Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 6 Johan Lindström oktober 8 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Summa av två oberoende s.v., Z = X + Y (Kap. 4.7 k p Z (k = p X (ip Y (k i f Z (z = i= f X (xf Y (z x dx Maximum/Minimum av oberoende s.v. (Kap. 4.6 n Z = max(x,..., X n F Z (z = F Xi (z n Z = min(x,..., X n F Z (z = [ F Xi (z] Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9
, E(X, μ, μ X (Def. 5. t anger tyngdpunkten för fördelningen och kan tolkas som det värde man får i medeltal i långa loppet. { g(x, y fx,y (x, y dydx Kont. E(g(X, Y = k,l g(k, lp X,Y(k, l Diskr. Betingade väntevärde, E(X Y (Kap. 5.c E(X Y = y = x f X Y (x y dx Observera att E(X Y = y är en funktion av y; E(X Y är samma funktion av Y E(E(X Y = E(X Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 4/9, C(X, Y (Def. 5.7 en anger hur mycket linjärt beroende som finns mellan X och Y. C(X, Y = E{ [X E(X ][ Y E(Y ] } = E(XY E(XE(Y Ur definitionen fås C(X, X = V(X X och Y oberoende = C(X, Y = Obs. C(X, Y = X och Y oberoende Korrellationskoefficient, ρ, ρ X,Y (Def. 5.8 ρ X,Y = C(X, Y D(XD(Y ρ X,Y Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 5/9 Oberoende Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 7/9
Oberoende Linjärkombination (Kap. 5. & 5.5 E och V av linjärtransformation (Sats 5.7 E(aX + b = ae(x + b V(aX + b = a V(X D(aX + b = a D(X E och V av linjärkombination (Sats 5. E a i X i + b i = a i E(X i + V a i X i + b i = b i a i a j C(X i, X j a i V(X i + i<j }{{} = om oberoende Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 8/9 Oberoende en är bilinjär (Kap. 5.5 C (a X + a X, b Y + b Y = a b C(X, Y + a b C(X, Y + a b C(X, Y + a b C(X, Y (jfr. polynommultiplikation C a j X j, b k Y k = j k j a j b k C(X j, Y k k :. C(X + X, Y 4Y. V(X X Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 9/9 Oberoende Specialfall av oberoende och likafördelade s.v. (Kap. 5.5 Låt E(X i = μ, V(X i = σ Summa: Y = n X i (Följdsats 5.. E(Y = E X i = E(X i = μ = nμ V(Y = V X i = Medelvärde: X n = n E(X n = V(X n = V(X i = σ = nσ X i (Följdsats 5.. n E(X i = n μ = n nμ = μ n V(X i = n σ = n nσ = σ n Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9
: Banklån Oberoende Låt X i beskriva återbetalningen från ett bostadslån. Av erfarenhet vet banken att E(X i = 4 MSEK och V(X i =.4 MSEK. Bestäm E(Y och V(Y om Y ges av. Sammanlagda återbetalningen från helt oberoende banklån.. Sammanlagda återbetalningen från identiska (dvs fullkomligt korrelerade banklån.. Sammanlagda återbetalningen från banklån med korrelation ρ. Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Medelvärden av X i Exp ( 4 Succesiva medelvärden standard exponentialfördelning.5.5.5.5 4 n E(X n = μ = V(X n = σ n = n Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9
Law of large numbers (Kap. 5.6 Om X, X,..., X n är oberoende och likafördelade med E(X i = μ så gäller P ( X n μ > ε, n för alla ε > Medelvärdet konvergerar i sannolikhet mot väntevärdet då n växer mot oändligheten En alternativ (teoretisk starkare formulering är att ({ } P lim X n existerar och är lika med μ = n Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 4/9 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 5/9 CGS (Kap. 6.7 Låt X, X,..., X n vara oberoende stokastiska variabler med samma fördelning och E(X i = μ, V(X i = σ (ändliga. Då gäller att: ( n P X i nμ σ a Φ(a då n för alla a n En vardagligare framställning är att: X i N ( nμ, σ n då n stort (n Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 6/9
Summa av tärningar. p X (k. 4 5 6 Antal tärningar 7 8 k 4 5 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 7/9 n = n =.8.6.8.6.4.4.. 4 6 8 n = 5 4 n =.8.6.4..5.5.5.5 n = 5 4 n =.6.8..4.6.8..4 Medelvärde av X i Exp( Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 8/9 Äpplen Tag 5 äpplen från ett äppelträd. Låt X i vara vikten av äpple nr i. Vad är slh att den sammanlagda vikten överstiger 5 g om E(X i = g och V(X i = 4 g? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 9/9