Tentamenskod Klockslag för inlämning Utbildningsprogram Bordnummer RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Onsdag 23 augusti 207, kl. 4.00-7.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-473070. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken(Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Examinationen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd krävs att man är godkänd på del A, och för detta krävs godkänt på varje uppgift. Del B är frivillig och ges endast vid ordinarie tentatillfällen (vid respektive kurstillfällen). Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 0 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 8 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar/motiveringar ska skrivas på angiven plats i detta provhäfte, och provhäftet ska lämnas in. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). LYCKA TILL! Resultat: Uppg. Uppg. 2 Uppg. 3 Del A G/U G/U G/U G/U Ev. kommentar från lärare:
Uppgift Betrakta systemet i blockschemat nedan. 2 u Σ s+5 x 2 x s 6 Σ y 4 (a) Ställ upp tillståndsbeskrivningen för systemet med u som insignal, y som utsignal och tillståndsvektorn x = [ x x 2 ] T, med x och x 2 enligt blockschemat. Svar: (b) Ärtillståndsbeskrivningeni(a)enminimalrealisation? Svar: Motivering: (c) Polplacering är en designteknik, t.ex. för tillståndsåterkoppling. Vilket av följande polpolynom ger kortast stigtid, respektive störst översläng hos stegvaret? (i) s 2 +4s+8, (ii) s 2 +s+4, (iii) s 2 +s+0 Svar: Kortast T r :, störst M: Motivering:
Uppgift 2 Blockschemat nedan visar ett system som styrs med proportionell återkoppling. r + u y 2s+ K r (s+0)(s ) K p (a) FörvilkaK p Rärdetslutnasystemetstabilt? Svar: (b) Ange hur K r ska väljas (uttryckt i K p ) för att det slutna systemet (från r tilly)skafåstatisk förstärkninglikamedett. Svar: K r = (c) Vad blir känslighetsfunktionen för det återkopplade systemet i blockdiagrammet(uttrycktik p ochk r )? Svar: S(s) = 2
Uppgift 3 Ett system har tillståndsbeskrivningen [ ] [ ] 2 ẋ(t) = x(t)+ u(t), 5 0 [ ] y(t) = 0 x(t). () (a) Ärsystemet()asymptotisktstabilt? Svar: (b) Ange viktfunktionen för systemet(). Svar: g(t) = (c) Man konstruerar en observatör för systemet (). Hur ska observatörsförstärkningen K = [ k k 2 ] T väljas för att observatörspolerna ska bli 3 och 4? Svar: 3
Vid behov kan du fortsätta dina lösningar/motiveringar på denna sida. Markera tydligt vilken uppgift som avses. 4
Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp 207-08-23. (a) Från blockschemat fås dels att y = 2x +6x 2, dels att X (s) = s+5 (U(s) 4X 2(s)) sx (s) = 5X (s) 4X 2 (s)+u(s) X 2 (s) = s X (s) sx 2 (s) = X (s). Med inversa Laplacetransformen fås ẋ = 5x 4x 2 +u, ẋ 2 = x, y = 2x +6x 2 [ ] [ ] 5 4 ẋ = x+ u, 0 0 [ ] y = 2 6 x. Detta är styrbar kanonisk form! (b) Minimal realisation både styrbart och observerbart (Res. 8.). Styrbar kanonisk form styrbart. Observerbarhetsmatrisen blir O = [ C CA ] = [ 2 6 4 8 ] deto = 8 0. Full rang observerbart (Res. 8.9). Alltså en minimal realisation! (c) Kolla polerna! För komplexa poler, jämför med standardformen, s 2 + 2ζω 0 s+ω 2 0, där ω 0 är avstånd till origo och ζ är relativa dämpningen. (i) : ζ = 0.5, ω 0 = 2 2, (ii) : ζ = 0.25, ω 0 = 2, (iii) : poler i & 0. Kortast T r (dominerande) polerna längst från origo, d.v.s. (i). Störst M komplexa poler med minst ζ, d.v.s. (ii). 2. (a) Ta fram slutna systemet och dess polpolynom: Y(s) = 2s+ (s+0)(s ) (K rr(s) K p Y(s)) Y(s) = Polpolynomet är alltså (s+0)(s )+K p (2s+) = s 2 +(9+2K p )s+k p 0. K r (2s+) (s+0)(s )+K p (2s+) R(s) För stabilitet krävs att alla poler ligger i vänster halvplan, vilket för ett andragrads polpolynom är ekvivalent med att samtliga koefficienter är strikt positiva. Alltså är slutna systemet för K p > 0. (b) Från (a) har vi att det slutna systemet är G c (s) = K r (2s+) (s+0)(s )+K p (2s+) G c (0) = För att få G c (0) = måste K r = K p 0. (c) Per definition är S(s) = +G o(s). Här kretsförstärkningen G o (s) = K p(2s+) (s+0)(s ) S(s) = + Kp(2s+) (s+0)(s ) = K r 0+K p. (s+0)(s ) (s+0)(s )+K p (2s+).
3. (a) Asymptotisk stabilitet alla egenvärden till A-matrisen i vänster halvplan: [ ] s+2 0 = det(si A) = det = s 2 +2s+5 s = ±i 2. 5 s Alltså asymptotiskt stabilt. (b) Systemet står på observerbar kanonisk form vi får direkt att G(s) = s+ = s+. Viktfunktionen fås som inversa Laplacetransformen av s 2 +s2+5 (s+) 2 +4 överföringsfunktionen: [ ] g(t) = L s+ = e t cos2t. (s+) 2 +4 (c) Det önskade observatörspolynomet är (s+3)(s+4) = s 2 +7s+2, och det faktiska polynomet är [ ] s+2+k det(si A+KC) = det = s 2 +(2+k 5+k 2 s )s+5+k 2. Jämför och identifiera koefficienterna k = 5 & k 2 = 7. 2