OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 3p. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans med dina lösningar. Ange där hur många (kurs-) poäng du tenterar för. TENTAMEN Reglerteknik 3p, X3 Tid: Måndag 2 mars 2007, kl 5.00 20.00 Plats: Polacksbacken Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel 08-473070. svarar på frågor ungefär kl 6.30 och kl 8.30. Hans kommer och Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Preliminära betygsgränser: 3:[23, 33[, 4:[33, 43[, 5:[43, 50 = maxpoäng] Uppgift 8 är istället för inlämningsuppgifterna. OBS: Endast en uppgift per ark. Skriv namn på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). Avläsningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCKA TILL!
Uppgift När man låter referenssignalen Ý Ö till det återkopplade systemet i blockschemat nedan vara ett enhetssteg (Ý Ö (Ø) = för Ø 0) blir Ý Ö Ù Σ () () + Ý utsignalen Ý(Ø) = 2Ø cos 2Ø, och styrsignalen Ù(Ø) = 2 + 2 2Ø sin 2Ø (då Ý Ö (Ø) = Ý(Ø) = Ù(Ø) = 0 för Ø 0). (a) Hur stor är den statiska förstärkningen för det slutna systemet (från referenssignal, Ý Ö, till utsignalen, Ý)? (p) (b) Bestäm överföringsfunktionen (). (c) Bestäm överföringsfunktionen (). (2p) (3p) Uppgift 2 Betrakta systemet i blockdiagrammet nedan. Ù 3 2 Σ Ü 3 Σ Ü 2 Σ Ü Ý 3 2 (a) Ställ upp en tillståndsbeskrivning för systemet. Använd tillståndsvektorn Ü = Ì Ü Ü 2 Ü 3 med tillståndsvariablerna Ü, Ü 2 och Ü 3 enligt blockdiagrammet. (3p) (b) Ange överföringsfunktionen för systemet. (p)
Uppgift 3 Läs/skriv-huvudet på en hårddisk sitter på en arm som styrs med en likströmsmotor. Man vill kunna styra läs/skriv-huvudet så att det hittar rätt spår på hårddisken så snabbt och väldämpat som möjligt. Systemet kan beskrivas som () = ()Í(), där () representerar utsignalen, vilket här är läs/skriv-huvudets läge, och Í() representerar insignalen, vilket är spänningen över likströmsmotorn. Nedan visas Bodediagrammet för (). Systemet styrs genom återkoppling från reglerfelet, med styrlagen Í() = G(iω) 0 0 2 0 3 0 4 0 0 0 0 2 0 3 ω (rad/s) arg G(iω) ( o ) 90 00 0 20 30 40 50 60 70 80 90 200 20 0 0 0 0 2 0 3 ω (rad/s) ()( Ö () ()). (a) Anta att man använder proportionell återkoppling, d.v.s. () = Ã. Ange den högsta skärfrekvensen man kan få, om man vill att fasmarginalen ³ Ñ 50 Æ. Ange också för vilket värde på Ã detta uppnås. (2p) (b) Konstruera en regulator () sådan att skärfrekvensen är = 00 rad/s och fasmarginalen är ³ Ñ 50 Æ. (3p) (c) Genom att approximera kretsförstärkningen med ett andra ordningens system med en pol i origo (och inga nollställen) kan man finna (ungefärliga) samband mellan stegsvarsegenskaper för det slutna systemet och skärfrekvens och fasmarginal för kretsförstärkningen. Anta att man vill att stegsvaret för det slutna systemet ska ha en stigtid Ì Ö 5 0 3 sekunder och en översläng Å 20%. Hur ska man då välja skärfrekvensen och fasmarginalen ³ Ñ utifrån en sådan approximation? Motivera! (2p) 2
Uppgift 4 Ett system beskrivs av tillståndsbeskrivningen Ü(Ø) = 2 Ü(Ø) + 0 Ý(Ø) = Ü(Ø) Ù(Ø) 0 Man kan mäta utsignalen Ý, och man känner insignalen Ù. Man kan däremot inte mäta tillståndsvektorn Ü. (a) För att få en skattning ˆÜ av tillståndsvektorn Ü använder man observatören 2 ˆÜ(Ø) = ˆÜ(Ø) + Ù(Ø) + Ý(Ø) ˆÜ(Ø) 0 0 0 Bestäm observatörspolerna för observatören. (2p) (b) Är det möjligt att konstruera en observatör för systemet ovan sådan att observatörspolerna blir (i) och 2, respektive (ii) 2 2? För att få poäng krävs en motivering (för båda fallen). (4p) Uppgift 5 (a) Systemet Ü(Ø) = 2 Ü(Ø) + Ù(Ø) 2 0 Ý(Ø) = 0 Ü(Ø) ska styras med tillståndsåterkoppling, Ù(Ø) = ÄÜ(Ø) + ÑÝ Ö (Ø). Bestäm vektorn Ä och förstärkningen Ñ så att det slutna systemet får 4 4 som poler och statisk förstärkning lika med ett. (3p) (b) Man vill styra systemet () = 2+8 Í() med tillståndsåterkoppling ( 2 ++) med observatör, d.v.s. med styrlagen Ù(Ø) = ĈÜ(Ø) + ÑÝ Ö (Ø) där ˆÜ är observatörens skattning av tillståndsvektorn Ü. Man väljer Ä och Ñ så att det slutna systemet får polerna 4 och 3 3, och så att det slutna systemet får statisk förstärkning lika med ett. Bestäm överföringsfunktionen mellan referenssignalen Ý Ö och utsignalen Ý för det slutna systemet. Ledning: Du behöver alltså inte bestämma Ä och Ñ. (4p) 3
Uppgift 6 Man vill studera det återkopplade systemet i blockdiagrammet nedan. Systemet styrs normalt med proportionell återkoppling, () = Ã, ÝÖ = 0 Ù Σ () () + regulator system Ý och är då stabilt. För att ta reda på skärfrekvensen och fasmarginalen ³ Ñ vid denna normala styrning gör man ett experiment där man inför en tidsfördröjning i återkopplingskretsen. Detta görs i själva regulatorn så att () = Ã Ì (med samma à som i normalfallet). Man finner då att det uppstår en självsvängning i det återkopplade system då tidsfördröjningen är Ì = 0 sekund. När tidsfördröjningen är mindre än 0 sekund är det återkopplade systemet stabilt, medan det blir instabilt om tidsfördröjningen blir större än så. I figuren nedan visas självsvängningen som uppstår för Ì = 0 sekund (amplituden har ingen betydelse för uppgiften). y(t) 0 0.2 0.6.4.8 2.2 2.6 tid (sekunder) Bestäm och ³ Ñ (d.v.s. skärfrekvensen och fasmarginalen för normalfallet, med () = Ã). (6p) 4
Uppgift 7 Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. (a) Alla minimumfassystem är insignal-utsignalstabila. (b) Om Ô ¾ är en pol till känslighetsfunktionen Ë() är det också en pol till den komplementära känslighetsfunktionen Ì (). (c) Om Þ ¾ är ett nollställe till känslighetsfunktionen Ë() är det också ett nollställe till den komplementära känslighetsfunktionen Ì (). (d) Ju mindre fasmarginalen ³ Ñ är desto större blir resonanstoppen Å Ô för det slutna systemet. (e) Om en tillståndsbeskrivning är en minimal realisation så är den både styrbar och observerbar. (f) Om en tillståndsbeskrivning är en minimal realisation så är den också asymptotiskt stabil. (g) Om en tillståndsbeskrivning är asymptotiskt stabil så är den också insignal-utsignalstabil. Varje rätt svar ger + poäng och varje felaktigt svar ger - poäng (och utelämnat svar ger noll poäng). Totalt ger dock uppgiften minst 0 poäng. Ingen motivering behövs enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (7p) Uppgift 8 Denna uppgift är istället för inlämningsuppgifterna. 2 Systemet () = Í() ska styras med en PID-regulator, Í() = 2 +2+4 È Á ()( Ö () ()), där È Á () = Ã Ô + à + à = à 2 + Ã Ô + à Man vill att det stationära reglerfelet lim ؽ (Ý Ö (Ø) Ý(Ø)) till beloppet inte ska vara större än 0 då referenssignalen är en ramp med lutningen ett, d.v.s. då Ý Ö (Ø) = Ø för Ø 0. (a) Ange ett villkor på à för att kravet på rampfelet ska uppfyllas. (3p) (b) Anta att à väljs så att villkoret på rampfelet precis är uppfyllt (d.v.s. låt à ha detta värde). För vissa val av à blir det slutna systemet stabilt för alla Ã Ô 0. Ange för vilka värden på à detta gäller. Svaret ska vara numeriskt, d.v.s. det får inte bero av à Ô! (Om du inte lyckats lösa (a) får svaret uttryckas i Ã.) (4p) 5
Lösningar till tentamen i Reglerteknik 3p 07-03-2. (a) Den statiska förstärkningen är systemets förstärkning av en konstant insignal vid stationäritet. Här är Ý Ö (Ø) = för Ø 0, och Ý(Ø) då Ø ½. Alltså är slutna systemets statiska förstärkning lika med ett. (b) Utnyttja att () = () - Laplacetransformera () och Í(): Í() Alltså blir () = + 2 ( + 2) 2 + 2 = 2( + 4) 2 ( 2 + 4 + 8) Í() = 2 + 2 2 ( + 2) 2 + 2 = 2(2 + 6 + 8) 2( + 2)( + 4) = 2 ( 2 + 4 + 8) ( 2 + 4 + 8) () = 2(+4) ( 2 +4+8) 2(+2)(+4) ( 2 +4+8) (c) Här är () = Í(), där () = () Ö() (b), och Ö () =. Alltså blir = + 2 (). () och Í() fås från () = 2( + 4) ( 2 + 4 + 8) = 2 + 2 ( 2 + 4 + 8) = + 2 2 + 4 + 8 Följaktligen blir d.v.s. en PI-regulator. () = 2(+2)(+4) ( 2 +4+8) (+2) 2 +4+8 = 2( + 4) 2. (a) Notera att Ü, Ü 2 och Ü 3 står direkt till höger om -block, d.v.s. rena integrationer. Alltså har vi Ü, Ü 2 och Ü 3 direkt till vänster om samma block. Av detta följer att Ü = Ü + Ü 2 + Ù Ü 2 = 2 Ü + Ü 3 + 2 Ù Ü 3 = 3 Ü + 3 Ù Ý = Ü µ Ý = ¾ Ü = ¾ 0 2 0 Ü + 3 0 0 Ü 0 0 2 3 Ù (b) Notera att tillståndsbeskrivningen är på observerbar kanonisk form =µ överföringsfunktionen går att ställa upp direkt: () = 2 + 2 + 3 3 + 2 + 2 + 3 3. (a) Kretsförstärkningen är Ó () = Ã() =µ Ó () = Ã() och arg Ó () = arg (). Vi vill ha ³ Ñ 50 Æ µ arg Ó () = arg ()
30 Æ. Från Bodediagrammets faskurva fås att arg () 30 Æ µ 7 rad/s. Alltså är högsta möjliga skärfrekvensen = 7 rad/s. Beloppkurvan =µ (7) = 002, så för att få = 7 rad/s måste à = 83. 002 (b) Vi vill ha = 00 rad/s och ³ Ñ 50 Æ. Bodediagram =µ (00) = 5 0 4 och arg (00) = 75 Æ. Behöver skjuta till 45 Æ =µ använd ett leadfilter (inget krav på noggrannhet =µ inget lagfilter behövs). Fig. 5.3 =µ välj = 07. För att få maxfas vid väljs = Ô = 00 Ô 0024. 07 Välj à så att = 00 rad/s blir skärfrekvens: = à Р( ) ( ) = à ( ) Ô µ à = Regulatorn blir à Р() = à + + = 825 0024 + 07 0024 + Ô 07 5 0 4 825 (c) Använd diagrammen i fig. 5. och 5.2. Börja utifrån överslängen: vill att Å 20 %, fig. 5. ger då att ³ Ñ = 48 Æ och = 046. I fig. 5.2 fås då för = 046 att Ì Ö = 28 =µ = 28 Ì Ö = 28 5 0 3 = 853 rad/s. Alltså, = 853 rad/s och ³ Ñ = 48 Æ. 4. (a) Observatörspolerna ges av rötterna till den karakteristiska ekvationen för observatören 0 = det(á + Ã). Här identifierar vi att 2 = à = = 0 0 så den karakteristiska ekvationen blir 0 2 0 = det + = det 0 0 0 + 3 2 = 2 + 3 + 2 Observatörspolerna är alltså och 2. (b) Från (a) får vi att observatörspolerna uppenbarligen kan hamna i och 2. Däremot kan man inte få observatörspolerna i 2 2. Det beror på att systemet är icke observerbart (se Resultat 9.2 i Glad/Ljung) observerbarhetsmatrisen blir Ç = = =µ det Ç = 0 Det karakteristiska polynomet för en godtycklig observatör för systemet blir + 2 + + det(á +Ã) = det = 2 +(2+ + 2 + + 2 )++ + 2 2 d.v.s. båda koefficienterna beror av samma linjärkombination av och 2, nämligen + 2. Detta gör att den ena observatörspolen alltid kommer 2
att vara. Den andra observatörspolen kan dock väljas godtyckligt, men måste vara reellvärd. 5. (a) Systemet står på observerbar kanonisk form =µ öppna systemet är () = + Í(). De önskade polerna för det återkopplade systemet är 2 +2+2 4 4 µ önskat karakteristiskt polynom (= nämnarpolynom för slutna systemet) är 2 + 8 + 32. Eftersom det slutna systemets täljarpolynom blir samma som för det öppna systemet (bortsett från faktorn Ñ) blir det slutna systemet Ñ( + ) () = 2 + 8 + 32 Ö() = ÖÝ () Ö () För att få statisk förstärkning lika med ett, d.v.s. ÖÝ (0) =, ska man välja Ñ = 32. Det slutna systemets karakteristiska polynom blir 0 2 Ð det(á + Ä) = det + Ð 0 2 0 2 + 2 + Ð + Ð = det 2 = 2 + (2 + Ð 2 + Ð + Ð + Ð 2 ) + 2 + Ð 2 Identifiera koefficienterna utifrån det önskade karakteristiska polynomet: 2 + Ð + Ð 2 = 8 2 + Ð = 32 µ Ð = 30 Ð 2 = 24 Styrlagen blir Ù = 30 24 Ü + 32ÝÖ. (b) När man använder tillståndsåterkoppling blir överföringsfunktionen från Ý Ö till Ý densamma oavsett om man återkopplar från den sanna tillståndsvektorn Ü eller från observatörens skattning ˆÜ. Dessutom blir överföringsfunktionens täljarpolynom samma som för det öppna systemet, bortsett från faktorn Ñ. Polerna för det slutna systemet blir 4 och 3 3, vilket betyder att nämnarpolynomet är ( + 4) (( + 3) 2 + 3 2 ) = ( + 4)( 2 + 6 + 8). Överföringsfunktionen mellan Ý Ö och Ý är alltså ÖÝ () = 9(2 + 8) ( + 4)( 2 + 6 + 8) eftersom den statiska förstärkningen är ett (d.v.s. ÖÝ (0) =, vilket fås med Ñ = 9). 6. (a) Betrakta först normalfallet. Beteckna kretsförstärkningen för normalfallet med () Ó ( () = Ã()). Enligt definition gäller då att Ó Ó ( ) = (³Ñ ), d.v.s. Ó( ) = och arg Ó( ) = ³ Ñ (räknat i radianer). Betrakta nu fallet med tidsfördröjningen. Nu blir kretsförstärkningen Ó () = Ì Ó(). Självsvängning uppstår µ Ó () = för något, och detta är då självsvängningens vinkelfrekvens. Alltså, = Ó () = () = Ó (), vilket ger att Ó =. Vidare har vi då att 3
= arg Ó ( ) = arg + arg Ó( ) = Ì + ³ Ñ =µ ³ Ñ = Ì. Från figuren fås att självsvängningens periodtid är 08 sekunder, så = 2 = 25( 785) rad/s. Fasmarginalen blir då 08 ³ Ñ = 25 0 = 4 radianer = 45 Æ. 7. (a) Falskt, (motexempel: är ett minfassystem, men är inte insignalutsignalstabilt). (b) Sant (alla det slutna systemets överföringsfunktioner har samma poler). (c) Falskt, (ty Ë() + Ì () = för alla ). (d) Sant, (Å Ô 2 sin 05³ Ñ ). (e) Sant, (Resultat 8.). (f) Falskt, (har ej med varandra att göra). (g) Sant, (Resultat 8.6 och 8.7). 8. (a) Kretsförstärkningen blir Ó () = È Á ()() och det slutna systemet () = Ó() + Ó () Ö() = För reglerfelet = Ý Ö Ý gäller då () = Ö () () = 2(à 2 + Ã Ô + à ) ( 2 + 2 + 4) + 2(à 2 + Ã Ô + à ) Ö() ( 2 + 2 + 4) ( 2 + 2 + 4) + 2(à 2 + Ã Ô + à ) Ö() = Ë() Ö () där Ë() är känslighetsfunktionen. Med Ý Ö = ramp blir Ö () = 2, och med slutvärdesteoremet fås då (förutsatt att det slutna systemet är stabilt) att det stationära rampfelet blir lim ؽ (Ø) = lim () = lim Ë() 0 0 = lim Ë() 2 0 = 2 à För att få rampfelet tillräckligt litet krävs alltså att à 20. (b) Stabiliteten för slutna systemet beror av polerna, d.v.s. nollställena till nämnarpolynomet för slutna systemet, ( 2 + 2 + 4) + 2(à 2 + Ã Ô + à ) = 3 + (2 + 2à ) 2 + (4 + 2Ã Ô ) + 2à och dessa måste ligga strikt i vänster halvplan för stabilitet. undersökas med Rouths algoritm. Rouths tablå blir: Detta kan 4 + 2Ã Ô 0 2 + 2à 2à 0 4 + 2Ã Ô Ã +à 0 2à 4
För stabilitet måste alla koefficienter i kolumnen längst till vänster vara strikt à positiva, och eftersom à = 20 0 är det stabilt omm 4 + 2Ã Ô +à 0. Vi letar efter à sådant att detta är uppfyllt för alla Ã Ô 0. Värsta fallet uppstår för Ã Ô = 0, då vi har villkoret 4 à + à 0 µ à 4 µ à à + à 4 = 4 Alltså, med à = 20 blir det slutna systemet stabilt för alla Ã Ô 0 om à 4. 5