PM DATUM: 2006-11-15 AVDELNING: HANDLÄGGARE: Avdelningen för finansiell stabilitet SVERIGES RIKSBANK SE-103 37 Stockholm (Brunkebergstorg 11) Tel +46 8 787 00 00 Fax +46 8 21 05 31 registratorn@riksbank.se www.riksbank.se DNR 2006-11-44-AFS Praktiska hänsyn vid beräkningen av diskonteringsräntor 1 Inledning och slutsatser Detta underlag behandlar praktiska frågor som rör beräkningen av diskonteringsräntan. Man har fastslagit att beräkningarna bör grundas på ränteinstrument med mycket låg kreditrisk (riskfria). Räntor på statsskuldväxlar och statsobligationer brukar normal betraktas som riskfria men det längsta statsobligationslånet har en löptid på drygt 15 år. Sannolikt kommer diskonteringsräntor med längre löptid än så att behöva beräknas. Användandet av statsobligationer innebär sannolikt att långa extrapoleringar måste göras. Extrapoleringar alltför långt fram i tiden är dock något man troligen skall undvika. Anledningen är att de riktigt långa diskonteringsräntorna i hög grad blir en följd av beräkningsantaganden. Olika antagande i samband med extrapolering kan ge klart skilda resultat i termer av långa diskonteringsräntor. Den relativt korta löptiden på statsskulden innebär därför att det blir svårt att använda statsobligationer för att beräkna de riktigt långa diskonteringsräntorna. Swappräntor finns för långa löptider. Troligen kan marknaden också växa framöver då likviditeten för riktigt långa swappräntor i dagsläget sannolikt är relativt låg. Swappräntornas relativt långa löptider innebär att problemet med extrapolering helt försvinner eller åtminstone blir mindre betydande. Det föreligger dock vanligen en skillnad mellan räntor på swappar och räntor på statsobligationer. Sannolikt borde man kunna modellera/ta hand om denna skillnad (swapspreaden) på ett bättre sätt än vad man kan hantera extrapoleringsproblemet. En möjlig väg skulle då vara att basera beräkningar av diskonteringsräntor på swappräntor och sedan eventuellt korrigera dessa räntor för den sedvanliga skillnaden mellan räntor på swappar och statsobligationer. För att undvika oönskad variation bör man överväga att endast rensa bort den skillnad man kan förklara. I sådant fall bör man överväga att skaffa en enkel modell över denna skillnad (swapspreaden) enligt förlagor från t.ex. Bank of England. 1 Vi vill tacka Jan Alsterlind, avdelningen för penningpolitik, för värdefulla synpunkter. 1 [15]
Bakgrund Detta underlag behandlar frågor som rör beräkningen av diskonteringsräntan. I Finansinspektionens publikation Tjänstepensionsföretag - en vägledning (2006-05-22) slås fast att principen för att bestämma diskonteringsräntor skall vara: 2 [15]
Av detta kan man sammanfatta några viktiga punkter som är kritiska för hur diskonteringsräntan kan beräknas. Dessa punkter är: 1) Vad är en erkänd metodik för beräkning av avkastningskurvan? 2) Hur påverkar extrapolering beräkningen av en riskfriränta? 3) Om statsobligationsräntor inte kan användas, kan man använda swappräntor istället? 4) Finns det skillnader mellan statsobligationsräntor och swappräntor och hur skall man se på sådana (eventuella) skillnader? I detta underlag ges en bakgrund till var och en av dessa frågor. Diskussion om metod för beräkning av nollkupongsräntor I denna del diskuteras fråga 1) och 2), d.v.s. vad är en erkänd metodik för beräkning av avkastningskurvan och hur påverkar extrapolering beräkningen av en riskfri ränta? Diskussionen i detta avsnitt har en viktig implikation i frågan om vilka räntor som kan bilda underlag i beräkningen av nollkupongsräntor med långa löptider. Innan diskussionen förs vidare kan man slå fast att avkastningskurvor för nollkupongsräntor är något som i regel måste beräknas. Ett undantag är att Reuter tillhandahåller beräkningar av nollkupongsräntor baserat på swappräntor. Dessa beräkningar verkar dock bara finnas upp till 10 år. I appendix visas ett exempel på hur en beräkning av nollkupongsräntor (via den s.k. bootstrap-metoden) går till. Slutsatsen blir att 3 [15]
Finansinspektionen måste, i likhet med exempelvis myndigheterna i Danmark och i Nederländerna, bestämma vad som gäller vid beräkningarna. Det finns olika metoder att beräkna nollkupongsräntor. 2 En metod för ren kurvanpassning är det enklaste och därför att föredra. Av gällande metoder för kurvanpassning finns två typer som kan sägas fylla kraven på att vara erkänd metodik, välkänd samt någorlunda enkla: Nelson-Siegelmodellen eller någon form av Spline-metod. 3 I valet mellan dessa metoder måste man ta ställning till om man vill ha en metod som jämnar ut avkastningskurvan eller anpassar en kurva exakt till observerade räntor (eller priser): a) Smoothed Spline eller Nelson-Siegel ger stabila och jämna avkastningskurvor med jämna terminsräntor men ger samtidigt prisfel. b) Natural Cubic Spline ger exakt anpassning på observerade priser men viss instabilitet i avkastningskurvan och i terminsräntorna. För att visa på vilka konsekvensen de olika metodvalen kan få för beräkningen av avkastningskurvan kan det vara bra att utgå från ett exempel där kurvor enligt olika metoder anpassats på samma data. 4 Figur 1: Faktisk och beräknad avkastningskurva enligt olika metoder. spot natural cubic spot smoothed cubic spot Nelson Siegel actual 0 20 40 60 80 100 120 Av figuren kan det konstateras att mellan de observerade punkterna ger de olika metoderna liknande anpassning men utanför så divergerar de beräknade räntorna. Detta visar sig särskilt problematiskt när man tittar på implikationerna av de olika metodvalen i termer av terminsräntekurvan. 2 Man kan tänka sig metoder som binder ihop både tidsseriedimensionen och tvärsnittstrukturen i avkastningskurvan. Sådana metoder kan dock tendera att bli relativt komplicerade, se exempelvis Duffie och Kan (1996). 3 Se Söderlind och Svensson (1997) och Anderson och Sleath (1999). 4 Här används swappräntor med löptid mellan 1 till 8 år per den 22/8 2006 ca 13.30. Dessa räntor är de samma som används i appendix. 4 [15]
Figur 2: Beräknad terminsräntekurva enligt olika metoder. 5.00 4.75 forward natural cubic forward smoothed cubic Forward Nelson Siegel Forward actual 0 20 40 60 80 100 120 5.00 4.75 Här ses att spline-metoderna ger instabilitet i terminsräntorna när de extrapoleras utanför de punkter där det finns data. Den gröna linjen representerar de (ettåriga) terminsräntor som man kan beräkna direkt via nollkupongsräntorna. I någon mening är dessa de observerade terminsräntor man får indirekt via den s.k. bootstrappmetoden vid beräkningen av nollkupongsräntorna. Dessa terminsräntor har dock inte ett särskilt realistiskt utseende och kan stämma dåligt med de terminsränteberäkningar som kan finnas på marknaden. 5 Även om terminsräntorna enligt Nelson-Siegelmodellen och enligt bootstrappmetoden uppvisar stabilitet vid extrapolering beror detta på antaganden som gjorts i samband med metodvalet. Nelson-Siegelmodellen har enligt konstruktion en stabil (asymptotisk) lång terminsränta och bootstrapmetoden förutsätter implicit att terminsräntan är konstant efter det att den längsta observerade löptiden har nåtts. Stabiliteten i terminsräntan är alltså en funktion av de antaganden som gjorts och stabiliteten gäller inte över tiden. 5 Terminsräntor enligt Spline metoden har beräknats ur nollkupongskurvan enligt: f ( t, T ) i( t, T ) i + T t T ( t, T ) Terminsräntor enligt Nelson-Siegelmodellen har beräknats enligt den metod som beskrivs i Söderlind och Svensson (1997). 5 [15]
Figur 3: Lång terminsränta enligt Nelson-Siegelmodellen. 6.0 6.0 5.5 5.5 5.0 5.0 4.5 4.5 4.0 4.0 3.5 3.5 3.0 3.0 jan-03 mar-03 maj-03 jul-03 sep-03 nov-03 jan-04 mar-04 maj-04 jul-04 sep-04 nov-04 jan-05 mar-05 maj-05 jul-05 sep-05 nov-05 jan-06 mar-06 maj-06 jul-06 Exempelvis erbjuder Nelson-Siegelmodellen en stabilitet som gäller för varje kurva vid varje enskild dag men kan ge relativt stor variation sett över tiden. Hur pass känslig kan extrapoleringen vara i Nelson-Siegelmodellen? Genom att utesluta den längsta räntan i beräkningen av avkastningskurvan enligt Nelson-Siegelmodellen förändras beräkningen av den långsiktiga räntan från 4.83 till 4.60. Detta visar alltså att extrapoleringar kan vara relativt känslig bara genom en liten förändring av underliggande data. Splinemetoden lämpar sig synnerligen dåligt för extrapolering. Ett sätt att visa detta är sträcka ut tidsperspektivet i figur 1. 6 Figur 4: 4.75 Faktisk och beräknad avkastningskurva enligt olika metoder. 4.75 spot natural cubic spot smoothed cubic spot Nelson Siegel actual 0 20 40 60 80 100 120 140 6 Man skall dock komma ihåg att här används en naturlig splinefunktion respektive en utjämnad splinefunktion i detta exempel. Man kan tänka sig att använda andra ändpunktsvillkor som hanterar problematiken. Detta undviker dock inte grundproblemet att extrapoleringen blir mycket känslig för vilka antaganden som görs. 6 [15]
Slutsatsen är dock att all form av extrapolering innebär någon form av restriktivt antagande som i många fall kan leda till stora skillnader mot en sann (icke-observerbar) lång nollkupongsränta. Man måste också komma ihåg att statsskuldens längsta obligation är drygt 15 år och volymen på detta lån relativt liten. Åtaganden på skuldsidan för tjänstepensionsföretagen kan vara betydligt längre än så. Extrapolering innebär att man klart riskerar att använda en ränta som antingen kan bli betydligt högre eller betydligt lägre än vad en marknadsmässig ränta borde vara. Diskussion om data och praktisk hantering I detta avsnitt diskuteras punkt 3) från inledningen, dvs om man inte kan använda räntor på statspapper kan man då använda swappräntor istället? I Sverige finns för närvarande statsobligationer upp till drygt 15 år (obligationslån SO1047 som löper till december 2020). På andra obligationsmarknader som i euroområdet finns löptider upp till 50 år och i USA finns löptider upp till 30 år. Data för svenska statsobligationer är lätt tillgängliga och kan exempelvis hämtas från OMX:s hemsida. Data för svenska swappar kan exempelvis fås via EcoWin (Reuters). 7 Där finns ask-priser för swappar mellan 1-10 års löptid samt för 12, 15, 20, 25 och 30 års löptid. Det är svårt att få data över omsättningen på swappmarknaden men studier tyder på att den dagliga omsättningen på swappar 2004 var ungefär lika stor som den dagliga omsättningen för statsobligationer, ungefär 20 miljarder. 8 Det är dock oklart hur pass likvid marknaden för de längre swappkontrakten är. Som nämndes inledningsvis finns även nollkupongsberäkningar baserade på swappräntor att få från Reuters. I figuren ses ett exempel på hur dessa förhåller sig till beräknade nollkupongsräntor enligt räntenoteringar vid stängning per den 2006-09-05. 7 Data avser s.k. vanilla swappar där den ena parten betalar en fast (konstant) ränta till den andra parten, medan denna betalar en rörlig (flytande) ränta plus ett visst antal räntepunkter. De ränteswappar som noteras av REUTERS är nyligen avtalade swappar och handlas till par. Hull (2000) ger en kort genomgång av prissättningen för swappar. 8 Uppgift enligt BIS Triennial Central Bank Survey, Foreign exchange and derivatives market activity in 2004 March 2005. Se även Riksbanken Den svenska finansmarknaden 2005. 7 [15]
Figur 5: Beräknade nollkupongsräntor för swappar 4.4% 4.2% 4.0% 3.8% 3.6% swappränta 4.4% 4.2% 4.0% 3.8% 3.6% 3.4% beräknad nollkupongsränta 3.4% Reuters nollkupongsräntor 3.2% 3.2% 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 I figuren har det använts swappräntor ända upp till 30 år. 9 Som illustreras i figuren kan man beräkna nollkupongsräntor för varje tidpunkt upp till 30 år med observerad data. Man kan också använda samma data och jämföra med de olika metoderna för att binda samman nollkupongsräntorna. Figur 6: Beräknade nollkupongsräntor enligt olika metoder Nollkupong Kubisk Spline Nollkupong Utjämnad Kubisk Spline Nollkupong Nelson-Siegel Nollkupong Bootstrapp 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 9 Det finns en viss skillnad mellan Reuters nollkupongsräntor jämfört med de beräknade nollkupongsräntorna. Detta beror bland annat på att i beräkningen används endast ask-priset och att dageffekter på kupongen är förenklade i beräkningen jämfört med Reuters nollkupongsräntor. 8 [15]
I figuren syns tydlig att det inte finns någon stor skillnad mellan metoderna så länge som man håller sig inom det intervall där det finns observerad data. Man kan även se att Nelson-Siegelmetoden innebär att den asymptotiska nollkupongsräntan nås redan efter ca 15 år. Metoden som bygger på kubisk spline ger resultatet att den neråtgående tendensen i nollkupongsräntorna mellan 15-30 år fångas upp. Det kan också vara intressant att jämföra hur olika ingående data påverkar beräkningen av nollkupongskurvan. Nedan visas beräkningar enligt Nelson-Siegelmodellen. I det ena fallet används swappräntor upp till 30 år och i det andra endast upp till 15 år. För jämförelsens skull visas också nollkupongsräntorna som beräknats från statsobligationer. Man ser att det skiljer ca 10-15 punkter beroende på om man lägger med de längre swappavtalen eller inte. Det är även en tydlig skillnad på ca 50 punkter mot nollkupongsräntorna som beräknas från statsobligationer. Figur 7: Beräknade nollkupongsräntor enligt olika ingående data Nollkupong Nelson-Siegel swapp upp till 30 år Nollkupong Nelson-Siegel swapp upp till 15 år Nollkupong Nelson-Siegel statspapper 2.50 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 2.50 Figur 7 ger en fingervisning om hur en praktisk transformering av nollkupongsräntor baserat på swappar till nollkupongsräntor baserat på statspapper kan fungera. Man kan tänka sig (minst) två olika sätt: Alternativ 1: Skatta två nollkupongskurvor baserat på swappräntor och på statspapper. Via ett antagande att skillnaden mellan swappräntan och statsobligationsräntan (swappspreaden) på lång sikt är konstant kan man för längre löptider helt enkelt skriva fram nollkupongsräntor baserat på statsobligationsräntor genom förändringen av nollkupongsräntorna baserat på swappräntor. Detta innebär att för löptider större än exempelvis n=15 år skulle man kunna använda en formel av detta slag för statspapper n+ 1 = statspapper n + swapp n+ 1 swapp n framskrivningar: ( ) ( ) { ( ) ( )} Alternativ 2: Skatta en nollkupongskurva baserat på swappräntor. Givet en uppfattning om hur swappspreaden förändras över löptiden kan man sedan räkna ut en syntetisk avkastningskurva för statspapper. Ett hypotetiskt exempel kan illustrera det hela. I tabellen ses en påhittad swappspread för olika löptider. 9 [15]
TABELL 1 EN HYPOTETISK SWAPPSPREAD år 0 1 2 5 10 20 25 30 Swappspread 0.1 0.1 0.12 0.25 0.4 0.5 0.5 0.5 Dessa spreadar kan sedan bindas samman med t ex kubisk spline till en jämn kurva. Denna kurva kan sedan användas för att korrigera nollkupongsräntorna baserat på swappkurvan. Figur 8: Korrigering av nollkupongskurvan för swappar 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 Nollkupong Kubisk S pline Korrigerad för påhittad premie 0.3 0.2 Påhittad premie (höger skala) Påhittad premie datapunkter (höger skala) 2.50 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 0.1 0 Vad finns det för vinster med alternativ 2) som i grund och botten är en förenkling av problemet? Ett enkelt svar är att enligt alternativ 1) kommer swappspreaden att varierar från dag till dag. Skillnader som uppstår mellan swappmarknaden och statsobligationsmarknaden behöver inte alltid vara ett uttryck för förändringar i t.ex. riskpremier. Dessa kan istället spegla marknadsspecifika variationer som ibland kan vara önskvärda att filtrera bort. Ett enkelt exempel (och en smula trivialt) är om det skulle förekomma ett fel i data, något som är att betrakta som brus. Alternativ 2) inbjuder därmed till en kritisk granskning av varför det uppstår en swappspread och hur denna kan förklaras. Alternativ 2) låter oss att korrigera för den delen av swappspreaden som är möjliga att förklara/bedöma och som man verkligen vill korrigera för. Övrig variation skulle man kunna bortse ifrån och inte väga in i korrigeringen. Diskussion om skillnaderna mellan swappräntor och statspappersräntor. Av diskussionen ovan ses att swappräntorna har en bättre förutsättning för att bilda basen vid en beräkning av långa diskonteringsräntor. Helt enkelt därför att tillgången på marknadsnoterade räntor av lång löptid är betydligt bättre än för statsobligationer. Underlaget för beräkning av diskonteringsräntan kan därmed sägas uppfylla kravet på 10 [15]
att vara marknadsmässigt. Man slipper därigenom de problem som uppstår vid extrapolering. Gällande den sista frågan (fråga 4) kan det ses av figur 7 att det åtminstone periodvis kan förekomma skillnader mellan nollkupongskurvor enligt swappräntor och enligt statsobligationsräntor. För att åskådliggöra hur swappspreaden varierat över tiden kan man illustrera denna som skillnaden mellan en 10-årig swappränta och en 10-årig statobligationsränta. 10 Figur 9: Skillnad mellan 10-årig swappränta och 10-årig statsobligation i Sverige. 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 Percent 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 98 99 00 01 02 03 04 05 06 ew:swe14830-ew:swe14130 Source: Reuters EcoWin I figuren ses att swappspreaden i Sverige stundtals varit stor och dessutom uppvisat variation över tiden. Perioden 2002 till 2005 var swappspreaden enligt figuren relativt liten och samtidigt någorlunda stabil. Om de låga nivåerna för statsobligationsräntorna förra året i någon mening orsakats av speciella omständigheter kan det inte uteslutas att samma faktorer även påverkat swappräntorna i en liknande utsträckning. 11 Historiskt sett har dock swappspreaden uppvisar en större variation. Om man använder swappräntor för beräkning av diskonteringsräntor bör man kunna följa upp förändringen i swappspreaden och möjligen korrigera för denna i en eventuell beräkning av diskonteringsräntor. För detta syfte kan man överväga att skaffa en modell över swapspreaden enligt enkla förlagor från t.ex. Bank of England. Det finns andra, mer teoretiskt grundade modeller, för att modellera swappspreaden. 12 Nackdelen med dessa modeller ligger i dess relativa komplexitet. 10 Här tas det inte hänsyn till kupongeffekter och inte heller korrigeras för eventuella skillnader i löptid. Figuren ger därför endast en grov indikation på hur en 10-årig swappspread (för nollkupongsräntor) kan tänkas se ut. 11 Se exempelvis Inflationsrapport 2005:3 för en diskussion om dessa faktorer. 12 Se Liu, Longstaff och Mandell (2002), Feldhütter och Lando (2006) och även Amato och Luisi (2006). 11 [15]
Litteratur Anderson Nicola and John Sleath New estimates of the UK real and nominal yield curves Bank of England Quarterly Bulletin November 1999. Amato Jeffery D and Maurizio Luisi Macro Factors in the Term Structure of Credit Spreads BIS working papers No 203 2006. Backus D, S Foresi and C Telmer Discrete Models of Bond Pricing NBER Working Paper No. 6736, 1998. Campbell J.Y, A.W Lo and A.C MacKinley The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press, 1997. Cortes F Understanding the term structure of swap spreads Bank of England Quarterly Bulletin, Spring 2006. Cortes F Understanding and modelling swap spreads Bank of England Quarterly Bulletin, Winter 2003. Duffee G R Term Premia and Interest Rate Forecasts in Affine Models Journal of Finance, Vol 57, p 405-443, 2002. Duffie D R Kan A Yield-Factor Model of Interest Rates Mathematical Finance Vol. 6 N0. 4 p. 379-406 1996. Feldhütter P and D Lando Decomposing Swap Spreads Copenhagen Business School Working Paper 2006. Hull JC Options, Futures & Other Derivatives Prentice Hall Fourth Edition 2000. Inflationsrapport 2005:3, Sveriges Riksbank 2005. James J N Webber Interest Rate Modelling Wiley Series in Financial engineering 2000. Liu Jun, F.A. Longstaff and R.E. Mandell The Market Proce of Credit Risk: An Empirical Analysis of Interest Swap Spreads NBER Working Paper 8990 2002. Söderlind Paul and Lars E.O. Svensson New Techniques to Extract Market Expectations from Financial Instruments Journal of Monetary Economics 40, 383-429, 1997. 12 [15]
Appendix; Bootstrappmetoden I detta avsnitt ges en (något förenklad) förklaring till den s.k. bootstrappmetoden. Problemet är att obligationer är räntebärande instrument som vanligen ger en delbetalning under obligationens löptid (så kallad kupongbetalning). Obligationer prissätts vanligen enligt formeln: 13 () P n n = k= 1 c() k 100 + k ( 1+ y) ( 1+ y) n (1a) Där P(n) är priset på en n-periods obligation, c(k) är kupongutbetalningarna som innehavarna får under obligationens löptid och y är den fasta diskonteringsränta som gäller under obligationens löptid. Denna diskonteringsränta eller internränta (på engelska yield to maturety eller YTM) är helt enkelt den ränta som satisfierar ekvationen ovan till ett givet pris och till givna kupongutbetalningar. Två obligationer med exakt samma löptid kan alltså ha olika internräntor om kupongbetalningarna skiljer. Man är nu intresserad av att lösa ut räntor som en funktion av deras löptid (avistaräntor) och rensa bort de effekter på obligationens nuvärde som utgörs av kupongbetalningarna. Det finns en vanligt förekommande metod att göra denna typ av beräkningar som vanligtvis går under namnet Bootstrap. Ett enkelt sätt att använda metoden kan illustreras utifrån följande exempel. Den n-åriga diskonteringsfaktorn är: 1 d n = (A1) () ( 1+ i() n ) n Termen i(n) är en så kallad nollkupongsränta som är beroende av löptiden. Priset på en n-årig obligation kan då skrivas som: () c( k 1)() d k + ( 100 + c() n ) d( n) (A2) P n n 1 = = k 1 Om två (eller fler) obligationer har samma kupongstruktur gäller att samma diskonteringsfaktor kan användas för att prissätta båda (alla) obligationer. Man kan använda att: () p 1 M p() n P = = c () 1 + 100 c M L O () n L c() n C 0 M + 100 ( ) d 1 M d() n D (A3) Med andra ord kan man lösa för diskonteringsfaktorerna enligt: 1 D = C P (A4) Man kan då även lösa för nollkupongsräntor som varierar med löptiden enligt: 13 Här bortses här från effekter av den s.k. upplupna kupongen. 13 [15]
i() n = d() n n 1 100 1 (A5) För att metoden som beskrivs ovan skall fungera måste kupongstrukturen mellan en n-årig och en (n-1)-årig obligation vara den samma. I verkligheten kan t.ex. kupongstrukturen mellan olika statsobligationer skilja betydligt. Även för swappräntor behöver kupongerna inte falla ut med exakt 360 dagars mellanrum. Just för swappräntor är dock denna förenkling vanligen relativt oskyldig. Givet det förenklande antagande att kupongstrukturen för alla swappräntor är den samma kan följande numeriska exempel baserat på ask-noteringar på swappräntor per den 22/8 2006 ca 13.30 ställas upp. Tabell 1 År 1 2 3 4 5 6 7 8 Swappränta 3.315 3.590 25 3.860 3.922 3.982 4.040 4.080 Enligt utryck (A3) ovan kan man ställa upp detta som: 100(1) 3.315 + 100 L 0 d( 1) M = M O M M 100( 8) 4.08 4.08 100 d() n L + P = C D Lösningen D = C 1 P ger följande diskonteringsfunktioner: Tabell 2 År 1 2 3 4 5 6 7 8 Diskonteringsfaktor 0.9679 0.9318 0.8951 0.8590 0.8244 0.7902 0.7566 0.7246 Det används här sedan formeln (A5) ovan för att lösa ut nollkupongsräntorna. Exempelvis i fallet med den 8 åriga diskonteringsfunktionen blir detta: 1 8 4.1085 = 0.724616799 1 100 Skillnaden mellan swappräntorna och de bootstrappade nollkupongsräntorna visas i figuren nedan: 14 [15]
4.20 4.10 3.90 3.80 3.70 3.60 3.40 Spoträntor YTM 3.30 Denna metod ger samma resultat som funktionen ZBTYIELD i financial toolbox i Matlab. I detta fall är det ingen skillnad att bootstrappa via diskonteringsfunktionen eller direkt på räntorna. Den beskrivna metoden är en enkel beskrivning hur man kan bootstrappa fram nollkupongsräntor som ger en god approximation när man använder swappräntor. Normalt är det lite mer komplicerat att bootstrappa nollkupongsräntor från exempelvis statsobligationer. Det kan därför vara klokt att använda en officiell programvara som exempelvis Matlab:s ZBTYIELD för att göra detta. 15 [15]