TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y (TSRT12) SAL: U1, U3, U4 TID: 10 juni 2011, klockan 14-19 KURS: TSRT12 PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANTAL SIDOR: 12 ANSVARIG LÄRARE: David Törnqvist, 013-281882, 0709-600447, efter 16.30: Inger Klein, 013-281665, 0730-916 919 BESÖKER SALEN: 15.00, 17.00 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, tel 013-282225, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: Reglerteknik, grundläggande teori med normala inläsningsanteckningar, tabeller, formelsamling, räknedosa utan färdiga program. LÖSNINGSFÖRSLAG: Anslås efter tentamen på kursens hemsida. VISNING av tentan sker i ISY:s expedition (vid Cafe Java) som har öppet måndagfredag 12.30-13.45, sommarstängt vecka 27-31. B-huset, ingång 27, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
1. (a) Vilket av systemen nedan har kortast stigtid? Motivera! 4 G 1 (s) = s 2 + 2s + 4 16 G 2 (s) = s 2 + 4s + 16 (b) Signalen u(t) = 3 sin 3t läggs på ingången till systemet (2p) G(s) = 4 s + 1 Vad blir utsignalen i stationärt tillstånd? (c) Betrakta ett system bestående av en cyklande person, där cykeln utgör det styrda systemet och cyklisten är regulator. Ge exempel på styrsignal, utsignal och störning för systemet. (d) Linus och Linnea ska under sitt sommarjobb ta fram en regulator för en industriell process. Det är det mycket viktigt att det stationära reglerfelet blir noll. Linus föreslår att de ska använda en I-regulator, men Linnea protesterar och menar att de behöver en PI-regulator. Vem har rätt och varför? (2p) 1
2. Ett system ges av tillståndsbeskrivningen ( 0.1 0.2 ẋ(t) = 3 3 y(t) = ( 0 1 ) x(t) ) x(t) + ( ) 0 u(t) 1 (a) Tag fram en tillståndsåterkoppling för systemet ovan som placerar polerna i 2 ± 2i. (b) Antag att tillståndet inte kan mätas, men vi vill fortfarande använda tillståndsåterkoppling. Bestäm en observatör så att observatören får poler i -5. (c) Genom att använda t.ex. tillståndsåterkoppling och observatör har vi kommit fram till två olika val av F r och F y. Dessa två val ger samma överföringsfunktion för slutna systemet men olika känslighetsfunktion och komplementär känslighetsfunktion. Känslightsfunktion och komplementär känslighetsfunktion för de båda valen av regulator ges av figurerna 1 och 2. Utgå ifrån aspekterna robusthet, undertryckning av systemstörningar, påverkan från mätstörningar och ange för- och nackdelar med de två designerna. (4p) 2
10 1 S känslighetsfunktionen 10 0 10 1 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frekvens [rad/s] Figur 1: Känslighetsfunktionen, design I (heldragen) och II (streckad) i uppgift 2. 10 2 T komplementära känslighetsfunktionen 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 10 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frekvens [rad/s] Figur 2: Komplementära känslighetsfunktionen, design I (heldragen) och II (streckad) i uppgift 2. 3
3. För att justera tonhöjden på en trombon ändras längden på trombonens rör genom att draget förs fram och tillbaka, se figur 3. I den här uppgiften antar vi, lite förenklat, att tonhöjden är proportionell mot längden på draget. Uppgiften går ut på att konstruera en automatisk trombon där draget styrs av en elmotor och tonhöjden, y, mäts med hjälp av en mikrofon i klockstycket. Regulatorn ska se till att trombonen följer en referenstonhöjd, r, tillräckligt väl. För att modellera trombonen används en överföringsfunktion för elmotorn och en för dragets läge. Överföringsfunktionen från elmotorns spänning till kraft ges av G M (s) = 10 s + 10. Överföringsfunktionen från kraft på draget till dragets läge (tonhöjden) ges av G D (s) = 50 s(s + 5). Blockschemat för det återkopplade systemet ses i figur 4. Bodediagrammet för systemet G(s) = G M (s)g D (s) ges i figur 5. (a) Låt oss först testa att reglera med en P-regulator, dvs F (s) = K. Vad är den största förstärkningen, K, som vi kan välja innan det återkopplade systemet blir instabilt? Använd Bodediagrammet i figur 5. (2p) (b) Antag att vi använder en deriverande regulator, F (s) = K D s. Vad har detta för effekt på amplitud och fas för det öppna systemet? Varför är denna regulator svår att använda i praktiken? (c) Designa en regulator, utan onödigt hög förstärkning, som uppfyller följande specifikationer: För att följa referenstonhöjden tillräckligt snabbt ska skärfrekvensen vara minst 10 rad/s. För att onödigt vibrato (oscillationer) ska undvikas vill vi ha en fasmarginal på minst 30. När vi ska byta från en ton till en annan, dvs referenstonhöjden är ett steg, ska det stationära felet gå mot noll. (5p) 4
Klockstycke Drag Figur 3: Trombonen i uppgift 3 och 4. Figur 4: Blockschema för uppgift 3 och 4. 5
Bode Diagram 40 20 0 20 40 60 80 100 100 120 140 160 180 200 220 240 260 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) Figur 5: Bodediagram för G(s) = GD(s)GM(s) i uppgift 3. Phase (deg) Magnitude (db) 6
4. Vi ska även i den här uppgiften studera den självspelande trombonen i uppgift 3 (figur 3) med blockschema i figur 4. Precis som tidigare är överföringsfunktionerna G M (s) = 10 s + 10. och G D (s) = 50 s(s + 5). Antag att man vill använda en P-regulator u(t) = K(r(t) y(t)) där r är önskad tonhöjd, dvs F (s) = K. (a) Rita rotort för K > 0 som visar hur det återkopplade systemets poler varierar med K. För vilka K > 0 är det återkopplade systemet stablit? Beskriv hur det återkopplade systemets kvalitativa egenskaper (snabbt? oscillativt?) varierar med K > 0. (5p) (b) Antag att man vill göra ett glissando (Dvs referenssignalen ges av en ramp r(t) = t). Hur litet kan det stationära felet lim t e(t) fås med en P- regulator där K > 0? Går det att välja K > 0 så att lim t e(t) < 0.01? (c) Under utvärderingsperioden testar man en viss P-regulator med K = K α och studerar rampsvaret. I figur 6 ges y(t) då r(t) = t för K = K α. Markera i din rotort ett möjligt värde på K = K α och förklara varför detta är en möjlig lösning. (Du behöver inte ge numeriska värden på vare sig K α eller motsvarande rötter.) (2p) 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Figur 6: Rampsvar i uppgift 4c. 7
5. Betrakta systemet där Y (s) = G(s)U(s) G(s) = (1 + α) s(s + 1) 2 och α 0 är en okänd positiv konstant. För α = 0 har systemet nyquistkurvan nedan. 2 Nyquist Diagram 1.5 1 Imaginary Axis 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 1.5 1 0.5 0 0.5 Real Axis Figur 7: Nyquistkurva (a) Antag att systemet återkopplas med U(s) = K(R(s) Y (s)) där K = 1. För vilka värden på α är det återkopplade systemet asymptotiskt stabilt med denna återkoppling? (b) Betrakta åter system och återkoppling i uppgift a). Vilket krav på α (ett numeriskt värde önskas) ger lärobokens robusthetskriterum för att det återkopplade systemet skall vara asymptotiskt stabilt? (5p) (c) Kommentera eventuella skillnader mellan villkoren i a) och b). (2p) 8