Matematik Gymnasieskolan Modul: Högskoleförberedande matematikundervisning Del 3: Att utveckla elevers begreppsförmåga Att utveckla elevers begreppsförmåga Kerstin Pettersson, Stockholms universitet och Gerd Brandell, Lunds universitet Matematiska begrepp är viktiga byggstenar i matematiken. Gymnasieskolans matematikkurser innehåller en mängd begrepp, både sådana som eleverna mött tidigare som funktionsbegreppet, men också helt nya begrepp som derivata och integral. Enligt ämnesplanen för matematik i gymnasieskolan är ett av målen att undervisningen ska ge eleverna förutsättningar att utveckla förmågan att använda och beskriva matematiska begrepp samt samband mellan begrepp. I kommentarerna till ämnesplanen beskrivs ytterligare vad som avses med begreppsförmåga. Av den beskrivningen framgår att begreppsförmåga innefattar att kunna redogöra för definitioner och egenskaper hos begrepp. I kommentarerna påpekas också att ett begrepps innebörd framför allt ges genom hur begreppet används i olika sammanhang inom matematiken och i tillämpningar. Dessutom innebär begreppsförmåga att kunna använda begrepp och veta varför begreppen är viktiga, i vilka situationer de är användbara och hur olika representationer kan vara användbara för olika syften (Skolverket, 2015). Begrepp kan representeras på olika sätt, genom ord, bilder och symboler. Varje begrepp behöver en benämning, men att utveckla sin begreppsförmåga innebär mycket mer än att utveckla sitt ordförråd. Det är en utmaning att utforma undervisningen så att eleverna utvecklar allsidiga kunskaper kring begrepp både för att effektivt kunna använda sig av dem vid problemlösning och för att utveckla förståelse för matematiska strukturer och samband. Undervisningen kan inte enbart fokusera på begreppets användning i typuppgifter utan måste också innefatta beskrivningar och olika representationer av begreppet, samband med andra begrepp och teori om hur begreppet kan förstås i olika matematiska sammanhang. Tröskelbegrepp Gymnasieskolans matematikkurser innehåller många begrepp, men vissa av begreppen blir mer avgörande för elevernas matematiska utveckling än andra begrepp. Eleverna behöver behärska dessa begrepp för att kunna tillgodogöra sig den matematik som behandlas. Meyer och Land (2005) har introducerat benämningen tröskelbegrepp (på engelska threshold concept) för sådana begrepp. Tröskelbegrepp är för de flesta elever svåra att lära men när man har tillgodogjort sig kunskaper om ett sådant begrepp så öppnar sig helt nya möjligheter att lära sig mer matematik. Derivata är ett exempel på ett tröskelbegrepp, som bland annat gör det möjligt att förstå funktioners egenskaper. Potentialen hos ett tröskelbegrepp består inte enbart av själva begreppets möjligheter, utan också av att kunskaper om ett tröskelbegrepp öppnar upp för vidare lärande av hela det matematiska område där begreppet ingår. Det ger nya möjligheter och en ny syn på området. Man kan använda liknelsen med att ta sig igenom en portal. När portalen http://larportalen.skolverket.se 1 (8)
passerats öppnas en ny vy över det matematiska område där begreppet har en avgörande roll. Man kan också bildligt säga att inhämta kunskaper om ett tröskelbegrepp är som att ta sig över en tröskel, det krävs en ansträngning att ta sig över tröskeln. Tröskelbegreppen är svåra att lära eftersom de kan verka oförenliga med tidigare kunskaper eller att en tidigare intuitiv uppfattning inte längre fungerar. Detta innebär att elever ibland uppvisar ett motstånd mot att förändra sin tidigare uppfattning eller att de väljer att enbart tillämpa ett praxisorienterat förhållningssätt till begreppet. Men eftersom tröskelbegrepp har en potential att förändra elevers syn på ett helt ämnesområde och ofta är kopplade till varandra och till många av områdets övriga begrepp, så är det av stor vikt att undervisningen ger eleverna stöd i att utveckla förståelse för dessa begrepp och deras innebörd. Tröskelbegrepp karaktäriseras av att de är svåra att lära, transformativa, integrativa och irreversibla. Att de är svåra att lära innebär att det krävs en ansträngning för att tillgodogöra sig kunskaper om tröskelbegreppet. Att de är transformativa handlar om att kunskaper om ett tröskelbegrepp ger ett förändrat synsätt på ett matematiskt område, elevens uppfattning om området transformeras. Transformationen tar ofta lång tid, det kan handla om flera månader, sällan är det en plötslig insikt. Att tröskelbegrepp är integrativa innebär att kunskaper om tröskelbegreppet synliggör tidigare dolda samband mellan begrepp inom området och tidigare fragmentariska kunskaper kopplas ihop med varandra, man kan säga att saker faller på plats. Tröskelbegrepp är irreversibla i meningen att när det nya synsättet antagits är det svårt att gå tillbaka till det ursprungliga synsättet. Tröskelbegreppen tenderar att uppfattas som självklara när tröskeln väl har passerats. För undervisning om tröskelbegrepp innebär detta att vi måste räkna med att det tar tid för eleverna att tillgodogöra sig kunskaper om begreppet men också att det är väl använd tid. Som lärare måste vi också aktivt tänka på hur elever som inte passerat tröskeln kan uppfatta begreppet. Elevers utveckling av kunskaper om ett tröskelbegrepp inkluderar en språklig utveckling mot ett mer ämnesspecifikt sätt att tala om begreppen inklusive formella uttryck och symbolspråk. Ett sätt att i undervisningen arbeta med att stötta eleverna i att passera tröskeln är därför att inkludera aktiviteter som utvecklar elevernas ämnesspecifika språk i samband med begreppet. När en elev bygger upp sina kunskaper om ett tröskelbegrepp kan det innebära en förändring av elevens självuppfattning. Eleven kan komma att uppfatta sig som en mer matematisk person och utveckla en större säkerhet samt ett självförtroende avseende sin förmåga att behärska begreppet och området ifråga. Tröskelbegreppet funktion Ett tröskelbegrepp som används frekvent i matematikkurserna i gymnasieskolan är funktion. Funktionsbegreppet är svårt att lära, transformativt, integrativt och irreversibelt. Att gå från en tidig uppfattning av funktion till att uppfatta funktioner som matematiska objekt kan vara en svår process och kan därför ta lång tid. Med begreppet funktion får eleven tillgång till ett kraftfullt redskap som kan användas tillsammans med flera andra begrepp. Väl utvecklade kunskaper om funktionsbegreppet innebär att elever kan koppla ihop tidigare fragmentariska kunskaper, vilket också medför att dessa kunskaper stannar kvar. http://larportalen.skolverket.se 2 (8)
Inom den formella matematiken införs begrepp via formella definitioner. För att beskriva ett begrepp och stödja fortsatt tolkning av begreppets innebörd används ofta en begreppsdefinition i undervisningen. Den definitionen är då avpassad till sammanhanget och elevernas kunskaper. Följande är ett exempel på en formulering av funktionsdefinitionen enligt kurslitteratur som används vid högskolor. Definition. En funktion är en regel som till varje tal i en given definitionsmängd ordnar precis ett tal i en given målmängd. Elever bygger upp sina kunskaper till viss del genom att tolka begreppsdefinitioner, men till stor del skapar de sina tolkningar av ett begrepp genom de representationer, beskrivningar och exempel som de möter i undervisningen. Tolkningarna utvecklas ytterligare då eleverna löser uppgifter och använder begreppet i problemlösning. Exempelvis kan en elev tänkas associera begreppet funktion med beteckningen f(x), värdetabeller, koordinatsystem, grafer, andragradspolynom och parabler. Men begreppsdefinitionerna ingår i det ämnesspecifika sättet att tala om begrepp och fyller därför en viktig funktion i utvecklingen av elevernas begreppsförståelse. Begreppet funktion grundläggs tidigt i grundskolan, när elever beskriver mönster med talföljder och arbetar med proportionalitet. Funktioner illustreras ibland med funktionsmaskiner. Då blir det tydligt att varje inmatat objekt, nästan alltid ett tal i de exempel som används i skolan, ger ett utmatat objekt, vilket även det oftast är ett tal. Däremot blir den för funktioner specifika egenskapen, att varje inmatat objekt ger precis ett objekt som resultat, inte lika tydlig. Inte heller brukar de mängder där de inmatade objekten väljs, definitionsmängden, respektive den som de utmatade objekten tillhör, målmängden, specificeras. I kurs 1 i gymnasieskolan ingår ett mer allmänt funktionsbegrepp, men i kurserna 3, 4 och 5 används nästan uteslutande mängder av reella tal som definitionsmängder och målmängder. I och med att målmängden nästan alltid är de reella talen, används inte begreppet målmängd i gymnasiekurserna. Däremot definieras begreppet värdemängd (mängden av alla funktionsvärden). I nästa avsnitt beskrivs tröskelbegreppet derivata och flera aspekter av det begreppet som undervisningen behöver relatera till. Tröskelbegreppet derivata Derivata är ett centralt begrepp i differential- och integralkalkylen. Tillsammans med begreppen gränsvärde, kontinuitet och integral lägger derivata grunden för teorin. Derivata handlar om beskrivning av förändring, om differenser och linjär approximation. Begreppet integral handlar om summering. Både derivata och integral definieras med hjälp av gränsvärden och begreppen knyts samman av integralkalkylens huvudsats. Av dessa begrepp är derivatan det som får störst utrymme i gymnasieskolans kurser. Det ingår som centralt begrepp i matematik 3, återkommer med tillämpningar i kurserna 3 och 4 och ingår i begreppet differentialekvation med dess tillämpningar i kurserna 4 och 5. Det finns därför anledning att lägga särskild vikt vid utvecklingen av elevernas förmågor i samband med http://larportalen.skolverket.se 3 (8)
derivata. Vid fortsatta högskolestudier återkommer derivatan i samband med studiet av storheters förändring inom många områden. I högskolans grundutbildning i matematik ingår alltid differential- och integralkalkyl. En modell för begreppsutveckling som förekommer i forskningslitteraturen är att elever utvecklar begreppsförståelse från process till objekt. Exempelvis kan en elev först uppfatta addition som en process att addera och längre fram uppfatta summa som ett objekt. En funktion kan först uppfattas som en process beräkning av funktionsvärden och senare som ett objekt med vissa egenskaper. För derivatan är utvecklingen från processen att derivera till ett objekt komplicerad. Det finns flera orsaker. En är att objektet derivata inte är ett enda objekt. Derivatan kan uppfattas som ett lokalt objekt som beskriver en punktvis egenskap hos ursprungsfunktionen att ha en tangent med viss lutning eller att kunna approximeras linjärt. Derivatan kan också uppfattas som ett globalt objekt, som en funktion som är knuten till den ursprungliga funktionen som ett mått på funktionens förändringshastighet. Den kan också vara ett objekt som är en obekant i en ekvation en differentialekvation där derivatans uppförande knyts till den första funktionens. Sambandet mellan dessa olika objekt och deras egenskaper är inte lätt synlig för eleverna. Ytterligare en orsak till att sambandet mellan processen och objektet/objekten är komplicerad för derivata beror på att derivata definieras som ett gränsvärde. Det finns många forskningsstudier som visar att gränsvärdesbegreppet är svårt även för studenter vid högskolan (exempelvis Juter, 2009), både begreppsmässigt och att hantera i problemlösning. Ett hinder är att kunna gå från att uppfatta gränsvärde som en process gränsvärde är något dynamiskt till att uppfatta gränsvärde som ett objekt gränsvärde är ett tal med vissa egenskaper. Många missuppfattningar uppstår som också hämmar förmågan att lösa problem med hjälp av gränsvärden. I gymnasieskolan presenteras gränsvärdesbegreppet i kurs 3 endast orienterande, av utrymmesskäl i kurserna men även för att gränsvärde är ett begrepp som är svårt speciellt om den formella epsilon-delta-definitionen används. Därmed kommer den formella definitionen av derivata som gränsvärde inte att vara tillgänglig på gymnasienivån. Eftersom man bara kan förutsätta ett intuitivt gränsvärdesbegrepp i gymnasiekurserna, uppstår problem vid undervisningen om derivata. Dessa problem leder lätt till att uppgifter om derivata stannar på en teknisk nivå. Om inte undervisningen motverkar detta riskerar elevernas arbete att bli starkt praxisorienterat med svagt utvecklad logos. Det begränsar möjligheten att uppnå en sammanhangsbunden förståelse för matematikens strukturer. Eleverna behöver därför utveckla sin förståelse av derivata utifrån mer intuitiva föreställningar av gränsvärde. En rad forskningsstudier från olika länder visar att undervisning som utvecklar elevernas tänkande om det inneboende gränsvärdet i derivatan kan ge goda resultat. http://larportalen.skolverket.se 4 (8)
Derivatans inneboende gränsvärde tar sig olika uttryck, ofta som dynamiska förlopp: derivatan uppfattas som gränsvärde av en differenskvot (detta är den formella definitionen) tangenten uppfattas som ett gränsläge för en sekant som går genom en fix och en näraliggande rörlig punkt som närmar sig den fixa en funktionsgraf är lokalt rätlinjig, det vill säga grafen ser i stark förstoring ut som en rät linje och det stämmer bättre och bättre ju större förstoring är inom kinematiken uppfattas momentan hastighet som gränsvärde av medelhastigheten över allt kortare tidsintervall punktvis ändringshastighet för en funktion uppfattas som gränsvärde av ändringshastighet över allt kortare intervall den linjära approximationen ger allt bättre anpassning till funktionen ju mindre intervall man betraktar. Resultaten från undervisning som utvecklar elevernas tänkande om det inneboende gränsvärdet i derivatan har mätts både med tester och intervjuer i anslutning till undervisningsförloppet och med tester efter längre tid. Exempelvis redovisar Markus Hähkiöniemi (2006) i sin doktorsavhandling en studie från ett finskt gymnasium. Studien är en designstudie för 5 timmars undervisning som introducerar derivata. Syftet är att stärka begreppsuppfattningen. Metoden är att ge eleverna uppgifter, som låter dem arbeta med funktionsgrafer och andra representationer av funktioner och deras förändring, innan derivata införs. I avhandlingen finns referenser till många liknande studier från andra länder. Tolkningarna ovan av derivatans inneboende gränsvärde har olika kvaliteter, man kan säga att de befinner sig i olika världar. Enligt David Tall kan man röra sig i tre olika världar när man tänker och kommunicerar om matematik. I den första världen, som bygger på sinnesintryck, representeras matematiken av visualiseringar och kommuniceras förutom med språk även med gester och handlingar. Samband motiveras med att man ser att det stämmer. Tall använder benämningen embodied (förkroppsligad) för den första världen. I den andra världen, den symboliska, använder man matematiska symboler och språk. Samband motiveras med manipulationer av symboler enligt bestämda regler. I den tredje världen, den formellt-axiomatiska, byggs matematiken upp som en logiskt sammanhängande teori. De matematiska begreppen definieras utifrån sina egenskaper. Samband motiveras utifrån axiom, definitioner och satser. Resultatet av Talls mångåriga arbete tillsammans med andra forskare om bland annat de tre världarna beskriver han i boken How humans learn to think mathematically (Tall, 2013). Gymnasieskolans matematik rör sig i Talls två första världar. I figur 1 visas några bildliga och symboliska representationer för derivatans inneboende gränsvärde i den första och andra världen. Om eleverna lyckas knyta samman uttryck för derivatans inneboende gränsvärde i den första världen med representationer och regler i den andra världen, skapas en grund för en välutvecklad begreppsuppfattning. http://larportalen.skolverket.se 5 (8)
Figur 1. Några uttryck för derivatans inneboende gränsvärde i Talls första och andra värld, den förkroppsligade och den symboliska. Formlerna kan även ges mening i Talls tredje värld, den formella. I gymnasieskolans undervisning dyker derivatan upp i flera olika sammanhang i kurserna 3, 4 och 5. Man undersöker funktioners lokala egenskaper i samband med definitionen. Man härleder eller motiverar deriveringsregler. Man analyserar funktioners globala egenskaper. Man studerar vilka samband som finns mellan en funktion och dess derivata. Man modellerar situationer där förlopp beskrivs med funktioner. Man studerar den omvända processen, att integrera och söka primitiv funktion. Om läraren utnyttjar möjligheten att i varje nytt sammanhang lyfta fram det inneboende gränsvärdet hos derivatan på ett relevant sätt, kan det hjälpa eleverna att stärka sin begreppsuppfattning och knyta samman representationer av derivatan i Talls första och andra värld, den förkroppsligade och den symboliska. För undervisning i relation till tröskelbegrepp generellt blir det extra viktigt att eleverna får mycket stöd i att knyta samman de olika världarna. I nästa avsnitt beskrivs hur elever när de arbetar med att lära ett tröskelbegrepp passerar en instabil fas där det stöd som undervisningen ger kan bli avgörande för elevens kunskapsutveckling. Liminal space I processen med att erövra ett tröskelbegrepp passerar eleven en fas där kunskapen är instabil. Eleven har allt klart för sig ena stunden, för att i nästa sekund ha tappat bort tankebanan. Denna fas har av Meyer och Land (2005) benämnts liminal space. Det finns en risk att eleven inte lyckas övervinna de svårigheter som det innebär att tillägna sig kunskaper om ett tröskelbegrepp och därmed fastnar i denna fas. Forskning visar att elever som alltför länge befinner sig i denna fas kan skapa sätt att klara sig utan att ta sig över tröskeln. Eleverna lär sig till exempel utantill eller lär sig endast vissa procedurer som http://larportalen.skolverket.se 6 (8)
förknippas med begreppet. Eftersom dessa sätt att agera inte är vidarutvecklingsbara kan det leda till att eleven får problem senare i sin kunskapsutveckling. Att tröskelbegrepp är transformativa och integrativa visar att elevers kunskaper om tröskelbegrepp kan få effekter på elevernas kunskaper inom hela det matematiska område där begreppet finns. Att i undervisningen lägga tid och kraft på tröskelbegreppen kan ge resultat. Att i undervisningen lägga tid och kraft på tröskelbegreppen ger resultat. Forskning visar att transformationen tar lång tid och att eleverna behöver mycket stöd för att ta sig förbi liminal space (Pettersson, Stadler & Tambour, 2013). Det kan vara frestande att göra förenklingar för att slippa tröskeln, men studier indikerar att det senare kan skapa hinder för elevernas kunskapsutveckling. Det gäller att vara uthållig och inte väja för tröskeln. Eleverna behöver kunskaper om tröskelbegreppen för att också komma vidare in i andra matematiska områden. För undervisningen innebär detta både svårigheter och möjligheter. Undervisningen behöver ge stöd till eleverna så att de passerar liminal space och får möjligheter till en välutvecklad syn på de matematiska områden som de högskoleförberedande kurserna behandlar. Både praxis och logos behövs Praxis och logos är centrala begrepp inom den antropologiska teorin för didaktiska fenomen (ATD), vilket beskrivits i de tidigare delarna i modulen. Praxis handlar om att veta hur något ska göras och innefattar uppgifter och tekniker. Logos innefattar teknologi och teori och handlar om att veta varför uppgifter kan lösas på ett visst sätt, det vill säga att kunna beskriva och förklara praxis. Att reflektera över balansen mellan praxis och logos är en utgångspunkt för att karakterisera undervisning. För att utveckla elevers begreppsförmåga behöver de möta en undervisning som även har fokus på logos. Undervisning som till stor del handlar om att lösa typuppgifter med specifika och välkända tekniker är en undervisning där praxis har stor tyngd. En strategi som elever kan utveckla när de möter ett begrepp som är svårt att lära är att fokusera på att använda några tekniker utan att fundera på hur och varför dessa tekniker fungerar. Det kan till exempel handla om begreppet derivata där elever ibland väljer att fokusera på deriveringsregler utan att bry sig om varför reglerna ser ut som de gör. Om undervisningen inkluderar beskrivningar och diskussioner om hur teknikerna fungerar tillförs teknologi inom logos. När undervisningen dessutom inkluderar resonemang och härledningar om varför teknikerna fungerar så synliggörs även teori inom logos. När det gäller undervisning om tröskelbegrepp vet vi att eleverna kommer att möta svårigheter och att eleverna behöver mycket stöd för att ta sig igenom liminal space. När undervisning även fokuserar på logosdelen ges eleverna möjlighet att bearbeta hur och varför teknikerna fungerar. För att utveckla goda kunskaper om ett begrepp behövs alltid inslag av logos. För tröskelbegrepp, där dessa kunskaper är extra svåra att ta till sig, är balansen mellan praxis och logos än viktigare. För tröskelbegreppet derivata gäller, som beskrivits ovan, att elever behöver kunna uppfatta derivata både som ett lokalt och ett globalt objekt. För att nå dit räcker det inte att kunna använda deriveringsreglerna korrekt. Eleverna behöver också utveckla kunskaper om hur och varför deriveringsreglerna http://larportalen.skolverket.se 7 (8)
fungerar. Detta innebär inte att praxisdelen är oväsentlig, det är viktigt att elever utvecklar väl fungerande tekniker, men det räcker inte. För att passera tröskeln krävs att eleverna också får bearbeta delar från logos. Sammanfattning Att ge eleverna möjlighet att utveckla en god begreppsförmåga är en viktig del i matematikundervisningen. För vissa begrepp innebär detta en extra utmaning. Tröskelbegrepp är begrepp som elever kan uppfatta som svåra att lära, men när elever har tillgodogjort sig kunskaper om dessa begrepp så får eleverna nya möjligheter att lära sig mer matematik. Tidigare fragmentariska kunskaper inom ett matematiskt område kan integreras och elevernas syn på hela området kan transformeras. Men utvecklingen av elevernas begreppsförmåga tar tid. För att passera liminal space behöver eleverna mycket stöd. Både praxis och logos behöver utvecklas, det vill säga eleverna behöver färdigheter avseende typuppgifter men också kunskaper om hur och varför teknikerna fungerar. Forskning visar att det är viktigt hur elever möter tröskelbegreppen och att fokus på tröskelbegrepp kan ge goda resultat. Referenser Hähkiöniemi, M. (2006). The role of representations in learning the derivative. Doctoral thesis, University of Jyväskylä. Juter, K. (2009). Studenter lär sig gränsvärden. I G. Brandell, B. Grevholm, K. Wallby & H. Wallin (red.), Matematikdidaktiska frågor resultat från en forskarskola, (s. 74-91). Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM) & Svensk förening för matematikdidaktisk forskning. Meyer, J.H.F., & Land, R. (2005). Threshold concepts and troublesome knowledge (2): Epistemological considerations and a conceptual framework for teaching and learning. Higher Education, 49, 373 388. Pettersson, K., Stadler, E., & Tambour, T. (2013). Transformation of students discourse on the threshold concept of function. I B. Ubuz, Ç. Haser & M. A. Mariotti (red.), Proceedings of the Eighth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (s. 2406-2415). Ankara: Middle East Technical University. Skolverket (2015). Om ämnet matematik. www.skolverket.se/laroplaner-amnen-ochkurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectcode=mat&lang=sv Nedladdat 2015-06-17. Tall, D. (2013). How humans learn to think mathematically: exploring the three worlds of mathematics. New York: Cambridge University Press. http://larportalen.skolverket.se 8 (8)