Tentamenskod Klockslag för inlämning Utbildningsprogram Bordnummer RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Onsdag 22 augusti 208, kl. 4.00-7.00 Plats: Bergsbrunnagatan 5, sal Ansvarig lärare: Hans Rosth, tel. 08-473070. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Examinationen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd krävs att man är godkänd på del A, och för detta krävs godkänt på varje uppgift. Del B är frivillig och ges endast vid ordinarie tentatillfällen (vid respektive kurstillfällen). Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 0 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 8 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar/motiveringar ska skrivas på angiven plats i detta provhäfte, och provhäftet ska lämnas in. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). LYCKA TILL! Resultat: Uppg. Uppg. 2 Uppg. 3 Del A G/U G/U G/U G/U Ev. kommentar från lärare:
Uppgift Ett system har tillståndsbeskrivningen [ ] [ ] 2 ẋ(t) = x(t) + u(t), 3 0 [ ] y(t) = 0 x(t). () (a) Är systemet () asymptotiskt stabilt? Svar: (b) Ange viktfunktionen för systemet (). Svar: g(t) = (c) Man konstruerar en observatör för systemet (). Hur ska observatörsförstärkningen K = [ ] T k k 2 väljas för att observatörspolerna ska bli 3 och 4? Svar:
Uppgift 2 Betrakta systemet i blockschemat nedan. 2 u s+5 x 2 x s 6 y 6 (a) Ställ upp tillståndsbeskrivningen för systemet med u som insignal, y som utsignal och tillståndsvektorn x = [ x x 2 ] T, med x och x 2 enligt blockschemat. Svar: (b) Är tillståndsbeskrivningen i (a) en minimal realisation? Svar: Motivering: (c) Polplacering är en designteknik, t.ex. för tillståndsåterkoppling. Vilket av följande polpolynom ger kortast stigtid, respektive störst översläng hos stegvaret? (i) s 2 + s + 0, (ii) s 2 + 4s + 8, (iii) s 2 + s + 4 Svar: Kortast T r :, störst M: Motivering: 2
Uppgift 3 Blockschemat nedan visar ett system som styrs med proportionell återkoppling. r + u y 2s+ K r (s+0)(s ) K p (a) För vilka K p R är det slutna systemet stabilt? Svar: (b) Ange hur K r ska väljas (uttryckt i K p ) för att det slutna systemet (från r till y) ska få statisk förstärkning lika med ett. Svar: K r = (c) Vad blir känslighetsfunktionen för det återkopplade systemet i blockdiagrammet (uttryckt i K p och K r )? Svar: S(s) = 3
Vid behov kan du fortsätta dina lösningar/motiveringar på denna sida. Markera tydligt vilken uppgift som avses. 4
Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp 208-08-22. (a) Asymptotisk stabilitet alla egenvärden till A-matrisen i vänster halvplan: [ ] s + 2 0 = det(si A) = det = s 2 + 2s 3 s = ± 2. 3 s Alltså är polerna 3 och +, den senare i HHP instabilt. (b) Systemet står på observerbar kanonisk form vi får direkt att G(s) = s+ = s+ = 0.5 + 0.5. Viktfunktionen fås som inversa Laplacetransformen av överföringsfunktionen: s 2 +2s 3 (s+3)(s ) s s+3 [ 0.5 g(t) = L s + 0.5 ] = 0.5(e t + e 3t ). s + 3 (c) Det önskade observatörspolynomet är (s + 3)(s + 4) = s 2 + 7s + 2, och det faktiska polynomet är [ ] s + 2 + k det(si A + KC) = det = s 2 + (2 + k 3 + k 2 s )s 3 + k 2. Jämför och identifiera koefficienterna k = 5 & k 2 = 5. 2. (a) Från blockschemat fås dels att y = 2x + 6x 2, dels att X (s) = s + 5 (U(s) 6X 2(s)) sx (s) = 5X (s) 6X 2 (s) + U(s) X 2 (s) = s X (s) sx 2 (s) = X (s). Med inversa Laplacetransformen fås ẋ = 5x 6x 2 + u, ẋ 2 = x, y = 2x + 6x 2 ẋ = y = [ 5 ] [ ] 6 x + 0 0 ] u, x. [ 2 6 Detta är styrbar kanonisk form! (b) Minimal realisation både styrbart och observerbart (Res. 8.). Styrbar kanonisk form styrbart. Observerbarhetsmatrisen blir [ ] [ ] C 2 6 O = = det O = 0. CA 4 2 Ej full rang ej observerbart (Res. 8.9). Alltså inte en minimal realisation! (c) Kolla polerna! För komplexa poler, jämför med standardformen, s 2 + 2ζω 0 s + ω 2 0, där ω 0 är avstånd till origo och ζ är relativa dämpningen. (i) : poler i & 0, (ii) : ζ = 0.5, ω 0 = 2 2, (iii) : ζ = 0.25, ω 0 = 2.
Kortast T r (dominerande) polerna längst från origo, d.v.s. (ii). Störst M komplexa poler med minst ζ, d.v.s. (iii). 3. (a) Ta fram slutna systemet och dess polpolynom: Y (s) = 2s + (s + 0)(s ) (K rr(s) K p Y (s)) Y (s) = Polpolynomet är alltså (s + 0)(s ) + K p (2s + ) = s 2 + (9 + 2K p )s + K p 0. K r (2s + ) (s + 0)(s ) + K p (2s + ) R(s) För stabilitet krävs att alla poler ligger i vänster halvplan, vilket för ett andragrads polpolynom är ekvivalent med att samtliga koefficienter är strikt positiva. Alltså är slutna systemet för K p > 0. (b) Från (a) har vi att det slutna systemet är G c (s) = K r (2s + ) (s + 0)(s ) + K p (2s + ) G c (0) = K r 0 + K p. För att få G c (0) = måste K r = K p 0. (c) Per definition är S(s) = +G o(s). Här kretsförstärkningen G o (s) = K p(2s + ) (s + 0)(s ) S(s) = + Kp(2s+) (s+0)(s ) = (s + 0)(s ) (s + 0)(s ) + K p (2s + ). 2