1 3Matematik och ber 0 1kning Nya verktyg, nya m 0 2jligheter

1 3Matematik och ber 0 1kning Nya verktyg, nya m 0 2jligheter Anders Logg Simula Research Laboratory / Oslo Universitet Sm 0 2gens skola, 19 mars 2010

1 3Min bakgrund 6 1 Sm 0 2gens f 0 2rskola (1983) 6 1 Sm 0 2gens skola (1983 C1989) 6 1 Soten 0 1sskolan (1989 C1992) 6 1 Gullmarsgymnasiet (1992 C1995) Naturvetenskaplig linje 6 1 Chalmers tekniska h 0 2gskola (1995 C1999) Civilingenj 0 2r (teknisk fysik) 6 1 Chalmers tekniska h 0 2gskola (1999 C2004) Teknologie doktor (till 0 1mpad matematik) 6 1 Toyota Technological Institute at Chicago (2004 C2006) Postdoc 6 1 Simula Research Laboratory (2006 C) Forskare 6 1 Oslo Universitet (2006 C) Lektor (f 0 3rsteamanuensis)

1 3Min forskning 6 1 Gruppledare f 0 2r forskningsgruppen Automated and Distributed Computing 6 1 Automatiserad ber 0 1kning 6 1 Distribuerad ber 0 1kning TOL Problem Dual solution Adaptive Solver Dual Solver Primal solution Solution M

1 3Till 0 1mpningar Simulations by Kent-Andre Mardal, Kristian Valen-Sendstad and Aron Wahlberg

1 3Ber 0 1kning Simulation by Kristian Valen-Sendstad

1 3Vad 0 1r matematik? Matematik handlar om att r 0 1kna ut saker......och om att studera de verktyg vi anv 0 1nder oss av f 0 2r att r 0 1kna. Matematiken 0 1r ett spr 0 2k f 0 2r att beskriva ekvationer (modeller)......och ett verktyg f 0 2r att l 0 2sa ekvationerna.

1 3Vad 0 1r matematik? Matematik handlar om att r 0 1kna ut saker......och om att studera de verktyg vi anv 0 1nder oss av f 0 2r att r 0 1kna. Matematiken 0 1r ett spr 0 2k f 0 2r att beskriva ekvationer (modeller)......och ett verktyg f 0 2r att l 0 2sa ekvationerna.

1 3Vad 0 1r matematik? Matematik handlar om att r 0 1kna ut saker......och om att studera de verktyg vi anv 0 1nder oss av f 0 2r att r 0 1kna. Matematiken 0 1r ett spr 0 2k f 0 2r att beskriva ekvationer (modeller)......och ett verktyg f 0 2r att l 0 2sa ekvationerna.

1 3Vad 0 1r matematik? Matematik handlar om att r 0 1kna ut saker......och om att studera de verktyg vi anv 0 1nder oss av f 0 2r att r 0 1kna. Matematiken 0 1r ett spr 0 2k f 0 2r att beskriva ekvationer (modeller)......och ett verktyg f 0 2r att l 0 2sa ekvationerna.

1 3Vilka ekvationer? Arrhenius equation, Bernoulli s equation, Black CScholes equation, Boltzmann equation, Cauchy CRiemann equations, Dirac equation, Doppler equations, Einstein s field equation, Euler s equation, Relativistic Euler equations, Euler CLagrange equation, Fisher equation, Fokker CPlanck equation, Fredholm integral equation, Fresnel equations, Friedmann equations, Gibbs CHelmholtz equation, Hamilton CJacobi CBellman equation, Helmholtz Equation, Ishimori equation, Karplus equation, Kepler s equation, Klein CGordon equation, Korteweg Cde Vries equation, Landau CLifshitz equation, Lane CEmden equation, Langevin equation, Laplace s equation, Levy CMises equations, Lotka CVolterra equation, Lindblad equation, Lorentz equation, Maurer CCartan equation, Maxwell s equations, Michaelis CMenten equation, Navier CStokes equations, Nernst equation, Pell s equation, Poisson s equation, Prandtl CReuss equations, Prony equation, Rankine CHugoniot equation, Riccati equation, Roothaan equations, Sackur CTetrode equation, Schr 0 2dinger equation, Screened Poisson equation, Schwinger CDyson equation, Sellmeier equation, Sine CGordon equation, Stokes CEinstein relation, Van der Waals equation, Verhulst equation, Vlasov equation, Wiener equation...

1 3Olika typer av ekvationer 6 1 L 0 2sningen x 0 1r ett tal 2x + 5 = 15 x 2 6с1 4x + 2 = 0 6 1 L 0 2sningen u 0 1r en funktion x = cos x 6с1 6р2u = f Bu + u 6р3u 6с1 м 6р2u + 6р3p = f G 0 8 м = 8 пt 0 8 м

1 3Differentialekvationer 6 1 De flesta modeller 0 1r differentialekvationer 6 1 L 0 2sningen 0 1r en funktion u = u(x, t)

1 3Hur l 0 2ser man differentialekvationer? 6 1 Dela in rum och tid i sm 0 2 delar (element) 6 1 Skriv om differentialekvationen som en enkel ekvation p 0 2 varje litet element... 6 1 L 0 2s ekvationerna... 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 h 0 2gstadiet 2x + 5 = 15 2x + 5 6с1 5 = 15 6с1 5 2x = 10 2x/2 = 10/2 x = 5

1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 h 0 2gstadiet (algoritm) 2x + 5 = 15 2x = 10 x = 5

1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 gymnasiet x 2 6с1 4x + 2 = 0 x 2 6с1 4x + 2 + 2 = 2 x 2 6с1 4x + 4 = 2 (x 6с1 2) 2 = 2 x 6с1 2 = ю л 2 x = 2 ю л 2

1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 gymnasiet (algoritm) x 2 6с1 4x + 2 = 0 x = 4/2 ю л (4/2) 2 6с1 2 x = 2 ю л 2

1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 h 0 2gskolan x = cos x x =? (Finns ingen enkel formel) 6с1 6р2u = f u =? (Vad 0 1r formeln f 0 2r ett hus?)) u=-5 u=-10 u=-5 u=? u=? u=-10

1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 mellanstadiet? Kan man l 0 2sa x = cos x p 0 2 mellanstadiet? Ja! Kan man l 0 2sa 6с1 6р2u = f p 0 2 mellanstadiet? Ja!

1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 mellanstadiet? Kan man l 0 2sa x = cos x p 0 2 mellanstadiet? Ja! Kan man l 0 2sa 6с1 6р2u = f p 0 2 mellanstadiet? Ja!

1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 mellanstadiet? Kan man l 0 2sa x = cos x p 0 2 mellanstadiet? Ja! Kan man l 0 2sa 6с1 6р2u = f p 0 2 mellanstadiet? Ja!

1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 mellanstadiet? Kan man l 0 2sa x = cos x p 0 2 mellanstadiet? Ja! Kan man l 0 2sa 6с1 6р2u = f p 0 2 mellanstadiet? Ja!

1 3Hur? 6 1 Enkla algoritmer 6 1 Snabba datorer 6 1 +, 6с1,, / 6 1 Enkelt men kraftfullt

1 3Tillbaka till andragradaren 6 1 L 0 2sningen 0 1r x = 2 ю л 2 6 1 Men vad 0 1r л 2? 6 1 Har vi verkligen l 0 2st ekvationen? 6 1 Startgissning x = 3 6 1 Om x = 3 0 1r f 0 2r stor, s 0 2 0 1r y = 2/x f 0 2r liten (x y = 2) x + 2/x 2

1 3Tillbaka till andragradaren 6 1 L 0 2sningen 0 1r x = 2 ю л 2 6 1 Men vad 0 1r л 2? 6 1 Har vi verkligen l 0 2st ekvationen? 6 1 Startgissning x = 3 6 1 Om x = 3 0 1r f 0 2r stor, s 0 2 0 1r y = 2/x f 0 2r liten (x y = 2) x + 2/x 2

1 3Tillbaka till andragradaren 6 1 L 0 2sningen 0 1r x = 2 ю л 2 6 1 Men vad 0 1r л 2? 6 1 Har vi verkligen l 0 2st ekvationen? 6 1 Startgissning x = 3 6 1 Om x = 3 0 1r f 0 2r stor, s 0 2 0 1r y = 2/x f 0 2r liten (x y = 2) x + 2/x 2

1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 1.83333333333 x 3 = 1.46212121212 x 4 = 1.41499842989 x 5 = 1.41421378005 x 6 = 1.41421356237 x 7 = 1.41421356237

1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 1.83333333333 x 3 = 1.46212121212 x 4 = 1.41499842989 x 5 = 1.41421378005 x 6 = 1.41421356237 x 7 = 1.41421356237

1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 1.83333333333 x 3 = 1.46212121212 x 4 = 1.41499842989 x 5 = 1.41421378005 x 6 = 1.41421356237 x 7 = 1.41421356237

1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 1.83333333333 x 3 = 1.46212121212 x 4 = 1.41499842989 x 5 = 1.41421378005 x 6 = 1.41421356237 x 7 = 1.41421356237

1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 1.83333333333 x 3 = 1.46212121212 x 4 = 1.41499842989 x 5 = 1.41421378005 x 6 = 1.41421356237 x 7 = 1.41421356237

1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 1.83333333333 x 3 = 1.46212121212 x 4 = 1.41499842989 x 5 = 1.41421378005 x 6 = 1.41421356237 x 7 = 1.41421356237

1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 1.83333333333 x 3 = 1.46212121212 x 4 = 1.41499842989 x 5 = 1.41421378005 x 6 = 1.41421356237 x 7 = 1.41421356237

1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 1.83333333333 x 3 = 1.46212121212 x 4 = 1.41499842989 x 5 = 1.41421378005 x 6 = 1.41421356237 x 7 = 1.41421356237

1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 6с10.9899924966 x 3 = 0.548696133603... x 70 = 0.739085133216 x 71 = 0.739085133215 x 72 = 0.739085133215

1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 6с10.9899924966 x 3 = 0.548696133603... x 70 = 0.739085133216 x 71 = 0.739085133215 x 72 = 0.739085133215

1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 6с10.9899924966 x 3 = 0.548696133603... x 70 = 0.739085133216 x 71 = 0.739085133215 x 72 = 0.739085133215

1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 6с10.9899924966 x 3 = 0.548696133603... x 70 = 0.739085133216 x 71 = 0.739085133215 x 72 = 0.739085133215

1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 6с10.9899924966 x 3 = 0.548696133603... x 70 = 0.739085133216 x 71 = 0.739085133215 x 72 = 0.739085133215

1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 6с10.9899924966 x 3 = 0.548696133603... x 70 = 0.739085133216 x 71 = 0.739085133215 x 72 = 0.739085133215

1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 6с10.9899924966 x 3 = 0.548696133603... x 70 = 0.739085133216 x 71 = 0.739085133215 x 72 = 0.739085133215

1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = 3.00000000000 x 2 = 6с10.9899924966 x 3 = 0.548696133603... x 70 = 0.739085133216 x 71 = 0.739085133215 x 72 = 0.739085133215

1 3Att l 0 2sa F(x) = 0 Generell ekvation: F(x) = 0 Exempel: F(x) = 2x 6с1 10 F(x) = x 2 6с1 4x + 2 F(x) = x 6с1 cos x Generell l 0 2sningsmetod: Skriv om F(x) = 0 p 0 2 formen x = T(x) Upprepa: x n = T(x n 6с11 )

1 3N 0 1r konvergerar x n mot x? Banachs fixpunktssats. L 0 2t (X, d) vara ett fullst 0 1ndigt metriskt rum. L 0 2t T : X З X vara en kontraktion p 0 2 X, dvs 6я9M < 1 : d(t(x), T(y)) э Md(x, y) 6я6x, y й X. D 0 2 har avbildningen T en entydig fixpunkt, dvs 6я9! 0 4x й X : 0 4x = T( 0 4x). T(x) x T(y) x 1 x 3 x 2 x - y

1 3Att l 0 2sa Poissons ekvation u 1 Q 4 u 4 u 0 Q 3 Q 1 Q 2 u 2 u 3 u = temperatur, Q = v 0 1rmefl 0 2de

1 3Att l 0 2sa Poissons ekvation Energibalans: Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 = 0 V 0 1rme fl 0 2dar fr 0 2n varmt till kallt: Q 1 = u 0 6с1 u 1 Q 2 = u 0 6с1 u 2 Q 3 = u 0 6с1 u 3 Q 4 = u 0 6с1 u 4 (u 0 6с1 u 1 ) + (u 0 6с1 u 2 ) + (u 0 6с1 u 3 ) + (u 0 6с1 u 4 ) = 0 Poisson s ekvation 4u 0 6с1 u 1 6с1 u 2 6с1 u 3 6с1 u 4 = 0 u 0 = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 4

1 3Att l 0 2sa Poissons ekvation Energibalans: Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 = 0 V 0 1rme fl 0 2dar fr 0 2n varmt till kallt: Q 1 = u 0 6с1 u 1 Q 2 = u 0 6с1 u 2 Q 3 = u 0 6с1 u 3 Q 4 = u 0 6с1 u 4 (u 0 6с1 u 1 ) + (u 0 6с1 u 2 ) + (u 0 6с1 u 3 ) + (u 0 6с1 u 4 ) = 0 Poisson s ekvation 4u 0 6с1 u 1 6с1 u 2 6с1 u 3 6с1 u 4 = 0 u 0 = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 4

1 3Att l 0 2sa Poissons ekvation Energibalans: Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 = 0 V 0 1rme fl 0 2dar fr 0 2n varmt till kallt: Q 1 = u 0 6с1 u 1 Q 2 = u 0 6с1 u 2 Q 3 = u 0 6с1 u 3 Q 4 = u 0 6с1 u 4 (u 0 6с1 u 1 ) + (u 0 6с1 u 2 ) + (u 0 6с1 u 3 ) + (u 0 6с1 u 4 ) = 0 Poisson s ekvation 4u 0 6с1 u 1 6с1 u 2 6с1 u 3 6с1 u 4 = 0 u 0 = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 4

1 3Att l 0 2sa Poissons ekvation Energibalans: Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 = 0 V 0 1rme fl 0 2dar fr 0 2n varmt till kallt: Q 1 = u 0 6с1 u 1 Q 2 = u 0 6с1 u 2 Q 3 = u 0 6с1 u 3 Q 4 = u 0 6с1 u 4 (u 0 6с1 u 1 ) + (u 0 6с1 u 2 ) + (u 0 6с1 u 3 ) + (u 0 6с1 u 4 ) = 0 Poisson s ekvation 4u 0 6с1 u 1 6с1 u 2 6с1 u 3 6с1 u 4 = 0 u 0 = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 4

1 3Att l 0 2sa Poissons ekvation

1 3Att l 0 2sa Poissons ekvation

1 3Hur bem 0 2ta beg 0 2vade elever? 6 1 L 0 1raren m 0 2ste ha n 0 2got extra i bakfickan 6 1 V 0 2ga utmana eleverna 6 1 V 0 2ga l 0 2ta eleverna g 0 2 f 0 2re 6 1 M 0 2ste finnas en morot

1 31 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Sammanfattning 6 1 Nya verktyg ger nya m 0 2jligheter 6 1 Enkla men kraftfulla algoritmer 6 1 Ber 0 1kning 0 1r matematikens k 0 1rna 6 1 V 0 2ga anv 0 1nda datorn / minir 0 1knaren!