7. Inställning av PID-regulatorer

7. Inställning av PID-regulatorer PID-regulator är en generisk benämning på en typ av regulatorer där en linjär kombination av proportionell, integrerande och deriverande verkan av ett reglerfel används för beräkning av en styrsignal. Förutom valet om integrerande och deriverande verkan skall medtas (proportionalverkan medtas i praktiken alltid), finns det finns flera varianter av PID-regulatorn. Den är utan tvekan den mest använda regulatorn i industrin det uppskattas att PID-regulatorer används i över 9 % av alla reglerkretsar. En PID-regulator har upp till tre (eller i vissa varianter ännu fler) justerbara parametrar. Det kan vara ett rätt så utmanande problem att för en given process ställa in dessa så att önskad reglerprestanda erhålles. Det finns dock en stor mängd relativt enkla inställningsmetoder som ofta ger ett acceptabelt resultat eller en bra utgångspunkt för vidare fininställning. Vi skall i detta kapitel behandla ett antal dylika metoder, både heuristiska och rent analytiska metoder såväl som modellbaserade och modelloberoende metoder. Ifall en processmodell (i form av en överföringsfunktion) saknas, kan den behövliga processinformationen normalt erhållas genom ett enkelt identifieringsexperiment. Det finns flera orsaker till att vi tar upp rätt många inställningsmetoder. En orsak är att de är utvecklade för olika typer av reglering (konstantreglering, följereglering) eller prestanda (snabb och aggressiv reglering resp. mindre aggressiv reglering). Frånsett dessa skillnader, finns det också skillnader i hur väl de olika (heuristiska) metoderna fungerar för olika processer. En annan orsak är att man kan välja metod enligt den tillgängliga eller enklast bestämbara processinformationen. Vissa klassiska metoder, som det finns orsak att känna till, presenteras också. Ett gemensamt drag för de medtagna inställningsmetoderna, vilket underlättar deras användning, är att de kräver ett minimum av prestandarelaterade designparametrar. De heuristiska metoderna kräver inga designparametrar alls, för de analytiska metoderna specificeras det reglerade systemets önskade överföringsfunktion (normalt av första ordningen). Flexiblare och mera detaljerade designmetoder baserade på frekvensanalys presenteras i kapitel 8. 7.1 PID-regulatorer Vi introducerade PID-regulatorn och diskuterade en del av dess egenskaper redan i avsnitt 2.5.4. Här skall vi närmare behandla olika varianter och formuleringar av PID-regulatorn. Vissa riktlinjer för valet att inkludera eller utelämna integrerande och/eller deriverande verkan ges även. I fortsättningen kallar vi dessa alternativ (P, PI, PD, PID, etc.) för olika typer av PID-regulatorer. 7.1.1 Varianter av PID-regulatorn Ideal PID-regulator En ideal PID-regulator beskrivs av reglerlagen t 1 d et ( ) ut () = Kc et () + e( τ)dτ + d + u (7.1) i dt där u (t) är regulatorns utsignal och et () = rt () yt () är skillnaden mellan referensvärdet rt () och mätvärdet yt (), dvs reglerfelet (se figur 2.11). Regulatorns justerbara parametrar är, förutom styrsignalens basvärde u (ofta = ), (proportional)förstärkningen K c, integrationstiden i (även integraltid) och deriveringstiden (även derivatatid). PID-regulatorns överförings- d

funktion är 2 ( ) U() s 1 Kc GPID = = Kc 1+ + d s = 1+ s i + i ds E() s s i s i där Es () är reglerfelets Laplacetransform och U() s är Laplacetransformen av utsignalens avvikelse från basvärdet, dvs Laplacetransformen av ut () u. Såsom framgår av överföringsfunktionen, kan PID-regulatorn, beroende på valet av i och d, ha reella eller komplexa nollställen. Komplexa nollställen kan vara önskvärt vid reglering av underdämpade system, som har komplexa poler. Reglerlagen och överföringsfunktionen för en PI-regulator, som saknar deriverande verkan, fås uppenbarligen genom att i ekvationerna ovan sätta d =. Det är värt att notera att en PDregulator, som saknar integrerande verkan, inte erhålles med i =, utan med i =. Detta åstadkommer man enklast genom att helt enkelt lämna bort termen med integrerande verkan. Om man av någon anledning inte kan göra det, låter man i vara ett väldigt stort tal. Överföringsfunktionerna för en PI-regulator och en PD-regulator blir således (7.2) 1 Kc GPI = Kc 1+ = ( 1+ s i ) (7.3) s i s i G = K 1+ s (7.4) ( ) PD c d Den ideala PID-regulatorn benämnes ibland parallellformen av en PID-regulator eftersom dess blockschema kan skrivas som en parallellkoppling av proportionaldelen, integrationsdelen och deriveringsdelen. Andra benämningar förekommer också, t.ex. (ISA) standardform. Serieformen av en PID-regulator När PID-regulatorer före den digitala eran implementerades analogt, visade det sig bekvämt att konstruera dem som en seriekoppling av en PI- och en PD-regulator. Följaktligen kallas denna variant av PID-regulatorn för serieformen av en PID-regulator. Ibland används även benämningarna interaktiv form eller klassisk form. Överföringsfunktionen för regulatorn är 1 Kc GPIPD = Kc 1 + (1 + s d ) = ( 1+ s i )( 1+ s d ) (7.5) s i s i där symboler med övre index anger att parametrarna hänför sig till serieformen av en PIDregulator. Ordningsföljden mellan PI- och PD-delarna spelar i princip ingen roll. Märk att serieformen av en PID-regulator endast kan ha reella nollställen. Detta är givetvis en begränsning som gör regulatorn mindre generell än den ideala PID-regulatorn. Å andra sidan är serieformen mycket behändig vid regulatorinställning med frekvensanalytiska metoder genom s.k. lead-lag design (se kapitel 8). Övning 7.1. Hur ser reglerlagen i tidsplanet ut för serieformen av en PID-regulator?

PID-regulatorer med derivatafilter En principiell nackdel med ovan beskrivna PID-regulatorer är att deriveringen inte kan göras exakt i en verklig regulator. ill exempel om reglerfelet et ( ) i ekv. (7.1) förändras stegformigt, blir dess derivata oändlig i förändringsögonblicket, vilket inte kan realiseras. Detta problem kan avhjälpas genom filtrering av den signal som deriveras. Ett sådant filter har dessutom den praktiska fördelen att (högfrekvent) mätbrus filtreras före deriveringen. Av dessa anledningar är deriveringen i praktiska regulatorer alltid kombinerad med en filtrering. Normalt används ett lågpassfilter som har formen av ett strikt propert första ordningens system. Med denna modifiering blir överföringsfunktionen för en ideal PID-regulator med derivatafilter 1 s d GPIDf = Kc 1+ + (7.6) s i fs+ 1 och för serieformen av en PID-regulator med derivatafilter s i + 1 s d + 1 GPIPDf = Kc (7.7) s i s f + 1 där f resp. f betecknar filtertidkonstanten. Vanligtvis väljes filtertidkonstanten så att den är klart mindre än deriveringstiden; typiskt 1 till 3 % av deriveringstiden. Eftersom båda dessa former används i praktiken, är det av intresse att kunna beräkna parametrarna för den ena formen utgående från kända parametrar för den andra formen så att de två överföringsfunktionerna blir identiska, om möjligt. Om parametrarna för serieformen är kända, kan man beräkna parametrarna för den ideala PID-regulatorn enligt i = i + d f i, d d f i =, f = f, Kc = Kc (7.8) i i Sambandet mellan de ofiltrerade formerna av den ideala PID-regulatorn och serieformen, ekv. (7.3) och (7.5), fås givetvis med f =. Som nämnts, tillåter den ideala PID-regulatorn komplexa nollställen medan serieformen inte gör det. Av detta följer att en ideal PID-regulator med komplexa nollställen inte kan uttryckas med hjälp av serieformen. Om den ideala PID-regulatorns nollställen däremot är reella, finns det en exakt motsvarighet. Med beteckningen 4 i( d + f) δ = 1 (7.9) 2 ( i + f) fås sambanden ( δ ) ( i + f) i = 1 ±, d = i + f i, f i = f, Kc = Kc (7.1) 2 Villkoret för att omskrivningen skall existera (dvs ge reella parametrar) är δ,dvs 2 ( i f) d (7.11) 4i Som synes är omskrivningen inte unik vad de enskilda parametrarna beträffar ( i och d kan inte åtskiljas), men båda lösningarna ger samma överföringsfunktion. Det naturliga torde vara att välja den lösning som ger det större värdet på i, vilket medför i > d. i

Derivering av mätvärdet Även om derivatadelen är försett med ett filter, kan det vid deriveringen av reglerfelet vara en stor skillnad på om ett reglerfel uppstått på grund av en plötslig börvärdesförändring rt ( ) eller om det beror på en störning i utsignalen y( t ). En sådan störning påverkar normalt utsignalen med en viss dynamik som är betydligt långsammare än en (stegformig) börvärdesförändring. Om regulatorns derivatadel ställts in så att den effektivt detekterar och hjälper till att eliminera störningar i utsignalen, kommer den att överreagera på en stegformig börvärdesförändring. Det finns olika sätt att angripa detta problem. Den enklaste lösningen är att derivera en filtrerad utsignal, inte reglerfelet. Eftersom utsignalen ingår i reglerfelet med negativt tecken, modifieras reglerlagen (7.1) då till t 1 dy f ( t) d yf ( t) ut () = Kc et () + e( τ)dτ d + u, i dt f + yf() t = y() t (7.12) dt I Laplaceplanet erhålles 1 Ks c d 1 1 s d U() s = Kc 1 + E() s Y() s = Kc 1 + R() s Kc 1 + + Y() s (7.13) s i fs+ 1 s i s i fs+ 1 eller med överföringsfunktionerna definierade i ekv. (7.3) och (7.6), U() s = G R() s G Y() s (7.14) PI Såsom framgår av ekv. (7.14), behandlar regulatorn nu börvärdesförändringar och störningar i utsignalen på olika sätt. Enligt härledningen ovan är överföringsfunktionen G och PI-delen i G PIDf lika, men ingenting hindrar att de är olika. Man kan då ställa in regulatorn skilt för börvärdesförändringar (dvs följereglering) och störningseliminering (dvs konstantreglering). En sådan regulator säges ha två frihetsgrader; på engelska används ofta akronymen 2DOF för att beteckna detta. Övning 7.2. Hur ser reglerlagen ut, både i tidsplanet och i Laplaceplanet, för serieformen av en PID-regulator med derivering enbart av mätvärdet? Icke-interaktiv form av PID-regulatorn För ovan behandlade PID-regulatorer innebär valet K c = att regulatorn inte alls reglerar, dvs den är satt på manuell reglering. Detta innebär också att proportionaldelen inte kan kopplas bort utan att hela regleringen upphör. Vanligtvis vill man nog ha med proportionaldelen, men i vissa specialfall vill man kanske kunna koppla bort den. I princip gäller samma problematik integraldelen eftersom i = inte kan realiseras. I praktiken är dock dessa problem av mindre betydelse eftersom man kan välja en regulatorstruktur där den obehövliga delen inte alls finns med, t.ex. en ren PD-regulator om integrerande verkan inte behövs. Vid analys av reglersystem och design eller syntes av regulatorer kan det dock vara behändigt att ha en regulatorstruktur som är så flexibel som möjligt. En sådan struktur har en PID-regulator med överföringsfunktionen 1 G = K + K s + K s (7.15) PIDf P+I+D c i d Här kan man koppla bort vilken som helst term genom att sätta dess koefficient lika med noll. PI

Märk också att proportional-, integral- och derivatadelarnas parametrar kan justeras utan att andra delar påverkas. När K c justeras i de tidigare nämnda PID-regulatorerna, påverkas alla delar (vilket dock inte nödvändigtvis är en nackdel). Man kan alltså säga att regulatordelarna i (7.15) är icke-interaktiva (eller okopplade), medan de i de tidigare nämnda regulatorna är interaktiva (eller kopplade). Precis som för andra regulatorer, är språkbruket dock vacklande rörande benämningen av denna regulatorvariant. Vissa reglerexperter väljer att kalla den för parallellformen av en PID-regulator, vilket med tanke på dess blockschemastruktur är en naturlig benämning, medan andra experter med parallellformen avser den ideala PID-regulatorn. En annan beskrivande benämning vore additiv form av en PIDregulator, men också den benämningen har använts för den ideala PID-regulatorn. Här kommer vi vid behov att använda benämningen icke-interaktiv PID-regulator. Sambandet med den ideala PID-regulatorn ges av Ki = Kc / i, Kd = Kcd (7.16) Uppenbarligen kan även andra regulatorvarianter omskrivas till en icke-interaktiv form. Proportionalband Förutom ovan behandlade regulatorvarianter, finns ett stort antal modifikationer av PIDregulatorer som används i industrin. Vanligt är t.ex. att man tillför funktioner för diagnostisering och hantering av olika problemsituationer. Eftersom automationssystem redan varit i användning i (process)industrin i ett halvsekel, och inte nödvändigtvis förnyats så ofta, finns installationer byggande på gammal teknik och begrepp som nuförtiden kanske inte är så välkända. Ett exempel på det sistnämnda är begreppet proportionalband, som anger det maximala reglerfelet en P-regulator kan hantera utan att styrsignalen överskrider de begränsningar som processen och instrumenteringen ställer. Om styrsignalen är begränsad av u min u u max, kan en P-regulator enligt ekv. (7.1) hantera ett reglerfel e som satisfierar u u u u = = (7.17) min max emin e emax Kc Kc Proportionalbandet är då lika med e max e min = y h y l, där y h är det högsta mätsignalvärdet ( e min = r y h ) och y l det lägsta mätsignalvärdet ( e max = r y l ) som P-regulatorn kan hantera. Vanligtvis anges proportionalbandet P b i procent av det totala mätområdet [ ymin, y max ]. Då fås yh yl 1 umax umin Pb = 1% = 1% y y K y y max min c max min (7.18) I äldre litteratur och i många regulatormanualer använder man parametern proportionalband för en regulator i stället för proportionalförstärkning. För att veta vilken förstärkning detta proportionalband motsvarar, bör man känna till storleken på de realiserbara styrsignal- och mätsignalintervallen. Vad som ytterligare försvårar förståelsen och användningen av proportionalbandet är att dess samband med proportionalförstärkning vanligtvis uttrycks som 1% Pb = (7.19) K Här är det underförstått att K c gäller för normerade signaler så att mät- och styrsignalförändringar uttrycks i procent av sina totala signalområden. c

Som ovan antytts är den praktiska nyttan av proportionalbandet att det direkt säger något om hur stora reglerfel regulatorn kan hantera utan att styrsignalen når en begränsning. Om u ligger i mitten av intervallet [ umin, u max ] och proportionalbandet t.ex. är 5 %, klarar regulatorn av ett reglerfel (pga en störning eller en börvärdesförändring) lika med ± 25% av totala mätområdet. Märk att proportionalbandet är en justerbar regulatorparameter, så om proportionalbandet inte är tillräckligt, kan man öka på det (motsvarar en minskning av regulatorförstärkningen). Integratoruppvridning Vanligtvis ställs regulatorparametrar in utgående från stabilitets- och prestandakriterier, inte utgående från signalbegränsningar. Frånsett detta kommer integralen i en regulator med integrerande verkan att växa så länge ett reglerfel består, vilket leder till att styrsignalen till slut når en begränsning ifall reglerfelet inte fås ner. Integralen kommer fortsättningsvis att växa så länge reglerfelet har samma tecken trots att ingenting kan göras i reglerväg för att eliminera reglerfelet. Detta fenomen kallas integratoruppvridning (eng. reset windup). Om regulatoruppvridning skett, leder detta till kraftigt försämrad reglering även efter att reglerfelet avtagit eller helt eliminerats. Betrakta figur 7.1 och antag att reglerlagen (7.1) används. En kraftig störning inkommer så att processens utsignal sjunker under börvärdet. Reglerfelet blir positivt och regulatorn kommer att öka på styrsignalens värde (vi antar att K c > ). Störningen är så kraftig att den inte kan elimineras trots att styrsignalen når sitt maximivärde. Ett konstant reglerfel uppstår (område A i figuren) och regulatorintegralens värde växer hela tiden. Antag att störningen som påverkat processens utsignal upphör att verka. Utsignalen skulle då återgå till sitt börvärde, men eftersom regulatorns integral är mycket stor kommer styrsignalen att förbli vid sitt maximivärde med den påföljden att processens utsignal skjuter långt förbi börvärdet. Detta kommer att fortgå ända tills det negativa reglerfelet får integralen att minska så mycket, att styrsignalen börjar sjunka (B i figuren). Integralen av det negativa reglerfelet (den av utsignalen avgränsade ytan ovanför börvärdet) kommer i själva verket att bli lika stor som integralen av det positiva reglerfelet (ytan under börvärdet). Det är klart att den dåliga regleringen efter att störningen upphört att verka är förorsakad av regulatorn själv. För att eliminera problemet borde man upphöra att integrera när styrsignalen når en begränsning. Detta förutsätter att man vet när en styrsignalbegränsning nås samt att man i regulatorn har inbyggd logik så att integreringen kan avbrytas. ermen anti-windup används allmänt (även på svenska) för att beteckna dylika arrangemang. Kommentar Figur 7.1. Illustration av integratoruppvridning. Som vi har sett finns det ett stort antal olika varianter av PID-regulatorn. När man bestämmer regulatorparametrar är det givetvis av yttersta vikt att veta för vilken variant de gäller. Likaså bör man veta vilken variant som används när man skall mata in parametrarna i ett automationssystem eller t.ex. i ett simuleringsprogram såsom Simulink.

7.1.2 Val av regulatortyp Alla regulatorvarianter som genomgåtts ovan har en proportionaldel (P), en integraldel (I) och en derivatadel (D). Frågan är om vi alltid skall ha med alla delar eller inte. I princip skall vi välja enklaste regulatortyp som klarar av jobbet. Redan i avsnitt 2.5.4 nämndes P-, I- och D-delarnas huvudsakliga för- och nackdelar, vilket kan ge en viss indikation om vilka delar som skall inkluderas i ett specifikt fall. I det följande skall vi diskutera dessa aspekter något närmare. vålägesregulator vålägesregulatorn är den enklaste regulartypen, som karakteriseras av att styrsignalen endast har två lägen. Andra benämningar på denna regulator är på/av-regulator eller on/off-regulator. Om vi definierar våra variabler så att ett positivt reglerfel skall åtgärdas med en ökning av styrsignalens värde (dvs regulatorn har en positiv förstärkning), kan vi i matematisk form uttrycka reglerlagen som umax om e( t) > ut () = (7.2) umin om e( t) < där u max är styrsignalens maximivärde och u min dess minimivärde. Strikt sett hör tvålägesregulatorn inte till gruppen PID-regulatorer även om den kan uppfattas som en P-regulator med oändlig förstärkning. vålägesregulatorn är billig att tillverka och enkel att implementera eftersom den inte har några justerbara parametrar förutom valet av styrsignalens två lägen. Dess stora nackdel är att den förorsakar icke-övergående svängningar i processen. Därför är tvålägesregulatorn lämplig endast för processer där fortgående svängningar med måttlig amplitud kan tolereras. Dylika regulatorer är vanliga i enklare hushållsapparater såsom ugnar, strykjärn, kylskåp, frysboxar, etc. Värmeregleringen i bostäder sköts också ofta med tvålägesregulatorer inbyggda i termostater. Såsom framgår av exemplen används tvåstegsregulatorer ofta för värmereglering då svängningar kan tillåtas. P-regulator En P-regulator implementerar den enkla reglerlagen ut () = Ket () + u (7.21) c där K c är den justerbara regulatorförstärkningen och u är styrsignalens normalvärde, som också är justerbart. I princip väljes u så att reglerfelet et ( ) är noll vid processens nominella driftstillstånd. Om driftstillståndet ändras genom en börvärdesförändring eller en störning i den reglerade processens utsignal uppstår som bekant en stationär regleravvikelse. Därför är P-regulatorn endast lämplig för processer där ett (litet) reglerfel kan accepteras. Såsom visades i avsnitt 2.5.2 blir det stationära reglerfelet mindre ju större regulatorförstärkningens absoluta värde är. Å andra sidan visades i avsnitt 2.5.3 att det finns process som blir instabila om regulatorförstärkningen är för stor. Följaktligen lämpar sig P-reglering bäst för processer där en hög förstärkning kan användas utan att stabiliteten äventyras. Sådana processer är integrerande processer och processer med första ordningens dynamik. Av ovanstående följer att P-reglering ofta är tillräckligt för nivåreglering i bufferttankar, vars uppgift är att tjäna som mellanlager för att jämna ut variationer i processflöden. Det viktiga är

då i allmänhet inte att minimera felet i nivåregleringen utan att minimera variationerna i utströmmen från tanken. Givetvis finns också processer där en god nivåreglering är viktig, och då räcker en P-regulator kanske inte till. En annan situation då P-reglering ofta räcker till är som inre reglerkrets, s.k. sekundärkrets, vid kaskadreglering. PI-regulator PI-regulatorn är den i särklass vanligaste regulatortypen. Den beskrivs av reglerlagen t 1 ut () = Kc et () + e( τ)dτ + u (7.22) i där förstärkningen K c och integrationstiden i är justerbara parametrar; värdet på u spelar en mindre roll. Den stora fördelen med en PI-regulator är att ingen stationär regleravvikelse uppstår efter börvärdesförändringar eller processtörningar. PI-regulatorer används således när man vill undvika stationär regleravvikelse och det inte finns någon klar fördel med att inkludera deriverande verkan. Det senare är t.ex. fallet om processens dynamik är snabb eller det finns mycket brus i mätsignalen mer än vad som är lämpligt att filtrera bort. Den mest typiska tillämpningen är flödesreglering. Ett annat fall när derivering snarare är till nackdel än till fördel är när det finns en avsevärd dödtid någonstans (vanligtvis i själva processen) i reglerkretsen. Det bästa är då att implementera en reglerlag med någon form av dödtidskompensering, t.ex. i form av en IMC-regulator (se avsnitt 7.4). En sådan regulator är dock rätt komplex och i praktiken nöjer man sig ofta med en PI-regulator. Övning 7.3. Varför är värdet på u inte så viktigt i en PI-regulator? PD-regulator Om vi här för enkelhets skull utgår från den ideala formen av en PID-regulator, beskrivs en PDregulator av reglerlagen d() et ut () = Kc et () + d + u (7.23) dt där förstärkningen K c och deriveringstiden d är justerbara parametrar. Styrsignalens normalvärde u väljes som för en P-regulator. En PD-regulatorer kan vara att föredra när integrerande verkan inte behövs men processens dynamik är så långsam att derivatans predikterande egenskaper är nyttiga. Många termiska processer, där energi lagras och värmeförlusterna är små (t.ex. en ugn), kan ha långsam dynamik men i övrigt fungera ungefär som ett integrerande system. En PD-regulator kan då vara lämplig för temperaturreglering. En annan typ av tillämpning för PD-regulatorer är reglering av elektriska servomekanismer såsom elektriska motorer. För sådana har sambandet mellan motoraxelns vridningsvinkel och den elektriska spänning som används för styrning av vridningsvinkeln formen av ett integrerande andra ordningens system. PID-regulator Såsom vi sett i avsnitt 7.1.1 kan PID-regulatorn uppträda under olika skepnader. Den ideala formen och den klassiska serieformen har tre justerbara parametrar (förutom u ), medan former som inkluderar att derivatafilter har fyra justerbara parametrar. Gemensamt för dem alla är dock

att de har en proportionaldel, en integraldel och en derivatdel, som alla har justerbara parametrar. Vi kan för enkelhets skull ha den ideala formen, ekv. (7.1), som referens för diskussionen nedan. Det torde vara klart att vi väljer en full PID-regulator ifall det enligt diskussionen ovan inte finns anledning att utelämna integraldelen eller derivatadelen. Detta innebär att vi typiskt använder en PID-regulator för reglering av underdämpade processer med relativt långsam dynamik och inte alltför stor dödtid. Här är förstås långsam ett relativt begrepp normalt väljer vi en PID-regulator för ett tredje ordningens system och ofta också för ett andra ordningens system. ypiska tillämpningar i processindustrin är reglering av temperatur och kemisk sammansättning i sådana fall där processen inte har integrerande verkan eller betydande dödtider (t.ex. pga långa koncentrationsanalystider).