VÄLKOMMEN TILL Matematik, del 1, 2 sv. Kurskod 1261.1
Kursmål Insikter i den matematiska kunskapens särart. Goda kunskaper om lågstadieelevers förutsättningar att bygga upp en matematisk begreppsvärld och tillvägagångssätt inom elementär matematik.
Kursinnehåll Matematiken i samhället och som del av den mänskliga kulturen Matematikundervisningens mål och skolan som lärandemiljö Relationer mellan matematik och andra ämnen Personliga och konventionella begreppsstrukturer Representationsformer för matematisk kunskap: tal och talsystem räkneoperationer geometri inledande algebra tillämpningar (procent, mätningar, statistik)
Tentlitteratur: *** Kilborn, W. (1990). Didaktisk ämnesteori i matematik. Del 1. Grundläggande matematik. Stockholm: Utbildningsförlaget. (finns i kursboksbiblioteket) Kilborn, W. (1990). Didaktisk ämnesteori. Del 2. Rationella och irrationella tal. (sidorna 43-75, 86-91, ingår i A-kompendiet ). Emmanuelsson, G. m.fl (red) (1996). Nämnaren TEMA: Matematik ett kommunikationsämne. Göteborgs universitet: Nämnaren. (sidorna 45-68, 101-126, 143-203, ingår i B-kompendiet) Bergsten, C. Häggström J. & Lindberg L. (1997). Nämnaren TEMA: Algebra för alla. Göteborgs universitet: Nämnaren. (sidorna 9-29, ingår i B-kompendiet) *** Kurskompendierna A och B som inkluderar valda artiklar utöver ovanstående
1. Kurstentamen: 11.05 kl 14.15-16.00 i rum D402. 2. Tentamenstillfälle 2 är på PF:s sommartentamen den 16.6 (tentanmälan via tentkuvert senast den 24.5). 3. Tentamenstillfälle 3 är första allmänna PF tentamensdag hösten 2006. Tentanmälan via tentkuvert senast 10 dagar före enligt normal kutym.
Föreläsning 1: Vad är matematisk kunskap? Hur uttrycks matematisk kunskap? Om tal; kunnande och förståelse
Vad är matematik? Det som finns i matematikböcker, i räknare, i datorer och andra tekniska grejor...? Tal, symboler, logik, regler, formler? Räkneuppgifter? Problemlösning? Enskilt tänkande? Samtal och argumentation? Kulturellt verktyg? Maktverktyg? Nyttoverktyg? Upptäckter? Uppfinningar? Tro? Övertygelse? Enl. G. Malmer: Världen är full av matematik bara man har förmåga att upptäcka den Håller du med henne? Varifrån kommer då all ny matematik? Hur vet man när det man kallar matematik är sant?
Centrala kunskapsinnehållet i matematik enligt Grunderna för läroplanen för den grundläggande utbildningen: Årskurserna 1-2: Tal och räkneoperationer, Algebra, Geometri, Mätning Informationsbehandling och statistik Årskurserna 3-5: Tal och räkneoperationer, Algebra, Geometri, Informationsbehandling och statistik samt sannolikhet Årskurserna 6-9: Tankeförmåga och tankemetoder Tal och räkneoperationer, Algebra, Funktioner, Geometri, Sannolikhet och statistik
I läroplanen för den grundläggande utbildningen åk 1-9 anges om matematikundervisningen syfte och uppgift: Undervisningen i matematik har som uppgift att ge eleven möjligheter att utveckla ett matematiskt tänkande och lära sig matematiska begrepp och de mest använda lösningsmetoderna. Undervisningen skall utveckla ett kreativt och exakt tänkande hos eleven och skall lära eleven att hitta och matematisera problem och söka lösningar på dem. Matematikens betydelse bör ses ur ett brett perspektiv den påverkar elevens andliga tillväxt och främjar hans eller hennes förmåga till målmedvetet handlande och social växelverkan.
Undervisningen i matematik skall framskrida systematiskt och den skall lägga en bestående grund för eleven att tillägna sig matematiska begrepp och strukturer. Konkretisering kan fungera som ett viktigt hjälpmedel då elevens erfarenheter och tankesystem förenas med matematikens abstrakta system. Läraren bör effektivt utnyttja problem ur vardagen som kan lösas med hjälp av matematiskt tänkande eller matematiska metoder. Informations- och kommunikationsteknik bör användas för att stödja elevens lärande.
Matematik väcker känslor! Mathematics is a subject that often divides people into two groups. There are those who say that they are skilled at mathematics and who loved the mathematics lessons at school and there are those who say that they hated it and blocked at the first drop of a symbol (Ernest, 1996; Skemp, 1986). People in the latter group often go on telling horror stories about past encounters with mathematics in school. The devastating feelings of not understanding the name of the game and lacking a mathe-matical mind often run all through the stories. What is it about mathematics at school that creates such strong opinions for or against?...
Jag är rädd för matematik. Har man en gång kommit efter, hinner man aldrig med igen. Jag tycker att matematik verkar roligt och intressant och skulle vilja ha ett större kunskapsområde inom matematiken men rädslan sitter kvar och gör att det låser sig. Jag har arbetat och även undervisat i matematik, vilket har gått bra. Men sätt ett papper med uppgifter framför mig och jag kan knappt räkna division.
I enkäten deltog 149 klasslärarstuderande, 122 kvinnor och 27 män. Sant Falskt kvinnor män kvinnor män 1. Jag är ofta nervös då jag måste räkna ut något 26 (21%) 3 (11%) 96 24 2. Många gånger då jag löser ett matematikproblem kan jag plötsligt inte tänka klart 62 (51%) 7 (26%) 60 20 3. Jag har aldrig varit lika bra i matematik som i andra skolämnen 50 (41%) 5 (19%) 72 22 19 kvinnor (16%) ansåg att alla tre påståenden stämde. Inga män.
Matematik är ett språk som FÖRKLARAR mycket i vår omvärld djup förståelse, logiskt tänkande, förmåga att dra slutsatser för att engagera eleverna måste undervisningen bygga på samtal och argumentation
BEGREPPSBILDNING transformationer mellan representationsformer Bilder Anna och Karin ritar formalisera illustrera symbolisera tolka schematisera modellera avbilda Klossarna ligger på bänken framför flickorna Laborativa modeller Omvärldssituationer Skrivna symboler konkretisera beskriva schematisera Förenkla/generalisera skriva modellera avbilda läsa tolka beskriva rita beskriva dramatisera Klassen får klossar av läraren, Anna får fler än Karin Talade symboler 3>2 Tre är fler än två
Vårt talsystem: tiosystem: ett positionssystem med basen 10 använder de 10 hindu-arabiska siffrorna 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 som tilldelas både ett positionsvärde/plasvärde och ett absolut värde (antal) t.ex. talet 564 som bildas av siffrorna 5,6 och 4 Skrivet i sk. utvecklad form 564 = 500+60+4 = 5 100+6 10+4 1 eller med hjälp av tiopotenser 564 = 5 10 2 + 6 10 1 + 4 10 0 siffrans plats i talet anger således dess värde, siffran har ett platsvärde: 5 hundratal, 6 tiotal, 4 ental. Med dessa tio siffror kan vi skriva hur små och stora tal som helst och enkelt utföra beräkningar med dem
Hur lång pappersremsa behövs för den utskrivna formen av nedanstående tal om varje siffra kräver ett 4 mm utrymme? 10 10 (10 ) a) Härifrån till Gamla Vasa? b) Härifrån till Helsingfors? c) Härifrån till Kapstaden i Syd-Afrika? d) Ett varv runt ekvatorn? Talet består av en etta plus 10 000 miljoner nollor. 4 mm * 10 000 miljoner = 40 000 miljoner mm = 40 000 000 000 mm = 40 000 km
Typsiffror enligt Grunderna för läroplanen för den grundläggande utbildningen 2004:
spegelskrift Markus, 5 år skrev telefonnumret 31531
Naturliga tal (N): (0) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... Hela tal (Z) bildas av de naturliga talen och deras motsatta tal (samt noll)... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Rationella tal (uppräkneligt många) (Q): reella tal som kan skrivas som kvot av två hela tal (b 0). Har periodisk decimalutveckling (ex. 1/3 0,3(3)... Irrationella tal (inte uppräkneligt många): alla reella tal som inte kan skrivas som bråk, ex. e=2,71828..., pi=3, 14159... Eulers konstant 0,57722... kvadratrötter ex. 2... Har icke-periodisk decimalutveckling. De ovanstående talmängderna bildar tillsammans de reella talen (R) Dessutom finns andra talmängder såsom imaginära tal, komplexa tal (reella + imaginära) etc.
Att de (positiva) rationella talen är lika många som de naturliga talen, dvs uppräkneligt många, kan visas med hjälp av parbildning, varje bråk tilldelas ett nummer från 1 osv. enl. följande: 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1... 7/1 8/1... 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3 8/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 7/4 8/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5... 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 7/6 8/6...........................
Barns tidiga användning och förståelse av tal känner igen mängder utan att räkna de enskilda föremålen ( subitizing eller känna igen mönster) rabblar TALRAMSAN som en lek med ord utan numerisk innebörd använder talen som symboler eller namn talramsan utvecklas till ett instrument, TALRADEN, för att räkna antal föremål i en mängd genom parbildning
De första stegen i barns räknande följer enligt Gelman och Gallistel följande mönster: a. Barnet lär sig att kvantifiera. Det finns en bestämd mängd äpplen i korgen. Det finns tre äpplen nu, även efter en stund eller trots att locket är på. b. Barnet lär sig att jämföra mängder genom parbildning. Vilken korg innehåller fler äpplen? c. Barnet lär sig att det inte spelar någon roll i vilken ordning föremålen räknas. Man kan börja från att peka på vilket äpple som helst i korgen. d. Barnet lär sig att räkneorden kommer i en bestämd ordning, dvs talraden (talens ordningsegenskap = ordinaltal). Då äpplena i korgen skall räknas, paras varje äpple ihop med ett ord i talraden. e. Barnet lär sig att då varje föremål i mängden kopplats samman med ett räkneord så kan antalet föremål anges med det sist nämnda räkneordet. (talens mängdegenskap = kardinaltal)
(test av talförståelse med 500 slumpvis utvalda norska elever i respektive årskurs år 1995) Vad betyder siffran 7 i 0,573? a) 70 b) 7 c) 0,7 d) 0,07 åk 4 åk 6 0,07 (R) 26% 54% 70 40% 23% 7 11% 10% 0,7 13% 10% Vilken siffra står på hundradelsplatsen i 6,423? a) 6 b) 4 c) 2 d) 3 åk 4 åk 6 2 (R) 10% 31% 6 15% 8% 4 65% 55% 3 4% 5%
Elevers förståelse av decimaltal (åk 5): Vilket av följande decimaltal är störst? 0,62 0,234 0,4 0,31 0,532 I åk 5 svarade elever: 0,62 (38%) (rätt svar) 0,532 (29%) 0,4 (25%)
Elevers bråkförståelse: (Resultat från engelsk undersökning) 12 år 13 år 14 år 15 år 3/8 + 2/8 = 5/8 78% 66% 71% 68% 1/10 + 3/5 = 7/10 55% 38% 49% 45% 1/3 + ¼ = 7/12 54% 38% 35% 45% 1/10 + 3/5 = 4/15 16% 27% 24% 21% 1/3 + ¼ = 2/7 18% 29% 22% 20%
(Test med 170 svenska elever i årskurs 4) Hur lång är en säng för en vuxen? a) 50 cm b) 100 cm c) 200 cm d) 400 cm 20 % av eleverna svarade d).
EXEMPEL 1 a) 1 liter bränsle kostar 1,23 euro. Hur mycket kommer det att kosta att fylla mopedtanken som rymmer 3 liter? b) 1 liter bränsle kostar 1,23 euro. Hur mycket kommer det att kosta att fylla en liten behållare som rymmer 0,53 liter? 1b) 63% valde svaret 1,23 /0,53 = EXEMPEL 2 a) Av 1 kg vete får man 0,75 kg vetemjöl. Hur mycket vetemjöl får man av 15 kg vete? b) 1 kg tvättmedel används för att tillverka 15 kg tvål. Hur mycket tvål kan tillverkas av 0,75 kg tvättmedel? 2b) 45% valde svaret 15/0,75 = Varför väljer många 13-åringar division i b)-uppgifterna?
340 st 13-14-åringar i Singapore fick lösa följande uppgifter: Uppg. a) Antal gäster: Maja har 7 kamrater och Pia har 9. De hade ett gemensamt kalas i slutet av terminen. De bjöd alla sina vänner och alla kom. Hur många kamrater var på kalaset? Uppg. b) Dela ballonger: Hur kan 4 barn på ett kalas dela på 14 ballonger? a) Antal gäster: 84,7% gav det orealistiska svaret 16 gäster. b) Dela ballonger: De flesta elever ansåg att en ballong inte går att dela i halvor.
Scenario från årskurs 4: Man diskuterar lösningen av uppgiften 9 9 + 9 under ledning av läraren Läraren skriver på tavlan: 9 9 + 9 81 + 9 = 90 Eleven Valter markerar och säger: Men jag tänkte 10 gånger 9 är 90 Läraren frågar: Valters motivering: Hur tänkte du? Det är en gång mera nio Läraren är förbryllad, men accepterar svaret med kommentaren så kan man också tänka. Vad menade Valter? Är hans tänkande effektivt?
Vilken ekvation kan bäst hjälpa dig att subtrahera 12-7? a) 5 + 4 = 9 b) 5 + 2 = 7 c) 12 + 7 = 19 d) 5 + 7 = 12 Kalle i årskurs 3 gav svaret b). Kalles lärare ansåg att svaret var fel. Enligt läraren borde svaret vara d). Vad anser du? Kalles motivering: Om jag tar 2 från 12 och 2 från 7 så får jag 10 5. Och det är 5. Enligt Kalle måste svaret därför vara 5 + 2 = 7 eftersom det är det enda som innehåller 2, 5 och 7.
Markus, 5 år, Hans problem: att dela 40 med 2.