LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning

Relevanta dokument
LMA522: Statistisk kvalitetsstyrning

LMA522: Statistisk kvalitetsstyrning

LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning

LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning

LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning

LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning

LMA522: Statistisk kvalitetsstyrning

LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning

LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning

Kap 3: Diskreta fördelningar

TMS136. Föreläsning 4

Lösningsförslag till Tillämpad matematisk statistik LMA521, Tentamen

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall

Föreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess

4 Diskret stokastisk variabel

TMS136. Föreläsning 7

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Våra vanligaste fördelningar

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Föreläsning 8, Matematisk statistik Π + E

Mer om konfidensintervall + repetition

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

F3 Introduktion Stickprov

Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära

Binomialfördelning, två stickprov

Introduktion till statistik för statsvetare

Jörgen Säve-Söderbergh

MVE051/MSG Föreläsning 7

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik,

Samplingfördelningar 1

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 8: Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess

F9 Konfidensintervall

1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått

Föreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Föreläsning G60 Statistiska metoder

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.

Tentamen i Dataanalys och statistik för I den 28 okt 2015

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

Tentamen i matematisk statistik (92MA31, STN2) kl 08 12

4.2.1 Binomialfördelning

Föreläsning 12: Regression

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U.

TMS136. Föreläsning 11

Matematisk statistik, LMA 200, för DAI och EI den 25 aug 2011

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Lärare 4. Lärare 1 Binomial och normalfördelning Fel i statistiska undersökningar Att tolka undersökningar Falska samband Jämföra i tid och rum

Kurssammanfattning MVE055

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)

F8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning

1 Föreläsning IV; Stokastisk variabel

Avd. Matematisk statistik

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

1 Stora talens lag. Laboration 2 Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:A, HT Teori. 1.2 Uppgifter

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

4.1 Grundläggande sannolikhetslära

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

en observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.

F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P.

1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

LÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

TAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65

Exempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor

F13 Regression och problemlösning

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

Föreläsning 5. Kapitel 6, sid Inferens om en population

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar

Föreläsning 4. Kapitel 5, sid Stickprovsteori

5. Kontrolldiagram. I Chart of T-bolt. Observation UCL=0, , , ,74825 _ X=0, , , ,74750 LCL=0,747479

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

Kontrolldiagram hjälper oss att skilja mellan två olika typer variation, nämligen akut och kronisk variation.

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2

I den här datorövningen ser vi hur R kan utnyttjas för att kontrollera modellantaganden och beräkna konfidensintervall.

Föreläsning 5: Hypotesprövningar

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl

FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Övningstentamen i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120)

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens

Transkript:

Föreläsning 6

Tidigare Styrande kontroll enligt variabelmetoden: Medelvärdesdiagram R-diagram/ s-diagram

Dagens innehåll 1 Styrande kontroll enligt attributmetoden 2 Felkvotsdiagram 3 Felantalsdiagram 4 Problem 2.9 (SK) 5 Flera defekter per produkt 6 Problem 2.13 (SK)

Styrande diagram enligt attributmetoden Antag att den kvalitetsindikator vi observerar inte är kvantitativ utan bara kan vara defekt eller acceptabel (ungefär som i acceptanskontrollen som vi tittade på förra veckan). Samma idé som tidigare men vår kvalitetsindikator är nu bara om enheten var defekt eller inte.

Antal defekta i ett urval av n stycken är fördelad som en binomialfördelning, ξ Bin(n, p). Kom ihåg att om np(1 p) > 10 så kan man approximera binomialfördelningen med en normalfördelning, ξ N(np, np(1 p)). Eftersom hela analysen bygger på den här approximationen så kan vi för kvalitativa variabler behöva ett större stickprov vid varje tidpunkt.

Man börjar med att antaga att man kan göra normalfördelningsapproximation. Detta gör att man får samma styrgränser som innan förutom att vi nu bara behöver skatta parametern p istället för µ och σ. k i=1 ˆp = d i, där k är antal provuttag, n är antal kontrollerade i n k varje provuttag och d i är antalet defekta i provuttag i.

Denition: Felantalsdiagram (np-diagram) Styrgränser för antal defekta i ett provuttag: Cl = nˆp Sö = nˆp + 3 nˆp(1 ˆp) ( ) Su = max nˆp 3 nˆp(1 ˆp), 0 Alternativt om man faktiskt känner till p: Cl = np Sö = np + 3 np(1 p) ( ) Su = max np 3 np(1 p), 0

Ett diagram med ekvivalent betydelse är felkvotsdiagrammet. Där studerar man istället hur skattningarn av p varierar. Detta bygger på samma approximation ˆp i = nˆp i n = ξ n. Eftersom en normalfördelad slumvariabel gånger en konstant också är normalfördelad så får vi: ( ) p(1 p) N p,. ˆp i n

Denition: Felkvotsdiagram (p-diagram) Styrgränser för andel defekta i ett provuttag: Cl = ˆp ˆp(1 ˆp) Sö = ˆp + 3 n ( ) ˆp(1 ˆp) Su = max ˆp 3, 0 n Alternativt om man faktiskt känner till p: Cl = p p(1 p) Sö = p + 3 n ( ) p(1 p) Su = max p 3, 0 n

Om normalapproximationen inte är giltig (np(1 p) < 10) så gäller inte längre att sannolikheten bara är 0.27% att larma om processen inte har ändrats. I dessa fall får man räkna med binomialfördelningen istället för att ta reda på risken att larma i onödan.

Problem 2.9 (SK) Problem: 2.9 a) (SK) vid jämna mellanrum tar man ut 200 stycken enheter och räknar hur många som är defekta. Under de senaste 20 urvalen ck man följande: 3 3 1 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 1 1 3 3 3 2 3 a) Använd dessa värden för att beräkna styrgränser till tillverkningsprocessen

Problem 2.9 (SK) Problem: 2.9 a) (SK) vid jämna mellanrum tar man ut 200 stycken enheter och räknar hur många som är defekta. Under de senaste 20 urvalen ck man följande: 3 3 1 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 1 1 3 3 3 2 3 a) Använd dessa värden för att beräkna styrgränser till tillverkningsprocessen n = 200, k = 20 ˆp = k i=1 d i n k = 20 i=1 d i 200 20 = 1.2%

Cl = nˆp = 200 0.012 = 2.4 Sö = nˆp + 3 nˆp(1 ˆp) = 2.4 + 3 1.540 7.02 ( ) Su = max nˆp 3 nˆp(1 ˆp), 0 = 0 (n ˆp(1 ˆp) = 2.37 < 10 så förmodlingen så är normalapproximationen inte vettig.) Problem: 2.9 b) (SK) b) Är processen under statistisk kontroll?

Cl = nˆp = 200 0.012 = 2.4 Sö = nˆp + 3 nˆp(1 ˆp) = 2.4 + 3 1.540 7.02 ( ) Su = max nˆp 3 nˆp(1 ˆp), 0 = 0 (n ˆp(1 ˆp) = 2.37 < 10 så förmodlingen så är normalapproximationen inte vettig.) Problem: 2.9 b) (SK) b) Är processen under statistisk kontroll? Lösning: 2.9 b) (SK) Ja, inget provuttag har er än 7.02 defekter.

Flera defekter per enhet Ibland har man produkter som kan ha mer än en defekt per enhet. Vi har alltså någon mittemellan en kvalitativ och kvantitativ kvalitetsindikator. Som exempel skulle kunna nämnas antal bucklor i karossen per bil eller antal tjälskott per km väg. Här modellerar man antalet fel per provuttag med en Poissonfördelning istället, ξ i Po(λ).

Man kan skatta genomsnittsligt antal fel per provuttag som ˆλ = där k är antal provuttag och c i i provuttag i. k i=1 c i k. är antalet fel mätt över alla enheter Kom ihåg att även Poisson fördelningen kan approximeras med en normalfördelning om λ > 15. Eftersom väntevärdet och variansen båda är λ för en Poissonfördelning så får vi ξ i N(λ, λ).

Felantalsdiagram (c-diagram) Styrgränserna kan sedan räknas ut på samma sätt som tidigare. Sö = ˆλ + 3 ˆλ Cl = ˆλ ) Su = max (ˆλ 3 ˆλ, 0 Precis som för fallet med binomialfördelning så bygger idén på att man approximerar Poissonfördelningen med en normalfördelning. Om approximationen inte håller så kommer risken att larma inte vara 0.27%. Man kan då behöva analysera sin design nogrannare för att förstå hur bra chans man egentligen har att upptäcka förändringar i processen utan att samtidigt ha för många falsklarm.

Problem 2.13 (SK) Problem: 2.13 (SK) På ett väveri kontrollerar man med jämna mellanrum 10 meters tyglängder och räknar antal fel i väven. Vid 20 inspektioner ck man följande serie: 3 4 4 9 8 3 5 10 6 6 9 6 8 6 3 4 12 6 14 2 a) Ange styrgränser i det styrdiagram som skall användas. Antal fel per längdenhet, antag Poissonfördelning, ξ Po(λ). Låt λ symbolisera förväntat antal fel per 10 meter tyg. Vi kan skatta värdet som: ˆλ 20 i=1 = c i = 6.4 fel/ 10 meter. 20

Cl = ˆλ = 6.4 Sö = ˆλ + 3 ˆλ = 6.4 + 3 2.53 = 13.99 ) Su = max (ˆλ 3 ˆλ, 0 = 0

Problem: 2.13 b) (SK) 3 4 4 9 8 3 5 10 6 6 9 6 8 6 3 4 12 6 14 2 Är processen under statistisk kontroll?

Problem: 2.13 b) (SK) 3 4 4 9 8 3 5 10 6 6 9 6 8 6 3 4 12 6 14 2 Är processen under statistisk kontroll? Lösning: 2.13 b) (SK) Nej, 14 > 13.99.

Problem: 2.13 c) (SK) (extrauppgift) Är normalantagandet rimligt?

Problem: 2.13 c) (SK) (extrauppgift) Är normalantagandet rimligt? Lösning: 2.13 c) (SK) Nej, ˆλ = 6.4 15.

Problem: 2.13 d) (SK) (extrauppgift) Vad är risken (approximativt) att larma då processen är under statistisk kontroll?

Problem: 2.13 d) (SK) (extrauppgift) Vad är risken (approximativt) att larma då processen är under statistisk kontroll? Lösning: 2.13 d) (SK) P(ξ i > 13.99 λ = 6.4) = 1 P(ξ i 13 λ = 6.4) = 1 e 6.4 13 6.4 i i=0 i! = 1 99.38% = 0.62% > 0.27% Vi ser att det är dubbelt så stor risk för falsk larm jämfört med vad vad styrgränserna är designade för. Men det är fortfarande en väldigt liten risk.

Sammanfattning av dagens innehåll Styrande kontroll enligt attributmetoden Kontrollen av en produkt kan bara ge defekt eller acceptabel. Felantalsdiagram / Felkvotsdiagram Det styrande diagrammet fungerar i stort sett likadant som tidigare pga normalapproximation. Inget behov av ett spridningsdiagram då p beskriver både spridning och medelvärde. Flera defekter per produkt (c-diagram) Om kontrollen av en produkt kan ge er defekter än 1. Också då en produkt/tjänst mäts i ett kontinuerligt mått såsom tyg (mäts i meter) eller radiopratande (mäts i minuter).