Fysikalisk optik Facit
Dispersion och prismaeffekt 1) Med formeln för tunn lins kan i räkna ut det till följande: lå, F=3,93 D och f =5,49 cm; gul, F=3,878 D och f =5,79 cm; röd, F=3,855 D och f =5,94 cm. ) Dispersion. ( n 1),1. d d F d C 1 V d ger 0,03 1,9'. F C 3) På himlen infaller itt ljus. Ljus med lång åglängd (rött) går rakt genom himlen, medans det låa ljus sprids a Rayleigh-spridning. Mycket mer lått sprids på detta sätt, eftersom Rayleigh-spridning eror på inersen a åglängden upphöjt till fyra. Därför ser i, när i tittar på himlen nedanifrån, mer spritt lått än rött ljus. Mot lått glas och lått papper infaller itt ljus, där de röda delarna asoreras i högre utsträckning än de lå. Alltså transmitteras (för glas) eller reflekteras (för papper) en högre andel lått, och de ser låa ut. 4) Vi ill eräkna Aetalet V d enligt V d = n d 1 n F n C där n d, n F och n C ska aläsas id respektie åglängder grön/gul λ d = 587.56 nm, lå λ F = 486.14 nm och röd λ C = 656.7 nm. Aläsning ur figuren ger n d = 1.78, n F = 1.744 och n C = 1.719. De alästa ärdena kan ariera en del, eroende på hur du läst a. (När jag själ gjorde en andra aläsning, fick jag t.ex. n d = 1.77, n F = 1.745 och n C = 1.70) Det iktiga är att du läst a id rätt åglängder, och att du läst a så noga du kan. (T.ex. är 1.73, 1.74 och 1.7 inte tillräckligt noga.) Då lir Aetalet 9. Styrkan id arje åglängd eräknas enligt F = (n 1) ( 1 r 1 1 r ) där r 1 = 0.050 m och r är oändlig (ds 1 r = 0). Styrkorna för de olika färgerna lir då lir då F d = 14.6 D, F F = 14.9 D respektie F C = 14.4 D, ilket ger fokallängderna f d = 68.7 mm, f F = 67. mm respektie f C = 69.5 mm för gult/grönt, lått respektie rött ljus. 5) Dispersion! De angina åglängderna är λ F, λ d och λ C. Deiationsinkeln i tunt prisma ges a = (n 1)a, där a är toppinkeln. (Vi kan anända grader eller radianer, så länge och a har samma enhet. Lättaste alet just nu är grader!) Då får i fram n F = 1.5, n d = 1.517, och n C = 1.514. Bara genom att jämföra n d med ärdena i taellen, ser i att glaset måste ara antingen PK50, BK7, eller K3. Om i sedan räknar ut Aetalet V d = n d 1 n F n C = 64 och jämför med taellen, ser i att glaset måste ara BK7. (Os! Om man arundat på ägen är det inte säkert att siffrorna stämmer exakt, men BK7 lir ändå det som ligger närmast. Ni minns från laorationen hur pyttesmå felmätningar a inkeln kan ge ganska stora skillnader i V d. Samma sak om man räknat åt andra hållet, och t.ex. tagit fram deiationsinkeln id λ d för de olika materialen. Då stämmer inte siffrorna exakt, men BK7 är det närmaste.)
Fotometri 6) Belysningen på golet ges a flödet som träffar golet/golets area. Det ger att det totalt ehös 300 3, 46,0 610 lm. Det motsarar 1 spotlights. (Det är ättre med lysrör!). 7) För en diffus yta gäller (från duken) LA, där A är filmdukens area. Detta ger (från duken) 44000 lm. 90% a flödet mot duken reflekteras: (mot duken) 48000 lm. ( ) cos( i) E r 8) Belysningen på marken ges a I, där i är infallsinkeln mot marken och r är aståndet från lampan. Ljuskällan är isotrop så I är oeroende a α. Från elysningen rakt under lampan får i att I 750 cd. Tio meter ort får i i arctan(10/ 5) 63, 4. Detta ger elysningen,7 lux. r 10 5 11, m och 9) Belysningen ges a I cos( i) E, där I / är ficklampans ljusstyrka, i är r infallsinkeln mot äggen som i antar är 0, r=5 m och (1 cos(6 )) 34, 4 msr, ilket ger E =30 lux. 00 lm. Rymdinkeln ges a 10) 80% a flödet mot pappret, ds. 3 lm, reflekteras. För en diffus yta gäller LA, där A är papprets area. Detta ger L 163 cd/m. 11) Om 800 lumen träffar en yta som är 1, m x 1,8 m =,16 m² lir elysningen 400 lux. Luminansen ges då a L R diffus E 0,85 400 lux 100 cd/m² 1) Flödet är i ägge fallen detsamma: u I I I I 85000 cd 1 1,,1,1 u 13) Belysningen är direkt prop mot ljusstyrkan (om alla astånd är lika). I det ena fallet är ljusstyrkan gien och i det andra är den 110 lumen/π ster=17.5cd. 14) Luminansen hos ordsytan är direkt proportionell mot elysningen. Om aståndet mellan källa och ord ökas en faktor 1.5 kommer elysningen att minska en faktor 1.5 =.5. Luminansen lir alltså 60cd/m²/.5=6,7cd/m²
15) Källans hala toppinkel θ=7, rymdinkel (1 cos ) 0. 047 sr, yta A r 0.018m samt totalt flöde i rymdinkeln ( ) 170 0.1 17lm I ( ) / 360cd och L I / A 0500cd/m.. Detta ger 16) För att månfararen skall kunna se att ytan är upplyst måste elysningen ara tillräckligt E I / d stor. Belysningen på månytan ges a, där I är ljusstyrkan hos källan och d är aståndet till månen. Alltså ehös en hög ljusstyrka. 17) 600 lm är flödet från ficklampan. 10,000 cd är ljusstyrkan, ds ljusflödet per rymdinkel. Vad man ehöer göra är alltså att mäta upp den rymdinkel som ficklampan med 600 lm sprider ljuset i. Exempelis genom att mäta diametern D på ljusfläcken när man lyser på en ägg på aståndet L från ficklampan. Ljusstrålens hala öppningsinkel θ ges då a tan D/ L. Rymdinkeln får man sedan ur (1 cos ) och ljusstyrkan lir 600 lm/. Exempel: D=1m, L=4m ger =0.0485 sr och 600 lm/ cd. 18) Pappret är en Lamertspridare ilket etyder att luminansen L hos det reflekterade ljuset är oeroende a etraktningsinkeln. Ljusstyrkan atar med inkeln enligt: I = LAcosθ, där A är papperets area. (a) Ljusflödet Φ genom pupillen ges a Φ = IΩ, där Ω är puillens rymdinkel sett från papperet, Ω = pupillarea/astånd. Vi får för person A: Φ(A) = LAa/5 och för B: Φ(B) = LAcosθa/34, där a är pupillarean. Flödet för A lir större än för B. () Belysningen på näthinnan eror ara på luminansen och pupillens storlek arför elysningen är lika för de åda personerna. Detta kan till exempel isas genom att räkna ut flödet och arean i de åda fallen. Flödet ändras, men lika mycket som arean, så därför lir elysningen samma. 19) Flödet in genom IP earas och kommer ut genom UP. Diametern på UP är 7 ggr mindre än IP och således är arean 49 gånger mindre. Det gör att elysningen ökar med faktorn 49 ggr. 0) Hur ljust något ser ut eror på luminansen. Skärm ser alltså 500/40=1, ggr ljusare ut. 1) Belysningen ges a I ( )cos( i), där I ( ) L Acos( ) är skärmens ljusstyrka i E r riktningen, A är skärmens area, L är skärmens luminans, i (= ) är infallsinkeln mot ordet och r är aståndet till ordet. Enkel geometri och uträkning ger E =,9 lux,,7 lux,,1 lux, 1,6 lux, 1,1 lux samt 0,7 lux i de olika punkterna.
Polarisation ) Brewsterinkel! Ljus polariserat i infallsplanet reflekteras inte. tan(6 ) ger n 1 glas=1,9. 3) Genom första filtret kommer 50 % a solljuset igenom och lir då polariserat: I I 0,5 1 0. Transmissionen genom det följande filtret ges a Malus lag: I I ger inkeln mellan filtrens genomsläppsriktningar. / 0 0,5 cos ( ) 1 n glas I I, där θ är 45. 4) Eftersom Lisa ligger på sidan är äen glasögonen ridna så att de släpper igenom den ågräta polarisationen istället för att släcka ut den. Det reflekterade ljuset ligger nära Brewsterinkel id reflektion mot attenytan och lir därför starkt ågrätt polariserat (inkelrätt mot infallsplanet). Därmed släpper Lisas glasögon igenom det reflekterade ljus de är tänkta att ta ort. 5).Tag tå par solglasögon. Om du håller dem rakt framför arandra enligt figure (a), orde en del ljus komma igenom eftersom polarisationsfiltren ligger parallellt med arandra. Om du däremot rider ena paret 90 grader som i figur (), orde inget ljus komma igenom eftersom du får tå korsade polaroidfilter. Om det ändå kommer igenom ljus, et du att glasögonen inte är polariserande, utan ara gjorda a mörk plast. 6) Genom första filtret kommer I / 0, där I / cos (45 ) I / 4 efter filter nr. Malus-lag ger I 0 0 nr 3. I 0 är infallande intensitet. Malus-lag ger / 4cos (45 ) I /8 efter filter 0 0 7) Om ljuset faller in med en inkel i närheten a Brewster-inkel, kommer det att li polariserat eftersom ara det inkelrätt polariserade ljuset reflekteras. Men eftersom ytan det reflekteras mot är ertikal, kommer det inkelrätt polariserade ljuset att sänga i ertikalplanet. Och polariserande glasögon är gjorda för att släppa igenom ertikalt polariserat ljus, så reflexerna går rakt igenom. Om ljuset faller in med en inkel långt ifrån Brewster-inkel, lir det inte polariserat och glasögonen fungerar ändå inte. (Hade ytan arit horisontell, t.ex. en attenyta, hade glasögonen tagit ort reflexen om inkeln ar nära Brewster-inkel.) Rita figur! 8) Det finns minst tå sätt att lösa uppgiften - det allra ästa är förståss att anända åda, och kontrollera resultaten mot arandra. a) Titta på reflektansen id inkelr\"{a}tt infall. Vi et att den ska ara R = ( n 1 n + 1 ) och kan utläsa ur diagrammet att R 0.06. Om i drar roten ur åda led i
ekationen får i ± R = n 1 n + 1 och eftersom i et att n > 1 och därmed att n 1 > 0 kan i utesluta minustecknet. Sedan löser i ekationen och får n = 1 + R 1 R 1.65. ) Man kan också titta på Brewsterinkeln, som erkar infalla id i 58. Brytningsindex ges a n = tan i 1.60. Totalt ser i att ärdena kan ariera en hel del eroende på exakt hur i aläser diagrammet (t.ex. kunde i ha aläst i = 57 eller i = 59 ) men rytningsindex erkar ligga kring 1.6.
Antireflexehandling 9) Det är giet att ytan är ett antireflexskikt, ds att det är destrukti interferens. Då ehöer i inte eta tjockleken, för reflektansen id destrukti interferens ges alltid a R R R R R 0,003, där R n n och min 1 1 R n n n n. Sar: 0,3%. ( g f ) /( g f ) 0,0108 1 ( f 1) /( f 1) 0,055 30) Antireflexskiktet ygger på att man får tå reflexer som är ungefär lika starka, och som alltså kan släcka ut arandra (destrukti interferens). Totala reflektansen ges ju a R tot = R 1 + R R 1 R = ( R 1 R ), så ju mer lika R 1 och R är, desto mindre lir den totala reflektansen. En enkel lösning är att anända uteslutningsmetoden: n=1,35 ger nästan ingen reflex mellan atten och ARskikt, n=1,70 ger nästan ingen reflex mellan AR-skikt och sustrat. n=1,91 ger alldeles för stark reflex mellan atten och AR-skikt. Alltså: n=1,51. Om man föredrar en annan lösning, kan man helt enkelt räkna ut R 1, R och R tot för de olika materialen. Detta inneär dock etydligt mer eräkningar! Taellen nedan isar ärdena, och ekräftar att skliktet ska ha rytningsindex 1.51. n 0 n f n g R 1 R R tot 1,33 1,35 1,71 5,57E-05 0,013841 0,01141 1,33 1,51 1,71 0,004017 0,003858 1,61E-06 1,33 1,7 1,71 0,014911 8,6E-06 0,01404 1,33 1,91 1,71 0,03045 0,00305 0,015317 31) Skiktet ska ara antireflex för λ IR = 1064 nm, ds dess tjocklek ges a d = λ IR 4n f. För den synliga åglängden ska skitet reflektera maximalt, ds illkoret n f d = mλ s, där m är ordningen, ska ara uppfyllt. Om i löser ut åglängden får i d = mλ s. n f Eftersom skiktets tjocklek inte ändras, måste de tå uttrycken för tjockleken ara lika, ds mλ s = λ IR, n f 4n f eller, om i löser ut åglängden, λ s = λ IR m. För m = 1 får i åglängden till 53 nm, och för m= till 66 nm, ilket dock ligger utanför synlöiga spektrat. Alltså är 53 nm den enda synliga åglängden för ilken skiktet ger maximal reflektans.
3) Dena uppgift går att lösa på flera sätt. Ett sätt är ett kalitatit resonemang: För att reflexerna ska kunna släcka ut arandra ska reflexen från ytan: glas 1 mot skiktet, och reflexen från ytan: skiktet mot glas, ara ungefär lika (samma resonemang som uppg. 30). För att detta ska uppnås måste rytningsindex i skiktet ligga mellan de ägge omgiande index. Detta är egentligen ara uppfyllt för 1,80. En andra lösning är att räkna ut R 1, R och R tot för de olika materialen. Detta inneär dock etydligt mer eräkningar! Taellen nedan isar ärdena, och ekräftar att skliktet ska ha rytningsindex 1. n 0 n f n g R 1 R R tot 1,46 1,38,1 0,000793 0,05345 0,0411 1,46 1,8,1 0,010877 0,010454 4,E-06 1,46,09,1 0,031494 0,000779 0,0368 1,46,44,1 0,063143 0,00447 0,040731 (En tredje lösning ligger lite utanför kursen. Det går att isa att lägst reflektans fås för ett skikt som uppfyller ehöer ni inte ha med.) n0 n g n. Det stämmer precis med 1.80, men den uträkningen,4 1 1,50,4 33) R 1 0,146 R 0, 039,4 1 1,50,4 f R tot R R 1 R1 R 0,34 34) Skiktet är tunnare-tätare-ännu tätare, ilket ger minimal reflektans då n f d = λ + mλ, ds då λ = 4n fd m + 1 där m är ordningen. Anänder i m = 0 får i åglängden till 530 nm. Anänder i m = 1 får i åglängden till 180 nm. Detta ligger utanför synliga spektrat, och ökar i ordningen ytterligagre, lir åglängden ara kortare. Alltså är 530 nm den enda åglängd i det synliga området, för ilken skiktet ger minimal reflektans. 35) Interferens i tunt skikt a typen tunnare-tätare-tunnare. Ljus rand etyder att tjockleken just där ger konstrukti interferens för laseråglängden. Mellan tå ljusa ränder har ordningen m ändrats ett steg. Konstrukti interferens för denna sorts skikt får man då ds då ordningen n f d = λ + mλ. m = n fd 1 λ är ett heltal. I ena änden är d = 4 μm ilket ger ordningen m = 18,4. I andra änden är d =
4,5 µm ilket ger ordningen m=0,8. Ljusa ränder uppstår då m är ett heltal, i detta fall då m = 19 och m = 0. Man ser alltså ljusa ränder. 36) Låt R 1 ara reflektansen i gränsytan mellan luft och Hafn... och R reflektansen mellan Hafn.. och glas. Då lir.8 1.8 1.5 R 0.4 och R.8 1.8 1.5 Vi får då id konstrukti interferens R tot 1 R R 1 R1 R 0.60 0.091 nd m 37) Det reflekterade ljuset har interferensmaximum då och interferensminimum då nd (m 1) (m heltal 0). Detta ger att följande åglängder har maximal reflektans: min max nd / m 4nd /(m 1),1173 nm, 586.5 nm, 391nm 346 nm, 78 nm, 469 nm, 335 nm finns ett maximum id 586.5 nm, ilket motsarar gult. etc. Minimal reflektans: etc. Inom det synliga området 38) a) Glaset har rytningsindex 1.6, så det ideala materialet för skiktet skulle ha rytningsindex 1.6 = 1.6. Inget a materialen stämmer alltså perfekt, men MgF ligger närmast med ett rytningsindex på 1.38. Alltså kommer MgF att ge den lägsta reflektansen, så skikt B måste ara för MgF. Man kan också se att skikt A har sitt minimum för en längre åglängd, ilket stämmer med att skikt A har högre rytningsindex. ) Det är tunnare-tätare-ännu tätare, så första min ges a d = λ. 4n f Ur grafen kan i utläsa att skikt B har sitt minimum id åglängden 550 nm och att n f = 1.38, ilket ger skiktets tjocklek 100 nm. Vi et att åda skikten ska ha samma tjocklek, så i kan kontrollera genom att räkna på skikt A. Då är minimum id 580 nm och n f = 1.45, så tjockleken lir 100 nm. Båda skikten fick samma tjocklek, precis som de skulle ha. Saret är därmed ekräftat. (Värdena kan dock ariera en del eroende på hur åglängden lästs a.)
Diffraktion och upplösning 39) Diffraktion i hålet! Minsta upplösta ojektstorlek, eller aståndet från mitten till första min, ges a h min 4,7 mm, där i detta fall är 1 mm, l ( )7,0 m och i alt 1,l λ=555 nm. I figuren ser man dock att aståndet mellan punkterna motsarar tå gånger detta astånd, ds. 9.4 mm. 40) Diffraktion! Minsta upplösta inkel för ögat ges a w 1,4 mrad, där i detta fall är 1, 0,5 mm och i alt λ=555 nm. h=1, m ger l h/ w 900 m. 41) Diffraktion i ojektilinsen! Minsta upplösta ojektstorlek ges a där i detta fall är 70 mm, l ( )380000 km och i alt λ=555 nm. h min 3,6 km, 1,l 4) Punkterna är separerade h = 30 mm / 180 = 0,5 mm Om i anänder Rayliegh s upplösningkriterium ska punkterna ara separerade en inkel 1, u l D h u hd 56 cm 1, 43) Diffraktion. Minsta upplösta astånd i ildplanet ges a ögonmodell och åglängden λ=555 nm ger =,8 mm. h' min 4 m. Reducerad 1, l ' n ' 44) Diffraktion, ildstorleken ges a diametern i airy-disken. Radien i airy-disken ges a formeln y ' NA' u =14 och y =,8 μm. NA n u 0,61 som gäller i alla optiska system. ' 'sin( '). Mätning i figuren ger 45) Gränsen för hur ra det går att se eror på diffraktionen. Minsta upplösta inkel (sett från 1. örnögat) är x D cm. 7 1.h 1.510 m400m h. D 0.01m mus 4 cm Ds några 46) Om i inte kan se de indiiduella punkterna måste detta ero på ögats egränsade upplösningsförmåga. Om i antar att ögats pupill är =3mm lir minsta upplösta 1. syninkel w 0.mrad. För att syninkeln mellan tå punkter (astånd h=0.4m/65) skall li mindre än denna inkel kräs att aståndet till TV n är något större än d=h/w=3m. (andra pupilldiametrar ger andra sar)
47) Upplösningen måste i detta fall egränsas a diffraktionen i ögats pupill. Med ögat som en enkel sfärisk gränsyta med diametern =mm, får i minsta upplösta syninkel (utanför 1. ögat) som sin w. Med λ=550nm ger det w=0.33 mrad. För att ojektstorleken h=0.01mm skall uppta syninkeln w efter luppen måste luppens fokallängd ara f ' h / tan w 30mm. Alltså F lupp=+33d. 48) När ländartalet minskar till hälften ökar systemets aperturstopp, inträdespupill och utträdespupill och alla andra diametrar på strålknippet till duel storlek. (a) Bildstorleken ges a diffraktionen. Radien i fläcken ges a y' 1.f ', där är diametern på strålknippet id akre huudplanet. Ökar till det dula minskar fläckens radie till hälften. Arean a ilden minskar alltså med en faktor 4.() Ljusflödet in i ojektiet är direkt proportionell mot arean a inträdespupillen. f/5.5 ger alltså 4 ggr större ljusflöde till ilden(flödet earas genom systemet). (c) Belysning = ljusflöde/area ger att elysningen lir 16ggr större.