1.15. Andra potentialbrunnar och barriärer

1.15. Andra potentialbrunnar och barriärer [Understanding Physics: 13.15-13.17; 19.1-19.3] Vi skall nu ge en översikt över ytterligare några potentialbrunnar och barriärer, nämligen potentialfallet (fig. 13.35), potentialvallen (fig. 13.37), och den harmoniska oscillatorn (fig. 13.44). a) Behandlingen av potentialfallet påminner om undersökningen av potentialsteget, med undantag av att k 2 > k 1 istället för k 1 > k 2. För reflektions och transmissionskoefficienterna gäller därför samma uttryck som tidigare: R = (k 1 k 2 ) 2 (k 1 + k 2 ) och T = 4k 1k 2 2 (k 1 + k 2 ) 2. Analogin med potentialsteget visar, att om partikelns energi endast är obetydligt större än potentialfallet, dvs om E U 0 E, så är det mycket stor sannolikhet för reflektion i den punkt, där potentialen faller. Detta följer av att om E U 0 E, så är k 2 k 1 och R 1. Reflektion av en våg vid en diskontinuitet är också ett känt fenomen i samband t.ex. med vattenvågor. Då en ytvåg möter ett område där vattendjupet ökar kraftigt, kan man iaktta reflektion. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 1

b) Potentialvallen; tunneleffekten. Potentialvallen består av ett potentialsteg efterföljt av ett potentialfall. Vi skall inte här gå igenom den fullständiga algebraiska analysen av detta problem, som liknar lösningen av våra tidigare potentialproblem, men leder till mer komplicerade räkningar, genom att behandlingen måste uppdelas på tre regioner (A, B och C). Därför nöjer vi oss med en kvalitativ diskussion, där vi utnyttjar resultatet av våra studier av potentialsteg och fall. Då E < U 0 skulle vi rent klassiskt med 100% sannolikhet förvänta oss reflektion vid barriären. Enligt kvantmekaniken finns det dock en viss sannolikhet för att partikeln skall tränga in i regionen bakom ett potentialsteg, och denna sannolikhet avtar exponentiellt med den tillryggalagda sträckan. Om potentialvallen är tillräckligt smal, så är det möjligt för partikeln att nå fram till andra ändan av vallen, där den fortsätter som en fri partikel (se fig. 13.38 och figuren nedan). Sannolikheten för detta beror av potentialvallens bredd och förhållandet mellan partikelns energi och vallens höjd E/U 0. Fenomenet kallas tunneleffekt. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 2

Tunneleffekten kan också förekomma i samband med totalreflektion av ljusvågor, som uppstår då ljus träffar en glasskiva under en infallsvinkel, som överskrider Brewster vinkeln. Om man placerar en annan glasskiva så nära den första, att tjockleken av luftskiktet mellan dem är jämförbar med ljusets våglängd, så kan ljus likväl passera genom luftskikten in i den andra glasskivan ( frustrerad inre reflektion). I materiefysiken förekommer tunneleffekten mycket ofta. Ett exempel är α sönderfallet, som sker då atomkärnor sönderfaller under utsändning av heliumkärnor. I atomkärnan är en α partikel starkt bunden av kärnkraften, som har en mycket kort räckvidd. Utanför kärnan dominerar den elektrostatiska Coulomb kraften, som har en lång räckvidd. Nettoresultatet är en potentialbarriär, som visas i fig. 13.41 som funktion av avståndet från kärnans medelpunkt. Klassiskt skulle man förvänta sig, att en α partikel, vars energi E är lägre än barriärhöjden, skulle vara bunden för evigt i kärnan. Enligt kvantmekaniken finns det en viss sannolikhet för att en α partikel skall ta sig ut ur kärnan på grund av tunneleffekten och försvinna. α sönderfallet är därför en slumpmässig process, som styrs av sannolikheten för genomträngning av barriären. Ett annat exempel på tunneleffekt är den s.k. kallfusionen, som troddes vara upptäckt för 10 år sedan men som numera mycket få tror på. Kärnfusion innebär att två positivt laddade deuteriumkärnor kommer varandra så nära, att den starka kärnkraften övervinner Coulomb repulsionen och binder dem samman till en 3 He eller en 3 H kärna. Fusionen sker genom någondera av reaktionerna 2 1 H + 2 1 H 3 2 He + 1 0 n eller 2 1 H + 2 1 H 3 1 H + 1 1 H. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 3

Protonerna och neutronerna i 3 2 He och 3 1H kärnorna är starkare bundna efter fusionen, och systemets energi är därför lägre. Överskottsenergin, som medförs av partiklarna som kinetisk energi, är ansenlig, som tidigare noterats (s. 220). Potentialenergin, som avbildats i fig. 13.42, påminner om α sönderfallets. I detta fall börjar processen utanför (till höger om) barriären. Klassiskt förhindrar barriären fusion av deuteriumkärnorna, men kvantmekaniskt finns det en chans att det kan ske genom tunneleffekten. De två deuteriumkärnorna i en D 2 molekyl har avståndet 0.074 nm från varandra, och sannolikheten för fusion genom tunneleffekten är ca 10 70 s 1 vid rumstemperatur. Detta är en ytterst liten sannolikhet. Om vi tänker oss, att alla deuteriumatomer i havet skulle förvandlas till deuteriummolekyler, så är det osannolikt, att fusion någonsin skulle ha inträffat under jordens historia. Om man däremot på något sätt kunde packa deuteriumkärnorna tätare, så att avståndet mellan dem skulle minska till hälften, så skulle fusionssannolikheten öka till 10 23 s 1 vid rumstemperatur. I sådant fall skulle fusion kunna ske så ofta, att reaktionen kunde observeras. Emellertid har man ännu inte kunnat visa detta med säkerhet. c) Potentialbrunnen med ändligt höga kanter. Den ändliga potentialbrunnen är en region, där potentialfunktionen är noll, som begränsas av två potentialsteg. Den kan behandlas på liknande sätt som tidigare så att man konstruerar vågfunktionerna inom de tre regioner, som begränsar brunnen, och tilllämpa kontinuitetsvillkoren. Resultatet skiljer sig på följande sätt från de tidigare beräkningarna: Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 4

1) Emedan brunnen inte är oändligt djup kan den endast innehålla ett ändligt antal kvantiserade energinivåer (se fig. 13.43 och figuren nedan) som beror på brunnens bredd och djup. 2) Då potentialstegen inte är oändligt mycket högre än partikelns energi, så är egenfunktionerna inte exakt inneslutna i brunnen, utan kan i någon mån intränga i väggarna (se fig. 13.43). Dessutom växer inträngningsdjupet med energin för det bundna tillståndet. d) Den enkla harmoniska oscillatorn. Till slut skall vi studera den enkla harmoniska oscillatorn, ett system som redan studerades av Planck. Egenvärdena och egenfunktionerna, som illustreras i fig. 13.44 (se nedan), kommer att beräknas i nästa avsnitt. Energierna är kvantiserade, som man väntar sig av en bunden potential (som har diskreta egenvärden), och uttrycks genom formeln E n = ( ( n + 2) 1 hf = n + 1 2) ω, n = 0, 1, 2,.... Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 5

Skillnaden i energi mellan närliggande nivåer är således hf, vilket stämmer överens med Plancks formel (E = nhf), men observera, att nollpunktsenergin är E 0 = 1 2hf istället för 0 som i Plancks modell, som var halvklassisk. Som vi har konstaterat, är detta en följd av osäkerhetsprincipen. T.o.m. vid 0 K oscillerar alltså atomerna och elektronerna i fasta kroppar. Egenfunktionerna påminner om dem vi fick då vi studerade potentialbrunnarna. De är också stående vågor, som i likhet med egenfunktionerna för den ändliga potentialbrunnen kan tränga in i potentialfunktionens väggar. Antalet noder för en given egenfunktion innanför potentialbrunnen är n, varför grundtillståndet saknar nod. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 6

1.16. Den enkla harmoniska oscillatorn Den klassiska hamiltonfunktionen för en enkel harmonisk oscillator med den reducerade massan m och fjäderkonstanten (kraftkonstanten) k är H(p, x) = p2 2m + 1 2 kx2, och den tidsoberoende Schrödinger ekvationen för systemet kan därför skrivas Liksom förut skall vi lösa ekvationen med en ansats: 2 d 2 ψ 2m dx + 1 2 2 kx2 ψ = Eψ. ψ = Ae βx2, som har derivatorna dψ dx = 2βxAeβx2 och d2 ψ dx 2 = 4β2 x 2 Ae βx2 +2βAe βx2 = 2β(1+2βx 2 )Ae βx2. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 7

Substitution i Schrödinger ekvationen leder då till 2 2m 2β(1 + 2βx2 ) + 1 2 kx2 = E, efter division med Ae βx2. Denna ekvation kan också skrivas i formen ( E + 2 β m ) + ( 2 2 β 2 m 1 2 k ) x 2 = 0. Eftersom ekvationen måste gälla för alla värden av x, så måste parentesuttrycken var för sig försvinna. Av villkoret 2 2 β 2 m 1 2 k = 0 följer då, att β2 = mk 4 2, dvs β = ± mk 2. Eftersom egenfunktionerna bör vara ändliga överallt, så måste den positiva roten förkastas, och härav följer att en lösning till Schrödinger ekvationen är ψ = Ae mk 2 x2. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 8

Energivillkoret E + 2 β m = 0 leder då till följande uttryck för den motsvarande energin E = E 0 = 2 β m = 2 m ( ) mk, 2 eller alltså E 0 = 1 2 k m = 1 2 ω, där ω = k/m är oscillatorns klassiska vinkelfrekvens. Det visar sig inte vara möjligt att finna en sådan lösning till den harmoniska oscillatorns Schrödinger ekvation, som skulle ha en lägre energi än E 0. Den lösning som vi har funnit, representerar därför systemets grundtillstånd, och E 0 är den motsvarande energin. Värdet av konstanten A kan beräknas ur normeringsvillkoret ψ (x)ψ(x)dx = 1 Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 9

med substitutionen u = ( mk 2 ) 1/4 x: 1 = A 2 ( ) e mk x 2 dx = A 2 2 1/4 e u2 du = 1. mk Integralen e u2 du har värdet ( mk ) 1/4. π, varför A = π Den normerade grundtillståndsfunktionen är alltså ( ) 1/4 mk ψ 0 = e mk 2 x2. π Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 10

Vi skall använda oss av detta resultat för att beräkna väntevärdet av x 2 i harmoniska oscillatorns grundtillstånd: x 2 = = ψ x 2 ψdx ( ) 1/2 mk π x 2 e mk x 2 dx ( ) 1/2 ( ) 3/2 mk mk = u 2 e u2 du, π ( mk ) 1/2 där vi gjort substitutionen u = x. Integralen blir 1 2 π, och vi får således x 2 = 1 2 mk. Väntevärdet för den potentiella energin är således U = 1 2 kx2 = 1 k 4 m = 1 4 ω = 1 2 E 0, och väntevärdet för den kinetiska energin är alltså också 1 2 E 0. Den totala energin fördelas alltså alltså lika mellan kinetisk och potentiell energi, vilket stämmer med den klassiska mekaniken. De högre energitillstånden skall vi inte studera här. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 11

1.17. Om kvantmekanikens tolkning Som vi tidigare sett, begränsar osäkerhetsprincipen våra möjligheter att bestämma samtidigt en partikels position och rörelsemängd. Enligt Bohr var detta en naturlag. Som en förklaring till vågpartikeldualiteten framlade han 1927 sin komplementaritetsprincip, enligt vilken våg- och partikelegenskaperna är komplementära, dvs varandra uteslutande. Enligt Bohr var det experimentets natur som bestämde om t.ex. en elektron betedde sig som en partikel eller en våg. Om rörelsemängden för en partikel kunde mätas exakt, så måste dess position vara osäker. I Köpenhamnstolkningen, som denna beskrivning började kallas, var alltså en partikels position och rörelsemängd komplementära storheter. Men det fanns dock de som frågade sig, om inte en partikel ändå kunde ha en bestämd position och rörelsemängd, fast de inte samtidigt kan mätas. Einstein ville inte godta kvantmekanikens sannolikhetstolkning. Han sade upprepade gånger att han var övertygad om att Gud inte spelade tärning. Tillsammans med Podolsky och Rosen konstruerade han 1935 följande tankeexperiment (EPR, A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen: Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?, Phys. Rev. 47, 777-780) för att belysa sin syn på kvantmekaniken. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 12

Antag, att två partiklar A och B växelverkar med varandra under en viss tid, och sedan rör sig åt olika håll utan att längre påverka varandra. Populärt kan EPR-experimentet förklaras på följande sätt. Enligt osäkerhetsprincipen kan vi mäta partiklarnas kombinerade rörelsemängd exakt då de kolliderar, och senare rörelsemängden för A och positionen för B. Rörelsemängden för B skulle man sedan kunna bestämma på grund av att den totala rörelsemängden bevaras, och sålunda skulle man känna både positionen och rörelsemängden för B exakt. Den kvantmekaniska osäkerheten skulle då kunna bevaras endast om A skulle störas genom mätningen av B:s position, vilket skulle leda till att B:s rörelsemängd inte skulle kunna bestämmas exakt. Frågan är hur denna störning i såfall skulle överföras från B till A? (sådana tillstånd som A och B befinner sig i har senare kallats sammanflätade tillstånd). Vi kan tänka oss två möjligheter för detta: a) Partikeln B kan påverka partikeln A omedelbart på avstånd, vilket förutsätter kommunikation med en hastighet som överskrider ljusets (detta kallades av Einstein för spöklik fjärrverkan (spukhafte Fernwirkungen). b) Informationen kanske överförs på ett sätt som kvantmekaniken inte ger besked om. Einstein föredrog den senare mekanismen. Han ansåg därför kvantmekaniken vara en ofullständig teori. Kanske finns det dolda variabler, som vi inte känner till? Bohr ansåg däremot i sitt svar att man inte kan studera en del av ett system, utan att man måste betrakta det sammanflätade systemet som en helhet, fastän avståndet mellan de enskilda partiklarna kan vara stort. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 13

Schrödinger skrev också samma år en artikel ( Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik, die Naturwissenschaften 23, 807-812, 823-828, 844-849), där han redogjorde för sin syn på den kvantmekaniska mätteorin. 1964 beskrev John Bell matematiskt hur sådana variabler skulle kunna användas för att göra teorin fullständigare, och utvecklade en olikhetsprincip, med vars hjälp man skulle kunna undersöka deras existens. Enligt Bell borde det vara experimentellt möjligt att skilja mellan den kvantmekaniska sammanflätningsteorin och teorier som innehåller dolda variabler. På 1980 talet gjordes experiment av Aspect och andra som baserade sig på Bell s idéer för att utforska, hur kvantmekaniken fungerar. De moderna experimenten har visat, att mekanismen a) är sannolikast. Man brukar också numera säga, att kvantmekaniken är en icke-lokal teori (syftar på att påverkan sker omedelbart). Detta innebär, att alla partiklar i själva verket tillhör samma system, eftersom de kan påverka varandra på avstånd, och det verkar sålunda inte att existera dolda variabler. Experiment som gjorts under de senaste åren visar att sammanflätning av fotoner i optiska fibrer kan observeras på över 10 km avstånd. De sammanflätade kvanttillstånden kan också tänkas få praktiska tillämpningar t.ex. vid kommunikation på långa avstånd, och vid beräkningar (kvantkryptografi och kvantdatorer). T.o.m. teleportering av partikeltillstånd kan tänkas vara möjlig. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 14

Kapitel 2. Atomfysiken Vi skall nu övergå till att studera atomerna, och visa hur kunskapen om atomernas struktur gradvis ökats genom användning av kvantmekanik. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 15

2.1. Atommodeller Då en elektrisk ström passerar genom en gas, kommer atomerna där att joniseras. De elektriskt neutrala atomerna delar upp sig på negativt laddade elektroner och positivt laddade joner. Det är därför lätt att föreställa sig, att atomerna innehåller elektroner. Vi vet också att elektronens massa är betydligt mindre än atomens. Därför är det sannolikt, att atomens positiva laddning står för största delen av massan. Detta visste man om atomen redan vid början av 1900 talet. Frågan var, hur massan och laddningen var fördelad i atomen. J.J. Thomson i Cambridge föreställde sig sålunda, att atomen bestod av en jämnt fördelad positiv laddning uppblandad med elektroner, som russin i en pudding. Problemet löstes genom genom experiment, som utfördes av Ernest Rutherford i Manchester år 1910 tillsammans med Hans Geiger och Ernest Marsden. De bombarderade tunna guld och silverfolier med α partiklar. De mätte sedan spridningsvinklarna, under vilka α partiklarna avlänkades på grund av Coulomb växelverkan med laddningarna i atomerna, och använde dem för att bestämma laddningsfördelningen i atomen. Om Thomsons plumpuddingmodell skulle stämma, så borde α partiklarna avlänkas endast obetydligt, då de passerade genom atomen. Rutherfords experiment visade emellertid, att fastän de flesta α partiklarna passerade igenom atomen utan att spridas, så var det några (ungefär 1 på 10000) som spreds mer än 90. Många av dem avlänkades t.o.m. 180. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 16

Sannolikheten för att detta skulle inträffa, om laddningarna var jämnt fördelade, uppskattades till 1 på 10 3500. Rutherford uttryckte saken så, att det var som om du skulle ha avfyrat en kula mot en bit toalettpapper, och den skulle ha studsat tillbaka och träffat dig. Vad Rutherfords experiment visade, är att den positiva laddningen i atomen och nästan hela massan är koncentrerad i en mycket liten volym i centrum av atomen, och att största delen av atomen består av tomrum. Radien av denna kärna kunde beräknas på basen av de observerade spridningsvinklarna, och visade sig vara av storleksordningen 10 14 m, mer än 10000 gånger mindre än atomens radie. Vi får alltså en bild av atomen, där en tung, positivt laddad kärna omges av en mycket större volym, som innehåller elektronerna. Frågan var nu, varför drar inte kärnan till sig alla elektronerna? Man resonerade, att detta inte skedde, därför att elektronerna rörde sig runt kärnan, såsom planeterna kring solen. Denna planetmodell tillämpad på den enklaste atomen, väteatomen, visar en elektron med laddningen e, som rör sig runt en kärna med laddningen +e (en proton) på avståndet r. Om vi för enkelhetens skull antar, att elektronen rör sig i en cirkelbana kring kärnan, så kan man sätta centripetalkraften lika med den e attraktiva Coulomb kraften och får då 2 4πɛ 0 r 2 = mv2 r, som kan skrivas som mv2 = e2 4πɛ 0 r. Elektronens totala energi är E = 1 2 mv2 andra fås E = e2 8πɛ 0 r e2 4πɛ 0 r e2 4πɛ 0 r, och om vi substituerar mv2 från den första ekvationen i den = e2 8πɛ 0 r. Alternativt kan vi också uttrycka E med hastigheten v : E = 1 2 mv2. Som man väntar sig för ett bundet system, är den totala energin negativ. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 17

Även om planetmodellen verkar mycket tilltalande, så fungerar den inte, när man tar elektromagnetismen i beaktande. Som vi vet, alstrar en accelererande laddning elektromagnetisk strålning (sekt. 18.2). I planetmodellen utsätts elektronerna hela tiden för centripetalaccelerationen och förväntas därför förlora energi i form av elektromagnetisk strålning. Elektronens totala energi, som avbildas i fig. 19.4, visar att då elektronen förlorar energi, måste dess banradie minska, och leda till att den störtar in i kärnan. Mätningar av jonisationsenergin ger inte heller resultat som stämmer överens med planetmodellen. Jonisationsenergin är den energi, som krävs för att helt frigöra en elektron från en atom. Det är en positiv energi, som tar ut den negativa bindningsenergin, och således frigör elektronen. Samma grundämnes atomer har visat sig alltid ha lika stor jonisationsenergi. Detta resultat var oväntat, emedan energin som behövs för att frigöra en elektron från en atom kan anta vilket värde som helst, om r kan ha ett godtyckligt värde. Därav följer, att elektronerna i en atom endast kan röra sig i bestämda banor. Att elektronernas banradier och bindningsenergier har fixerade värden, påminner om kvantiseringen av energin i ett bundet system. Innan vi går över till att tillämpa kvantmekanik på detta system, skall vi visa hur den klassiska planetmodellen kan modifieras, så att man kringgår problemen med den. Den slutliga modellen, Bohrs atommodell, kallas semiklassisk, eftersom kvanthypotesen har kombinerats med den på ett något godtyckligt sätt, så att teorin ger de rätta svaren. På grund av att denna modell är så enkel att arbeta med, skall vi använda den till att börja med. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 18

2.2. Vätets spektrum, Rydbergs formel Då en elektrisk ström passerar genom en gas, så kommer atomerna att absorbera energi genom kollisioner med elektroner och joner, och sänder sedan ut energin som ljus, dvs elektromagnetisk strålning. Det utsända ljuset kan delas upp på komponenter med en gitterspektrometer eller en prismaspektrometer. Detta atomspektrum innehåller diskreta linjer, som är karaktäristiska för en särskild atomtyp. Spektret kan också användas för att identifiera de undersökta atomerna (spektroskopi). Denna teknik är speciellt lämplig då man inte kan komma över prov på det undersökta ämnet, såsom t.ex. i astrofysikaliska studier. Väteatomens spektrum är speciellt enkelt (se nedan). Märk att endast de tre eller fyra linjer som har den längsta våglängden, kan observeras med ögat. Därför detekteras de ofta med hjälp av fotografisk film. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 19

Spektrets linjer uppvisar tydliga regelbundenheter. Linjerna bildar serier, där avståndet mellan på varandra följande linjer avtar med avtagande våglängd, tills en punkt nås (seriegränsen), där ljusemissionen blir kontinuerlig. En empirisk formel för de synliga linjerna upptäcktes av Johann Balmer år 1885, och serien kallas Balmer serien efter honom. Rydbergs formel (uppkallad efter den svenska fysikern Johannes Rydberg (1854-1919)), som är allmännare, upptäcktes 20 år före planetmodellen. Tillämpad på Balmer-serien ser den ut så här: 1 λ = f [ 1 c = R H 4 1 ]. n 2 Här är R H är en konstant, som kallas Rydbergs konstant för väte. Dess värde är noggrant bestämt: 10967757.6±1.2 m 1. Heltalet n i formeln antar värdet 3, 4,... för Balmer-serien. Om t.ex. n = 3, så får vi λ = 656.47 nm, som är våglängden för den röda linjen i Balmerserien. Värdet n = 4 ger λ = 486.27 nm, som är den blågröna linjen i Balmerserien, osv. Seriegränsen svarar mot n =, dess värde är λ = 364.71 nm (ligger i ultraviolett). Observera, att formeln ger linjerna mätta i vakuum. För att konvertera en vakuumvåglängd λ vak till en våglängd, mätt i luft λ luft, används formeln λ vak = nλ luft, där n är luftens brytningsindex (1.000292). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 20

2.3. Bohrs postulat Den danska fysikern Niels Bohr (1885-1962) försökte förklara Rydbergs formel genom att förbättra planetmodellen. Han visade att detta lyckas, om man utgår från följande postulat (Bohrs postulat, Phil. Mag. 26, 1 (1913)): Postulat 1: Istället för ett oändligt antal banor, som är klassiskt möjliga, antar vi att elektronen i en väteatom endast kan röra sig i banor, vilkas rörelsemängdsmoment L uppfyller villkoret där h betecknar Plancks konstant. L = mvr = nh 2π = n, n = 1, 2, 3,... Observera, att om vi skriver postulat 1 med hjälp av elektronens rörelsemängd p fås L = pr = nh 2π, och om vi substituerar p = h/λ (de Broglies hypotes) fås L = pr = h λ r = nh 2π, som kan förenklas till nλ = 2πr. Detta postulat kan därför tolkas så, att omkretsen av en tillåten Bohr bana måste svara mot ett heltaligt antal de Broglie våglängder. Detta innebär, att en elektronbana är endast tillåten om en stående de Broglie våg kan bildas på dess periferi. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 21

Man kan också förklara varför elektronerna inte kan befinna sig i en bana som inte uppfyller detta postulat: om det inte ryms ett heltaligt antal vågor på omkretsen av banan, så blir intensiteten noll, eftersom det då inträffar destruktiv interferens. Postulat 2: Elektroner i tillåtna banor producerar ingen elektromagnetisk strålning. Postulat 3: Elektronerna kan hoppa från en tillåten bana till en annan tillåten bana. Då detta sker, utsänds elektromagnetisk strålning med en bestämd frekvens f, som uppfyller villkoret hf = E i E f, där E i är elektronens energi i den ursprungliga, och E f dess energi i den slutliga banan. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 22