UPP TILL BEVIS! Cirkelns omkrets är 2 π r och arean är π r 2 Hur Hur vet du det att det gäller alla cirklar? Matematikbiennetten i Malmö 9 mars 2013 Marie Jacobson, Malmö högskola
Matematisk bevisföring förknippas ofta med Euklides och geometri.. Hjärnan i mig vrides när jag tänker på Euklides och på de trianglarna ABC och CBA. Svetten ur min panna gnides värre än på Golgata (C-M Bellman)
1889 års kursplan Två nedslag i kursplanernas historia Mål: förbereda eleverna att klara problem med praktisk anknytning i dagligt liv. Praktiska uppgifter viktigare än mekanisk räkning. inte nedsjunka till endast mekaniskt räknande Geometri läses endast av pojkar! 1962 års kursplan Grundskolan införs Mål: Inommatematiska. Kompromiss mellan folkskola och realskola Euklides geometri tas i princip bort.
Läroböcker i matematik i Sverige 1614 Arithmetica (Aurelius). Första tryckta läroboken i aritmetik på svenska 1642 (Stjernhjelm m fl) Decimaltal för första gången 1643 (Björk) Den första boken som skriver om algebra. Den som lär sig algebra får ett kvitto på att man kan förstå allt 1721 (Gabriel Duhre) Första geometriboken. Innehöll även Sannolikhetslära 1744 Euklides elementa (översättning Mårten Strömer)
Vilka mål och krav ställs i Lgr11 kring bevisföring? Mål i syftestexten Undervisningen ska se till att eleverna utvecklar förmågan att argumentera logiskt och föra matematiska resonemang Centralt innehåll 7-9 Geometriska satser och formler och behovet av argumentation för deras giltighet Kunskapskrav 7-9 E-nivå: I redovisningar och diskussioner för och följer eleven matematiska resonemang genom att framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som till viss del för resonemangen framåt. A-nivå: I redovisningar och diskussioner för och följer eleven matematiska resonemang genom att framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som för resonemangen framåt och fördjupar och breddar dem. Ur Lgr11:s kommentarmaterial: De ska också ges möjlighet att resonera om och hur man inom matematiken avgör om något är sant eller inte. På så vis lägger kursplanen grunden för elevernas förståelse av innebörden i begreppen sats och bevis i framtida studier.
Vilka mål och krav ställs i Lgy11 kring bevisföring? Mål i syftestexten Undervisningen ska ge eleverna förutsättningar att utveckla förmågan att: Följa, föra och bedöma matematiska resonemang Kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling Centralt innehåll 1bc2a Matematisk argumentation med hjälp av grundläggande logik inklusive implikation och ekvivalens samt jämförelser med hur man argumenterar i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden (naturvetenskapliga ämnen),(yrkesmässiga sammanhang) 1bc Illustration av begreppen definition, sats och bevis, tex med Pythagoras sats och triangelns vinkelsumma 3c Bevis och användning av cosinus-, sinus- och areasatsen för en godtycklig triangel 4. Användning och bevis av de Moivres formel Olika bevismetoder inom matematiken med exempel från områdena aritmetik, algebra eller geometri 5. Induktionsbevis med konkreta exempel från till exempel talteoriområdet
Lgy11 Kunskapskrav 1abc, 2abc E-nivå: Eleven kan föra enkla matematiska resonemang, värdera med enkla omdömen värdera egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden A-nivå: Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade omdömen och vidareutveckla egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. 3bc,4,5 E-nivå: Eleven kan föra enkla matematiska resonemang, värdera med enkla omdömen värdera egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden C-nivå: E-nivån + Vidare kan eleven genomföra enkla matematiska bevis A-nivå: E-nivån + Vidare kan eleven genomföra matematiska bevis
Vad är ett matematiskt bevis? Definition: Övertygande argumentation för att ett matematiskt resultat skall accepteras som sant (Matematiktermer i skolan, Mouwitz Lars, Kiselman Christer)
Övertyga 1) dig själv 2) en vän 3) vem som helst
ÅSNEBRYGGAN (lat. pons asinorum, "åsnornas bro") Namnet syftar på de studenter som inte kom så långt i sina matematikstudier, alltså inte kom över (den smala) bron. [ Användes som inträdesprov Sats ur Euklides Elementa: De vinklar, som står vid basen i en likbent triangel, är lika stora. C Bevis. Antag att AC = BC i ABC. Bilda CD som är en bisektris till Λ C CAD är kongruent med CBD, eftersom AC = BC och Λ ACD = Λ BCD A D B Alltså Λ A = Λ B (VSB)
Elever har ofta uppfattningen att bevis huvudsakligen består av symboler. Därför krävs en påminnelse om att man kan bevisa både med ord, gestaltning och beräkningar Det viktigaste är du (och även din fiende ) blir övertygad!
Vad är ett axiom? Ett grundläggande påstående som vi alla kan vara överens om är rimligt och som kan accepteras utan bevis. Exempel 1: Parallellaxiomet: genom en punkt går en och endast en linje parallell med en given rät linje.
AXIOM - Exempel 2 Vertikalvinklar och alternatvinklar Vertikalvinklar (motstående vinklar) är lika stora. Vid parallella linjer är alternatvinklar (och därmed även likbelägna vinklar) lika stora.
KONGRUENS Kongruenta figurer är identiskt lika. De överensstämmer helt. De har samma storlek och form.
KONGRUENSFALLEN ( Grundsatser, axiom)
KONGRUENTA? Nej! De överensstämmer i två sidor och en vinkel, men den är inte mellanliggande
KONGRUENTA? Nej! De överensstämmer i två vinklar och en sida, vilken inte är motsvarande
Fråga till eleverna: Hur vet vi att vinkelsumman i en triangel är 180? Vinkelsumman är väl 3? Vad skulle ni säga om en ny lärare påstod att vinkelsumman är 179 och 59?
Triangelns vinkelsumma som exempel på olika typer av bevisföring..
1) Rita några trianglar och mät vinklarna!
2) Visa dynamiskt med ett rep!
Hur nära kan vi gå?
3) Demonstration med en papperstriangel. Klipp av hörnen och lägg dem längs en rak linje!
4) Vandring med en penna inuti en triangel (håll fast spetsen i hörnorna)
Vandring med en penna inuti en triangel
Vandring med en penna inuti en triangel
Vandring med ett föremål inuti en triangel Pilen har vridit sig 180 efter vandringen
5) Vandring utanför triangeln ABC (tex en groda) Grodan har vridit sig 3 ggr när den gått runt, vilket motsvarar ett helt varv alltså är ΛCBD + ΛACE + ΛFAB = 360 andra vridningen E C första vridningen F A tredje vridningen B D
Vandring utanför triangeln ABC (tex en groda) Grodan har vridit sig 3 ggr när den gått runt, vilket motsvarar ett helt varv alltså är ΛCBD + ΛACE + ΛFAB = 360 Vi vet att ΛCBD = 180 - ΛABC ΛACE = 180 - ΛBCA ΛFAB = 180 - ΛCAB andra vridningen E C Då är ΛCBD + ΛACE + ΛFAB = (180 - ΛABC) + (180 - ΛBCA) + ( 180 - ΛCAB)= 540 - (ΛABC + ΛBCA + ΛCAB) = 360 Alltså är triangelns innervinklar ΛABC + ΛBCA + ΛCAB = 180 första vridningen F A tredje vridningen B D
6) Användning av axiom Konstruera linjen XY som är parallell med AC Då blir ΛA = ΛXBA och ΛC = ΛCBY (alternatvinklar) Triangelns vinkelsumma = ΛA + ΛABC + ΛC = ΛXBA + ΛABC + ΛCBY = 180 (rak vinkel) X B Y Pröva gärna på geobräde med olika triangelstorlekar! A C
Vilka exempel där vi visat triangelns vinkelsumma är BEVIS? 1) Rita några trianglar och mät vinklarna Inget bevis eftersom vi inte har visat för alla trianglar 2) Visa dynamiskt med ett rep! Inget bevis eftersom vi inte vet om ökningen och minskningen av triangelns vinklar är lika stora när eleverna förflyttar sig 3) Demonstration. Riv av hörnen i en triangel och lägg dem längs en rak linje Inget bevis eftersom det inte kan genomföras med alla trianglar 4) Vandring inuti triangeln Är ett (experimenterande, intuitivt) bevis 5) Vandring utanför triangeln (kan användas för alla polygoner) Är ett bevis 6) Godtycklig triangel som kompletteras med en parallell linje till en av sidorna Är ett bevis byggt på axiom
Pythagoras sats På följande bilder finns fyra exempel på hur satsen kan visas på olika sätt. Men. vilka är helt övertygande? Varför? I en rätvinklig triangel är summan av kvadraterna på kateternas längder lika med kvadraten på hypotenusans längd a c a 2 + b 2 = c 2 b
Förslag 1 (cm) 3 5 4 Vi utgår från en rätvinklig triangel med sidorna 3,4 och 5 cm Summan av kateternas kvadrater: 3 2 + 4 2 = 25 Kvadraten på hypotenusan : 5 2 = 25 Alltså är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kateternas kvadrater. Pythagoras sats är bevisad!
Förslag 2 (cm) 3 3 4 5 4 5 Utgå från en rätvinklig triangel med sidorna 3,4 och 5 cm 2 Kvadrater ritas på kateterna. Kvadraternas areor jämförs. Vi får 3 2 + 4 2 = 5 2 cm 2 Pythagoras sats är sann!
Förslag 3 : Geometri och algebra b a a b c c b b c c a a b Arean av den stora kvadraten kan uttryckas på två sätt: Arean av den största kvadraten = Den inre kvadraten + 4 rätvinkliga trianglar (a+ b) 2 = c 2 + 4 ab/2 a 2 + b 2 + 2ab = c 2 + 2ab (första kvadreringsregeln) a 2 + b 2 = c 2 Pythagoras sats är bevisad!
Förslag 4 b a c b a c b c c a a b
a a b b a a b b c c c c a b b b a a a b Bildbevis med pusselbitar och algebra Vi jämför de vita områdena i de två stora kvadraterna med sidorna (a+b) vilket ger c 2 = a 2 + b 2 Pythagoras sats är bevisad!
Ytterst handlar matematiken om att upptäcka mönster och formulera generella samband. ur Lgy11
Tre exempel på hur man kan tänka ut det generella mönstret Olika sätt att se tändsticksmönstret Figur Antal stickor 1 2 3 Antal stickor Vågräta stickor Lodräta stickor Totalt 1 4 = 4 + 3 0 4 = 1 + 3 1 2 = 2 1 2 =1 + 1 2 + 2 = 4 2 7 = 4 + 3 1 7 = 1 + 3 2 4 = 2 2 3 = 1 + 2 4 + 3 = 7 3 10 = 4 + 3 2 10 = 1 + 3 3 6 = 2 3 4 = 1 + 3 6 + 4 = 10 4 13 = 4 + 3 3 13 = 1 + 3 4 8 = 2 4 5 = 1 + 4 8 + 5 = 13 n 4 + 3(n-1) 1 + 3 n 2 n 1 + n 3n + 1
Hur många kvadrater finns i figuren? 1 2 3 4 5 Figur nr 1 2 3 4 5 6 10 Antal kvadrater 2 5 10 17 26 37 101 Algebraiskt n n 2 + 1 Retoriskt: kvadrera längd och addera med ett
1 2 3 4 5 Figur nr 1 2 3 4 5 6 10 Antal kvadrater 2 5 10 17 26 37 101 n n 2 + 1 3 5 7 9 11 2 2 2 2 Konstant i andradifferensen tyder på ett andragradspolynom!
1+ 2 + 3+4+5+ +98+99+100 Gauss upptäckt: 1+100 = 101 2+ 99 = 101 3+ 98 = 101.. 50 + 51 = 101 Antalet termer Gäller detta samband för alla tal, n om differensen mellan termerna är konstant? Första termen Sista termen 100 2 Resultat: Summan = (1 100)
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Intuitivt bildbevis av Gauss summaformel (aritmetisk summa) I vårt exempel har vi en bild av summan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 Två identiska talföljder bildar en rektangel med sidorna 5 och 1+5 Rektangelns area : 5 (1+5) Vi får tillbaka summan 1+2 + 3 + 4 + 5 genom att halvera rektangeln 5(1+5)/2 = 15 Det verkar som S n = 1 + 2 + 3 + 4 +.+ (n-1) + n = n (1 + n)/2
BORDTENNIS Alla möter alla Hur många matcher behöver spelas? Marie Jacobson 9 mars 2013
Antal matcher? Marie Jacobson 9 mars 2013
Kan vi upptäcka ett mönster i talföljden? Antal personer 2 3 4 5 6 30 Antal matcher 1 3 6 10 15?? Marie Jacobson 9 mars 2013
Talen går att lägga som trianglar! 1 1+2 = 3 1+2+3 = 6 1+2+3+4 = 10 1+2+3+4+5 = 15 1+2+3+4+5+6 = 21 6(1+6)/2 Marie Jacobson 9 mars 2013
Vi visar sambandet på ett annat geometriskt sätt och låter n betyda antalet spelare istället för triangeltalets nummer Marie Jacobson - 7 sep 2012
Marie Jacobson - 7 sep 2012
2 spelare 2 1 Antal matcher motsvarar halva rektangeln 3 spelare 3 2 4 spelare 4 3 5 spelare 5 4 n spelare behöver spela n(n-1)/2 Marie Jacobson - 7 sep 2012
Alla möter alla! Hur många matcher måste 30 personer spela? Resultat: (30 29)/2= 435 st! Marie Jacobson - 7 sep 2012
Vad är summan av de första udda heltalen? 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 =? 1 + 3 + 5 + 7 =? 1 + 3 + 5 + 7 + 9 =? 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 =?
Vad är summan av de första udda heltalen? 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 Kan du se ett mönster i talen?
Vad är summan av de första udda heltalen? 1 = 1 2 1 + 3 = 4 = 2 2 1 + 3 + 5 = 9 = 3 2 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 2 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 2 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6 2 Summan ser ut att vara kvadraten på antalet termer. Gäller detta generellt?
1 + 3 + 5 + 7 + 9 Summan av de konsekutiva udda heltalen visas med en annan bild.
1 + 3 + 5 + 7 + 9
Hur många slutna områden kan du maximalt finna i cirkeln om du ritar kordor mellan punkterna på cirkelperiferin? (Högst två kordor får skära varandra i samma punkt) Antal punkter (n) 1 2 3 4 5 6 n Antal områden (y) 1 2 4?
Antal punkter (n) 1 2 3 4 5 6 n Antal områden (y) 1 2 4 8 16 31??
12 10 11 13 24 9 1 14 23 2 8 3 15 4 7 1 22 16 5 6 6 20 17 18 19 26 25 27 28 29 21 30
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 y 1 2 4 8 16 31 57 99 163 256 386 562 794 1093 1471 1 2 4 8 15 26 42 64 93 130 176 1 2 4 7 11 16 22 29 37 46 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 Konstant vid fjärde differensen, vilket tyder på ett fjärdegradspolynom! Antal områden vid n punkter: y= (n 4-6n 3 + 23n 2-18n + 24)/ 24
Dra inte förhastade slutsatser! Ibland måste man använda sig av induktionsbevis.. Faller en faller alla
Exempel på induktionsbevis för bordtennisproblemet S n n( n 1) 0 1 2 3 4... ( n 1) 2 1(1 1) 2 1. Formeln gäller för n= 1 eftersom S1 0 2. Antag, att formeln gäller för n= k dvs S k k( k 1) 2 Induktionsantagande
Exempel på induktionsbevis för bordtennisproblemet S n n( n 1) 0 1 2 3 4... ( n 1) 2 1(1 1) 2 1. Formeln gäller för n= 1 eftersom S1 0 2. Antag, att formeln gäller för n= k dvs S k k( k 1) 2 Induktionsantagande S k 1 S k (( k 1) 1) k( k 1) 2 k k( k 1) 2 2k ( k 1) k 2
Exempel på induktionsbevis för bordtennisproblemet S n n( n 1) 0 1 2 3 4... ( n 1) 2 1(1 1) 2 1. Formeln gäller för n= 1 eftersom S1 0 2. Antag, att formeln gäller för n= k dvs S k k( k 1) 2 Induktionsantagande S k 1 S k (( k 1) 1) k( k 1) 2 k k( k 1) 2 2k ( k 1) k 2
Exempel på induktionsbevis för bordtennisproblemet S n n( n 1) 0 1 2 3 4... ( n 1) 2 1(1 1) 2 1. Formeln gäller för n= 1 eftersom S1 0 2. Antag, att formeln gäller för n= k dvs S k k( k 1) 2 Induktionsantagande S k 1 S k (( k 1) 1) k( k 1) 2 k k( k 1) 2 2k ( k 1) k 2 1 och 2 visar att formeln gäller