Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1
Laboration 3. Differentialekvationer Torsionssvängningar i en drivaxel Sista dag för 2 bonuspoäng: fredag 30/4, 2004 I denna laboration har du nytta av lösningen till de deluppgifter som presenterades i laboration 2. Resultaten från denna laboration ska sammanställas till en skriftlig rapport författad av en 2-,3- eller 4-personsgrupp Problembeskrivning I denna laboration ska du med matematiska och numeriska verktyg undersöka torsionssvängningar i en roterande axel. Sådana svängningar uppstår då en periodisk momentstörning överlagras på den konstanta rotationen. Torsionssvängningar är farliga eftersom de ger en oscillerande vridpåkänning av utmattningskaraktär. Vid resonans kan de snabbt leda till axelbrott. I ovanstående figur visas en båtmotor där transmissionen överförs till propellern via en axel av stål. På samma axel sitter i andra änden ett svänghjul som har till uppgift att stabilisera rotationen genom att utjämna bl a de störningar som motorkolven ger upphov till. I figuren visas en mekanisk modell av propeller, svänghjul och axeln. Propellern och svänghjulet har tröghetsmomenten J 1 resp J 2. M s = M 0 sin (ω s t) är det störmoment som påverkar axelns rotation. Torsionsdynamiken för detta system är entydigt bestämt om vi känner vridningsvinklarna ϕ 1 (t) och ϕ 2 (t) för propellern resp svänghjulet. Ett system av detta slag med två frihetsgrader kallas ett torsionssystem med två trögheter. Rörelseekvationen för en stel kropps rotation kring en fix axel ger följande differentialekvationer ( ): d 2 ϕ 1 J 1 dt + c dϕ 1 2 1 dt + k(ϕ 1 ϕ 2 )=M 0 sin(ω s t) 2
d 2 ϕ 2 dϕ 2 J 2 + c dt 2 2 dt + k(ϕ 2 ϕ 1 )=0 Vid tiden t =0är systemet i vila, varför vi har begynnelsevillkoren: dϕ 1 (0) ϕ 1 (0) = 0, =0, ϕ 2 (0) = 0, dt I ovanstående differentialekvationer ingår följande parametrar: dϕ 2 (0) dt =0 J 1 och J 2 tröghetsmomenten för propeller resp svänghjul k vridfjäderkonstanten för axeln c 1 och c 2 dämpningskonstanter för propeller resp svänghjul M 0 störmomentets amplitud ω s vinkelhastigheten för störmomentet Vridfjäderkonstanten k fås ur k = GK tf l där G är skjuvmodulen, K tf är vridstyvhetens tvärsnittsfaktor och l är axelns längd. När axeln är cirkulär med radien r gäller K tf = πr 4 /2. Genom att införa matris- och vektorbeteckningar kan systemet med två trögheter skrivas på kompakt form: J d2 ϕ dt 2 + C dϕ dt + Kϕ = M, ϕ(0) = 0, dϕ(0) =0, ( ) dt där J, C och K är 2 2-matriser medan ϕ och M är 2 1-vektorer. Uppgift 1: AngeJ, C, K och M med sina komponenter. Slut uppgift 1. För att undvika kraftiga vibrationer i axeln måste man undvika de frekvenser på vibratorn som ger upphov till resonanser. De odämpade egenvinkelfrekvenserna ges av lösningen till egenvärdesproblemet Kx = λjx där λ kallas egenvärde och x egenvektor. Detta linjära ekvationssystem har lösningar x 0 endast för de λ-värden som satisfierar karakteristiska ekvationen det(k λj) =0 Eftersom K och J är 2 2-matriser är den karakteristiska ekvationen en andragradsekvation med de två rötterna λ 1 och λ 2. Tillhörande egenvektorer är x 1 och x 2. Sambandet mellan egenvärde och egenvinkelfrekvens visar sig vara ω = λ. 3
Uppgift 2: För att bestämma egenvinkelfrekvenserna sätter man C =0och M =0. Som lösning ansätts ϕ = x sin (ωt), där ω är en egenvinkelfrekvens (den vinkelfrekvens som systemet helst vill svänga i) och komponenterna i vektorn x (ej t-beroende) är motsvarande amplituder. Stoppa in ansatsen i ( ) så erhålles egenvärdesproblemet där λ = ω 2. Slut uppgift 2. Den fysikaliska tolkningen av en egenvektor är att den beskriver systemets rörelse vid vibratorvinkelfrekvenser i närheten av motsvarande egenvinkelfrekvens. Kvoten mellan x s komponenter är nämligen förhållandet mellan de två amplituder som propellern och svänghjulet svänger med. Om de bägge komponenterna har samma tecken, svänger massorna i fas med varandra, om komponenterna har olika tecken svänger de i motfas. Egenvärdesproblem löses enkelt i Matlab genom att använda funktionen eig. Ge kommandot help eig så ser du hur λ och x kan bestämmas. Systemet ska även studeras för andra vinkelfrekvenser än egenvinkelfrekvenserna. Vibrationerna kan simuleras genom att lösa differentialekvationerna numeriskt med Matlabfunktionen ode45 och sedan beräkna amplituden för den stationära svängningen för olika vinkelfrekvenser. För att kunna anropa denna Matlabfunktion måste differentialekvationssystemet ( ) först skrivas om som ett system av första ordningen. Uppgift 3: Skriv om differentialekvationssystemet ( ) som ett system av första ordningen. Slut uppgift 3. Programmeringsuppgift Skriv Matlabprogram som ger värden åt problemets indataparametrar Som numeriska värden på parametrarna används de som ges i följande tabell: J 1 kgm 2 J 2 kgm 2 c 1 Ns/m c 2 Ns/m G Pa r m l m M 0 Nm 0.08 1.5 40 70 8 10 10 0.014 1.5 75 beräknar egenvinkelfrekvenser ω 1, ω 2, egenvektorer och amplitudförhållanden för systemet med två trögheter beräknar lösningen till differentialekvationssystemet för systemet med två trögheter med Matlabfunktionen ode45 och sedan plottar axelns vridningsvinkel ϕ 1 ϕ 2 som funktion av tiden under lämpliga tidsintervall dels för ω = ω 1 och dels för ω = ω 2. Beräkna amplituden för vridningsvinkeln då stationärt tillstånd uppnåtts. 4
ritar grafer över vridningsvinkelns amplitud som funktion av ω s, 0 ω s 600 för tvåtröghetssystemet. variera dämpningskonstanten c 2 i lämpligt intervall. Bestäm amplituden för axelns vridningsvinkel ϕ 1 ϕ 2 och plotta den som funktion av c 2.Låtω s = 400. DEN SKRIFTLIGA RAPPORTEN, KRAV OCH TIPS Målsättningen med detta kursmoment är att du både ska lära dig numerisk behandling av differentialekvationer och få träning i att skriva en teknisk rapport. Alla tekniska rapporter har en viss disposition och det är meningen att du ska följa nedanstående för det här aktuella fallet när du redogör för de resultat du fått fram i den matematiska och numeriska behandlingen av problemet. Följ därför följande disposition vid författandet: Försättssida innehållande titel författarnas namn, linje+inskrivningsår, personnummer och e-mailadresser inlämningsdatum kursens namn: Numeriska metoder gk1 för M2, vt-2004 antal timmar du lagt ner på laboration 3. gärna en illustration En sammanfattningssida med sammanfattning i ord på svenska (7-15 rader) (inga formler i denna del!) ett engelskt abstract, som är en översättning av den svenska sammanfattningen. En bra svensk-engelsk ordlista för begrepp inom mekaniken hittar du på mekanikinstitutionens hemsida http://www.mech.kth.se/ Innehållsförteckning med sidhänvisningar första sidhänvisningen ska vara till problembeskrivningen Problembeskrivning redogörelse i ord och med figurer för det mekaniska problem som rapporten behandlar (nyckelbegrepp: egenvinkelfrekvenser, vridningsvinkelamplitud i stationärt tillstånd, design av dämpningskonstant) Matematiska och numeriska metoder det matematiska problemet presenteras (uppgifterna 1-3) 5
den numeriska behandlingen av problemet (egenvärdesproblem, begynnelsevärdesproblem för ODE-system, bestämning av amplitud i stationärt tillstånd med numerisk metod) Presentation av resultaten på lämplig form (löpande text, grafer, tabeller, etc) Slutsatser Referenser Bilagor, främst Matlabprogram, snyggt editerade och kommenterade Rapporten ska alltså följa ovanstående mall och bl a följande moment ska alltså finnas med i olika avsnitt av rapporten: Behandling av problemet det matematiska problemet uppställning av det ursprungliga differentialekvationssystemet omskrivning på matrisform (uppgift 1) egenvärdesproblemet (uppgift 2) omskrivning som system av första ordningen (uppgift 3) det numeriska problemet numerisk lösning av egenvärdesproblemet numerisk lösning av differentialekvationssystemet beräkning av amplituder Presentation av resultaten redovisning av egenvinkelfrekvenserna och amplitudförhållandena grafer över vridningsvinkeln som funktion av tiden för ω = ω 1 och ω = ω 2 på lämpliga tidsintervall redovisning av den graf som visar vridningsvinkelamplituden som funktion av ω hos drivaxeln graf som visar hur vridningsvinkelamplituden beror av dämpningsparametern c 2. Det är en fördel om hela rapporten skrivs med något ordbehandlingsprogram som klarar av matematiska formler, men det är även tillåtet att användare en enklare texteditor och skriva in de matematiska formlerna för hand. Alla kurvor ska vara ritade med Matlab och försedda med 1) tydliga rubriker och 2) axelbeteckningar med storheter och enheter. 6
Sträva efter en rapport som (förutom bilagor) inte blir mer än 5-6 sidor lång. Det viktigaste är att rapporten är klar och tydlig. En god språkbehandling bidrar till detta. Se till att du korrekturläst rapporten innan du lämnar in den! Som målgrupp för rapporten kan du tänka dig en civilingenjör från M med till hälften glömda kunskaper i numeriska metoder, dvs du själv om några år. 7