Introduktion och laboration : Minitab

Robert Parviainen, Tel. 471 31 86 E-post: robert@math.uu.se Matematisk Statistik IT VT 2004 Introduktion och laboration : Minitab Den här laborationen går ut på att stifta bekantskap med ett statistiskt programpaket, Minitab, och att göra en del enkla praktiska övningar. Programmet är ett av många statistiska paket. Andra kända statistiska program är SPSS, SAS, och R. Vi har valt att använda Minitab på grund av att det är relativt lätt att arbeta och komma igång med. Frågor att besvara är skrivna i italics. Svaren ska helst skriva direkt i dessa papper. Notera att många frågor är subjektiva! Det finns alltså inget rätt svar. (En kort kommentar räcker som svar.) Avsnitt med *rubrik* inom *-or är frivilliga, och kan hoppas över. Det första du skall göra är att starta programpaketet Minitab. När du gjort det visar sig något som ser ut så här. Figur 1: Så här ser det ut då du startat Minitab. I Figur 1 ser du att Minitab visar två fönster. Ett kallat Session och ett kallat Worksheet/Data. I Datafönstret kan du skriva in tal som du vill att Minitab skall bearbeta. Datafönstret används också för att lagra resultat som Minitab räknat fram. Sessionfönstret kan användas för att skriva kommandon till Minitab. Vi kommer dock framför allt att ge kommandon via rullgardinsmenyer. 1 Slumptal och dataanalys Vi ska börja med att låta Minitab generera ett datamaterial. Minitab klarar att generera slumptal från de flesta fördelningarna, och vi ska börja med att låta Minitab kasta tärning. Minitab kan utföra dina tärningskast genom att du utför följande moment. Klicka på rubriken Calc i menyn. Då fälls en rullgardin ned och du kan välja rubriken Random Data och klicka på

den. En ny rullgardin uppenbaras och du väljer nu alternativet Integer. Om allt är som det skall så visas nu en meny som liknar den i Figur 2. Figur 2: Fönster efter sekvensen Calc Random Data Integer. Minitab kommer nu att generera lika många tärningskast som du skriver i rutan vid Generate... rows of data. Prova först att göra 60 tärningskast. Resultatet lagras i kolumnen som du skriver i den stora rutan vid Store in column(s). Från början heter kolumnerna C1, C2, osv, men man kan också namnge kolumnerna själv. För att verkligen generera tärningskast skriver du värdet 1 vid Minimum value och värdet 6 vid Maximum value. Ett sätt att titta på det genererade datamaterialet är att låta Minitab göra en grafisk illustration. Sekvensen Graph Histogram ger dig fönstret i Figur 3. Anm. Om man vill upprepa föregående kommando, t.ex. om man vill ändra lite i indata, kan man använda kortkommandot CTRL E. Figur 3: Fönster efter sekvensen Graph Histogram. Välj Project under rubriken Display och välj den kolumn som du sparat dina tärningsvärden i under X. Nu ritar Minitab ett stolpdiagram över ditt datamaterial. Stämmer resultatet med vad du förväntade dig att se? Hur många 1:or, 2:or osv borde det bli?

Prova också att välja andra saker än Project för att se lite av de olika sätten man kan rita histogram på. Man kan också i Edit Attributes ändra diverse andra saker. (Man kan också snygga till diagram efteråt genom att högerklicka i ett diagram.) Undersök hur stolpdiagrammet ser ut om du gör 600 tärningskast. Hur blir det vid 6000 tärningskast? 1.1 Egendefinierad sannolikhetsfördelning Om man vill ha slumptal från en diskret fördelning som inte finns i Minitab går det också lätt att få. Anta att vår diskreta stokastiska variabel X har sannolikhetsfunktionen P (X = k) = p(k) = 12, k = 0, 1, 2, 3. 25(k + 1) För att generera data från den fördelningen konstaterar vi först att p(0) = 0.48, p(1) = 0.24, p(2) = 0.16 och p(3) = 0.12. Skriv in följande värden i datafönster i kolumn C1 och C2. Observera att Minitab använder decimalkomma och inte decimalpunkt! C1 C2 0 0,48 1 0,24 2 0,16 3 0,12 Generera 10 slumptal från denna fördelning genom att använda sekvensen Calc Random Data Discrete. I Values in skriver du C1, och i Probabilities in C2. Kontrollera att resultatet är rimligt genom att göra ett stolpdiagram. (Kom ihåg sekvensen Graph Histogram.) Väntevärdet för variabeln X är µ = E(X) = 0.92, och standardavvikelsen σ = V (X) 1.055. Dessa kan uppskattas från slumptalen. Utför Stat Basic Statistics Display Descriptive Statistics. Medelvärdet (mean) ger en skattning av µ. Ligger det nära 0.92? Varför? Varför inte? Generera 100 observationer i stället. Hamnar medelvärdet närmare 0.92? Hur blir det med om du genererar 1000 observationer? Vad händer och vilken teoretisk sats är det som ger detta resultat?

Stickprovsstandardavvikelsen ger (inte så förvånande) en skattning av standardavvikelsen, och ges under StDev. Generera n slumptal för små och stora n (t.ex. n = 10, 50, 100, 500, 1000,...). Undersök när skattningen ligger nära det teoretiska värdet ( 1.055). 2 Binomialfördelningen Vi ska nu titta lite närmare på Binomialfördelningen. Börja med att generera 1000 slumptal från Bin(n = 10, p = 0.3)-fördelningen. Använd sekvensen Calc Random Data Binomial. Gör ett stolpdiagram över slumptalen. Öka nu n:et i Bin(n, p = 0.3) i några steg, t.ex. n = 10, 20, 50, 100, 200,.... När n växer kan vi approximera Binomialfördelningen med Normalfördelningen. Vilket villkor brukar används för när approximationen är användbar? Villkoret säger här att n ska vara större än ungefär 50. Liknar ditt histogram för n = 50 en normalfördelningstäthet? Vid vilket n tycker du att histogrammet liknar en normalfördelningstäthet? Anm. För att ha något att jämföra med, se t.ex. figuren på sid 138 i boken. Generera 1000 slumptal från en binomialfördelning (välj n och p själv). Beräkna en skattning av p för varje slumptal genom Calc Calculator. I Store result in variable väljer du någon kolumn för skattningarna, och i Expression skriver du t.ex. C1/78 om C1 innehåller slumptalen och ditt n är 78. Beräkna medelvärdet av skattningarna. Är det nära ditt p? Vilken egenskap hos skattningen säger att medelvärdet av skattningarna går mot p? 2.1 Binomialfördelningens sannolikhets- och fördelningsfunktion Det som visades i stolpdiagrammen är inte sannolikhetsfunktionens värden utan hur 1000 slumptal från fördelningen råkar fördela sig. För att verkligen se hur sannolikhetsfunktionen till X Bin(n = 10, p = 0.3) ser ut kan vi låta Minitab rita upp den. Mata in talen 0, 1, 2,..., 10 i en kolumn. Du kan antingen göra det för hand eller via sekvensen Calc Make Patterned Data Simple Set of Numbers. När detta är klart använder du sekvensen Calc Probability Distributions Binomial. Välj kolumnen med talen 0, 1, 2,..., 10 i Input column. Lagra data i en ny kolumn med hjälp av

Optional storage. För att titta på denna sannolikhetsfunktion i ett stolpdiagram måste du använda en ny sekvens. Utför följden Graph Plot, försök förstå vad som skall vara X och Y och välj slutligen Display Project. Påminner detta om ditt stolpdiagram över 1000 slumptal från X Bin(n = 10, p = 0.3)? Blir skillnaden stor? Rita upp sannolikhetsfunktionen också för Bin(10,0.7). Tänk efter först hur den borde se ut. Jämför med bilden för Bin(10,0.3). Utför sekvensen Calc Probability Distributions Binomial igen. Välj n = 10 och p = 0.3 och markera Cumulative probability. Vad har du nu beräknat? Anm. Jämför med Binomialfördelningstabellen (tabell 8) i boken för n = 10 och p = 0.3. 3 Addition av slumpvariabler Generera 1000 slumptal från en Po(1) fördelning, dvs slumptal som är Poissonfördelade med väntevärde 1. Lägg resultatet i kolumn C1 i datafönstret. Titta på datamaterialet med hjälp av ett histogram. Anm. Använd Graph Histogram med Display Bar. Minitab väljer antalet staplar själv, och ibland kan det bli för få staplar, och ibland för många. Pröva att ändra antalet staplar själv. Under Options klickar du i Number of intervals och skriver i en siffra. Detta gäller speciellt nedan, där 20 intervall tycks ge bra indelning. Generera ytterligare 1000 Po(1)-fördelade slumptal och lägg dessa i kolumn C2. Nu skall du addera slumptalen i kolumn C1 och C2. Detta görs enklast med sekvensen Calc Calculator. Skriv in C1+C2 och lägg resultatet i kolumn C3. Titta på datamaterialet i kolumn C3 med hjälp av ett histogram. Generera ytterligare 3 kolumner med 1000 Po(1)-fördelade slumptal i kolumnerna C3, C4 och C5. (Kom ihåg CTRL E. Man kan också skriva in flera kolumner i Store in column(s).) Addera kolumnerna C1-C5 och lägg resultatet i kolumn C6. Titta på datamaterialet i kolumn C6 med hjälp av ett histogram. Generara ytterligare 5 kolumner med Po(1)-fördelade slumptal och lägg dessa i kolumn C6-C10. Adderakolumnerna, och lägg resultatet i C11. Titta på datamaterialet i kolumn C11 med hjälp av ett

histogram. Generara ytterligare 10 kolumner med Po(1)-fördelade slumptal och lägg dessa i kolumn C10-C20. Sumera kolumnerna, och lägg resultatet i C21. Från vilken fördelning borde de slumptalen approximativt komma från? Titta på datamaterialet i kolumn C21 med hjälp av ett histogram. Ser histogrammet ut som förväntat? Vilken viktig sats ger resultatet? 4 Statistisk Inferens 4.1 *Skattningar* Vi ska här jämföra 2 skattningar av variansen i en Exponetialfördelning. Börja med att generera 1000 observationer från Exp(1) (Calc Random Data Exponential). Spara dessa i C1. Sedan ska vi generara indikatorer i C2. Välj Calc Make Patterned Data Simple Set of Numbers. I Store in... väljer du C2. Välj att göra tal från 1 till 100 i steg om 1, och att lista varje värde 10 gånger. Nu borde C2 ge 111111111122222222222333... Härnäst ska vi skatta variansen (som alltså är 1 2 = 1), med stickprovsvariansen s 2. Välj Stat Basic Statistics Store Descriptive Statistics. Variables ska vara C1, och i By Variables skriver du C2. Under Statistics kryssar du i endast Variance. Detta ger 100 skattningar av variansen, alla gjorda med 10 observationer. Nu ska vi skatta variansen med ( x) 2 (eftersom variansen i Exp(m) är m 2 ). Välj Stat Basic Statistics Store Descriptive Statistics. Variables ska vara C1, och i By Variables skriver du C2. Under Statistics kryssar du i endast Mean. Med hjälp av Calculator beräknar du nu kvadraten av de erhållna medelvärdena. Spara dessa i en ny kolumn, säg C10. Dessa tal är alltså 100 skattningar av variansen, alla gjorda med 10 observationer. För att jämföra de två skattningarna, välj Stat Basic Statistics Display Descriptive Statistics. (Välj kolumnerna Variance1 och C10 i Variables.) Är skattningarna bra? Vilken verkar vara bäst (effektivast)? 4.2 Ett normalfördelat stickprov I Kapitel 13 i läroboken visas hur konfidensintervall för ett väntevärde µ bildas i fallen då σ 2 är känt eller okänt. Vi börjar med fallet att σ 2 är känt. Utgå från följande datamaterial som är 9 termometrars mätningar av temperaturen. Resultatet blev 20.4 20.7 20.3 20.4 20.6 20.8 20.2 20.3 20.5

Figur 4: Fönster efter sekvensen Stat Basic Statistics 1-Sample-t. som kan anses vara ett stickprov från en normalfördelning med okänt väntevärde µ och känd standardavvikelse σ = 0.2. Hur ett konfidensintervall för µ beräknas beskrivs i boken (sid 239-230). Vi skall nu låta Minitab beräkna konfidensintervallet. Börja därför med att mata in datamaterialet i kolumn C1. Utför därefter sekvensen Stat Basic Statistics 1-Sample-z. Då får du upp ett fönster som liknar fönstret i Figur 4. I rutan kan du välja den kända standardavvikelsen σ under rubriken Sigma och vilket datamaterial (kolumn) som intervallet skall baseras på under Variables och under Options kan konfidensgraden specificeras under rubriken Level. Lämna Test mean rutan blank än så länge. Beräkna med Minitab ett 95% konfidensintervall för µ. Prova nu att variera konfidensgraden. Starta med en låg konfidensgrad t.ex 50% och öka i några steg till 99.99%. Vad händer med intervallet då konfidensgraden ökar? Att standardavvikelsen σ är känd är ovanligt. Om i stället σ vore okänt skulle formeln på sidan 231 använts för att bilda konfidensintervallet för µ. I Minitab görs denna beräkning via kommandot Stat Basic Statistics 1-Sample-t. Resultatet av kommandosekvensen visas i Figur 4. Bilda ett 95% konfidensintervall för µ. Jämför med intervallet när σ var känt. Är det längre eller kortare? Vad är skillnaden mellan formlerna då σ är känt/okänt?

4.3 Två normalfördelade stickprov Skriv in följande siffror i två kolumner: och 20.4 20.7 20.3 20.4 20.6 20.8 20.4 20.3 20.5 20.6 20.6 20.4 20.7 20.8 20.8 20.3 20.4 som är temperaturen mätt med termometrar av två olika märken. För att se om det är skillnad mellan märkena ska vi göra ett konfidensintervall för skillnaden i väntevärdena. Vi antar att vi har två stickprov från normalfördelningar, med samma okända varians. I Minitab görs denna beräkning via kommandot Stat Basic Statistics 2-Sample-t. Markera att vi har data i 2 kolumner, och att vi antagit att lika varianser. Vad blir intervallet? Är skillnaden signifikant? 4.4 Konfidensgrad Vi ska nu undersöka konfidensgradens innebörd vidare, genom att göra många konfidensintervall av samma paramater. Börja med att generera 50 kolumner med 10 observationer från N(0,1) (Calc Random Data Normal. Skriv c1-c50 i Store in column(s). Variansen behöver inte vara 1, men det kommer att förenkla fortsättningen att ha väntevärdet 0.) Välj nu Stat Basic Statistics 1-sample t, och skriv c1-c50 i Variables. Välj konfidensnivån 0.50 under Options. Detta ger en utskrift av 50 80%-KI. Räkna hur många som inte innehåller 0. (Detta görs snabbt genom att se vilka undre gränser som är positiva, och vilka övre gränser som är negativa. Hur många intervall innehåller inte 0? Hur många kan man förvänta sig? Vilken fördelning borde X = antal intervall som inte innehåller 0 ha? Upprepa med kkonfidensnivån 0.95. 4.5 Kvantiler Kvantiler bstämms lätt i Minitab. Det görs med sekvensen Calc Probability Distributions X, där X är den önskade fördelningen. I det erhållna fönstret väljs Inverse cumulative probability. Skriv värdet 1 α efter Input constant för att få Minitab att beräkna en α-kvantil.

Beräkna följande värden med Minitab, och kontrollera med Tabell 2 och 3 i boken eller formelsamlingen: λ 0.025 = λ 0.001 = t 0.025 (13) = t 0.001 (9) = 5 *Hypotestest* I läroboken (sid 261) beskrivs hur hypotesen H 0 : µ = µ 0 testas beroende på om standardavvikelsen är känd eller ej med testvariablerna z = x µ 0 σ/ n t = x µ 0 s/ n Låt oss utföra ett sådant test där σ är okänt. Datamaterialet är 2.8 2.5 2.9 2.4 2.5 2.2 2.3, nollhypotesen är H 0 : µ = 2.40, mothypotesen är H 1 : µ 2.40, och signifikansnivån är α = 0.05. För att få Minitab att utföra testet används sekvensen Stat Basic Statistics 1-Sample-t. I rutan som uppenbaras väljer du Test mean och skriver in värdet µ = 2.40. Eftersom mothypotesen är H 1 : µ 2.40 väljer du under Options alternativet not equal under rubriken Alternative (mothypotes heter också alternativ hypotes). (Konfindensnivån under Options används bara indirekt för testet, genom att ett konfidensintervall med den nivån också skrivs ut.) Minitab ger oss följande information One-Sample T: C2 Test of mu = 2,4 vs mu not = 2,4 Variable N Mean StDev SE Mean C2 7 2,5143 0,2545 0,0962 Variable 95,0% CI T P C2 ( 2,2789; 2,7497) 1,19 0,280 T (=1.19) ger det observerade värdet på test-variabeln. I vårt fall ska det värdet jämföras med t-kvantilen t 0.025 (7 1) = 2.45. Eftersom 1.19 < 2.45 kan nollhypotesen ej förkastas. Denna slutsats kan också dras direkt ur Minitabs utskrift. Värdet under P (0.280) är den observerade signifikansnivån, också kallat p-värdet. Ett test på signifikansnivån α är signifikant om och endast om p-värdet är mindre än α. Då p-värdet = 0.280 är större än α = 0.05, kan nollhypotesen ej förkastas. Om motsvarande hypotesprövning skall utföras och standardavvikelsen σ är känd används sekvensen Stat Basic Statistics 1-Sample-z. Utför testet med σ = 0.2 och jämför med resultatet då standardavvikelsen var okänd. Vad förändrades? Varför?

Gör testet igen (σ okänt). Notera att Minitab också skriver ut ett konfidensintervall för varje test. Detta har nivån som väljs under Options. Låt konfidensnivån nu vara 0.99. Ändra värdet på µ 0 (låt t.ex. µ 0 = 2.5, 2.6,...) tills du får ett p-värdet som är mindre än 0.01, och undersök för varje test hurvida värdet på µ 0 ligger i det erhållna kofidensintervallet. Ligger värdena på µ 0 då p-värdet är större än 0.01 innanför eller utanför intervallet? Ligger värdena på µ 0 då p-värdet är mindre än 0.01 innanför eller utanför intervallet? Vad säger detta oss om relationen mellan hypotestest och konfidensintervall? (Se också sid 260 i boken.) Anm. I läroboken jämförs alltid det observerade värdet på testvariabeln med kvantiler från tabeller. Så görs inte i Minitab, utan ett p-värde beräknas med hjälp av direktmetoden. 6 Övrigt Minitab klarar mycket mer än det vi hunnit gå igen hittills. Bland annat kan Minitab utföra samtliga icke-parametriska test som gås igenom i kursen, med det möjliga undantaget anpassningstest (det går, men kräver lite extra arbete). Under Stat Non-parametrics finns t.ex. 1-sample sign (teckentest), 1-sample Wilcoxon (teckenrangtest), Mann-Whitney (rangsummetest). Under Stat Tables finns Chi-square Test, som kan användas för oberoende/homogenitetstest. Namn: