Värme- och strömningsteknik / Thermal and Flow Engineering Massöverföring & separationsteknik Mass transfer & separation technology Räkneövningar / Classroom exercises 2016-2 29.3.2016 10.15 11.45 (St) kurs-assistent / course assistent MSc Chem Eng Evelina Koivisto The six underlined questions shall be discussed, for the three other questions the answer is enclosed. 2.1 Hemuppgift / homework exercise H1/2006 n För behållare som har liknande geometri ger dimensionsanalys ett samband mellan omrörarens effekt P (W) och ett Reynoldstal Re: For stirred vessels with similar geometry a dimensional analysis gives a relation between the power of the mixer, P (W) and Reynolds number Re: d h P 3 n d 5 d h f (Re,, ) D D med/with nd Re 2 D med omrörarens varvfrekvens n (1/s), diametrar d (m) och D (m), höjd h (m), vätskans densitet ρ (kg/m 3 ) och viskositet η (Pa.s). with mixer rotation speed n (1/s), diameters d (m) and D (m), height h (m), liquid density ρ (kg/m 3 ) and viscosity η (Pa.s). Man vill förutsäga varvfrekvensen n1 för en behållare med D1 = 3 m, omrörarens diameter d1 = 0.5 m, vätkans densitet ρ1 =900 kg/m 3, vätskans viskositet η1 = 0.3 Pa s och omrörarens effekt P1 = 3000 W. Därtill mäter man effekten P2 (W) i en mindre behållare (D2 = 0.15 m) med luft (ρ2 = 1.2 kg/m 3, η2 = 18 10-6 Pa s). One aims at predicting the mixer speed n1 for a vessel with D1 = 3 m, mixer diameter d1 = 0,5 m, liquid density ρ1 =900 kg/m 3, liquid viscosity η1 = 0.3 Pa s and mixer power input P1 = 3000 W. For that purpose the input power P2 (W) is measured in model experiments with a smaller vessel (D2 = 0,15 m) with air (ρ2 = 1,2 kg/m 3, η2 = 18 10-6 Pa s). a. Hur stor ska omröraren för modellförsöket, d2, vara? b. Vad ska förhållandet n2/n1 (-) vara? c. Vilken effekt P2 (W) behövs? d. Från modellförsöken följer att f (Re, d/d, h/d) = 5. Beräkna n1, n2 och Re1 och Re2, ge svaren med 1 decimals noggrannhet.
a. How large must the mixer for the model experiment, d2, be? b. What should be the ratio n2/n1 (-)? c. How much power P2 (W) is needed? d. From the model experiments it follows that f (Re, d/d, h/d) = 5. Calculate n1, n2 and Re1 and Re2, give the answers with 1 decimal accuracy. 2.2 Gammal tentfråga / old exam question 313 En fuktig (av vatten) cylinder (diameter = 5 cm) av ett poröst material placeras i en turbulent luftström som innehåller ammoniak (NH3) med avsikten att absorbera ammoniaken i vattnet. Information om massöverföringskoefficienten saknas men värmeöverföringsexperiment gav ett värde h = 68 (Wm -2 K -1 ) för värmeöverföringskoefficienten h. A wet (of water) cylinder (diameter = 5 cm) of a porous material is placed in a turbulent air flow that contains ammonia, NH3, with the aim to absorb ammonia from the air into the water. Information on the mass transfer coefficient, k (m s -1 ) is not available but from a heat transfer experiment it was found that the heat transfer coefficient, h, for this situation is equal to h = 68 W/(m 2 K -1 ). a. Beräkna massöverföringskoefficienten k (m s -1 ) med denna information. a. Use the heat mass transfer analogy (the so-called Chilton-Colburn relations) to determine the mass transfer coefficient, k (m s -1 ). Note: the diffusion coefficient Ð (m s -2 ) follows from Schmidt number Sc. Data för luft: densitet ρ = 1.20 (kg m -3 ); värmekapacitet cp = 1.00 (kj kg -1 K -1 ); Pr = 0.74 (-); värmeledningskoefficient λ = 0.025 (Wm -1 K -1 ); för luft-ammoniak blandningar Sc = 0.61 (-) Data för air: density ρ = 1.20 (kg m -3 ); specific heat cp = 1.00 (kj kg -1 K -1 ); Prandtl Pr = 0.74 (-); heat conductivity λ = 0.025 (Wm -1 K -1 ); and for air ammonia mixtures Schmidt number Sc = 0.61 (-). Efter en tid är cylindern genomträngd över hela diametern med en koncentration c = cnh3 = 6 %-wt, och den flyttas till ett stort rum med ren stillastående luft. Ammoniaken börjar nu avdunsta från cylindern. b. 1. Hur mycket tid (räknad från t = 0 där cylindern flyttades) tar det för 99 % av ammoniaken att avdunsta (ge svar i sekunder och timmar), och b. 2. vad är ammoniakkoncentrationen i cylinderns mitt vid den tidpunkten?
För diffusion av ammoniak i den fuktiga cylindern är diffusionskoefficienten Đ = 2 10-9 m 2 /s. Använd bifogade diagrammen för tidsvariant värmeledning och analogin T c, <T> <c>, a Đ, med dimensionslösa Fourier-tal Fo=at/D 2 för värmeöverföring och Fo = Đt/D 2 for massöverföring med diffusionskoefficient Đ in i objekt med längddimension D. After some time the cylinder is completely penetrated over the whole cross section to a concentration cnh3 = 6 %-wt, and it is moved to a large room with clean, stagnant air. The ammonia now starts to evaporate from the humid cylinder. b. 1. How much time (calculated from t = 0 where the cylinder is moved) does it take for 99% of the ammonia to evaporate (give the answer in seconds and hours), and b. 2. What is the ammonia concentration at the cylinder s centre then? For diffusion of ammonia in the humid cylinder the diffusion coefficient is Đ = 2 10-9 m 2 /s. Use the diagrams given below for transient heat transfer and the analogy T c, <T> <c>, a Đ, with dimensionless Fourier-number Fo=at/D 2 for heat transfer and Fo = Đt/D 2 for mass transfer with diffusion coefficient Đ in an object with length dimension D. Temperatur vid tidsvariant värmeledning: medelvärde (vänster) och i mitten (höger) Temperature for transient heat transfer: average (left) and centre (right)
2.3 Gammal tentfråga / old exam question 304 Två personer har olika sätt för att torka sina handdukar som bilden visar. Metod A är mest konventionellt men personen som använder metod B tror att det ger snabbare torkning. Det ska nu kontrolleras för situationen med två identiska handdukar med storlek 1 m x 2 m, båda fuktiga med 180 g vatten vid tidpunkten t = 0, i luft vid 20 C, 1 bar totaltryck, relativ luftfuktighet 50%. Det blåser lite med vindhastighet 3 m/s i riktningen x, parallel med handdukarna. Two persons use different ways to dry their towels as shown in the figure. Method A is more conventional but persons who prefer method B assume that this gives faster drying. This shall be verified for a situation with two identical towels with size 1 m x 2 m, both humid with 180 g water at time t = 0, in air at 20 C, 1 bar pressure, relative humidity 50%. There is some wind with velocity 3 m/s in direction x which is parallel to the towels. wind v x = 3 m/s wind v x = 3 m/s 2 m AA 1 m B L=1 m x=0 x L=2m x x=0 Massöverföringskoefficienten, k, kan beskrivas för ett laminärt gränsskikt (Rex < 5 10 5 ) med ett genomsnittvärde för Sherwoodtalet Sh (-) över längden x: Shavg = 0.664 Rex 1/2 Sc 1/3, för Rex < 5 10 5 där Shavg = k x/d, med längdkoordinaten x (m), massöverföringskoefficient k (m/s) och diffusionskoefficient D = 2.52 10-5 (m 2 /s) gäller för vattenånga i luft vid 20 C, 1 bar. Rex är Reynoldsnumret Rex = vx x/ν (-) för (vind-)hastighet vx (m/s), och kinematiska viskositeten ν = 1.51 10-5 (m 2 /s) för luft vid 20 C, 1 bar. Sc (-) är Schmidtstal för vattenånga i luft och Sc = 0.6 vid 20 C, 1 bar. Vid 20 C, mättat vattenångtryck är p H2O = 2339 Pa. The mass transfer coefficient k can be described for a laminar boundary layer (Rex < 5 10 5 ) with an average value for Sherwood number Sh (-) over distance x: Shavg = 0.664 Rex 1/2 Sc 1/3, för Rex < 5 10 5 where Shavg = k x/d, with length coordinate x (m), mass transfer coefficient k (m/s) and diffusion coefficient D = 2.52 10-5 (m 2 /s) for water vapour in air at 20 C, 1 bar. Rex is Reynolds number Rex = vx x/ν (-) for (wind-)velocity vx (m/s), and the kinematic viscosity ν = 1.51 10-5 (m 2 /s) for air at 20 C, 1 bar. At 20 C, the saturation pressure for water is p H2O = 2339 Pa.
a. Kontrollera om gränsskikten är laminära över längden L för A och B. b. Beräkna Shavg talen och massöverföringskoefficienterna k för A och B. c. Beräkna hur länge det skulle ta för att överföra 180 g vatten från handduken till luften, för A och B. d. Beräkna gränsskiktets genomsnittstjocklek för massöverföring, δm (i mm) för båda situationer och beräkna också hydrodynamiska gränsskiktets genomsnittstjocklek, δh (i mm). a. Check whether the boundary layers are laminar over distance L for A and B. b. Calculate Shavg and the mass transfer coefficient k for A and B. c. Calculate how long is would take to transfer 180 g water from the towel to the air, for A and B. d. Calculate the average thickness of the boundary layer for mass transfer, δm (in mm) for both cases A and B and calculate also the average hydrodynamic boundary layer thickness δh (in mm). I praktiken tar det 1 timme för handduken att bli torr i situation A. e. Varför tar det mera tid än massbalansberäkningen c. förutsäger. f. Om det tar 1 timme för situation A, Hur mycket tid tar det för handduken i situation B att bli torr? In practice it takes 1 hour for towel A to dry. e. Why does it take more time than mass balance calculation c. Predicts? f. If it takes 1 hour for case A, how long will the drying take for case B? Svar /answer: a: OK. b: 6.3 10-3 m/s, 4.4 10-3 m/s. c: 829 s, 1172 s. d: 0.40 mm, 0.57 mm; 0.34 mm, 0.48 mm e: Värmeöverföring! / Heat transfer! f: 1.41 (= 2) timmar. 2.4 Gammal tentfråga / old exam question 432 436 456 460 464 Vatten förångas från en fuktig rätvinklig yta när torr luft vid 1 atm, 35ºC strömmar över ytan med hastigheten v = 15 m/s. Värmeöverföringsmätningar visar att under dessa förhållanden medelvärdet är för värmeöverföringskoefficienten < h > (W/(m 2 s)) 0 6 som ges som h 21 v, med v i m/s. a. Med användning av Chilton-Colburn analogin, bestäm medelvärdet för massöverföringskoefficienten k (m/s) för vattnets förångning b. Beräkna hastigheten för vattnets förångning ṅ (mol/s), ifall ytan A = 1,5 m 2. Data: Vid 35 C, ångtryck för vattnet = 0,0562 bar; luft densitet ρ = 1,146 kg/m 3 ; luft kinematiska viskositet ν = 16,47 10-6 m 2 /s; luft värmekapacitet cp = 1,005 kj/(kg K); Pr = 0,711; diffusions koefficient för vattenånga i luft Ð = 2,81 10-5 m 2 /s.
Water evaporates from a wetted surface of rectangular shape when dry air at 1 atm, 35 C is blown over the surface at a velocity v = 15 m/s. Heat transfer measurements show that under these conditions the average heat transfer coefficient < h > (W/(m 2 0 6 s)) is given by h 21 v, with v in m/s. a. Using Chilton-Colburn analogy, determine the average mass transfer coefficient k (m/s) for water evaporation. b. Calculate the rate of water evaporation ṅ (mol/s), if the area is A = 1.5 m 2. Data: At 35 C, saturation pressure water = 0,0562 bar; air density ρ = 1,146 kg/m 3 ; air kinematic viscosity ν = 16,47 10-6 m 2 /s; air specific heat cp = 1,005 kj/(kg K); Pr = 0,711; diffusion coefficient for water vapour in air Ð = 2,81 10-5 m 2 /s. 2.5 Gammal tentfråga / old exam question 308 En forskare har utvecklat en metod för bestämning av vätskors viskositet η (Pa s), i vilken kompakta sfäriska föremål med olika diametrar d (m) och densiteter ρk (kg/m 3 ) låtes sjunka i stillastående vätskor med densiteter ρ (kg/m 3 ). Sjunkhastigheten v (m/s) registreras. Försöksapparaten består av en behållare helt fylld med försöksvätska, i vilken kulan med hjälp av en stav kan petas över kanten på en avstats (se Figur), varefter kulans hastighet kan beräknas utgående från den tid Δt (s) det tar för kulan att färdas mellan nivåerna z1 och z2, med antagandet att en konstant hastighet v = (z1-z2)/δt råder i detta område. Dimensionsanalys används för sambandet η = f (d, v, ρk, ρ, g), med tyngdaccelerationen g (m/s 2 ). z 1 z 2 A researcher has developed a method for determining the viscosity η (Pa s) liquids, by which small spherical objects with different diameters d (m) and densities ρk (kg/m 3 ) are sunk into stagnant liquid with density ρ (kg/m 3 ). The sinking velocity v (m/s) is registered. The test set-up is comprised of a container that is filled with the liquid, into which the spheres can be entered from a little platform (see Figure), after which the time Δt (s) is measured during which the sphere travels from height z1 to z2, assuming that velocity v = (z1-z2)/δt is constant there. Dimensional analysis is used to produce a relation η = f (d, v, ρk, ρ, g), with gravitational acceleration g (m/s 2 ). a. Visa att dimensionsanalysen ger tre dimensionslösa grupper Π1, Π2, Π3. b. Utför dimensionsanalysen som ger Π1 = f(π2, Π3) där η ingår i Π1. a. Show that the dimensional analysis gives three dimensional groups Π1, Π2, Π3. b. Carry out the dimensional analysis Π1 = f(π2, Π3) where η is included in Π1. Svar: a.6 variabler - 3 enheter = 3 Π-grupper. b: se kursmaterial (t.ex. 2010: 5.3)
2.6 Gammal tentfråga / old exam question 325 Luft skall fuktas genom att låta den strömma genom en wetted-wall kolonn där vattnet rinner motströms. Se figuren intill. Den inkommande luften är torr. Kolonnens inre diameter D = 0.1 m, och Reynoldstalet för luft ges av Re = 40 000. Massöverföringen begränsas framförallt av gassidan, medan den kan försummas för vattensidan. Antag ekvimolär diffusion. (Koncentrationen cvatten i luft << cövraga gaser i luften.) För luft-vatten systemet under rådande förhållanden (20 C, 1 bar) ges Schmidt talet för gassidan av Sc = ν/ðluft-vatten = 0.6, med den kinematiska viskositeten ν = 1.5 10-5 m 2 /s för luft. a. Beräkna, via Sherwood talet Sh, massöverförings-koefficienten k (m/s). b. Beräkna, ifall den maximala (= mättnings) koncentrationen för vatten i luft under dessa förhållanden är c * = 1 mol/m 3, hur hög (L i m) kolonnen måste vara för att den utgående luften skall ha en vattenkoncentration på c = 0.8 c * (mol/m 3 ). Använd en massbalans för vattnet för en kort sektion dh (m) av kolonnens höjd: Förändringen i vattenmängden i luften = vattnet som transporterats från vätskan till luften och integrera ekvationen i fråga med avseende på L.) c. Hur mycket vatten tas upp av luftströmmen (g/s)? Air is to take up moisture by contacting it in counter-flow to a water flow in a cylindrical wetted-wall column see Figure. The incoming air is dry. The inside diameter of the column equals D = 0.1 m, the Reynolds number for the air flow equals Re = 40000. The mass transfer resistance is mainly on the air side; that on the water side may be neglected. For the air-water system under these conditions (20 C, 1 bar) the Schmidt number for the gas side is given by Sc = ν / Đair-water = 0.6, with kinematic viscosity ν = 1.5 10-5 m 2 /s for the air. a. Calculate, via the Sherwood number Sh, the mass transfer coefficient k (m/s). b. Calculate, if the maximum (= saturation) concentration of water in air at these conditions is c* = 1 mol/m 3, the column length L (m) for air/water contacting that is needed for a water concentration c = 0.8 c* (mol/m 3 ) in the air leaving the column. To do this, use a mass balance for water for a small height section dh (m): Change in water content of air = Water transferred from liquid water to air and integrate that equation to find L. Note: calculate the gas volume stream V (m 3 /s) from the value for Re. c. How much water is taken up by the air stream (g/s)?
2.7 Gammal tentfråga / old exam question 425 På en soptipp har under en tioårsperiod dumpats ett miljöfarligt ämne. Med tiden har ämnet med regnvatten penetrerat den underliggande marken. Detta kan beskrivas som en diffusionsprocess med diffusionskoefficienten D = 2 10-10 m 2 /s. Se bilden. Markens yta är mättad med det farliga ämnet vid koncentrationen c = c* = 2 kg/m 3. a. Hur djupt, δ, i m, har det farliga ämnet överförts in i marken genom diffusion? b. Hur mycket av ämnet har under tioårsperioden hamnat i marken, i kg/m 2 markyta? Obs: med den tidsberoende massöverföringskoefficienten k(t) (m/s) vid tid t gäller att medelvärdet k för tidsintervallet t = [0, τ] är k 2 k( ). A toxic compound has been dumped on a landfill site during a period of 10 years. During this time the toxic compound has together with rainwater penetrated the underlying ground soil. This can be described by a diffusion process with diffusion coefficient D = 2 10-10 m 2 /s. See the figure. At the ground surface the soil is saturated with the toxic compound at a concentration c = c* = 2 kg/m 3. a. Up to what depth, δ (in m) has the toxic compound penetrated the ground by diffusion during these 10 years? b. How much of the toxic compound has gone into the ground, as kg/m 2, during the 10 years? Note: for a time-dependent mass transfer coefficient k(t) (m/s) at time t, the average value k for a time interval t = [0, τ] equals k 2 k( ). 2.8 Kompendium / Course compendium G. Öhman (1996/2001) 7.1-c
2.9 Gammal tentfråga / old exam question 426 Katalysatorpartiklar ska spridas ut i en reagerande vätskeblandning, med hjälp av en standard impeller med platta rotorblad (sex blad, se bild), i en sk. fully baffled tank (se andra bilden). Test i en cylindrisk pilotreaktor (diameter D 1 = 0,25 m) visade att med impellerdiametern d 1 = 0,05 m en omrörningshastighet på n 1 = 700 rpm var nödvändig för en bra spridning av katalysatorpartiklar och bra produktkvalitet. För en liknande, men större (D 2 = 0,6 m), reaktor med samma mängd vätska och katalysatorkoncentration, liknande impeller (d 1 /D 1 = d 2 /D 2 ): Beräkna 1) omrörningshastigheten n 2 (i rpm) och 2) effektförbrukningen P 2 (W) om effektförbrukningen per volymenhet vätska (dvs P/V) är konstant. baffles d Diagrammet ger sambandet mellan Power group Po = P/(ρ n 3 d 5 ) och Reynoldstalet Re = (ρ n d 2 )/η. Vätskans densitet ρ = 1300 kg/m 3, dynamiska viskositet η = 0,0015 Pa s. För vätskehöjden h 2 /h 1 = D 2 /D 1, så att volym V ~ D 3. Catalyst particles are to be dispersed in a reacting liquid mixture using a standard flate blade turbine (six blades, see figure) impeller in a fully baffled tank (see second figure). Tests were made in a cylindrical pilot scale reactor (diameter D 1 = 0.25 m) where for an impeller with diameter d 1 = 0,05 m a minimum stirring speed of n 1 = 700 rpm was found to be necessary for good catalyst dispersion and good product quality. For a similar but larger (diameter D 2 = 0.6 m) reactor with the same liquid and catalyst amount concentration, with a similar impeller, (d 1 /D 1 = d 2 /D 2 ): calculate the 1) stirring speed n 2 (in rpm) and 2) power consumption P 2 (W) if the power consumption per unit liquid volume (i.e. P/V) is held constant. The diagram gives the relation between Power group Po = P/(ρ n 3 d 5 ) and Reynolds number Re = (ρ n d 2 )/η. Liquid density ρ = 1300 kg/m 3, dynamic viscosity η = 0,0015 Pa s. For the liquid height, h 2 /h 1 = D 2 /D 1, so that volume V ~ D 3.
MÖF-ST 308 a. Variables: 6 Units: 3 kg, m, s 6-3 = 3 dimensionless groups b. Unit η = Pa.s = kg m -1 s -1 η kgm 1 s 1 v f ms d m ρ kgm ρ kgm g ms = k,,,, 1 3 3 2 3 units variables: m d, kg ρd 3, s d/v η 3 1 ρd d d 1 1 η ρk = f 11,, ρdv ρ Π = f ( Π,Π ) 2 v = f v dd 3 1 d ρ,, v d ρd d k 3 3 gd ρk gd, 1, = f, 2 2 v ρ v ρ, 3 ρd d 3 g, 2 dd v 2 Π 1 = 1/Re (Reynolds), Π 3 = Fr (Froude)
ÅA MÖF-ST exam question 325 Answer: a. Sh = 0.023.Re 0.81.Sc 0.44 gives with Re = 40000, Sc = 0.6 Sh = 98.3 = k.d/đ (even though Re > 35000, a slight mistake) Đ = ν/ Sc = 2.5.10-5 m 2 /s k = 2.46.10-2 m/s b. For a mole stream ṅ (mol/s), or dṅ for a height section dh with volume dv = (π/4)d 2.dh, which gives a contacting surface da = πd.dh, a mass balance gives dn& = Φ.dc = k.(c * c).πd. dh c = 0 v at h = o c* = 0.8c * at h = L Integrate: dc c * c 0. 2c * c * 0. 8c* 0. 8c* L = dln(c * c) = ln = 0 0 0 kπd dh = Φ Cross-section averaged velocity <v> in Re-number gives Φ v = (π/4) D 2 <v> <v> = Re.ν/D = 6 m/s, Φ v = 0.047 m 3 /s This then gives L = Φ v. (-ln(0.2)) / (kπd) = 9.8 m v kπdl Φ v c. ṅ = Φ v *0.8c* = 0.679 g/s