Bengt Aspvall, Eva Pettersson Från datamaskinernas värld Hur kan vi stimulera elever i matematik, och hur kan vi genom matematik förklara delar av datamaskinernas funktioner? Vi visar hur man kan introducera matematiska begrepp från IKT området på ett lekfullt sätt. Övningarna kan användas som inslag i matematikunder visning. Eleverna är aktiva deltagare i övningarna som genomförs med enkla hjälpmedel och utan datamaskiner. Matematikundervisningen diskuteras ofta och får ibland utstå en del skarp kritik. Det görs återkommande nationella och internationella jämförelser. Har de genomsnittliga kunskaperna försämrats? Har vår matematikspets tunnats ut? Läroböcker och kursplaner styr i varje fall den svenska matematikundervisningen ganska hårt. I svenska grundskolan går som regel drygt halva tiden för matematik till Bengt Aspvall Blekinge Tekniska Högskola bengt.aspvall@bth.se Eva Pettersson Blekinge Tekniska Högskola eva.pettersson@bth.se Artikkelen er en revidert delvis forkortet versjon av forfatternes artikkel i Nämnaren 2007:2. tyst räkning i böcker (Pettersson, 2011). Läraren går igenom under knappt en femtedel av tiden och ungefär lika mycket går till laborativ (utforskande, experimenterande) matematik. En del undervisningstimmar faller bort och kvar är i genomsnitt kanske 10 minuter i veckan till laborativ matematik. Det är under denna tid som eleverna aktivt skall samtala, samarbeta och diskutera matematiska problem ställningar och också möta nya utmaningar. Eleverna skall ha möjlighet att uppleva och studera tillämpningar av matematik samt lägga grunden till den matematiska förståelsen. Vi ger exempel på berikning, sidosprång, som kan användas som en röd tråd under skolåren. Det är aktiviteter som alla i klassen kan vara med på och som kan stimulera till diskussioner och efterföljande fördjupning. Temat bygger på en kombination av matematik och datakunskap datamaskiner och program använder i mycket stor grad matematik och matematiska samband. Övningarna genomförs utan datamaskiner, istället illustrerar vi med hjälp av eleverna och laborativt material. De ursprungliga idéerna kommer från projektet Computer Science Unplugged och samarbetet med dess primus motor Tim Bell, Nya Zeeland. I denna artikel kommer vi att beskriva tre aktiviteter och hur de kan kopplas till matematik undervisningen. Vi har med framgång genomfört en rad olika aktiviteter tangenten 4/2012 7
baserade på Unplugged i klassrum och i aula, på öppet hus och på science center, inne och ute. Barn i alla åldrar tycks uppskatta att bli involverade och själva utforska den underliggande matematiken. Den första Unplugged presentationen i Norge som vi känner till hölls för femton år sedan. En annan av initiativtagarna till Computer Science Unplugged, Michael Fellows besökte Universitet i Bergen och önskade under sitt besök även träffa en skolklass. Tillsammans med Bengt Aspvall, Jan Arne Telle och Sven Olai Høyland fick de möjlighet att besöka en fjärde klass på Vadmyra skola i Bergen. (Presentationen skedde i stort sett helt på engelska!) Sedan dess har personerna i denna kvartett hållit många presentationer på norska Vestlandet (på skolor, universitet och högskola). På LAMIS sommarkurs 2012 höll Bengt Aspvall ett plenumsföredrag och en workshop där bland annat aktiviteterna i denna artikel genomfördes och de matematiska aspekterna diskuterades. 1. Binära tal Den första aktiviteten visar hur man med enkla medel kan låta eleverna arbeta och experimentera med det binära talsystem, ett talsystem som datamaskiner använder sig av. Eleverna lär sig snabbt hur man skriver tal i detta system och att det binära talsystemet är väl lämpat för maskiner som bara förstår på och av när de läser och skriver tal. (Aktiviteten er beskrevet i tekstboksen. Om man vill kan man göra en utmaning mellan två lag i klassen och ta tiden. Har man yngre barn kan man utesluta 8:an och göra övningen med tre deltagare och har man äldre elever kan man lägga till nästa tal som är 16. Frågor som kan ställas efter avslutad övning: Varför har vi just dessa tal och är det något speciellt med dem? Vad skulle nästa tal vara om en elev till skulle vara med? Hur långt kunde vi räkna då? 8 1. Binära tal Fyra olika A4-papper, där ena sidan är svart och den andra vit. På de vita sidorna skriver man siffrorna 1, 2, 4 och 8, komplettera gärna med hjälp av prickar. Man plockar fram fyra elever och ställer dem på en rät linje. De får sedan var sitt papper och man förklarar att de är värda precis den siffra som står på deras papper när de håller fram den vita sidan. De är värda noll när de håller fram den svarta sidan. De skall nu samarbeta, en mycket viktig del i det hela, för att tillsammans visa övriga i klassen talen 0 till och med 15 med hjälp av sina papper. Läraren börjar med att säga talet 0 och eleverna skall visa fram den svarta sidan av pappret. När de gjort detta och på så vis visat talet 0 skall klasskamraterna svara JA och läraren fortsätter med talet 1 osv till talet 15. När talet 10 skall visas skall de fyra personerna visa fram sina skyltar på följande sätt: Här står då med hjälp av binära tal: 1010 vilket motsvarar 10 genom att basen 2 används 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0. Det vi har arbetat med är binära tal, det vill säga nollor och ettor som datamaskiner använ 4/2012 tangenten
der sig av. Varje gång den svarta sidan är fram är det en nolla och varje gång man visar sitt tal är detta en etta. Övningen ger först och främst träning i antal, att kunna summera. Den är också en bra samarbetsövning. Frågorna som man ställer efteråt skall leda eleverna in i en ny bas. De skall se att man med hjälp av sin fem fingrar, döpta till siffrorna 1, 2, 4, 8 och 16, kan räkna mycket längre än till fem. Det krävs bara att man tänker på ett nytt sätt. Man kan gå vidare och visa hur datamaskinen med hjälp av binära tal hanterar texter. På liknande sätt som Morsealfabetet representerar bokstäver, siffror och skiljetecken med hjälp av korta och långa signaler kan vi tilldela varje tecken vi önskar lagra i datamaskinen ett eget binärt tal. Det ger oss en binär kod för våra tecken, dvs. för lagring av text. Avslutningsvis kan man berätta att bilder och ljud också lagras med hjälp av binära tal. 2. Koder Den andra aktiviteten kommer från ett område som heter kodningsteori. Målet är att lagra information på ett sådant sätt att man kan återskapa den ursprungliga informationen även om det skulle inträffa ett fel under lagringen. Felkorrigerande koder är inbyggda i elektroniska lagringsmedia och används till exempel för CD och DVD. I vår aktivitet är informationen en 5 5 bild av svarta och vita brickor. Koden känner om ett fel inträffar (en av brickorna skiftar färg), men man måste lägga till ytterligare information till bilden för att uppnå denna säkerhet. (Aktiviteten er beskrevet i tekstboksen. Frågor som kan ställas efter avslutad övning: Hur gick detta till? Kunde läraren memorera in hela mönstret innan hon vände sig om eller finns det något annat sätt? Diskutera udda och jämna 2. Koder Kvadrater av trä eller hårdare papp storlek ca 2.5 2.5 0.3 cm. Det skall vara olika färg på kvadratens framsida och baksida och det behövs minst 36 stycken men är bra om det finns fler. Låt några av eleverna lägga upp 5 5 kvadrater såsom en stor kvadrat. De får lägga dem hur de vill, med vilken sida som helst upp, bara inte alla visar samma färg. Diskutera hur många kvadrater som nu ligger på bordet. Läraren kompletterar sedan kvadraten så den blir 6 6 stor. För de lite äldre önskar man kanske göra en digression för att maskera varför läraren utvidgar mönstret! Den behöver inte handla om något speciellt. Man kan, till exempel, använda tillfället till att geometriskt illustrera kvadreringsregeln ( kvadratsetning ) på liknande sätt som Karin Kairavou (2010) beskriver i sin Tangenten artikel. Komplettera med en kvadrat i varje rad och varje kolumn på ett sådant sätt att du får jämnt antal kvadrater av en färg i varje rad och varje kolumn. Sedan ber läraren någon av eleverna vända en av kvadraterna medan läraren tittar bort. Läraren kan sedan peka ut vilken av kvadraterna som eleven vänt. Så här kan eleven ha lagt ut sina kvadrater: Då får man som lärare fylla på varje rad och kolumn på följande sätt: tangenten 4/2012 9
upptäcka (och rätta) fler felskrivningar! När barnet/eleven vänder på en bricka ser man detta direkt eftersom det då är udda antal svarta/vita brickor i exakt en rad och exakt en kolumn. Trolleri, eller? Hur går det om vi vänder 2 kvadrater? Denna övning tränar i de yngre åren udda respektive jämn. För de lite äldre eleverna kan man fördjupa sig i bilders uppbyggnad. Varje kvadrat kan t. ex. symbolisera en pixel i en svart-vit bild. Den extra raden och den extra kolumnen gör det möjligt att finna och rätta ett fel. Det vill säga skulle bilden råka ut för en skada (en repa på en DVD eller störning på en faxlinje) så kan vi rätta detta. Vi kan även finna ut om det skett två förändringar, men då är det inte säkert vi kan säga exakt vilka två kvadrater som vänts. I verkligheten innehåller en CD, en DVD och en hårddisk mycket extra information för att kunna upptäcka och rätta större fel, men principen är den samma. I internettrafik förekommer nästan exakt den beskrivna metoden. Det sista tecknet i en boks ISBN och den tionde siffran i ett svenskt personnummer har liknande funktion. I ett norskt födselsnummer är för övrigt både den tionde och den elfte siffran kontrollsiffra. Norge har alltså ett matematiskt bättre konstruerat födselsnummer som kan 10 3. Sortering Den sista aktiviteten illustrerar en sorteringsalgoritm i aktion. Lagrad informationer i datamaskiner sorteras ofta efter olika kriterier. Tänk bara på meddelanden eller filer som behöver sorteras på nytt när man önskar lista dem efter namn, datum eller storlek. Det är enklast att illustrera algoritmen genom att sortera tal efter storlek. (Aktiviteten er beskrevet i tekstboksen. Övningen illustrerar sortering av information där flera saker sker samtidigt (de tre första gångerna sker tre jämförelser samtidigt). Det är ett exempel på parallellprocessering och fanns tidigare bara i avancerade datamaskiner. Nu är det vanligt med flera processorer ( hjärnor ) även i en PC. Bland de äldre eleverna kan man börja med att berätta om olika algoritmer för sortering där allt sker sekventiellt (bara en sak sker åt gången). Det finns båda snabba och långsamma sorteringsmetoder. Det går utmärkt att illustrera några av dessa genom att sortera 5 8 elever längdmässigt på en rad. Därefter kan man berätta att stora datamängder kräver mycket snabba sorteringsmetoder och därför lämpligtvis gör flera saker parallellt (som i övningen). (Aktiviteten er beskrevet i tekstboksen. Red. anm.) Övningen ger dels rena färdigheter i matematik, att bestämma talens storlek, på ett lekfullt sätt. Dels är det en samarbetsövning som oftast ger bra diskussioner eleverna emellan och som kan följas upp av läraren efteråt. För de lite äldre eleverna så ger det en första insikt i hur datamaskiner sorterar information. För de yngre räcker det kanske att peka på att den mesta informationen vi ser i datamaskin är sorterad på något sätt. Det gäller filer, adresser, låtar, mm. 4/2012 tangenten
3. Sortering Presenning ca 8 6 meter, finns att köpa i järnaffärer. Bra om den är grå eller vit. På presenningen ritar man upp en sorteringsmall enligt följande mönster: Man behöver tjocka pennor gärna i olika färger för att göra det illustrativt. Man använder sig av denna övning på olika sätt beroende på åldersgrupp. Eleverna får varsin hård pappskiva/papper med en siffra på (för de minsta barnen kan man ha prickar). Här kan man börja med talen 1 t.o.m 6. Man förklarar hur de skall ta sig fram i sorteringsmallen. Deltagarna tar ett steg fram och hamnar i en cirkel och väntar där tills en kompis kommer. Då jämför man sitt tal med kompisens och den som har det lägsta talet går åt höger (dvs. följer röd linje) och den andre åt vänster (blå linje). Man kommer till en ny cirkel och proceduren upprepas. När de kommer fram till rektanglarna på andra sidan har deras siffror sorterats i storleksordning. Detta oavsett hur de startade. Man kan nu fortsätta med andra tal på deras papper. Det kan vara tiotal, hundratal eller tusental. Höga tal brukar vara uppskattat även hos de yngre barnen/eleverna. När man har klarat av de hela talen kan man ge sig på decimaltal eller bråktal och då har man kommit uppåt i årskurserna. Avslutning Man kan komplettera ovanstående aktiviteter på många sätt. Man kan till exempel inleda med att prata om hur det går till när vi betalar våra räkningar via Internet. Detta kan tjäna som ett motiverande exempel inledningsvis som man återkommer till mot slutet. Är det säkert att betala med kreditkort över Internet? Hur skyddar man sig när kortnumret passerar datamaskiner på Internet? Ett annat trevligt inledande exempel, som knyter direkt an till den matematik vi illustrerat ovan, är de magiska binära korten. En version av dessa kort nämns av Kairavuos (2010). På slutet tar man åter fram de magiska binära korten. Man undersöker då hur det magiska kan förklaras. Svaret bygger på att det finns ett unikt sätt att skriva ett binärt tal, liksom det bara finns ett sätt att skriva ett decimalt tal. Vi har med framgång genomfört aktiviteter i klassrum och i aula, på öppet hus och på science center, inne och ute. Beroende på hur mycket man berättar och beroende på elevernas nyfikenhet och förmåga använder vi vanligen 45-75 minuter. Den som planerar att använda Unplugged i sin egen undervisning kan se videopresentationer av flera aktiviteter. Filmerna är avsedda som hjälp vid förberedelserna och inte för eleverna. På Unplugged s hemsida finns ytterligare material som fritt kan lastas ner. Vi rekommenderar att man om möjligt genomför bara någon övning åt gången och gärna återkommer flera gånger för att så bra som möjligt anknyta till övrig undervisning. Referenser Aspvall B. & Pettersson E. (2007), Från datorernas värld, Nämnaren, 34(2), 44 48. Kairavuo, K. (2010), Konkretisering av matematiska begrepp i skolan, Tangenten 21(1), 11 15. Pettersson, E. (2011), Studiesituationen för elever med särskilda matematiska förmågor. Doktorsavhandling. Växjö: Linneus University Press. www.csunplugged.org tangenten 4/2012 11