Matematiska modeller

Matematiska modeller Kompendium Lektor: Yury V. Shestopalov e-post: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-700856 Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ youri Karlstads Universitet 2002

Contents Inledning 5. Descartes dröm............................ 5.2 Polyas strategi för problemlösning.................. 5 2 Matematiska modeller och numeriska approximationer 6 2. Matematiska modeller........................ 6 2.2 Felkällor................................ 7 3 Matematiska modeller: exempel 7 3. Koordinatsystem och vektorer.................... 7 3.2 Integraler............................... 9 3.2. Riemannintegraler...................... 9 3.2.2 Dubbelintegraler....................... 0 3.3 En kinematisk modell......................... 2 3.4 Tillväxtmodeller........................... 2 3.5 Populationsutveckling med migration och skuldutveckling..... 3 3.6 Laboration a............................ 4 3.7 Avancerade Malthus modeller.................... 5 3.8 Laboration b............................ 5 3.9 Modellutveckling: en enkel uppgift................. 6 4 Grundbegrepp av numeriska metoder 7 4. Tal och talrepresentation i datorer.................. 7 4.2 Positionssystem............................ 8 4.3 Avrundning och avhuggning..................... 9 4.4 Absolut och relativ fel........................ 9 4.5 Felgränser............................... 20 4.6 Ackumulerade fel........................... 2 4.7 Kancellation: förlusten av signifikanta siffror............ 2 4.8 Binära systemet............................ 23 4.9 Problem................................ 25 4.0 Funktionsberäkning.......................... 26 5 Exempel av algoritmer: numerisk lösning av icke-linjära ekvationer 28 5. Intervallhalvering........................... 28 5.2 Interpolationsmetoder: sekantmetoden............... 29 2

5.3 Iterativa metoder........................... 30 5.3. Substitutionsmetoden..................... 3 5.3.2 Newtons metod........................ 3 5.3.3 Stopregeln........................... 32 5.3.4 Fixpunktsiteration...................... 32 5.4 Problem................................ 35 6 Numerisk lösning av ordinära differentialekvationer 36 6. Eulers metod............................. 37 6.2 Heuns metod............................. 39 6.3 Problem................................ 42 7 Minstakvadratmetoden 43 7. Överbestämda ekvationssystem................... 43 7.2 Minsta kvadratproblemet....................... 45 7.3 Polynomanpassning.......................... 49 7.3. Polynom i MATLAB..................... 49 7.3.2 Polynomanpassning i MATLAB............... 50 7.4 Polynomanpassning och tendenskurvor............... 52 7.5 Tendenskurvor och referenspunkter................. 53 3

Förord Huvudmålet av kompendiet är att tillägna sig kunskaper om metoder för att formulera och bearbeta matematiska modeller med hjälp MATLAB Referenser. Kompendiet Numeriska metoder, Y. Shestopalov, 2002 2. Kompendiet Introduktion till MATLAB, Y. Shestopalov, 2002 3. I Gachkov, J. van Bommel, Boolean functions, 200. 4. G. Bäckström, Practical mathematics using MATLAB, Studentlitteratur, 2000. 5. E. Pärt-Enander et. al, Användarhandledning for MATLAB 6, Uppsala universitet, 200. 6. L. Elden et. al, Numeriska beräkningar analys och illustrationer med MAT- LAB, Studentlitteratur, 200. 7. E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics. 8th Edition (AEM). 8. M. Heath, Scientific Computing. An Introductory Survey, New York: McGraw- Hill, 997. 4

Inledning. Descartes dröm Filosofen och matematiken Rene Descartes (596 650) intoroducerade och utvecklade begreppet matematisk modell. I början, hade Descartes en dröm om att hitta en universell metod (en matematisk metod förstås) för att beskriva varje problem som komma fram verkligheten och sedan lösa problemet. I kortet gick den ut på följande: Reducera problemet till ett matematiskt problem Reducera det matematiska problemet till ett algebraiskt problem Reducera det algebraiska problemet till att lösa en ekvation Även om Descartes dröm aldrig förverkligats, så finns det mängder av problem som kan lösas i denna anda..2 Polyas strategi för problemlösning Vad som i detta avsnitt skrivs är till stora delar en sammanfattning av olika skrifter av George Polya. Polya var en matematiker som förutom mera traditionell matematisk verksamhet även ägnade sig åt att analysera problemlösandes natur. Han har skrivit flera böcker om detta, varav How to solve it? från 945 väl är den mest kända. I denna bransch finns det säkert ingen absolut sanning, så man får väl i första hand se de ideer som framförs som försök till en strategi vid problemlösning. Inge många genomför den konsekvent, men den är ändå tänkvärd. Problemlösandet anser Polya består av fyra steg: Förstå problemet. För att förstå problemet bör man veta (a) vad är okänd? (b) vad är givet? (c) vad har man för förustsättnigar? Sedan frågar man: kan förustsättningarna upfyllas? Är det tillräckliga för at bestämma det okända? Nodvändiga? Onödiga? Motsägande? Man måste införa lämpliga betckningar (går det att rita en figur), och analysera förustsättningarnas olika delar och skriv ner dem. Ta fram en plan för att lösa det matematiska problemet. För att gör det, svarar man följande frågor: har man sett problemet tidigare? Känner man till något liknande problem och/eller något resultat som skulle kunna vara användbar? kan man oformulera problemet gå tillbaka till definitionen. Man betraktar det okända och försök hitta bekanta problem som handlar om samma okända. Om man inte kan lösa problemet, kan man först försöka lösa några 5

besläktade problem, genom att ändra på förustsättningarna eller det okända. Sedan måste man upprepa: har man använt alla förustsättningarna och alla uppgifterna? Genomför planet. Kontrollera varje planets steg. Kan man bevisa att varje steg är korrekt? Undersök lösningen. För att gör det, svarar man följande frågor: kan man kontrollera resultatet och få fram det på något annat sätt? Kan man använda resultatet och/eller metoden på något annat problem? Det här schemat används nu i aktuell matematisk modellering enligt följande: Förstå problemet Ta fram en plan för att lösa det genom att utveckla (i) en matematisk metod (ii) en algoritm och (iii) ett programm som beräknar lösningen. Genomför beräkningar med olika indata. Undersök lösningen Förbättra modellen Dessa steg analyserar vi närmare. När man räknar på de följande problemen kan man väl därför skänka Polya och Descartes en tanke då och då. 2 Matematiska modeller och numeriska approximationer 2. Matematiska modeller Matematiska modeller är grundläggande verktyg vid problemlösning inom naturvetenskap och teknik. En matematisk behandling ger svar på frågor man ställer med anknytning till problemområdet. Man avgränsar ett litet problemområde när man ställer upp en matematisk modell. Vidare gör man (i) förenklingar och (ii) idealiseringar Ett numeriskt problem är en klar och entydig beskrivning av funktionssambandet mellan indata (oberoende variablerna i det matematiska problemet) och utdata (begärda resultaten). Indata och utdata skall vara ett ändligt antal storheter (vektorer). 6

Ett matematiskt problem kan vara att bestämma en funktion (som t ex satisfierar begynnelsevärdesproblemet), med det numeriska problemet är att bestämma en approximation till denna funktion i ett antal diskreta punkter. En algoritm för ett numeriskt problem är en fullständig beskrivning av en ändlig följd av väldefinierade operationer, genom vilken indata (vektor) transformeras till utdata (vektor). 2.2 Felkällor. Fel i indata. Indata kan vara mätdata av begränsad noggrannhet eller reela tal som måste approximeras med ett fixt antal siffror. 2. Avrundningsfel uppstår då man räknar med ett ändligt, fixt antal siffror. 3. Trunkeringsfel uppstår då en oändlig process ersätts med en ändlig, t ex då en oändlig serie approximeras med en partialsumma, eller då en funktion approximeras med en rät linje (eller ett polynom). 3 Matematiska modeller: exempel 3. Koordinatsystem och vektorer Rene Descartes intoroducerade och utvecklade begreppet koordinatsystem. Varje punkt läge i rymden kan anges med hjälp av ett koordinatsystem, som består t ex av tre mot varandra vinjkelräta koordinataxlar. Koordinatsystemetet kallas ortonormerat eller kartesiskt. En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma riktning. En vektor (utom nollvektorn) kan anges med en riktad sträka, dvs en sträka från en punkt A (utgångspunkt) till en annan punkt B (ändpunkt). Två lika långa och lika riktade sträkor anger samma vektor. Vektorn från A till B kan betecknas AB. Vektorn sägs vara avsatt från punkten A. En vektor kan avsättas från en godtycklig punkt. Nollvektorn svarar mot det urartade fallet då A sammanfaller med B. Om två icke-parallela vektorer e x och e y är givna i ett plan, kan varje vektor u i planet entydigt skrivas som u = xe x + ye y. () Vektorerna e x och e y kallas basvektorer. Vektorerna xe x och ye y kallas komposanter, talen x och y koordinater för u (eller u s komponenter), och beteckningen 7

u = (x, y) kan användas. Om e x, e y och e z är tre i (tre-dimensionella) rummet givna vektorer som inte ligger i ett plan, kan varje vektor u i rummet entydigt skrivas som u = xe x + ye y + ze z. (2) Vektorerna e x, e y och e z kallas basvektorer. Vektorerna xe x, ye y och ze z kallas komposanter, talen x, y och z koordinater för u (u s komponenter), och beteckningen u = (x, y, z) kan användas. Om O (i detta sammanhang kallad origo) är en fix punkt i rummet (planet) är varje punkt P bestämd av vektor OP, som kallas ortsvektorn för P, och koordinater x, y, z för OP upfattas som koordinater för P. Då har ortsvektorn för P : (x, y, z) utgångspunkten O : (0, 0, 0) (origo) och ändpunkten P : (x, y, z); beteckningen r = [x, y, z] kan användas. Man säger att man har koordinaterna x, y, z i koordinatsystemet Oe x e y e z eller Oxyz (även xyz). På motsvarande sätt fås koordinatsystemet Oe x e y eller Oxy i ett plan. Vi inför följande beteckningar: R är mängden av alla reela tal, R 2 är mängden av alla reela talpar (x, y) och R 3 är mängden av alla reela taltripplar (x, y, z). Geometriskt, R representeras av punkterna på en linje (tallinje), resp. punkterna i ett plan eller i ett tre-dimensionellt rum. En vektor med beloppet (storlek) kallas enhetsvektor. Om basvektorerna i ett koordinatsystem är parvis vinkelräta enhetsvektorer kallas koordinatsystemet ortonormerat, eller kartesiskt. I ett kartesiskt koordinatsystem, (2) skrivas som där basvektorerna är kartesiska enhetsvektorer u = [x, y, z] = xi + yj + zk, (3) i = e x, j = e y, k = e z i = [, 0, 0], j = [0,, 0], k = [0, 0, ]. (4) Antag att en vektor a= P Q har utgångspunkten P : (x, y, z ) och ändpunkten Q : (x 2, y 2, z 2 ). Då kallas tre talen a = x 2 x, a 2 = y 2 y, a 3 = z 2 z (5) a s komponenter i koordinatsystemet xyz i rummet, och man skriver a = [a, a 2, a 3 ]. 8

Vektors längd (storlek) a = a 2 + a 2 2 + a 2 3. (6) Låt xyz vara ett kartesiskt koordinatsystem och P : [x, y, z ] och Q : [x 2, y 2, z 2 ] två punkter i rummet. Talet P Q = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 + (z z 2 ) 2 kallas avståndet mellan punkterna P och Q i rummet. Exempel Vektorn a= P Q med utgångspunkten P : (4, 0, 2) och ändpunkten Q : (6,, 2) har komponenter a = 6 4 = 2, a 2 = 0 =, a 3 = 2 2 = 0. Då a = [2,, 0] och längden (avståndet mellan punkterna P och Q) a = 2 2 + ( ) 2 + 0 2 = 5. Om man väljer (, 5, 8) som a s utgångspunkt, då,, enligt (5), är motsvarande ändpunkten ( + 2, 5, 8 + 0) = (, 4, 8) Exempel 2 a = [4, 0, ] = 4i + k, b = [2, 5, 3 ] = 2i 5j + 3 k. 3.2 Integraler 3.2. Riemannintegraler Låt xy vara ett kartesiskt koordinatsystem i planet och U = [a, b] ett intervall a x b (integrationsintervallet). Låt x 0, x,..., x n vara godtyckliga, från varandra skilda punkter sådana att Motsvarande m delintervall a = x 0 < x <... x m < x m = b. (7) R i = {x : x i x x i, }. (8) Mängden av R i ger en indelning P av intervallet U: U = R i. Längden av intervallet R i är x i = x i x i, i m. (9) 9

Låt P vara det största av talen x i, P = max x i (0) i m eller en norm av indelningen P. Talet P är indelningens finhet: om P är litet är indelningen fin. Antag att en funktion f(x) är kontinuerlig i U = {x : a x b}. Välj från varje delintervall R i en punkt x i godtyckligt och sätt R(f, P ) = m f(x i ) x i, () i= som kallas en Riemannsumma. Om f(x i ) 0, då är termen f(x i ) x i arean av ett trapets med basen R i och höjden f(x i ). Riemannintegralen definieras som ett gränsvärde I = b a f(x)dx = lim N P 0 i= f(x i ) x i, (2) dvs, om det till varje givet tal ɛ > 0 finns ett tal δ = δ(ɛ) > 0 sådant att I R(f, P ) ɛ (3) för varje indelning P av integrationsintervallet U och godtyckliga punkter x i R i. Vi antar då att gränsvärdet (2) existerar när indelningens finhet går mot 0 (antalet delområden går mot oändligheten, N ). 3.2.2 Dubbelintegraler Låt xyz vara ett kartesiskt koordinatsystem i rummet och U vara ett område i planet xy (integrationsområdet). Vi antar ofta att integrationsområdet begränsas av en enkel sluten kurva C i xy-planet, som inte skär sig själv och genomlöpes precis ett varv i positivt led; dvs, en kurva som kan beskrivas av en rörlig punkt, som rör sig så att den återkommer till stratpukten, utan att någon punkt på kurvan passerats två gånger. Antag först att U = {(x, y) : a x b, c y d} (4) är en rektangel. Låt x 0, x,..., x n och y 0, y,..., y n vara godtyckliga, från varandra skilda punkter sådana att a = x 0 < x <... x m < x m = b, c = y 0 < y <... y n < y n = d. (5) 0

Motsvarande mn delrektanglar R ij = {(x, y) : x i x x i, y j y y j }, (6) x i = x i x i, y j = y j y j, i m, j n, (7) ger en indelning P av området U: U = R ij. Arean av rektangeln R ij är A ij = x i y j = (x i x i )(y j y j ). (8) Diametern av rektangeln R ij (längden av dess diagonal) är diam R ij = ( x i ) 2 + ( y j ) 2 = (x i x i ) 2 + (y j y j ) 2 (9) Låt P vara det största av talen diam R ij, P = max diam R ij (20) i m, j n eller en norm av indelningen P. Talet P är indelningens finhet: om P är litet är indelningen fin. Antag att en funktion f(x, y) är kontinuerlig i D och på randen till D. Välj från varje delområde R ij en punkt (x ij, y ij) godtyckligt och sätt R(f, P ) = m n i= j= f(x ij, y ij) A ij, (2) som kallas en Riemannsumma. Om f(x ij, y ij) 0, då är termen f(x ij, y ij) A ij volymen av ett prisma med basen R ij och höjden f(x ij, y ij). Man kan numrera alla R ij och punkter (x ij, y ij) med en index k =, 2,..., N, där N = mn. Dubbelintegralen definieras som ett gränsvärde I = D f(x, y)da = lim N P 0 k= f(x k, y k) A k, da = dxdy, (22) dvs, om det till varje givet tal ɛ > 0 finns ett tal δ = δ(ɛ) > 0 sådant att I R(f, P ) ɛ (23) för varje indelning P av området D och godtyckliga punkter (x ij, y ij) R ij. Vi antar då att gränsvärdet (22) existerar när indelningens finhet går mot 0 (antalet delområden går mot oändligheten, N ).

3.3 En kinematisk modell. Antag att vi kastar en boll rakt uppåt med en hastighet v 0. Hur högt kommer bollen? Vi väljer den matematiska modellen att den enda kraft, som verkar på bollen är gravitationen. Bollens hastighet v(t) vid tid t ges då av kinematiska satsen v(t) = v 0 gt, där g är tyngaccelerationen. Tidpunkten t = t då bollen når sin högsta punkt, kan vi bestämma genom att sätta v(t) = 0: v(t) = v 0 gt = 0, t = t = v 0 g. Höjden s vid tiden t får vi genom att integrera s = t 0 v(t)dt = t 0 (v 0 gt)dt = v 0 t 2 gt2. Om t ex starthastigheten är v 0 = 25 m/s (och g = 9.8 m/s 2 ), så får vi 3.4 Tillväxtmodeller t = v 0 g = 25 9.8 = 2.55 s, s = v 0 t 2 gt2 = 3.9 m. Låt x 0 beteckna det kapital som sätts in i början på en bank med 5 procent årlig ränta (fast ränta). Vi vill studera hur beloppet ändras från år till år. Uttrycket x n+ x n =.05, x 0 = ett givet tal (24) visar att kapitalet ett år är direkt proportionellt (här med faktorn.05 = 00 + 5 00 ) mot kapitalet året innan. En modifiering av den modellen är att ersätta konstanten a (fast ränta) med r n (variabel, eller rörlig, ränta), x n+ x n = r n x n, x 0 = ett givet antal. (25) Den enklaste versionen av Malthus modell för populationstillväxt bygger på motsvarande antagande för populationens storlek, dvs att antalet individer ett år (i tusental) är direkt proportionellt (med en given faktor a) mot antalet året innan: x n+ x n = a, x 0 = ett givet antal. 2

Olika versioner av Malthus modell använder olika a. En modifiering av den linjära Malthus modell är att ersätta konstanten a med en variabel storlek r n, x n+ x n = r n x n, x 0 = ett givet antal. 3.5 Populationsutveckling med migration och skuldutveckling Populationsutveckling. Vi har en polulation som uppmätts till x 0 = P 0 = 00 tusen individer och som om ingen in- eller utflyttning sker ökar med a = 0% årligen. Dessutom årligen b i = 8 tusen flyttar in och b u = 0 tusen flyttar ut. Låt x n vara populationens storlek n år efter startåret. Analysera vad händer från ett år, n, till nästa, n +. För differensen x n+ x n gäller dvs vilket kan skrivas x n+ x n = procentuell ökning + inflyttning utflyttning, x 0 = P 0, x n+ x n = ax n + b i b u, n = 0,, 2,..., x 0 = P 0, x n+ = Ax n + b iu, b iu = b i b u, A = a +, eller vilket kan skrivas x 0 = 00, x n+ x n = 0.x n + 8 0 Man kan visa att talföljden x 0 = 00, x n+ =.x n 2, n = 0,, 2,.... x n = 80. n + 20, n = 0,, 2,..., löser det här problemet. 2 Skuldutveckling. Antag att man har lånat x 0 = P 0 = 000 tusen kronor (för husköp) den april 996 och avbetalar b a = 0 tusen kronor varje kvartal. Skulden ökar varje kvartal med årlig ränta r n = 5% Låt x n vara skuldens storlek n kvartaler efter startkvartal (andra kvartalen 996). Analysera vad händer från en kvartal, n, till nästa, n +. För skluden x n+ gäller x n+ = x n + procentuell ökning av skulden avbetalning, 3

dvs procentuell ökning av skulden = x n 00 + 0.25r n, 00 x 0 = P 0, x n+ = a n x n b a, n = 0,, 2,..., N. (26) där N är antalet kvartaler mellan 96-04-0 och 0-2-3: 3 i 996 + 5(4 i 997 200) = 23. I fallet av fast (konstant årlig) ränta r n = 4%, har vi 3.6 Laboration a x 0 = 000, x n+ =.0x n 0, n = 0,, 2,..., N. Använd ovanstående modeller och studera i dina egna skuldutvecklingar (också retroaktivt). ii skuldutvecklingen enligt (26) när man lånar P 0 tusen kronor (för husköp eller bilköp) i olika banker och/eller bolag (bilbolag) till olika aktuella rörliga räntor r n. Jämför skuldtillväxt beroende på beloppet av månads- eller kvartalavbetalning b a och antalet N månader eller kvartaler. Rita kurvor som visar skuldtillväxt som funktion av tid (antalet månader eller kvartaler). Använd informationskällor www.riksbank.se www.robur.se www.nordea.se www.seb.se www.volvocars.se www.bmw.se www.audi.se och liknande. iii Redovisa och jämför värdeförändringar i olika aktiebolag och/eller aktiesparfonder under flera år, månader eller dagar. Bearbeta indata och rita trendkurvor. Använd informationskällor ovan. Betrakta aktiefonder, blandfonder, generationsfonder och räntefonder. Använd informationskällor www.ppm.se www.aberdeen-asset.com www.aiggig.com www.aktia.se www.toppsverige.nu www.mpk.se www.alfredberg.se www.amfpension.se www.aragonfonder.se mm. 4

Mer information finns på hemsidan www.ppm.se och i Fondkatalog. För din premierpension 2002. 3.7 Avancerade Malthus modeller En enkel modifiering av den linjära Malthus modell är att ersätta konstanten a med en avtagande funktion, t ex en linjär funktion a bx, där a 0 och b 0. Man kan betrakta versioner av Malthus modell med flera olika icke-linjära avtagande funktioner f(x) som beskriver olika tillväxtsituatoner när tillväxt x n+ /x n beror på det aktuella antalet individer x n och leder till x n+ x n = f(x n ), x 0 = ett givet antal. Man kan skriva ett program som beräknar beloppet x n för olika avtagande funktioner f(x) och sedan jämföra resultat och anpassa de till ursprungliga (givna) villkor. Figure : Kurvorna visar hur antalet individer x n ändras enligt Malthus modell x n+ = x n (ax n + b), n = 0,, 2,..., 0, x 0 = 00000, från år till år under 0 år med b =.0 och fem olika koefficienter a = 0 8, a = 0, a = 0 8, a = 2 0 8 och a = 3 0 8. 3.8 Laboration b Använd ovanstående Malthus modell x n+ x n = f(x n ), x 0 = ett givet antal, f(x) = ax + b, och studera hur antalet individer (population) x n ändras från år till år för vissa olika a : 0.05 a 2 och positiva och negativa b. Anpassa modellen till aktuella populationstillväxt i olika länder. 5

Exempel 3 Antag att i ovanstående Malthus modell, a 0 8 och b =.0. Då visar figur hur antalet individer (population) x n ändras från år till år under 0 år med startvärdet x 0 = 00000 och fem olika a = 0 8, a = 0, a = 0 8, a = 2 0 8 och a = 3 0 8. Kurvorna ritade i figur med häjlp av MATLABkod n = 0; b =.0; a = 0.000000 : -0.000000 : -0.0000003; b, a x = 00000; x2 = 00000; x3 = 00000; x4 = 00000; x5 = 00000; for i = :n ar(i)=i; arlig(i,) = x; arlig(i,2) = x2; arlig(i,3) = x3; arlig(i,4) = x4; arlig(i,5) = x5; x = x.*(a().*x + b); x2 = x2.*(a(2).*x2 + b); x3 = x3.*(a(3).*x3 + b); x4 = x4.*(a(4).*x4 + b); x5 = x5.*(a(5).*x5 + b); end arlig plot(ar, arlig) grid b =.000 a =.0e-006 * 0.000 0-0.000-0.2000-0.3000 arlig =.0e+005 *.0000.0000.0000.0000.0000.0200.000.0000 0.9900 0.9800.0406.020.0000 0.9803 0.960.068.0303.0000 0.9709 0.9429.0837.0406.0000 0.967 0.9257.063.050.0000 0.9529 0.9092.296.065.0000 0.9442 0.8935.537.072.0000 0.9358 0.8785.785.0829.0000 0.9277 0.864.2042.0937.0000 0.997 0.8504 3.9 Modellutveckling: en enkel uppgift Använd Polyas schema för att illustrera modellutveckling:. Förstå problemet: vi kommer att beräkna hur beloppet i banken ändras från år till år vid fast årlig ränta. 2. Ta fram en plan för att lösa det genom att utveckla (i) en matematisk metod: räkna enligt x n+ =.05x n, n = 0,, 2,.... (ii) en algoritm: se ovan, och 6

(iii) ett programm som beräknar lösningen: programmera den här formeln med häjlp av en miniräknare. 3. Genomför beräkningar med olika indata: olika tal x 0 och a > och antalet år. 4. Undersök lösningen: rita och analysera kurvan x n beloppet mot n antalet år. 5. Förbättra modellen: antag att varje år, ändrar banken räntan, så att beloppet ökar enligt x n+ = a n x n, n = 0,, 2,... (obunden ränta a n ) istället för x n+ = ax n, n = 0,, 2,... (fast ränta a). 4 Grundbegrepp av numeriska metoder 4. Tal och talrepresentation i datorer Naturliga tal är talen 0,, 2,.... Hela tal är talen 0, ±, ±2,.... Rationella tal kan skrivas på formen r = m, där m och n är hela tal, n 0. (27) n De rationella talen bildar en kropp, som är delkropp till kroppen av de reela talen. I decimalsystemet skrivas ett tal i utvecklad form, t ex 245.93 = 200 + 40 + 5 + 9 0 + 3 00 = = 2 00 + 4 0 + 5 + 9 0. + 3 0.0 = = 2 0 2 + 4 0 + 5 0 0 + 9 0 + 3 0 2. Decimalutvecklingar av rationella tal är periodiska: = 0.25000... 00... = 0.25, 4 = 0.333... 33..., 3 9 =.28574 28574... 28574.... 7 I den rationella talmängden finns fyra grundoperationer: addition c = a + b subtraktion c = a b multiplikation c = a b division c = a b, b 0. Till två tal a och b, finns det alltid ett tal, c, som kallas resp. summan, produkten, differensen, och kvoten av a och b. 7

Irrationella tal är reela tal som inte är rationella tal. Exempel utgör 2, π och m, där m är ett helt tal sådant att m n 2, n = 0,, 2.... Decimalutvecklingar av irrationella tal är operiodiska: 2 =.44235623730..., 4.2 Positionssystem π = 3.459265358979.... I ett positionssystem anges ett tal så att en siffras betydelse beror av dess plats i talbeteckningen. Varje plats (position) har ett bestämt platsvärde, som är en heltalspotens av systemets bas. I decimalsystemet, är basen tio. Ett tal skrivet i decimalsystemet sägs vara skrivet i decimalform. Siffrorna till höger om decimaltecken kallas decimaler. En signifikant siffra (S) av ett tal c (skrivet i decimalform) är varje c s siffra utom nollor till vänster om den första ickenoll siffran: talen 360..360, 0.00360 har 4 S. I fix representation används ett givet (fixerat) antal S: 62.358 (fem S), 0.03 (två S),.0 (två S). I flyttalsrepresentation (floating-point system), fixerar man antalet S och decimaltecken flyttar: Betrakta t ex tre tal med fyra S: 0.6238 0 3 = 6.238 0 2 = 0.06238 0 4 = 623.8, 0.74 0 3 = 7.4 0 5 = 0.074 0 2 = 0.000000000000074 (3 nollor till höger om decimaltecken) 0.2000 0 = 0.02000 0 2 = 2.000, Tal också skrivas på formen 0.6238E03 0.74E-3, 0.2000E0. där Allmänt kan varje reelt tal a i talsystemet med basen β framställas på formen a = M β e, e ett helt tal. (28) M = ±D 0.D D 2..., 0 D i < β, i = 0,, 2,..., D 0 0, (29) och M kan vara ett tal med oändligt många siffror. Man lagra då talet (i decimalsystemet) a = ±m 0 e, 0. m <, e ett helt tal, 8

m = 0.d d 2... d t, d > 0, e < M. m är M avkortat till t siffror. m kallas taldelen (eller mantissan), och e kallas exponentdelen Enligt IEEE Standard ( single precision ), 38 < e < 38. 4.3 Avrundning och avhuggning Avrundning av decimala tal till t decimaler. Exempel 4. Avrundning till t = 2 decimaler:.2535 avrundas till.25. Den del av talet.2535 som står i positioner till höger om andra decimalen är 0.0035 och det är mindre än 0.5 0 t med t = 2: 0.0035 < 0.005 = 0.5 0 2 ; då förändras andra decimalen 5 inte och.2535.25. 2. 0.756322 0.7563 till t = 4 decimaler. 3. 2.859 2.86 till t = 2 decimaler. 4..2535.2 till t = decimal; den första decimalen 2 är jämn. 5..2535.254 till t = 3 decimaler; den 3:e decimalen 3 är udda. 6. 3.45 3.4, 3.55 3.6 till t = decimal. Av avrundningsregler följer att felet vid avrundning till t decimaler är mindre än eller lika med 0.5 0 t. Vid avhuggning stryks alla siffror till höger om t:e decimalen. Exempel 5. Avhuggning till t = 2 decimaler:.2535 avhuggs till.25. 0.3333333 avhuggs till 0.33..9999 avhuggs till.99.. Avhuggning till t = 4 decimaler:.73205 avhuggs till.7320. 3.459 avhuggs till 3.45. Felet vid avhuggning till t decimaler är mindre än eller lika med 0 t och är systematiskt: det avkortade värdet är alltid mindre än det oavkortade värdet. 4.4 Absolut och relativ fel Låt a beteckna ett exakt värde och ã ett närmevärde till ett tal a, t ex a = 2, ã =.44 4S, 9

Vi inför följande definitioner a = π, ã = 3.45 5S. Absolut fel i ã : ɛ = a = a ã; då a = ã + ɛ Exempel 6 Om ã = 0.5 är närmevärdet till talet a = 0.2, är absoluta felet ɛ = 0.3. Relativt fel i ã : ɛ r = a a = ɛ a = a ã a = Fel exakt värde (a 0). ɛ r ɛ ã. I exemplet ovan har vi ɛ = a ã = 2.44 = 0.000235... ; ɛ r = ɛ a = 0.000235 0.000235. 2.44 ɛ = a ã = π 3.45 = 0.0000925... ; ɛ r = ɛ a = 0.0000925 0.0000925 π 3.45. En approximation ã sägs ha n korrekta decimaler (KD) om a = ã a 0.5 0 n (dvs approximationen har ett fel mindre än eller lika med en halv enhet i n:te decimalen). Som mått på relativ nogrannhet använder man ofta talets värdesiffror (antalet korrekta siffror som inleder approximationen; inledande nollor medräknas då inte). 4.5 Felgränser Felgräns β a i absolut fel : ɛ β a då a ã β. Felgräns β r i relativt fel : ɛ r β r då a ã a β r. 20

Exempel 7 approximation med felgräns KD värdesiffror 3.42±0.0005 3 4 0.0063860±0.5E-7 7 5 244000±500 0 3 4.6 Ackumulerade fel Vi ska formulera en sats som ger felgränser i addition och multiplikation (se THEOREM 7.., E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition (AEM)): I addition, S = a + a 2, och subtraktion, D = a a 2, kan felgränsen (ɛ) upskattas ɛ β + β 2. där β i, i =, 2, är a is felgränser i absolut fel. I multiplikation, M = a a 2, och division, Di = a /a 2 (a 2 0), kan felgränserna ɛ r upskattas approximativt ɛ r β r + β r2. där β ri, i =, 2, är a is felgränser i relativt fel. 4.7 Kancellation: förlusten av signifikanta siffror Om vi skall använda närmevärden i beräkningar, är det viktigt att informationen inte i onödan går förlorad. Exempel 8 Närmevärdena har båda 7 S (6 KD). Differensen x = 3.62277 ± 0.5 0 6, x 2 = 3.62589 ± 0.5 0 6, (30) y = x x 2 = 0.00032 ± 0 6 (3) har bara två S eftersom 0.5 0 6 < 0 6 < 0.5 0 5. Vi har kancellation av fyra S. Exempel 9 2

Andragradsekvationen har lösningen x 2 8x + = 0 (32) x = 9 ± 8 = 9 ± 80. (33) Om 80 8.9443 ± 0.5 0 4 ges med fyra KD, får vi x = 9 + 8.9443 ± 0.5 0 4 = 7.9443 ± 0.5 0 4, x 2 = 9 8.9443 ± 0.5 0 4 = 0.0557 ± 0.5 0 4. (34) Det första närmevädret har 6 S, medan det andra har tre S. Kancellationen undviks om man beräknar x 2 enligt x 2 = 9 80 = (9 80)(9 + 80) 9 + 80 = 9 + 80 = 7.9443 ± 0.5 0 4, (35) och = 0.055728002... (36) 7.9443 (resultatet avrundas till 7 decimaler). För divisionen y = p /p 2, uppskattas felgränsen i relativt fel y y p + p 2. (37) p I (37), p =, p 2 = 7.9443, p = 0, p 2 = 0.5 0 4, y = 0.055728002..., och relativa felet i närmevärdet till x 2 = y uppskattas enligt (37) med p 2 p 2 = 0.5 0 4 7.9443 p 2 < 0.5 0 4 7 = 0.3 0 5. (38) Det absoluta felet i närmevärdet till x 2 = y = 0.0557280 blir då mindre än 0.3 0 5 0.0557280 < 0.3 0 5 0.05573 < 0.3 0 5 0.056 = 0.068 0 5 < 0.7 0 6. (39) Felet vid avrundning till 7 decimaler 0.055728002... 0.0557280 < 0.3 0 7. Det totala felet uppskatas med 0.7 0 6 + 0.3 0 7 = 0.2 0 6, och resultatet har 6 KD och 5 S. Exempel 0 Beräkna x 2 = 0.0557280 ± 0.2 0 6 (40) f(x) = x[ x + x] (4) 22

för växande x med 6S: x beräknad f(x) exakt f(x).00000.4420.4424 0.0000.54430.54347 00.000 4.99000 4.98756 000.00 5.8000 5.8074 0000.0 50.0000 49.9988 00000 00.000 58.3 I 6S beräkningar, får vi, när x = 00, 00 = 0.0000, 0 = 0.0499. (42) Det första värdet är exakt, och det andra värdet är den rätta 6S-avrundningen. Vidare x + x = 0 00 = 0.04990 (43) Det exakta värdet är.049876 (avrundat till 6S). Beräkningar i (43) har förlusten av signifikanta siffror (a loss-of-significance error): subtraktion av x = 00 eliminerar de tre signifikanta siffrorna i x + = 0. Skriv (4) på formen x + x f(x) = x x + + x x + + x = x x + + x (44) I (44), förlörar man inte signifikanta siffror eftersom man subtraherar inte. 6S beräkningar i (44) med avrundning ger f(00) = 4.98756, (45) och (45) är rätta resultatet avrundat till 5 (korrekta) decimaler (6S). 4.8 Binära systemet I decimalsystemet (som har basen 0 och man kan använda 0 siffror 0,,..., 9), skrivas ett tal, t ex, 342.05, i utvecklad form 3 0 2 + 4 0 + 2 0 0 + 0 + 0 0 2 + 5 0 3 (46) 23