TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18



Relevanta dokument
Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID:

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Lördag 26 maj 2001 TID:

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID:

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

Preliminärt lösningsförslag

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 671, Extraexempel

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

Preliminärt lösningsförslag

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

SF1624 Algebra och geometri

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl

3x + y z = 0 4x + y 2z = 0 2x + y = Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x = 1 x + y = 1 x + 2y = 2

y z 3 = 0 z i )

kvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

Prov i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: c 1

Vektorgeometri för gymnasister

Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

Tentamen i ETE305 Linjär algebra , 8 13.

3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6

Preliminärt lösningsförslag

Lösningar kommer att läggas ut på kurshemsidan första arbetsdagen efter tentamenstillfället. Resultat meddelas via epost från LADOK.

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

Tentamen TMV140 Linjär algebra Z

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Linjär algebra på några minuter

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

Del 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

Chalmers tekniska högskola Datum: Våren MVE021 Linjär algebra I

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016

x 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3)

Vektorgeometri för gymnasister

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

Del 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014

Preliminärt lösningsförslag

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010

DEL I 15 poäng totalt inklusive bonus poäng.

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

Del 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.

5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Metoder för problem utan bivillkor, forts.

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

Version Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = , och ange motsvarande

Vektorgeometri för gymnasister

Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

Egenvärden och egenvektorer

Transkript:

Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar: Åsa Fahlander, tel: 73-8834 Lösningar: Anslås vid sal MVF Resultat: Tentan beräknas vara rättad senast maj, resultat tillsänds dig. Betygsgränser: 3, 4, 54 av maximalt 6 poäng Bonus (högst poäng) från inlämningsuppgifter får tillgodoräknas. Hjälpmedel: Inga Iakttag följande: - Skriv tydligt och disponera papperet på lämpligt sätt - Börja varje ny uppgift på nytt blad - Alla svar skall väl motiveras Uppgift. LYCKA TILL! a) Gör en LU-faktorisering, utan pivotering, av matrisen A = 4 8 8 3 8 4. (4p) b) Bestäm rangen för matrisen A i a)-uppgiften genom att studera U. (p) c) Bestäm dimensionen för nollrummet till A genom att tillämpa dimensionssatsen. (p) d) Avgör genom att studera L från a)-uppgiften om pivotering skulle gett en annan faktorisering. (p) e) Hur bestämmer man i allmänhet determinanten för en matris utifrån en LU-faktorisering? (p)

Uppgift. a) Visa hur man kan få lösningen till ett linjärt minsta-kvadratproblem med full rang genom QR-faktorisering. Du behöver inte beskriva hur QR-faktoriseringen går till utan du kan anta den given. (4p) b) Gör första steget i en QR-faktorisering med Householdertransformation av matrisen 3 4 4 3. (3p) Uppgift 3. Betrakta den linjära avbildningen F från P till P 4 definierad av F (p(t)) = tp(t) t p(t), där P n är det linjära rummet bestående av polynom av grad n. a) Bestäm matrisen för avbildningen F i standardbaserna för P och P 4. (3p) b) Bestäm dimensionerna för värderummet och nollrummet till avbildningen F. (p) c) Ange ett allvarligt problem med standardbasen för P n (, ) för stora värden på n. (p) d) Vilken teknik kan man använda för att skapa en ON-bas för P n? (p) Uppgift 4. a) Visa att egenvektorer till en matris A som hör till olika egenvärden är linjärt oberoende. (4p) b) Ta fram en faktorisering A = T DT T, där D är diagonal, med hjälp av egenvärden och egenvektorer, till matrisen A =. (3p) c) Vad menas med att ett egenvärde är defekt? (p) Uppgift 5. a) Visa att Newtons metod konvergerar kvadratiskt mot en enkelrot till en ekvation. (4p) b) Gör en iteration med Newtons metod med start i origo på det icke-linjära ekvationssystemet: 4x x = x + 3x x 3 3 = (3p). x + x 3 =

Uppgift 6. a) Vad innebär Runges fenomen i samband med interpolation? (p) b) Bestäm interpolationspolynomet till punkterna i tabellen x 3 f(x) 4 7 Bestäm en approximation till f(.5) genom interpolationen. (3p). c) Bestäm den approximation till 3 f(x) dx som trapetsformeln ger utifrån tabellen i b)-uppgiften (p) Uppgift 7. a) Formulera matematiskt linjesökningsproblemet vid optimering i flera variabler utan bivillkor. (p) b) Betrakta problemet att minimera f(x, x ) = x +x x +x +3x utan bivillkor. Gör två iterationer med Steepest Descent-metoden, med start i origo och exakt linjesökning. (4p) c) Hur många iterationer hade du behövt för problemet i b)-uppgiften för att komma fram till lösningen om du använt metoden Konjugerad Gradient i stället för Steepest Descent? (p) Uppgift 8. a) Bestäm approximationsordning och stabilitetsområde för ODE-lösaren trapetsmetoden. (4p) (b) Anta att du använder prediktor-korrektorparet (p) Eulers framåtmetod (k) Trapetsmetoden Vad blir approximationsordning och stabilitetsområde för metoden? (p) c) Hur ser metoden i b)-uppgiften ut om du gör en fixpunktsiteration i korrektorn? (p) { d) Gör ett steg med steglängd h =.5 med metoden i c)-uppgiften på problemet y (t) = y(t) + t (3p) y() =.5 3

Institutionen för Matematik Göteborg F/TM - Linjär algebra och numerisk analys, TMA67 Lösningar till tentamen 8 april 5 a) Två stegs Gausselimination ger: A = 4 8 8 4 6 3, A = U = L bestäms samtidigt på vanligt sätt (kompendium avsnitt 9.3): L = 4 8 8. /4 / 3 b) Två pivotelement i U ger ranga =. c) Dimensionssatsen säger att summan av ranga och dimensionen för nollrummet ska vara lika med antalet kolonner. Alltså blir dimensionen för nollrummet. d) Pivotering skulle gett ett annat resultat eftersom diagonalelementet i andra kolonnen av L inte är det största i kolonnen. e) Produkten av diagonalelementen i U. a) Kompendium avsnitt 9.6. b) v = (3 4 )T (5 ) T ( 4 ) T = ( 4 ) T, H = I v v T. 4.8 H 3 = 5, H =.6, R = 3a) F () = t t, F (t) = t t 3, F (t ) = t 3 t 4, M = 5.8 5.6 3b) Endast nollpolynomet avbildas på nollpolynomet så dim N(F ) =, vilket också är dim N(M). Vidare gäller dimp = 3 så dim V (F ) = 3, vilket också är dim V (M). 3c) De blir nästan linjärt beroende, vinkeln mellan basfunktionern e n = t n och e n+ = t n i standardskalärprodukten går not noll då n går mot. 3d) Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess...

4a) Kompendium, Sats 4.6. ( ) 4b) Egenvärdena till den blockindelade matrisen A är egenvärdena till, som är λ = och λ = 3, plus egenvärdet λ 3 =. Egenvektorerna beräknas på vanligt sätt genom att lösa de homogena systemen (A λ i I)x =, i =,, 3. Egenvärdena samlas i diagonalen av D = 3 och egenvektorerna samlas som kolonner i matrisen som normeras till ortogonal matris T =. 4c) Ett egenvärde är defekt om den geometriska multipliciteten är mindre än den algebraiska multipliciteten. 5a) Kompendium avsnitt 6.3. 5b) Med formuleringen f(x) = blir f() = J = 8x 3 3x 3 x med J() = 3 x = J()\f(), ekvationslösning J()d = f() ger d =. Jacobianen beräknas till. Newtons metod (formellt): 3.5 och x = 6a) För högt gradtal på interpolationen kan felen mellan interpolationspunkterna bli mycket stora. 6b) Newtons form av kubisk interpolation ansätts: p 3 = a+bx+cx(x )+dx(x )(x ). Villkoren enligt tabellen ger det triangulära systemet: 3 6 6 a b c d = med lösning a =, b =, c =.5, d = och då blir p 3 (.5) = +.5 +.5(.5)(.5) =.875. 6c) T () = (.5 + + 4 + 3.5) =. 3.5. 4 7

7a) Kompendiet avsnitt.7. ( ) 4x + x 7b) Vi beräknar f =. Med x x + 4x + 3 = (, ) T får vi f = (, 3) T ( ) 4 och därmed SD-riktningen s = (, 3) T. Vidare blir Hessianen H =. Enligt 4 formeln för optimal steglängd α vid kvadratisk funktion får vi α = f T s = 9 = och s T Hs 36 4 ( ) ( ) ( ) första iterationen blir x = + =. För nästa iteration beräknar 4 3 3/4 vi f = ( 3/, ) T och s = (3/, ) T. Ny linjesökning med α = f T s = 9/4 s T Hs ( ) ( ) ( ) 3/ 3/8 ger x = + 3/4 =. 4 3/4 7c) Två iterationer ty högst två konjugerat ortogonala vektorer i R 9 = 4 8a) Kompendiet avsnitt.4. 8b) Approximationsordning och stabilitetsområde blir det som gäller för korrektorn dvs trapetsmetoden, se a)-uppgiften. 8c) (p) y () k+ = y k + hf(t k, y k ) (k) y k+ = y k + h [f(t k, y k ) + f(t k+, y k + hf(t k, y k ))]. 8d) y = y + t dvs f(t, y) = y + t. Enligt c)-uppgiften får vi med y = y() =.5 och h =.5: y = y + h [f(t, y ) + f(t, y + hf(t, y ))] =.5 +.5[(.5) + + (.5 +.5((.5) + )) +.5 ] = + 4 [ + ( + 4 ) + 4 ] = + 4 ( + 8 6 + 4 ) = 3 3. 3