Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)

Relevanta dokument
Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)

Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik.

Introduktion till statistik för statsvetare

4 Diskret stokastisk variabel

4.1 Grundläggande sannolikhetslära

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

4.2.1 Binomialfördelning

Föreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Kap 3: Diskreta fördelningar

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Summor av slumpvariabler

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Föreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar

Grundläggande matematisk statistik

Föreläsning 8, Matematisk statistik Π + E

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh

Välkommen till Matematik 3 för lärare!

Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder

4. Stokastiska variabler

Föreläsning 3. Kapitel 4, sid Sannolikhetsfördelningar

Föreläsning 12: Repetition

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Mer om Approximationer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Jörgen Säve-Söderbergh

Stokastiska signaler. Mediesignaler

SOS HT Slumpvariabler Diskreta slumpvariabler Binomialfördelning. Sannolikhetsfunktion. Slumpförsök.

Föreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I

F9 Konfidensintervall

Repetitionsföreläsning

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar

TMS136. Föreläsning 4

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

modell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt

Tentamen L9MA30, LGMA30

F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P.

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik

Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 8: Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess

FÖRELÄSNING 8:

Föreläsning G70 Statistik A

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4

Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen

Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E

F10 Kap 8. Statistikens grunder, 15p dagtid. Binomialfördelningen 4. En räkneregel till. Lite repetition HT Sedan

TENTAMEN MÅNDAGEN DEN 22 OKTOBER 2012 KL a) Bestäm P(ingen av händelserna inträffar). b) Bestäm P(exakt två av händelserna inträffar).

Kurssammanfattning MVE055

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar

FÖRELÄSNING 7:

Mer om slumpvariabler

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Våra vanligaste fördelningar

Föreläsning 7: Punktskattningar

Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Två parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge

Grundläggande matematisk statistik

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel

Storräkneövning: Sannolikhetslära

LÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Mer om konfidensintervall + repetition

Diskreta slumpvariabler

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN

Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen

FÖRELÄSNING 4:

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion

Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 2: Statistik 7.5 hp

Transkript:

Repetition och förberedelse Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)

Formellsamling och teori Nästa varje ekva.on som vi använder under kursen finns I samlingen. Tricket i examen är hica räc metod/fördelning.ll räc problem. För ac göra det måste ni förstår hur man använder teori.

Kurssammanfattning X Bakgrund. (Ingår inte i tentan) 3 Grund kunskap 4 Vik.g kunskap 5 Avancerad kunskap

F1 Utfallsrum (X)

F2.1 Träddiagram (3)

Exempel av frågor i tentamen 2 { }

Exempel av frågor i tentamen 1. Putte har fyra lådor framför sig. I den första lådan finns det fyra biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, i den andra lådan finns det fem biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, i den tredje lådan finns det sex biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, 6, i den fjärde lådan finns det sju biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. (a) Putte väljer en låda slumpmässigt och drar en boll ur denna låda. Vad är sannolikheten att bollen har nummer 5? (b) Givet händelsen i a, dvs att Putte drog en boll med nummer 5, vad är då sannolikheten att han drog den ur låda nummer 3? (c) Antag nu som i a. att Putte väljer en låda slumpmässigt, men att han istället drar två bollar (utan återläggning). Vad är sannolikheten att båda bollarnas nummer är 4 eller mindre?

F2.2 Kombinatorik (3)

F2.2 Kombinatorik (3)

F2.2 Kombinatorik (3)

F2.2 Kombinatorik (5)

F2.2 Kombinatorik (5)

F2.2 Kombinatorik (3)

F2.3 Pascal s triangel (3)

Exempel av frågor i tentamen 1. Putte har fyra lådor framför sig. I den första lådan finns det fyra biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, i den andra lådan finns det fem biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, i den tredje lådan finns det sex biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, 6, i den fjärde lådan finns det sju biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. (a) Putte väljer en låda slumpmässigt och drar en boll ur denna låda. Vad är sannolikheten att bollen har nummer 5? (b) Givet händelsen i a, dvs att Putte drog en boll med nummer 5, vad är då sannolikheten att han drog den ur låda nummer 3? (c) Antag nu som i a. att Putte väljer en låda slumpmässigt, men att han istället drar två bollar (utan återläggning). Vad är sannolikheten att båda bollarnas nummer är 4 eller mindre?

F2.3 Pascal s triangel (3)

F2.3 Pascal s triangel (4)

F3.1 Betingning (3)

F3.2 Oberoende (3)

F3.3 Bayes sats (5)

F3.3 Bayes sats (4)

Exempel av frågor i tentamen 1. Låt A vara händelsen: Ett flygplan passerar en radar, och B vara händelsen: Radarn registrerar något. Givet att P(A) = 0.05 och att tillverkaren har angivit: P(B A) =0.99 och P(B A c )=0.10. (a) (2p) Beräkna P(B). (b) (3p) Beräkna P(A B). 3 72 216 216 2 { }

Exempel av frågor i tentamen 1. Putte har fyra lådor framför sig. I den första lådan finns det fyra biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, i den andra lådan finns det fem biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, i den tredje lådan finns det sex biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, 6, i den fjärde lådan finns det sju biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. (a) Putte väljer en låda slumpmässigt och drar en boll ur denna låda. Vad är sannolikheten att bollen har nummer 5? (b) Givet händelsen i a, dvs att Putte drog en boll med nummer 5, vad är då sannolikheten att han drog den ur låda nummer 3? (c) Antag nu som i a. att Putte väljer en låda slumpmässigt, men att han istället drar två bollar (utan återläggning). Vad är sannolikheten att båda bollarnas nummer är 4 eller mindre?

F4 Diskreta slumpvariabler (X)

F4 Diskreta slumpvariabler (3) Defini&on: Fördelnings funk.on, väntevärdet, variansen, standard avvikelse, och varia.onskoefficient. Beräkningar:

F4 Diskreta slumpvariabler (4)

F5 Kontinuerliga slumpvariabler (3) Defini&on: Fördelningsfunk.on, Täthetsfunk.onen, Väntevärdet, Variansen, Standard avvikelsen, Varia.onskoefficient.

F5 Kontinuerliga slumpvariabler (4) Beräkningar:

Exempel av frågor i tentamen 2. Låt X vara en kontinuerlig slumpvariabel som har täthetsfunktion på formen ( a 1 x 3, 0 apple x apple 1, f X (x) = 0, x /2 [0, 1]. (a) (2p) Bestäm värdet på konstanten a. (b) (2p) Beräkna E(X) och V(X). (c) (1p) Beräkna sannolikheten för händelsen {X > 0.5}.

F6 Bernoulli fördelning (4)

F6 Likforming fördelning (3)

F6 Binomial fördelning (3)

Exempel av frågor i tentamen 1. Flygbolag räknar med att en passagerare som köpt biljett inte dyker upp med sannolikhet 1/10 (oberoende av varandra). Bolagen säljer därför fler biljetter än det finns platser. Flygbolag A har små flygplan med 9 platser, och de säljer 10 biljetter till varje flygning. Flygbolag B har plan med 18 platser och säljer 20 platser. För vilket bolag är risken störst att det dyker upp fler passagerare än det finns platser till en slutsåld flygning? 8. Vi har 10 oberoende, symmetriska slantar, och utför följande. Först singlar vi alla slantar en gång; sedan singlar vi på nytt alla de som visade krona efter första singlingen. Beräkna väntevärdet för det totala antalet klave man ser. (5p)

F6 Binomial fördelning (5)

F6 Geometrisk fördelning (3)

F6 Negativ- binomial fördelning (4)

F6 Poisson fördelning (X)

F6 Poisson fördelning (5)

F6 Poisson fördelning (3)

Exempel av frågor i tentamen Z h i Z Z r 4. Lars skall köpa en ny maskin som han skall behålla under tio år. Han vet från tillgängliga data att maskinen kommer behöva repareras ett Poisson(10)-fördelat antal gånger under denna tioårsperiod. En reparation är mycket kostsam och maskinfirman ger honom därför följande försäkringserbjudanden: Erbjudande 1. Erbjudande 2. Varje reparation kostar 7000 kronor. Den första reparationen kostar 10000 kronor, den andra kostar (9/10) 10000 kr, den tredje kostar (9/10) 2 10000 kr osv. (a) Beräkna den förväntade totala reparationskostnaden för erbjudande 1 resp. 2. Tips: Den totala kostnaden för k reparationer i erbjudande 2 blir Xk 1 j=0 9 j 10000 = 10000 1 10 (9/10)k 1 9/10 = 100000(1 (9/10) k ). (b) Beräkna sannolikheten att erbjudande 1 blir billigare än erbjudande 2.

X Lösning: (a) Låt X Po(10) vara antalet gånger som Lars måste få maskinen reparerad och låt K i vara den totala reparationskostnaden för alternativ i =1, 2. Vi har att E[K 1 ] = 7000E[X] = 70000, och att E[K 2 ]= 1X 100000(1 (9/10) k )P(X = k) k=0 1X 1X = 100000 P(X = k) 100000 (9/10) k P(X = k) k=0 = 100000 1 k=0! 1X (9/10) k 10k k! e 10 k=0 = 100000 1 e 10 1 X k=0! 9 k k! = 100000 1 e 1 63212. (b) Den totala kostnaden för k reparationer blir 7000k för alt 1 och 100000(1 (9/10) k ) för alt 2. Vi ser att 100000(1 (9/10) k ) < 7000k för k = 9 medan 100000(1 (9/10) 8 ) > 7000 8. Erbjudande 1 blir därför billigare om antalet reparationer är färre än eller lika med 8. Därför söker vi enligt tabell. P(X apple 8) = 0.3328 5. Foljande stickprov anses vara oberoende observationer av en slumpvariabel Re(0 ),

F6 Hypergeometrisk fördelning (4)

F7 Exponential fördelning (3)

F7 Exponential fördelning (4)

F7 Normal fördelning (X)

F7 Power law fördelning (3)

Approximationer npq N n N 1 > 5 Bin(n, p) npq > 5 N(µ, σ 2 ) (E(X) =µ, V (X) =σ 2 ) n N < 0.1 p <0.1 λ > 15 Hyp(N,n,p) p + n N < 0.1 Po(λ) (λ = np)

Exempel av frågor i tentamen 4. En kaffemaskin säljer kaffe för 13kr per kopp. Antalet sålda koppar kaffe per dag anses vara Poissonfördelat med väntevärde 100. Att hålla maskinen i drift en dag kostar 900 + 3k kronor, där k anger antalet koppar sålda under dagen. Vad är sannolikheten att kaffemaskinen en given dag drar in en vinst?