79G04 - Hemuppgift, Diskret matematik 5 oktober 015 Dessa uppgifter är en del av examinationen i kursen 79G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt. Dessutom skall du vara beredd på att vid behov kunna redovisa dina lösningar muntligt. Lämna in dina lösningar på ett av nedanstående sätt. i pappersform, senast måndagen 015-10-6 kl. 1.15, i ett förslutet kuvert adresserat till Anders Märak Leffler, IDA, lämnat i postfacket i väggen vid Café Java digitalt via e-post till anders.marak.leffler@liu.se senast samma tidpunkt. Ämnesrad 79G04: Hemuppgift [ditt LiU-id]. Scannade dokument lämnas in som en samlad PDF. Skriv namn, LiU-ID, och personnummer på varje sida. Detta gäller också inlämningar via e-post. Skriv tydligt! Frågor kan skickas till anders.marak.leffler@liu.se. Svar på frågan skickas till kurslistan utan att avslöja vem som ställt frågan. Hjälpmedel: Du får använda kursmaterialet som hjälpmedel. Allmänt om förklaringar Det kommer att efterfrågas en del förklaringar nedan. Dessa ska, om annat inte anges, vara kortfattade. Detta betyder entvå meningar. Förklaringarna ska visa att du förstått området och eventuella definitioner som används, men det behöver inte vara några utläggningar. Betyg På denna uppgift ges betygen U/G. Hemuppgiften är indelad i fyra delar som motsvarar de områden vi täckt i kursen. För betyget godkänd krävs godkänt på samtliga delar. Har du fått godkänt på en del i september-inlämningen, räknas den som godkänd i denna omgång också. Klarar man inte uppgiften ges nytt tillfälle i augusti 016. 1
1 Mängder (4+3=7p) För godkänt på denna del krävs 4p. 1. Vi ges U = {adams, hamilton, madison, elphaba, valjean}, M = {hamilton, elphaba, valjean}, H = {adams, valjean}, F = {adams, hamilton, madison}. a) Visa mängderna i ett tydligt Venndiagram. b) Gäller M H? Varför/varför inte? Är M och H disjunkta? c) Ange M H F M H F. Visa hur du kom fram till det. d) Ange P(H).. Av 100 anställda på ett företag kan 70 programmera och 56 skulptera. Var och en av de 100 har åtminstone någon av kunskaperna/förmågorna. Hur många kan programmera men inte skulptera? Formalisera problemet i mängdnotation, och visa dina beräkningar. Gör gärna Venndiagram också, men notera att det inte är ett tillräckligt svar.
Funktioner (+3+=7p) För godkänt på denna del krävs 4p. I uppgifterna nedan, låt P = {n : n är en siffra i ditt personnummer, inklusive fyra sista siffrorna}. Personnummer har som mest tio siffror. A = {n N : n 11} 1. Nedan ska du konstruera funktioner. Det kan vara svårt att hitta rent matematiska uttryck, så svara förslagsvis i tabellform. Ytterligare motivering/tester krävs ej. a) Beskriv en funktion f 1 : A P som är surjektiv men inte injektiv. b) Beskriv en funktion f : P P som är bijektiv. f får inte vara identitetsfunktionen 1.. Betrakta g : A A, sådan att 0 om n < 15, g(n) = 1 om 15 n 9, n annars. a) Beskriv definitionsmängd, målmängd och värdemängd för g. b) Visa att g inte är injektiv. 3. Betrakta h(x) = x + x + 14x 16, h : R R. Detta är en bijektiv funktion, så en invers funktion finns. Hitta den inversa funktionen h 1. 1 Det vill säga funktionen som avbildar ett element på sig själv, f(x) = x. 3
3 Relationer (4+1+1+3=9p) För godkänt på denna del krävs 5p. I uppgifterna nedan, låt P = {n : n är en siffra i ditt personnummer, inklusive fyra sista siffrorna}. Personnummer har som mest tio siffror. A = {n N : n 11} 1. I uppgiften nedan ska du konstruera två olika relationer. För enkelhets skull behöver du i denna uppgift bara svara med två överskådliga riktade grafer (en för 1a, en för 1b) med elementen i P som noder och elementen i R i som bågar. a) Beskriv en ekvivalensrelation R 1 på P, där R 1 har fler än P + 1 element. 3 b) Beskriv en partialordning R på P sådan att R > P.. Kalla första siffran i ditt personnummer för d 1, andra för d och så vidare. Konstruera en relation R på P som innehåller exakt två element och uppfyller d 1 Rd och d Rd 3. Här ska du beskriva relationen på vanlig form, med mängd (R = {...}) snarare än en grafillustration. 3. Antag att vi har mängden L av LiU-studenter, och relationen S på L, där (x, y) S om x läst åtminstone en kurs tillsammans med y. Är det rimligt att anta att S är transitiv? Motivera ditt svar kortfattat. 4. Antag att R P P är en symmetrisk relation på P. Då är R c också en relation på P (indirekt har vi U = P P ). Vi undersöker nu när den är symmetrisk. a) Hitta, om möjligt, ett exempel på en symmetrisk relation R på P där R c också är symmetrisk på P. b) Är det så att R c alltid kommer att vara en symmetrisk relation på P? Aldrig? Ibland? Motivera kortfattat. Så om (9, 8) R 1 så finns en båge 9 8 i grafen. 3 Fler än P + 1 bågar i grafen. 4
4 Grafer (3+1+1+1+=8p) För godkänt på denna del krävs 5p. 1. Vi ges grafen nedan: s 5 c 16 a 7 t 3 b Anm. Bågen a c ovan har vikt. Bågen s t har vikt 16. Hitta den kortaste vägen s t med hjälp av Dijkstras algoritm. Det ska gå att följa hur du gått till väga. Ange särskilt den kortaste vägens längd, vilken den kortaste vägen är, och i vilken ordning som noderna har avsökts (eller markerats som klara).. Dijkstras algoritm fungerar inte för alla grafer. Ange en riktad, viktad graf där du inte kan använda Dijkstras algoritm för att hitta en kortaste väg (eller svaret att det inte finns någon väg). Du behöver inte hitta den kortaste vägen. Svara med en bild modell den ovan. 3. Notation: Beskriv grafen i uppgift 1 på formen G = (V, E). 4. Antag att vi lägger till en båge t a i grafen från uppgift 1 ovan. Hur många komponenter, i bemärkelsen Maximal Strongly Connected Component, kommer grafen att bestå av isåfall? Motivera kortfattat. 5. Låt P vara personnummermängden från tidigare uppgifter. Skapa ett rotat, riktat träd där elementen i P är noder, och varje nod som högst har ut-grad. Svara med en grafisk illustration av trädet. 5