RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Tisdag 8 oktober 206, kl. 2.00-5.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-47070. Hans kommer och svarar på frågor ungefär kl.0. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken(Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Skrivningen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd på skrivningen krävs att man är godkänd på del A. Del B är frivillig och ges endast vid ordinarie tentatillfällen (vid respektive kurstillfällen.) Preliminära betygsgränser: Betyg : Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 0 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 8 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar lämnas in på separata papper. Endast en uppgift per ark. Skriv din tentakod på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). Avläsningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCKA TILL!
Uppgift Blockdiagrammet nedan visar en enkel modell av ett vattenkraftverk. 2 ställdon u x y vattenvägar 0.2s+ 0.5s+ Insignalen u är en styrsignal till ställdonet (ledskenorna) som reglerar vattenflödet genom turbinen. Turbinen är kopplad till en generator, och utsignalen y är den elektriska effekten som fås ut från generatorn. Vattenflödet påverkas också av vattenvägarna, som utgörs av den tunnel som leder vattnet från det högre belägna vattenmagasinet (kraftdammen) ned till ställdonet och turbinen. (a) Ställ upp tillståndsbeskrivningen för systemet med u som insignal och y som utsignal. Använd x = [ ] T x x 2 som tillståndsvektor, med x och x 2 som i blockdiagrammet. (b) Ange systemets poler och nollställen. (c) Anta att man styr systemet med PI-reglering: U(s) = F PI (s)(r(s) Y(s)), x 2 F PI (s) = K p + K i s. (p) För vilka K p och K i är det slutna systemet stabilt? Ledning: Visa först att K i måste vara positiv, men att den begränsas uppåt av ett uttryck som beror av K p. Ta sedan reda på vilka K p som är tillåtna genomattsättak i = 0(såattintervalletförtillåtnaK i krympertillpunkten noll).
Uppgift 2 Ett system bestående av två seriekopplade vattentankar beskrivs av tillståndsmodellen [ ] [ ] 2 0 ẋ(t) = x(t)+ u(t), 0 [ ] y(t) = 0 x(t)+n(t), där u är inflödet till första tanken (vars utflöde är inflödet till den andra tanken), och y är den uppmätta vattennivån i den andra tanken. Den uppmätta nivån påverkas också av en mätstörning n (effekt av vågskvalp etc.). För att filtrera bort effekten av mätstörningen använder man sig av en observatör, som ger skattningen ˆx av tillståndsvektorn x. (a) Dimensionera en observatör för systemet, med en dubbel observatörspol i punkten 2. (b) Skattningsfelet är x, och definieras som x = x ˆx. Skattningen av utsignalen (utan mätstörning) är ŷ = Cˆx, där C = [ 0 ]. På samma sätt blir skattningsfelet för utsignalen ỹ = C x. Bestäm överföringsfunktionen från mätstörningen n till skattningsfelet ỹ när observatören i (a) används. (p) (c) Anta nu att n(t) = 0 och att x(0) = [ 0 ] T. Ange ett uttryck för hur skattningsfelet x(t) utvecklas i tiden för t 0, samt bestäm x() (d.v.s. ge ett numeriskt värde). Uppgift Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. (a) Alla asymptotiskt stabila tillståndsmodeller är insignal-utsignalstabila. (b) Alla tillståndsmodeller som är både styrbara och observerbara är minfassystem. (c) Om känslighetsfunktionen, S(s), har integralverkan så elimineras det kvarvarande felet helt hos det slutna systemets stegsvar. (d) Känslighetsfunktionerna, S(s) och T(s), har aldrig gemensamma nollställen. (e) Känslighetsfunktionerna har aldrig gemensamma poler. Varje rätt svar ger + poäng och varje felaktigt svar ger - poäng (och utelämnat svar ger noll poäng). Totalt ger dock uppgiften minst 0 poäng. Ingen motivering behövs enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (5p) 2
Uppgift 4 Ett system Y(s) = G(s)U(s) ska styras med återkoppling från reglerfelet, U(s) = F(s)(R(s) Y(s)). I figuren nedan visas Nyquistkurvan för kretsförstärkningen då proportionell återkoppling med förstärkning ett används, d.v.s. F(s) = K =. I figuren markeras några frekvenser vars Im Enhetscirkeln 0 ω 4 ω = 0 Re ω ω ω 2 0 numeriska värden ges nedan: ω = 2 0.268 rad/s ω 2 = / 0.577 rad/s ω = rad/s ω 4 =.72 rad/s (a) Om man använder proportionell återkoppling, F(s) = K, vilket är det minsta kvarvarande fel man kan få hos stegsvaret? Bestäm det minsta möjliga värdet på lim(r(t) y(t)) då r(t) är ett enhetssteg. (p) t (b) För att bli av med stegsvarets kvarvarande fel kan man t.ex. använda en integrerande regulator, F(s) = K/s. Vilket K > 0 ska man välja för att få samma fasmarginal som man får med F(s) =? (c) Ta nu fram en regulator F(s) sådan att stegsvarets kvarvarande fel elimineras helt, samtidigt som kretsförstärkningen får både samma fasmarginal och samma skärfrekvens som med F(s) =.
Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp, del B 206-0-8. (a) Från blockdiagrammet fås X (s) = 0.2s+ U(s) (0.2s+)X (s) = U(s) 0.2sX (s) = X (s)+u(s) sx (s) = 5X (s)+5u(s), X 2 (s) = 0.5s+ X (s) (0.5s+)X 2 (s) = X (s) 0.5sX 2 (s) = X 2 (s)+x (s) sx 2 (s) = 6X (s) 2X 2 (s). MedinversaLaplacetransformen,samt(frånblockdiagrammet)atty = 2x + x 2, fås att [ ] [ ] ẋ = 5x +5u, 5 0 5 ẋ = x+ u, ẋ 2 = 6x 2x 2, 6 2 0 [ ] y = 2x +x 2 y = 2 x. (b) Från blockdiagrammet: ( G(s) = 2+ 0.2s+ 0.5s+ ) = 0.2s+ 2(0.5s+)+ 0.5s+ Nollställen: s+ = 0, d.v.s. ett nollställe i punkten +. Poler: (0.2s+)(0.5s+) = 0, d.v.s. två poler, i punkterna 5 och 2. (c) Slutna systemets poler ges av 0 = + G o (s), och här är G o (s) = G(s)F PI (s), och F PI (s) = K p + K i /s = Kps+K i. Här ges polerna alltså s av = s+ (0.2s+)(0.5s+) 0 = + s+ (0.2s+)(0.5s+) Kps+K i s 0 = s(0.2s+)(0.5s+)+( s+)(k p s+k i ) = 0.s +(0.7 K p )s 2 +(+K p K i )s+k i För stabilitet måste polerna ligga i VHP, vilket kan undersökas med Rouths algoritm: 0. +K p K i 0 0.7 K p K i 0 f(k p,k i ) 0 K i där f(k p,k i ) = = (0.7 K p)(+k p K i ) 0.K i 0.7 K p = (0.7 K p)(+k p ) (0.8 K p )K i 0.7 K p Stabilitetskraven blir alltså 0.7 K p > 0, f(k p,k i ) > 0, K i > 0,
och eftersom det första villkoret innebär att nämnaren i f(k p,k i ) måste vara positiv räcker det att undersöka när täljaren är positiv: (0.7 K p )(+K p ) (0.8 K p )K i > 0 K i < (0.7 K p)(+k p ) 0.8 K p. Alltså har vi att 0 < K i < (0.7 Kp)(+Kp) 0.8 K p. Eftersom 0.7 K p > 0 måste 0.8 K p > 0, och det ultimata kravet på K p blir (0.7 K p )(+K p ) > 0 < K p < 0.7. 2. (a) En observatör, ˆx = Aˆx+Bu+K(y Cˆx), har observatörspolynomet det(si A+KC), vilket här blir [ ] s+2+k det = s 2 +(2+k +k 2 s )s++k 2. Detta jämförs med det önskade observatörspolynomet (s+2) 2 = s 2 +4s+4. Identifiering av koefficienter ger K = [ k k 2 ] T = [ 2 ] T. (b) Skattnignsfelet beskrivs av tillståndsekvationen x = (A KC) x Kn, se t.ex. ekv. (9.) på sid. 99, alternativt onumrerad ekvation på sid. 20 i kursboken. Med ỹ = C x, samt Resultat 8., fås då att Ỹ(s) = C(sI A+ KC) KN(s). Här blir C(sI A+KC) K = [ 0 ][ ] [ ] s+2+k k +k 2 s k 2 k s+k 2 = 2s+ s 2 +(2+k )s++k 2 s 2 +4s+4. (c) Med tillståndsbeskrivningen för x i (b), samt Resultat 8.4, fås att x(t) = e (A KC)t x(0) t där andra likheten följer av att n(t) = 0. Här blir 0 e (A KC)τ Kn(t τ)dτ = e (A KC)t x(0), x(t) = L [ (si A+KC) x(0) ] { [s+4 ] [ ] } 0 = L 4 s {[ ][ ]} {[ ]} = L s [ s 2 +4s+4 s 2 +4s+4 0 4 = L (s+2) 2 = s 2 +4s+4 s+4 s 2 +4s+4 s+2 + 2 (s+2) 2 te 2t (+2t)e 2t ]. Alltså blir [ ] e 2 x() = = e 2 [ ] 0.5. 0.406 2
. (a) Sant (Resultat 8.6 + 8.7); (b) Falskt(detta är minimala realisationer, och sådana kan t.ex. ha nollställen i HHP); (c) Falskt (då är slutna systemet ej BIBO-stabilt!); (d) Sant (S(s)+T(s) = för alla s); (e) Falskt (de har samma poler ges av 0 = +G o (S)); 4. (a) Kretsförstärkningen blir G o (s) = KG(s), och vid återkoppling från e = r y blir E(s) = S(s)R(s) = R(s). Med R(s) = fås med +KG(s) s slutvärdesteoremet e( ) = lim e(t) = limse(s) = lims t s 0 s 0 +KG(s) s = +KG(0). Från Nyquistdiagrammet fås att G(0) =.4, så e( ) = vilket blir +.4K mindre ju större K är. Dock måste slutna systemet vara stabilt. Från Nyquisdiagrammet fås att KG(iω 4 ) = 0.7K, och för stabilitet krävs 0.7K > K < =.4. Det minsta felet blir alltså e( ) = 0.. 0.7 +.4 2 (b) Med F(s) = blir G o (s) = G(s), och från Nyquistdiagrammet fås då att ω c = ω = rad/s och ϕ m = 45. Med F(s) = K blir G s o(s) = KG(s), s och därmed G o (iω) = K ω G(iω), argg o(iω) = 90 +argg(iω) Vi vill ha ϕ m = 45 argg o (iω c ) = 5 argg(iω c ) = 45. Från Nyquistdiagrammet fås då att ω c = ω = 0.268 rad/s. Mätning i Nyquistdiagrammet ger G(iω ) =.7. För att ω c = ω ska gälla måste = G o (iω ) = K ω G(iω ) K = ω G(iω ) = 0.268.7 = 0.96. (c) Från (b) vet vi att vi vill ha ω c = ω = rad/s och ϕ m = 45, samt att vi behöver integralverkan. Integralverkan kan vi få med ett lagfilter genom att sätta γ = 0, och enligt tumregeln kan vi (t.ex.) sätta τ I = 0/ω c = 0. Lagfiltret blir F lag (s) = τ Is+ τ I s+γ = 0s+. 0s Lagfiltret gör att vi tappar ca 6 i fas vid ω c = rad/s. I övrigt har ju systemet så mycket fas som behövs. För att kompensera för tappet i fas lägger vi till ett leadfilter. För att få ϕ m = 6 väljer vi β = 0.8, och för att få maxfasen vid ω c väljer vi τ D = ω c β = 0.8 =.8. Slutligen, för att få ω c = rad/s att bli skärfrekvens väljs β 0.8 K = G(iω c ) = = 0.8944. Leadfiltret blir F lead (s) = K τ Ds+ βτ D s+ = 0.8944.8s+ 0.8.8s+.
Totala regulatorn blir F(s) = F lag (s)f lead (s). 4