Tentamen LMA 200 Matematisk statistik, data/elektro

Relevanta dokument
Tentamen LMA 200 Matematisk statistik,

Matematisk statistik, LMA 200, för DAI och EI den 25 aug 2011

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik,

Uppgift 3: Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen 0 10 f(x) =

Övningstentamen i matematisk statistik

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2

Övningstentamen 1. c) Beräkna sannolikheten att exakt en av A eller B inträffar (6 poäng)

Tentamen i matematisk statistik för BI2 den 16 januari 2009

Tentamen i statistik och sannolikhetslära för BI2 den 27 maj 2010

Tentamen i Dataanalys och statistik för I den 28 okt 2015

Övningstentamen 1. A 2 c

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U.

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Uppgift 2) Datum: 23 okt TENTAMEN I MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, kurskod 6H3000

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Kap 3: Diskreta fördelningar

Svar till gamla tentamenstal på veckobladen

Övningstentamen 3. Uppgift 5: Anta att ξ är en kontinuerlig stokastisk variabel med följande frekvensfunktion: f(x) = 0

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

4 Diskret stokastisk variabel

Övningstentamen 2 Uppgift 1: Uppgift 2: Uppgift 3: Uppgift 4: Uppgift 5: Uppgift 6: i ord

Svar till gamla tentamenstal på veckobladen

Oberoende stokastiska variabler

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Tillämpad matematisk statistik för MI3 den 1 april 2005

P =

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 15 / TEN 1

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

en observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.

** a) Vilka värden ska vara istället för * och **? (1 p) b) Ange för de tre tillstånden vilket som svarar mot 0,1,2 i figuren.

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 19 nov 07

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Matematisk statistik LKT325 Tentamen med lösningar

Övningstentamen i matematisk statistik för kemi

Avd. Matematisk statistik

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = ξ = 2ξ 1 3ξ 2

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Föreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2

Lösningsförslag till Tillämpad matematisk statistik LMA521, Tentamen

Del I. Uppgift 1 Låt A och B vara två oberoende händelser. Det gäller att P (A) = 0.4 och att P (B) = 0.3. Bestäm P (B A ). Svar:...

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M

TENTAMEN I SF2937 (f d 5B1537) TILLFÖRLITLIGHETSTEORI TORSDAGEN DEN 14 JANUARI 2010 KL

Avd. Matematisk statistik

TENTAMEN Datum: 14 feb 2011

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

1 Föreläsning IV; Stokastisk variabel

Lufttorkat trä Ugnstorkat trä

Våra vanligaste fördelningar

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN

Tryckfel i K. Vännman, Matematisk Statistik, upplaga 2:13

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 2018 KL

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

e x/1000 för x 0 0 annars

Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E

Tillämpad matematisk statistik LMA522 (maskin/mekatroniks kurs) Tentamen

Tentamen TEN1, HF1012, 29 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Konvergens och Kontinuitet

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Kurssammanfattning MVE055

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

cx 5 om 2 x 8 f X (x) = 0 annars Uppgift 4

Grundläggande matematisk statistik

Föreläsning 8, Matematisk statistik Π + E

a) Beräkna sannolikheten att en följd avkodas fel, det vill säga en ursprungliga 1:a tolkas som en 0:a eller omvänt, i fallet N = 3.

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Lösningsförslag till Matematisk statistik LKT325 Tentamen

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Stokastiska processer och simulering I 24 maj

Tentamen i matematisk statistik, TAMS15/TEN (4h)

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

Markovprocesser SF1904

Avd. Matematisk statistik

b) Vad är sannolikheten att personen somnar i lägenheten? (4 p) c) Hur många gånger förväntas personen byta rum? (4 p)

1. En kortlek består av 52 kort, med fyra färger och 13 valörer i varje färg.

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel

Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen

Stokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden

Transkript:

Tentamen LMA 00 Matematisk statistik, data/elektro 039 Tentamen består av åtta uppgiter motsvarande totalt 50 poäng. Det krävs minst 0 poäng ör betyg 3, minst 30 poäng ör 4 och minst 40 ör 5. Examinator: Ulla Blomqvist, ankn 5886 Hjälpmedel: Tabell- och ormelsamling och Chalmersgodkänd miniräknare Besöker tentamen: c:a kl 5.5 och 7.00 Lycka till! Uppgit : Man har urnor. I den ena inns vita och 3 svarta kulor. I den andra inns en vit och en svart kula. Man lyttar en slumpmässigt vald kula rån den örsta urnan till den andra utan att notera dess ärg. a) Om man drar en kula rån den andra urnan, vad är då sannolikheten att den är vit? b) Man drar en kula rån den andra urnan och inner att den är vit. Vad är den betingade sannolikheten ör att den lyttade kulan var svart? Uppgit : Vid ett konstruktionsarbete kan tiden med vilken arbetet kan örsenas betraktas som en diskret stokastisk variabel med öljande sannolikhetsördelning: ξ = x (i dagar) 3 4 P(ξ = x) 0.5 0.3 0. 0. a) Bestäm väntevärde och varians ör det antal dagar som arbetet kan örsenas. b) Ett öretag håller just nu på med 0 sådana konstruktionsarbeten. Vad är sannolikheten att högst av dem blir örsenade med 4 dagar. Anta att längden av tiderna ör konstruktionsarbetena är oberoende av varandra. Uppgit 3: personer. Anta att vi studerar ödelsedagarna hos ett antal slumpmässigt utvalda a) En grupp består bara av 5 personer. Vad är sannolikheten att alla 5 har olika ödelsedagar. b) En annan grupp består av 00 personer. Bestäm sannolikheten att exakt av dem är ödda den januari. Uppgit 4: Man har två reläer som är inställda ör utlösning.0 respektive.5 sekund eter en impuls. Utlösningstiderna är N(.0, 0.) respektive N(.5, 0.) och oberoende. Bestäm sannolikheten ör att det andra reläet utlöses öre det örsta om de samtidigt utsätts ör en impuls.

Uppgit 5: Livslängden ör en viss typ av elektronrör är exponentialördelad med λ=0.005. Ett sådant rör ingår i en radarutrustning som ständigt är i bruk på ett artyg. När ett sådant rör går sönder byts det genast ut mot ett nytt. Om man har 50 sådana elektronrör i lager på artyget, beräkna en tid T sådant att lagret räcker åtminstone denna tid med sannolikheten 0.. Livslängden ör olika rör är oberoende. Uppgit 6: Vid en undersökning av alkohols inverkan på reaktionstiden på 6 slumpmässigt utvalda personer ick man öljande resultat (tid i sekunder): Person öre alkohol eter alkohol skillnad A 0.5 0.55 0.40 B 0.0 0.60 0.50 C 0.0.00 0.90 D 0.5 0.55 0.30 E 0.5 0.50 0.5 F 0.0 0.35 0.5 Anta att reaktionstiderna öre och eter alkohol är normalördelade. a) Beräkna ett 95%-igt konidensintervall ör den genomsnittliga skillnaden mellan reaktionstiderna öre och eter alkohol. b) Tyder denna undersökning på att alkohol påverkar reaktionstiden? Du måste motivera ditt svar ör att å poäng. c) Beräkna ett 95%-igt ensidigt uppåt begränsat konidensintervall ör motsvarande standardavvikelse. Uppgit 7: Anta att man har en Markovkedja i diskret tid som kan illustreras med nedanstående lödesdiagram 0.9 0. A C D 0.6 0. 0. 0. B ortsättning uppgit 7 på nästa sida

ortsättning uppgit 7 a) Anta att man startar processen i tillstånd A. Vad är sannolikheten att komma tillbaka till tillstånd A (ör örsta gången eter man lämnat A). b) Hur många steg örväntas det ta ram till absorption om man börjar i tillstånd A? (8 poäng) Uppgit 8: Anta att ett öretag har maskiner som arbetar parallellt oberoende av varandra. Var och en går sönder med intensiteten 0.. Så ort en maskin går sönder påbörjas reparationen. En serviceman reparerar en maskin med intensiteten 0.4. Två servicemän kan inte arbeta samtidigt på samma maskin. När maskinerna är hela har en serviceman inget annat arbete som väntar. En serviceman kostar öretaget 000 kronor/timme. Vilken timkostnad måste öretaget ha ör en stillastående maskin ör att det skall löna sig att anställa servicemän som kan reparera de maskinerna?

Uppgit : Lösningar till tentamen i matematisk statistik, LMA00, 0039 A = Den dragna kulan rån urna är vit P(A) = A C = Den dragna kulan rån urna är svart P(A C ) = B= Den dragna kulan rån urna är vit P(A B) = P(B A) ÿ P(A) = = P(A C B) = P(B A C ) ÿ P(A C ) = = A B 4 3 7 5 5 5 B C 5 3 8 5 5 5 3 9 6 = = 5 5 5 5 A C 7 a) P(B) = 0. 467 5 3 b) P(A C B) = P (A C B) 5 3 = = 0. 49 P(B) 7 7 5 Uppgit : ξ = antal dagar som ett arbete blir örsenat. a) E(ξ) = x P( ξ = x ) = 0.5 + 0.3 + 3 0. + 4 0.. 8 Ω i i = i i = Var(ξ) = x P( ξ = x ) [ E( ξ) ] = 0.5 + 0.3 + 3 0. + 4 0..8 0. 96 Ω b) η = antal arbeten som blir örsenat med 4 dagar η är Bin(n, p) = Bin(0, 0.) 0 0 0 0 9 0 8 P(η ) = 0. 0.9 + 0. 0.9 + 0. 0.9 0. 93 0

Uppgit 3: Man brukar räkna med att ett år har 365 dagar. a) 365 364 363 36 36 P(alla har olika ödelsedagar) = 0. 973 365 365 365 365 365 b) ξ = antal personer som har ödelsedag den januari ξ är Bin(n, p) = Bin(00, ) 365 00 364 P(ξ = ) = 0. 084 365 365 98 Uppgit 4: ξ = Utlösningstiden ör relä ξ är N(µ, σ) = N(.0, 0.) η = Utlösningstiden ör relä η är N(µ, σ) = N(.5, 0.) Beräkna P(η < ξ) = P(η ξ < 0) Bilda en ny stokastisk variabel ζ = η ξ E(ζ) = E(η) E(ξ) =.5.0 = 0.5 Var(ζ) = Var(η) + Var(ξ) = 0. + 0. = 0.05 P(ζ < 0) = P(Z < 0 0.5 ) = P(Z <.4 ) = P(Z <.4 ) 0.9875 = 0.05 0.05 Uppgit 5: ξ = Livslängden ör en viss typ av elektronrör ξ är Exp(λ) = Exp( 0.005) η = ξ + ξ +.. + ξ 50 E(η) = n = 50 ÿ λ 0.005 = 0 000 Var(η) = n = 50 ÿ λ 0.005 = 000 000 P(η > T) = 0. ñ P(η < T) = 0.9 T 0000 P(η < T) = P(Z < ) = 0.9 000 000 T 0000 Tabellen ger P(Z <.8) = 0.9 l =.8 ñ 000 000 ñ T = 0 000 +.8 000000 80. tidsenheter

Uppgit 6: x = skillnaden mellan reaktionstiderna öre och eter alkohol n = 6 l 3 d 6 xi = 0.40 + 0.50 + 0.90 + 0.30 + 0.5 + 0.5 =.6 i= 6 xi = 0.40 + 0.50 + 0.90 + 0.30 + 0.5 + 0.5 =.435 i= x n x i = = n i =.6 6 0.433 s = n x i= i n xi i= n n =.6.435 6 6 = 0. 06667 0.48 a) Ett 95%-igt konidensintervall ör µ t =.57 s 0.48 x ± t 0.433 ±.57 0.433 ± 0. 60 [ 0.73, 0.693] n 6 b) Ett 95%-igt konidensintervall bygger på en metod som i 95 all av 00 ger ett intervall som täcker över det sanna värdet. Etersom skillnaden = 0 inte täcks över av intervallet så tyder undersökningen på att reaktionstiden påverkas av alkohol. c) Ett 95%-igt ensidigt uppåt begränsat konidensintervall ör σ: [0, (n )s χ 0.95 ] = [0, ( 6 ) 0.06667 ] [ 0, 0.59 ].45 Uppgit 7: a) Tillbaka till A eter steg: eter steg: eter 3 steg: eter 4 steg: eter n steg: () = P(kvar i A) = 0 () = P(A C A) = 0.9 0.6 (3) = P(A C C A) = 0.9 0. 0.6 (4) = P(A C C C A) = 0.9 0. 0.6 (n) = 0.9 0. n- 0.6 ortsättning uppgit 7a på nästa sida

ortsättning uppgit 7a Summan av en geometrisk serie ås med hjälp av öljande ormel: örsta värdet i serien kvoten mellan två närliggande värden i serien Första värdet = 0. och kvoten mellan två närliggande värden = 0. = (t) t= = () + () + (3) +. = = 0 + 0.9 0.6 + 0.9 0. 0.6 + 0.9 0. 0.6 +.. = = 0.9 0.6 + 0.9 06 (0. + 0. + ) = = 0.54 + 0.54 0. 0. = 0.675 Alltså, om vi startar i A så har vi 67.5%:s chans att komma tillbaka till A. b) För att å diagonalens :or så långt ner i matrisens högra hörn som möjligt döps tillstånden B och C om till C * och B *. Övergångsmatrisen år då öljande utseende: A = 0 0.6 0 0 0.9 0. 0 0 0. 0. 0 0 0. 0 Rader och kolumner som hör ihop med de absorberande tillstånden stryks. Den stympade övergångsmatrisen betecknas P *. P * = 0 0.6 0.9 0. Fortsättning uppgit 7b på nästa sida

Fortsättning uppgit 7b N = E P * = 0 0 0 0.9 0.6 0. 0.9 = 0.6 0.8 Beräkna inversen N - * = [ ] E P det N = det 0.6 0.9 0.8 = 0.8 ( 0.6) ( 0.9) = 0. 6 N - = 0.6 0.8 0.6 0.9 3.08 3.46 =.3 3.85 Medeltid till absorption betingat av start i tillstånd A = 3.08 + 3.46 = 6.54 tidsenheter Uppgit 8: Vi börjar att beräkna timkostnaden när en reparatör är anställd. Denna situation kan illustreras med hjälp av nedanstående diagram. Tillstånden anger antal trasiga maskiner. λ = 0. λ = 0. 0 µ = 0.4 µ = 0.4 π = 0. 0.4 π 0 = π0 π = 0. 0. 0.4 0.4 π 0 = 8 π0 π 0 + π + π = 3 8 π 0 + π0 + π0 = π 0 ( + + ) = π0 = π0 = 8 8 8 3 π = π0 = 3 8 = 3 4 π = 8 π0 = 8 3 8 = 3 Alltså, den asymptotiska tillståndsvektorn blir π = [ 3 8, 3 4, 3 ] Fortsättning uppgit 8 på nästa sida

Fortsättning uppgit 8 Sannolikhetsördelningen ör kostnaden per timme ör stillastående maskiner: Antal stillastående maskiner Kostnad Sannolikhet 0 0 X X Förväntad timkostnad ör stillastående maskiner: 8 3 4 3 3 0 3 8 + X 3 4 + X 3 = 3 6 X Timkostnad ör maskiner och en reparatör = 3 6 X + 000:-- Vi ortsätter med att beräkna timkostnaden när två reparatörer är anställda. Tillstånden anger antal trasiga maskiner. λ = 0. λ = 0. 0 µ = 0.4 µ = 0.8 π = 0. 0.4 π 0 = π0 π = 0. 0. 0.4 0.8 π 0 = 6 π0 π 0 + π + π = 5 6 π 0 + π0 + π0 = π 0 ( + + ) = π0 = π0 = 6 6 6 5 Fortsättning uppgit 8 på nästa sida

Fortsättning uppgit 8 6 8 π = π0 = = 5 5 6 π = π0 = = 6 6 5 5 6 8 Alltså, den asymptotiska tillståndsvektorn π = [,, ] 5 5 5 Sannolikhetsördelningen ör kostnaden per timme ör stillastående maskiner: Antal stillastående maskiner Kostnad Sannolikhet 0 0 X X 6 5 8 5 5 Förväntad timkostnad ör stillastående maskiner: 6 8 0 0 + X + X = X 5 5 5 5 0 Timkostnad ör maskiner och två reparatörer = X + 000:-- 5 Det är billigare att anställa två reparatörer än en om 0 6 X + 000:-- < X + 000:-- X > 650:-- 5 3 d.v.s. om kostnaden ör en trasig maskin kostar öretaget mer än 6 50 kronor/timme så lönar det sig med reparatörer i örhållande till en.