DEL 1 Tid 30 min Poängantal 20 I den här delen används inte räknare. Motivera alltid din slutsats med matematiska uttryck, figurer, förklaring el.dyl. 1. Vilket är det största heltalet, som uppfyller följande villkor? Talet är större än 100. Talet är mindre än 200. Då talet avrundas till närmaste hundratal är det 20 större än om det avrundas till närmaste tiotal. 2. Ersätt bokstäverna med tal så, att de olika bokstäverna motsvarar olika tal. 3. Trianglarna ABC och DBC är likbenta. Hur lång är sidan BD? 4. Hur stor är den på kuben ritade vinkeln ABC?
5. Vilken siffra står på entalens plats då talet 2 2010 uttrycks med hjälp av tiosystemet? 6. Är det möjligt att kvadraten av ett positivt tal är lika stor som två gånger samma tal i kubik? Ifall det är möjligt, ge ett exempel. Ifall det inte är möjligt, motivera varför inte. 7. Vilket är det minsta värdet som produkten av fyra heltal kan få, då talen är påvarandraföljande tal med differensen två? 8. Parallellogrammen ABCD är indelad i nio mindre parallellogrammer. Parallellogrammen ABCD:s omkrets är 25 cm och omkretsen för fyra mindre parallellogrammer ses i figuren. Hur lång är omkretsen av den mittersta mörka parallellogrammen? 9. Årtalen 2009 och 2010 kan enkelt ändras till talen 200 9 och 20 10. Vilket av dessa tal är större och hur många gånger större är det i förhållande till det mindre av talen? 10. Är det möjligt att rita nio sträckor i ett plan så, att varje sträcka skär exakt tre andra sträckor?
DEL 2 Tid 45 min Poängantal 20 I den här delen används ett geobräde med 11 11 piggar, ifall annat inte nämns, samt rutpapper. Figurerna kan även ritas på ett skilt punktpapper. 1. Den minsta kvadraten som kan formas på geobrädet är den som har 2 2 piggar. Den kan med en uttöjd gummisnodd delas i två likformiga delar endast på ett sätt då gummisnodden inte får fästas utanför kvadraten. Lösningar, som fås genom vridning eller spegling är inte olika. På hur många olika motsvarande sätt kan du dela följande fyrhörningar i två likformiga delar, då fyrhörningarnas sidor är parallella med brädets kanter? a) 4 4 piggar b) 5 5 piggar c) n n piggar d) m n piggar (m n) Rita dina lösningar eller motivera med förklaringar. (7 poäng) 2. Bilda en kvadrat vars sidor är parallella med brädets kanter. Dela in den i två likformiga delar med en gummisnodd som bildar en bruten linje och inte går utanför kvadraten. Över hur många piggar måste gummisnodden tänjas för att delarna skulle få möjligast många hörn, då kvadraten har a) 4 4 piggar b) 5 5 piggar? Rita dina lösningar. (4 poäng)
3. Bilda en konvex månghörning med en så stor area som möjligt på geobrädet med 11 11 piggar. Dela sedan månghörningen med en till en sträcka uttänjd gummisnodd så, att snodden inte går utanför månghörningen. Dela den andra av delarna på liknande sätt i två delar. Hur många hörn kan de tre bildade månghörningarna totalt ha ifall den ursprungliga figuren är a) en fyrhörning b) en femhörning? Rita dina lösningar. Hur många hörn kan de bildade månghörningarna totalt högst ha, då den ursprungliga månghörningen är c) en sjuhörning d) en n-hörning? Rita dina lösningar eller motivera med förklaring. (7 poäng) 4. Bilda en konvex månghörning med så många hörn som möjligt på geobrädet med 11 11 piggar. Rita din lösning och ange månghörningens area så att areaenheten är brädets minsta kvadrat. (2 poäng)
DEL 3 Tid 60 min Poängantal 30 Motivera dina svar och förklara dina slutsatser. 1. Bestäm alla positiva heltal n, för vilka även 198 z 4n 3 är ett positivt heltal. 2. 1 1 1 1 1... 1 2 3 x 2010 2 2010 2 2 2 Vilket tal är x? 3. Med hjälp av sådana plan, som skär kanternas mittpunkter i en symmetrisk tetraeder, skärs bort fyra små tetraedrar, en från varje spets av tetraedern. a) Hur många kanter finns i den kvarblivna mittdelen av tetraedern? b) Hur många sidor har den kvarblivna delen? c) Hur stor är den kvarblivna delens volym i förhållande till den ursprungliga tetraederns volym? 4. I Rädda världen datorspelet beskrivs världen med ett tredimensionellt koordinatsystem där iakttagaren står i origo på planetens yta. Koordinatsystemets x-axel är riktad mot norr, y-axel mot väster och z-axeln är riktad lodrätt uppåt. Vid begynnelsesituationen fäller en obekant rymdfarkost en giftbomb från ett ställe som har koordinaterna x = 15 000 m, y = 20 000 m, z = 10 000 m. Bombens läge som funktion av tiden beskrivs av x = 15 000 200t y = 20 000 + 200t z = 10 000 100t, där t är tiden i sekunder och koordinaterna är uttryckta i meter. a) Hur mycket tid har spelaren innan bomben träffar planetens yta? b) I vilken riktning (väderstreck) rör sig bomben? c) På vilket avstånd från iakttagaren träffar bomben planetens yta? 5. Swahili talas allmänt i Öst-Afrika, där ca 50 miljoner människor talar det som andra språk. Cirka fem miljoner människor talar swahili som modersmål. De swahiliska orden mtu, mbuzi, mgeni, jito, jitu och kibuzi motsvaras av jätte, killing (liten get), obekant, get, människa och stor flod, men inte i samma ordning. Resonera dig fram till vad orden betyder.