktioner. Approximationen är bra förutom nära de två spikarna! Utöka med ett par extra basfunktioner med h 2 = 2 nära spikarna. 10 december 2014 Sida 9 / 29
3 2.8 2.6 Koncentration [g/m 3 ] 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tid [dag] Approximation med totalt 29 basfunktioner. Förutom de 23 funktionerna med h 1 = 5 används 3 basfunktioner med h 2 = 2 nära varje spik. Mycket flexibelt sätt att approximera en vektor innehållande mätvärden med en deriverbar funktion. Styckvis polynom gör det enkelt att beräkna derivator eller integraler. 10 december 2014 Sida 10 / 29
Ett enkelt Ritprogram De flesta ritprogram, exempelvis xfig, innehåller en funktion där vi ritar krökta linjer genom att klicka på ett antal punkter. Detta är inte en funktions kurva y = f(x). Hur skall vi göra istället? 10 december 2014 Sida 11 / 29
Parametriska kurvor Definition En parametrisk kurva i planet ges av s(t) = (x(t), y(t)) Ț a < t < b. Varje kurva i planet beskrivs alltså av två funktioner x(t) och y(t). För en kurva ir 3 tillkommer en tredje funktion z(t). 10 december 2014 Sida 12 / 29
Exempel Vi vill att en kurva s(t) skall interpolera ett antal givna punkter. P 4 = (x 4, y 4 ) T P 3 = (x 3, y 3 ) T P 1 = (x 1, y 1 ) T P 2 = (x 2, y 2 ) T Kurvan s(t) skall interpolera punkterna P 1, P 2, P 3, och P 4. 10 december 2014 Sida 13 / 29
Välj ett parameter interval a = t 1 t t 4 = b och bestäm två kubiska spline funktioner som interpolerar tabellerna och t t 1 t 2 t 3 t 4 x(t) x 1 x 2 x 3 x 4 t t 1 t 2 t 3 t 4 y(t) y 1 y 2 y 3 y 4 Då gäller s(t i ) = (x(t i ), y(t i )) T = (x i, y i ) T = P i. Kurvan s(t), a t b, interpolerar de givna punkterna. 10 december 2014 Sida 14 / 29
Exempel Hitta en kurva som interpolerar punkterna använd naturliga ändpunktsvillkor. t 0 1 3 5 x(t) 8.3 6.0 2.1 2.2 y(t) 4.8 2.8 3.7 7.3 I MATLAB kan ginput() användas för att klicka ut punkter och enkelt skapa tabellen. 10 december 2014 Sida 15 / 29
Givet vektorer t, x, och y skriver vi >> px = csape(t,x, variational ); >> py = csape(t,y, variational ); >> tt=0:0.1:5; >> plot( ppval(px,tt), ppval(py,tt), b- ); >> plot( x,y, r+ ); Resultatet blir en kurva som interpolerar tabellen 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 december 2014 Sida 16 / 29
Inverkan av ändpunktsvillkoren Definition Kurvans tangent i punkten s(t) är s (t) = (x (t), y (t)) T. Kurvans tangent visar kurvans riktning i en viss punkt. Exempel Använd samma tabell som tidigare men välj s (0) = (1, 1) T, och s (5) = ( 2, 1) T. Vad händer? 10 december 2014 Sida 17 / 29
Givet vektorer t, x, och y skriver vi nu >> px = csape(t,x, complete,[1-2]); >> py = csape(t,y, complete,[-1 1]); >> tt=0:0.1:5; >> plot( ppval(px,tt), ppval(py,tt), b- ); >> plot( x,y, r+ ); 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 Kurvans tangent riktning ändras i ändpunkterna! 10 december 2014 Sida 18 / 29
Beziér kurvor Definition En Beziér kurva (eller yta) bestäms av ett antal styrpunkter. Exempel P 2 P 2 P 1 P 1 P 3 En linjär Beziér kurva bestäms av två styr punkter. En kvadratisk kurva bestäms av tre punkter. Beziér kurvor är approximerande splines. 10 december 2014 Sida 19 / 29
Kubiska Beziér kurvor En kubisk Beziér kurva ges av fyra styrpunkter. P 2 P 3 P 4 P 1 Kurvan ges av uttrycket s(t) = (1 t) 3 P 1 + 3(1 t) 2 tp 2 + 3(1 t)t 2 P 3 + t 3 P 4. Lemma En kubisk Beziér kurva s(x) interpolerar den första och sista styrpunkten. Alltså gäller s(0) = P 1 och s(1) = P 4. 10 december 2014 Sida 20 / 29
Definition Det konvexa höljet som bildas av punkterna {P i } n i=1 är alla punkter som kan skrivas som konvexa linjär kombinationer av punkterna {P i } n i=1. Exempel Vad blir det konvexa höljet av punkterna ( ) ( ) 0 2 P 1 =, P 0 2 =, och P 1 3 = ( 1 3 ). Sats En Beziér kurva ligger helt inom det konvexa höljet som bildas av dess styrpunkter. 10 december 2014 Sida 21 / 29
Sats För en Beziér kurva med styr punkter {P i } n i=1 gäller att kurvans tangent i start, respektive slutpunkt, ges av s (0) = α(p 2 P 1 ), och s (1) = α(p n P n 1 ), därα > 0. Vi kan allstå enkelt styra kurvans lutning i ändpunkterna. P 2 P 3 P 7 P 4 P 1 P 5 P 6 Två kubiska Beziér kurvor som ges av styrpunkter {P 1, P 2, P 3, P 4 } respektive {P 4, P 5, P 6, P 7 }. Interpolationspunkten P 4 är gemensam. Villkoret P 4 P 3 =P 5 P 4 garanterar att kurvans tangent är kontinuerlig. 10 december 2014 Sida 22 / 29
Vektoriserade Fonter För att ett dokument skall kunna tryckas på olika skrivare med varierande upplösning måste vi kunna generera bitmap bilder som representerar bokstäver i olika upplösning. Exempel Tre bokstäver från Computer Modern Hur skall bokstävernas form representeras? 10 december 2014 Sida 23 / 29
Exempel För att representera bokstaven e inför vi ett antal styrpunkter på kurvan. 50 50 100 100 150 150 200 200 250 250 300 300 350 350 50 100 150 200 250 300 50 100 150 200 250 300 Välj först ett par interpolationspunkter och sedan extra styrpunkter. 10 december 2014 Sida 24 / 29
Välj först interpolationspunkterna och plotta linjestycket. >> P=[ 74 276 179 172 172 24]; >> plot( P(1,1:2),P(1,1:2) Vi väljer sedan styrpunkter >> C = [ 74 105 255 276] 110 24 24 110]; och kan exempelvis rita en streckad linje mellan interpolationspunkt P 1 och styrpunkt C 1 med >> plot([p(1,1),c(1,1)],[p(2,1),c(2,1)], r-- ) 10 december 2014 Sida 25 / 29
50 50 100 100 150 150 200 200 250 250 300 300 350 350 50 100 150 200 250 300 50 100 150 200 250 300 Slutresultatet med eller utan styrpunkterna utritade. Totalt behövs 2 Linjestycken och 11 Beziér kurvor för att beskriva bokstaven. Font paket är inte särskilt stora. 10 december 2014 Sida 26 / 29
Beziérytor Inför interpolationspunkter P 1, P 2 och P 3 samt styrpunkter C 1, C 2 och C 3. En kvadratisk yta ges av uttrycket s(x, y) = P 1 x 2 + P 2 y 2 + P 3 (1 x y) 2 + C 1 2xy+ C 2 2x(1 x y)+c 3 2y(1 x y), där 0 x 1, 0 < y 1 och x+y 1. Välj interpolations- och styrpunkter Rita sedan upp ytan. P=[0 0 0 ; 0 5 1 ; 7 1 1 ] ; C=[0 3 2 ; 4 1 1 ; 5 4 2] ; 10 december 2014 Sida 27 / 29
1.5 1 0.5 0 1 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 5 4 3 2 Styrpunkerna ligger högre (i z-koordinat) än interpolationspunkerna vilket ger ytan en krökning. 10 december 2014 Sida 28 / 29
Sammanfattning Mängden spline funktioner med givna noder är ett linjärt rum. Finns olika basfunktioner (exempelvis B-splines). Kan göra minsta kvadrat anpassningar. Splinefunktioner kan användas för att beskriva parametriska kurvor i planet eller rummet. Vanligt i ritprogram. Standard metoden att beskriva mera komplicerade kurvor och ytor är att använda Beziér kurvor. Definition av vektoriserade fonter använder Beziér kurvor. 10 december 2014 Sida 29 / 29