Andragradskurvor Den allmänna förstagradsekvationen i två variabler kan skrivas: ax + by + c = 0. Lösningsmängden till en given förstagradsekvation ges av en rät linje. Vi ska nu fortsätta och undersöka den allmänna andragradsekvationen: ax 2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0. Trots att ekvationen nu är betydligt mer komplicerad visar det sig att lösningsmängden geometriskt sett alltid tillhör en av ett par enkla typer av kurvor: ellipser, hyperblar och parabler. En viss kännedom om dessa typer tillhör varje matematikers allmänbildning. Tekniken i analysen av ekvationen ovan består i att välja koordinater på ett skickligt sätt så att ekvationen kan skrivas på en enkel form. Det första steget är att vrida basvektorerna med en lämplig vinkel så att korstermen 2bxy
försvinner. Om vi vrider basvektorerna med vinkeln θ så får vi nya basvektorer: e 1 = cos θe 1 + sin θe 2 e 1 = sin θe 1 + cos θe 2 vilket också kan skrivas som e = et där ( ) cos θ sin θ T =. sin θ cos θ Enligt det allmänna sambandet mellan koordinater i olika baser, X = T X dvs x 1 = cos θx 1 sin θx 2 x 2 = sin θx 1 + cos θx 2 kan vi nu skriva den ursprungliga ekvationen 0 = a(cos θx 1 sin θx 2 )2 + c(sin θx 1 + cos θx 2 )2 + 2b(cos θx 1 sin θx 2 )(sin θx 1 + cos θx 2 )+ + lägre ordningens termer. Om vi nu räknar samman koefficienten för x 1 x 2 - termen får vi + ( 2a cos θ sin θ + 2b(cos 2 θ sin 2 θ)+ + 2c sin θ cos θ)x 1 x 2 + = + ( (a c) sin 2θ + 2bcos2θ)x 1 x 2 +
Om vi nu väljer θ så att tan 2θ = 2b/(a c) så blir koefficienten 0 och ekvationen övergår i a x 2 + c y 2 + d x + e y + f = 0. Om dessutom a och c 0 så kan vi efter kvadratkomplettering skriva ( ) 2 ( ) 2 a x + d 2a + c y + e 2c = f eller (efter div med f och med x = x + d 2a, y = y + e 2c ), x 2 a + y 2 c = 1. Ex 1. Undersök kurvan x 2 xy + y 2 = 1. Sammanfattningsvis kan ekvationen efter en vridning och en translation skrivas på en av följande standardformer (vi använder i fortsättningen de ursprungliga koordinaterna x, y): I. Ellips: x2 b 2 = 1 (svarar mot a, c > 0).
II. Hyperbel: x2 a 2 ± y2 b 2 = ±1(svarar mot a c < 0). Förutom dessa huvudfall finns ett par degenererade specialfall. Det viktigaste är III. Parabel: y 2 = 4cx. (uppstår då a eller c ovan är lika med 0). Dessa tre typer av kurvor har varit kända sedan antiken. De kallas ofta kägelsnitt eftersom de geometriskt kan erhållas som skärningar mellan
koner och plan. En annan geometrisk karakteristik är följande: I. Ellips: Mängden av punkter sådana att summan av avstånden till två givna punkter (brännpunkterna) är konstant. II. Hyperbel: Mängden av punkter sådana att skillnaden mellan avstånden till två givna punkter är konstant. III. Parabel: Mängden av punkter med lika avstånd till en given punkt och en linje. Om vi t ex i I. låter punkterna ligga i (±c, 0) fås (x c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2a, eller ekvivalent z c + z + c = 2a på det komplexa talpanet C, där z = x + iy, x, y R, vilket efter förenklingar ger x2 b 2 = 1, där b 2 = a 2 c 2.
Talet 2a svarar som lätt inses mot ellipsens maximala diameter som också kallas storaxel. Talet e = c/a, 0 e < 1 blir nu ett mått på hur mycket ellipsen avviker från en cirkel. Motsv. analys av hyperbeln ger ett e,1 < e <. Talet e kallas för kägelsnittets excentricitet. Ex 2. Bestäm e för x 2 +2y 2 = 1 och x 2 2y 2 = 1. Sammanfattningsviss har vi följande sats. SATS: Genom lämpligt val av ON-system kan varje andragradsekvation i x och y överföras på någon av följande former (i) x2 b 2 = 1 ellips (ii) x2 = 0 en punkt b2 (iii) x2 = 1 ingen punkt b2 (iv) x2 a 2 y2 b 2 = 1 hyperbel (v) x2 a 2 y2 = 0 två skärande linjer b2
(vi) y 2 + 2dx = 0, d > 0 parabel (vii) y 2 = c, c > 0 två distinkta paralella linjer (viii) y 2 = 0 två sammanfallande linjer (ix) y 2 = c, c < 0 ingen punkt Vi kan också klassificera andragradskurvor ax 2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 a b genom tecknet på = som bevaras under linjära transformationer (koordinatbyten): b c ellipstyp om > 0, hyperbeltyp om < 0 och parabeltyp om = 0. Av kurvorna ovan är (i)-(iii) av ellipstyp (iv) och (v) av hyperbeltyp (vi)-(ix) av parabeltyp. En ekvation av ellipstyp betyder således geometriskt en ellips, en punkt eller ingen punkt. En ekvation av hyperbeltyp betyder en hyperbel eller två skärande linjer. En ekvation av parabeltyp betyder en parabel, två (distinkta eller sammanfallande) parallella linjer eller ingen punkt.