Strömning och varmetransport/ varmeoverføring

Lektion 7: Värmetransport TKP4100/TMT4206 Strömning och varmetransport/ varmeoverføring Reynolds tal är ett dimensionslöst tal som beskriver flödesegenskaperna hos en fluid. Ett lågt värde på Reynolds tal (värden mindre än 2300) kallas ett laminärt flöde och beskriver en låg hastighet på flödet. Turbulent flöde beskrivs av Reynolds tal högre än 2300 och har hög hastighet. Ragnhild E. Aune (ragnhild.aune@ntnu.no) 1

Värmetransport i form av konvetion Vad som händer i ett material då värme transporteras genom materialet har redan behandlats (värmetransport i fasta kroppar och stillastående fluider konduktiv värmeöverförning). I många fall kommer fasta material (kroppar) att avkylas/ uppvärmas av en omgivande fluid i rörelse. Denna typ av värmetransport benämnas konvektiv värmeöverförning. Värmeöverföring mellan två olika faser sker genom strömning. 2

Värmetransport i form av konvetion Den konvektiva värmeöverförningen antas ske genom ett tänkt gränsskikt mellan de två aktuella faserna. För att illustrera att värmeöverförningen antas ske genom ett tänkt gränsskikt mellan de två aktuella faserna studeras en horisontell plan platta av temperatur T 0 och en strömmande fluid av temperaturen T. 3

Värmetransport i form av konvetion Fluidens uppgift är att antingen värma/kyla plattan, och antas strömma över plattan från vänster till höger. 4

Värmetransport i form av konvetion Om en temperaturskillnad existerar mellan två faser kommer en viss värmeöverföring att ske mellan dessa faser (i detta fall mellan den horisontella plattan och den strömmande fluiden). Hastighetsgränsskikt Temperaturgränsskikt Som ett resultat av denna värmeöverförning kommer ett termiskt gränsskikt tillsammans med ett hastighetsgränsskikt att bildas ovanför plattan (det antas att all värmeöverföring sker i temperaturgränsskiktet). 5

Värmetransport i form av konvetion Gränsskiktets tjocklek kan i vissa enkla fall beräknas, men i verkligheten är det dock betydligt svårare att få fram ett värde. Temperaturen i gränsskiktet är inte konstant, och den sätts ofta till ett värde som representeras av medeltemperaturen mellan den fasta kroppen och fluiden. Hastighetsgränsskikt Temperaturgränsskikt 6

Värmetransport i form av konvetion Vid beräkning av den konvektiva värmeöverförningen görs först en indelning av hur fluiden har satts i rörelse: Naturlig konvektion, fri konvektion eller egenkonvektion Fluidens rörelse uppkommer till följd av olikhet i densitet mellan de två betraktade medierna. Denna densitetsskillnad uppkommer i sin tur till följd av den temperaturdifferens som existerar mellan de två medierna. Påtvingad konvektion eller forserad konvektion Fluidens rörelse åstadkommes av yttre påverkan såsom pumpar, fläktar, vind etc. 7

Dimensionslösa tal Det är extremt svårt att lösa de ekvationer som beskriver den konvektiva värmetransporten. Den konvektiva värmeövergången studerats därför ofta experimentellt och resultaten återgivits i form av empiriska ekvationer (vilka innehåller dimensionslösa grupper). Fördelen med att använda dimensionslösa grupper är att ett stort antal variabler kan kombineras till ett fåtal dimensionslösa tal. 8

Dimensionslösa tal mer ingående Kommer inte att krävas på examen (s.9 - s. 13) De flesta fenomen beror av många variabler och om man utan att göra begränsningar försöker att experimentellt analysera beroendet blir antalet mätningar och mängden resultat lätt oöverskådliga. En vätskas stighöjd i en kapillär berodde t.ex. av fem variabler. Utan reduktion av antalet variabler behövs fem experimentserier där var enskild variabel varieras med de övriga fixerade. 9

Dimensionslösa tal mer ingående Det kan ibland vara omöjligt att genomföra fem experimentellaserier med tillräcklig noggrannhet, och det ger alltid en svåröverskådlig mängd resultat. Genom en enkel dimensionsanalys reduceras både det experimentella arbetet och den följande analysen. Ett sätt att angripa ett problem med många variabler är att arrangera variablerna i dimensionslösa grupper. Antalet sådana grupper blir mindre än antalet ursprungliga variabler. Varje grupp betraktas sedan som en variabel. 10

Dimensionslösa tal - Exempel som illustrera tekniken r l Arean av en rät cirkulär kon: Konens yttre begränsningsyta är: A = π 2 + p rl Exemplet har tre variabler A, r och l. Grafiskt, vilket är det mest överskådliga sättet att framställa ett experimentellt resultat, kan arean framställas som en kurvfamilj enligt följande figurer: 11

Dimensionslösa tal - Exempel som illustrera tekniken Om man "avdimensionerar" sambandet mellan A, r och l t.ex genom division med p r 2 (eller p r l, r l, l 2, A) blir sambandet: eller A / ( π r 2 ) = 1 + l / r A / (π r l) = r / l + 1 Grafiskt kan det framställas: 12

Dimensionslösa tal - Exempel som illustrera tekniken Kurvfamiljen har ersatts med en enda rät linje som kan beskriva alla typer av koner. Känner man l och r kan l/r beräknas och A/π r 2 avläsas därefter kan A beräknas. Observera också att alla koner med samma kvot l/r representeras av samma punkt på den räta linjen. För att det skall vara en kon så måste l vara större än r l/r varierar mellan 1 och oändligheten för olika koner medan r/l varierar mellan 0 och 1 för att täcka olika koner. 13

Dimensionslösa tal Reynoldstal (Re) beskriver förhållandet mellan inerta och viskösa krafter i ett system vid påtvingad konvektion, d.v.s. Re bestämmer om flödet är laminärt eller turbulent. Nusseltstal (Nu) beskriver förhållandet mellan konduktion och konvektion i en fluid. Nusselstal är en funktion av värmeöverförningstalet h. Prandtls tal (Pr) beskriver förhållandet mellan transporttermen för kinetisk energi respektive värme, d.v.s. Pr beskriver om hastighetsgränsskiktet är större än det termiska gränsskiktet. Grashofs tal (Gr) motsvarar Re för naturlig konvektion. 14

Reynoldstal (Re) Enligt Reynolds likformighetslag beror strömningsfältets utseende enbart på Reynoldstal, vilket även innebär att strömningar vid likformiga kroppar blir lika om Reynoldstal är lika. Reynoldstal förutsätter en påtvingad konvektion och ges av följande samband: Re = L u ρ μ där L = karakteristiska längd, t.ex. inner diametern i ett rör eller i en kanal, längden på en platta eller ytterrörets halva omkrets [m] u = genomsnittliga hastigheten i mediet [m/s] ρ = densitet [kg/m 3 ] μ = dynamisk viskositet [kg/m s] 15

Reynoldstal (Re) L u ρ m kg m s Re = Enhetsanalys: m = 1 3 μ s m kg Med hjälp av Raynoldstal kan det avgöras om den påtvingade strömningen är laminär eller turbulent. 16

Nusseltstal (Nu) Ett annat dimensionslöst tal som definierar temperaturfältet i det strömmande mediet kallas Nusselstal (Nu) och ges av följande samband: Nu h L = k där h = värmeövergångstalet [W/m 2 K] L = karakteristiska längd, t.ex. inner diametern i ett rör eller i en kanal, längden på en platta eller ytterrörets halva omkrets [m] k = värmeöverförningskoefficienten [W/m K] Enhetsanalysen ger: W m K m m K W 2 = 1 17

Prandtls tal (Pr) Prandtlstal (Pr) karakteriserar mediet som strömmar och ges av följande samband: Pr = C p k μ där C p = specifika värmekapacitet vid konstant tryck [J/kg K = W s/kg K] μ = dynamisk viskositet [kg/m s] k = värmeöverförningskoefficienten [W/m K] Enhetsanalysen ger: W s kg K kg m s m K W = 1 18

Prandtls tal (Pr) Prandtlstal kan även skrivas som följande: Pr = ν α där ν = kinematisk viskositet [m 2 /s] α = värmediffusiviteten [m 2 /s] Värmediffusiviteten är en mycket viktig parameter då det gäller icke-stationär värmeströmning och definieras av materialegenskaperna k, ρ och C p enligt följande: α = k ρ C p där k = värmeöverförningskoefficienten [W/m K] ρ = densitet [kg/m 3 ] C p = specifik värmekapacitet (för fluider (vätskor och gaser) skall C p användas) [J/kg K] 19

Viskositet Dynamisk viskositet är en fysikalisk egenskap hos vätskor och gaser som betecknar deras "tjockhet" eller interna motstånd mot flöden, och kan ses som ett mått på friktion i vätskor. Pr = C p k μ Kinematiska viskositeten anger hur snabbt en vätska sprider sig i förhållande till sin massa om den hälls ut på en plan yta. Pr = ν α 20

Grashofs tal (Gr) Grashoftal definierar strömningsfältet vid naturlig konvektion där temperaturdifferensen mellan mediet och ytan ger upphov till en strömning som grundar sig i Archimedes princip (ett lättare media lägger sig ovanför ett tyngre media). Grashoftal ges av följande samband: L Gr = där L = karakteristiska längd [m] ρ = densitet [kg/m 3 ] g = jordgravidationen (9.81 [m/s 2 ]) 3 ρ 2 g β ΔT 2 μ β = volymutvidgningskoefficient [1/K] ΔT = temperaturdifferensen mellan mediet och den betraktade formationen [K] μ = dynamisk viskositet [kg/m s] 21

22 Grashofs tal (Gr) 2 2 3 T g L Gr μ Δ β ρ = Enhetsanalys: 1 kg s m K K 1 s m m kg m 2 2 2 2 2 3 3 = Man kan lätt förvissa sig om att Grashofstal är dimensionslöst eftersom det är uppbyggt som ett Reynolds tal i kvadrat där man i stället för den genomsnittliga hastigheten i mediet (u) ireynoldstal använder tyngdkraftens arbete (L g β ΔT) igrashofstal. 2 2 3 2 2 2 2 T g L u T g L u L u T g L Re Gr μ Δ β ρ = Δ β μ ρ = Δ β =

Sammanfattning Dimensionslösa tal En dimensionslös storhet är en skalär storhet som saknar enhet och därför är ett rent tal. Vanligtvis är ett dimensionslöst tal en kvot/produkt av andra storheter med dimension där enheterna tar ut varandra. 23

Sammanfattning Dimensionslösa tal Reynoldstal: Re = L u ρ μ OSBOURNE REYNOLDS 1842-1912 Strömningskriterium vid påtvingad konvektion Nusseltstal: Nu = h L k WILHELM NUSSELT 1882-1957 Temperaturfältskriterium Pr C Prandtltal: ; = p k μ Pr = ν α LUDWIG PRANDTL 1875-1953 Mediekriterium Grashofstal: Gr = L 3 ρ 2 g β ΔT 2 μ FRANZ GRASHOF 1826-1893 Drivkraftkriterium vid naturlig konvektion 24

Frågor? 25

Formelsamling Dimentionslösa tal Följande samband är tillgängliga i formelsamlingen: 26

Rayleighs tal (Ra) I strömningsmekaniken är Rayleighs tal ett dimensionslöst tal som beskriver övergången mellan konduktion och konvektion vid naturlig konvektion. Under ett visst kritiskt värde på Rayleights tal så är värmeöverföringen främst i form av konduktion, när det överstiger det kritiska värdet är värmeöverföringen främst i form av konvektion (det kritiska värdet beror på den aktuella geometrien som beaktas). LORD RAYLEIGH 1842-1919 Ra = Gr Pr 27

Rayleighs tal (Ra) Ra = Gr Pr = L 3 g β ΔT ν α där L = karakteristiska längd [m] g = jordgravidationen [m/s 2 ] β = volymutvidgningskoefficient [1/K] ΔT = temperaturdifferensen [K] ν = kinematisk viskositet [m 2 /s] α = värmediffusiviteten [m 2 /s] LORD RAYLEIGH 1842-1919 3 m 1 s s Enhetsanalys: m K = 1 2 2 2 s K m m 28

Biots tal (Bi) Biots tal är ett dimensionslöst tal som används vid icke-stationär värmeledning från ytan på ett fast material och ut i den omgivande fluiden. JEAN BAPTISTE BIOT 1774-1862 Bi = h L k där h = värmeövergångstalet [W/m 2 K] L = karakteristiska längd [m] k = värmeöverförningskoefficienten [W/m K] Enhetsanalysen ger: W m K m m K W 2 = 1 29

Skillnaden - Nusseltstal (Nu) och Biots tal (Bi) Nu = h L k Bi = h L k Både Nusselts tal och Biots tal har samma form. Vad är skillnaden på dem m.a.p. deras fysikaliska betydelse? Biots tal är ett mått på förhållandet mellan temperaturminskningen i det fasta materialet, och i det fasta materialet och fluiden (i gränsskiktet). Nusselts tal beskriver temperaturgradienten på ytan mellan fluiden och det fasta materialet är ett mått på konvektionen från ytan. 30

Frågor? 31

Värmeövergång vid påtvingad konvektion För geometriskt likformiga system ger grundekvationerna som beskriver temperatur- och hastighetsfältet vid påtvingad konvektion att temperaturfältet kan uttryckas som en funktion av de två storheterna Reynolds tal (Re) och Prandtls tal (Pr). Det värmeövergångstal som är förknippat med temperaturfältet kring en yta kan således beskrivas med ett funktionssamband av typen: Nu = f(re, Pr) där funktionen gäller för alla geometriskt likformiga system. 32

Värmeövergång vid naturlig konvektion Vid naturlig konvektion modifieras likformighetslagarna för påtvingad konvektion (Nu = f(re,pr)) så att strömningssättet lämpligen kan karakteriseras med hjälp av Grashofs tal (Gr). Vid naturlig konvektion gäller således att värmeövergången kan beskrivas med ett funktionssamband av typen: Nu = f(gr, Pr) där funktionen gäller för alla geometriskt likformiga system. Den väsentligaste skillnaden i mekanismen mellan värmeövergång vid naturlig konvektion och vid påtvingad konvektion är att drivkraften för strömningen är olika. 33

Värmeövergång vid påtvungen/naturlig konvektion Likformighetslagarna Vid fullständig likformighet kan alla variabler i ett strömningsfall sättas i direkt samband med motsvarande variabler i ett annat strömningsfall. Både geometrisk likformighet (samma geometriska form och vinklar gentemot omgivningen t.ex. tyngdkraftsfältet, strömningsriktning) och dynamisk likformighet (samma utseende på kraftpolygoner i homologa punkter vid homologa tider) krävs. 34

Beräkning av Nusselts tal Om en yta har 0.1 C övertemperatur kan ett vist medium strömma laminärt förbi ytan, men om övertemperaturen är 200 C blir strömningen turbulent trots att det i båda fallen rör sig om naturlig konvektion. Det har visats att vid naturlig/påtvingad konvektion gäller följande två likformighetslagar: Naturlig konvektion: Nu = f(gr, Pr) Påtvingad konvektion: Nu = f(re, Pr) Med utgångspunkt i detta har man teoretiskt och experimentellt fastställt samband för Nusselts tal för olika geometrier. 35

Formler för beräkning av Nusselts tal Några samband som gäller för påtvingad konvektion (turbulent då Re > 2300): 36

Formler för beräkning av Nusselts tal Några samband som gäller för naturlig konvektion (turbulent då (Gr Pr > 10 9 ): 37

Formler för beräkning av Nusselts tal Några approximativa formler som KUNN skall användas då inga andra formler passar den aktuella geometrin: Sambanden kan finnas i ett flertal olika varianter för en och samma geometri. 38

Beräkning av värmeövergångstalet Eftersom värmeövergångstalet ingår i ekvationen för Nusselts tal inses att: h = Nu k L Värmeöverförningstalet kan beräknas med hjälp av dimensionslösa tal enligt beräkningsgången 1-7 (se nästa sida) 39

Beräkningsgång för värmeövergångstalet 1) Bestäm vilken geometri som beskriver ditt system på bästa möjliga sätt. 2) Beräkna medeltemperaturen för systemet och ta fram nödvendig information om det aktuella materialet och/eller fluiden vid denna temperatur (använd formelsamlingen). 3) Avgöra om det är påtvingad eller naturlig konvektion. 4) Beräkna om det är turbulent eller laminärt flöde (påtvingad konvektion med hjälp av Re och naturlig konvektion med hjälp av Gr Pr) 5) Gå in i formelsamlingen på rätt geometri och hämta ekvationen för Nu 6) Beräkna Nu (för påtvingad konvektion är Nu = f(re,pr) och för naturlig konvektion är Nu = f(gr,pr)) 7) Beräkna h 40

Flödesschema för beräkning av värmeövergångstalet h vid naturligoch påtvingad konvektion. Påtvingad konvektion Medium, geometri, temperatur Re Pr Konvektion Naturlig konvektion Medium, geometri, temperatur Pr Gr Laminär strömning Turbulent strömning Laminär strömning Turbulent strömning Geometri Geometri h L h L Nu = = f (Re, Pr) Nu = = f ( Gr, Pr) k k Värmeövergångskoefficient (h) 41

Värmeövergång vid naturlig/påtvingad konvektion Övning 9 En tunn plåt kyls i ett vattenbad genom att sänkas lodrätt ned i det. Beräkna vilken lufthastighet som behövs för att få samma kyleffekt med luft som med vattenbadet. T vatten = 20 C, T luft =0 C, T plåt = 80 C, x vatten =0.4m. Svar: u = 405 m/s 42

Värmeövergång vid naturlig/påtvingad konvektion Övning 10 Ett värmeväxlarrör har diametern 5 cm och längden 1 m. Yttemperaturen är 90 C. Röret är placerat i ett strömmande vattenbad vars temperatur är 30 C och strömningshastighet 2 m/s. Röret kan placeras på två sätt, tvärs eller parallellt med strömriktningen. Beräkna kvoten mellan värmeövergångstalen för de båda placeringarna. Svar: h 1 /h 0 =1.4 43

Värmeövergång vid naturlig/påtvingad konvektion Övning 11 Hur kyler man en pilsner på bästa sätt? Jämför kylning i en hink och en kylväska. Beräkna kyleffekten P för de olika fallen och beräkna kvoten q vatten /q kylvaska. Burkens diameter är 65 mm och höjd 165 mm. Burken står upp och påverkas inte av andra burkar. T burk = 22 C, T kyl =-2 C, T vatten =8 C. Svar: q vatten /q kylvaska = 38.6 44

Formler för beräkning av Nusselts tal Några samband som gäller för påtvingad konvektion (turbulent då Re > 2300): 45

Formler för beräkning av Nusselts tal Några samband som gäller för naturlig konvektion (turbulent då (Gr Pr > 10 9 ): 46

Formler för beräkning av Nusselts tal Några approximativa formler som KUNN skall användas då inga andra formler passar den aktuella geometrin: 47

Frågor? 48