Precision i modellering av bågbro i stål

EXAMENSARBETE INOM SAMHÄLLSBYGGNAD, AVANCERAD NIVÅ, 30 HP STOCKHOLM, SVERIGE 2018 Precision i modellering av bågbro i stål JOHANNA SÖRENSEN EMMA WENNE KTH SKOLAN FÖR ARKITEKTUR OCH SAMHÄLLSBYGGNAD

Förord Föreliggande examensarbete utgör den avslutande delen av våra studier till civilingenjörer inom Samhällsbyggnad på institutionen för Bro- och stålbyggnad vid Kungliga Tekniska Högskolan i Stockholm. Examensarbetet har utförts i samarbete med Sweco Civil AB. Vi vill tacka vår handledare på KTH, lektor John Leander för gott stöd och vägledning. Vi vill också tacka våra kollegor på Sweco, speciellt vår handledare, tekn. dr. Ignacio Gonzalez och civ.ing. Joachim Woll för hjälp med programvaran. Vi vill även tacka civ.ing. Björn Landberg som guidat oss under inspektion av Gamla Lidingöbron. Tack också till Scanscot technology som sponsrat med studentlicenser av BRIGADE/Plus. Stockholm, maj 2018 Johanna Sörensen och Emma Wenne 1

Sammanfattning Infrastrukturen i Sverige åldras, uppskattningsvis finns det drygt 2000 broar i landet som är 70 år eller äldre. Det finns flera aspekter att titta på för att utvärdera äldre broars kondition och FE modellering är ett vanligt verktyg som används vid utvärdering. För stålbroar är det ofta utmattning som sätter gränsen för hur länge de kan hållas i drift under säkra förhållanden. Syftet med arbetet var att utvärdera nyttan av FE modeller med olika precision med hänsyn till noggrannheten i deras genererade resultat och kostnad. En stålbro har studerats i detalj, Gamla Lidingöbron och specifikt två punkter på dess bågspann. Ritningar av bron och mätdata från forskningsprojektet Smart tillståndsbedömning, övervakning och förvaltning av kritiska broar har legat till grund för arbetet. Mätdata utgjordes av tidshistorier över spänningsvariationer i de två studerade punkterna vid flertalet tågpassager över bron. Punkterna finns på bågspannets sekundära bärverk. Fyra modeller har skapats i BRIGADE/Plus med olika precisionsgrad och spänningshistorier för de studerade punkterna har genererats. Spänningshistorierna har sedan utvärderas med Palmgren-Miners delskadeteori för utmattning. Den förväntade ekonomiska nyttan för varje modell har uppskattats beroende av analyskostnad, sannolikheten för utmattningsbrott samt kostnad för ett eventuellt brott. På grund av brons strukturella verkningssätt blev de förenklade modellernas utmattningsresultat mycket lika resultaten från modellen med hög precisionsgrad. De verkliga axellasterna var mindre än de dimensionerande som användes i modellerna. Detta ledde till att de uppkomna spänningarna i stålet från modellerna blev större än de verkliga, men visade ett liknande beteende. Resultatet blev att modellernas utmattningskapacitet enbart utgjorde ca en femtedel av kapaciteten enligt mätningarna. Resultatet från beräkningen av den förväntade nyttan visade att det inte är ekonomiskt motiverat att använda en modell med hög precision framför en eller flera förenklade modeller. Slutsatsen blev att hög precision i en teoretisk modell inte entydigt är bättre än en förenklad modell. Arbetet har utförts vid institutionen för bro och stålbyggnad på KTH i samarbete med Sweco Civil AB. Nyckelord: Stålbro, precision, utmattning, Gamla Lidingöbron, FEM, BRIGADE.

Abstract The infrastructure in Sweden is aging. More than 2 000 bridges in the country are 70 years or older. When assessing the condition of older bridges, several aspects should be taken into account. FE modeling is one common tool to use in a bridge assessment. Fatigue is generally what limits the service life of steel bridges. The aim of this work was to evaluate the utility of higher precision in FE models, regarding the accuracy of their generated results and costs. One steel bridge has been studied in detail, Old Lidingö Bridge and specifically two points on its arc span. Drawings of the bridge and measurement data from the research project Smart Condition Assessment, Surveillance and Management of Critical Bridges has provided the basis of this work. Measurement data has been collected from the two selected points on the bridge with strain gauges, registering the time history of the variations in tension during train passages on the bridge. Four models with different levels of precision have been created in BRIGADE/Plus. These models have generated time histories of the varying tension during train passages. The time histories have been evaluated with Palmgren-Miner s cumulative damage model for fatigue. The expected economic utility of each set of models has been estimated based on the cost of the analysis, the likelihood failure caused by fatigue and the cost of failure. Because of the structural behavior of the bridge, the results of the simplified models became very similar to the results of the high precision model. The actual axle loads were less than the design loads used in the models. Because of this, the calculated tensions in the models became larger than the actual tensions. This also resulted in the fatigue capacity of the models only being about one fifth of the capacity according to the measurements. The calculation of the expected utility showed that it is not economically justified to use a model with higher precision over models with less precision. High precision in a theoretical model is not unambiguously better than a simplified model. The work has been carried out at the Department of Structural engineering and bridges at KTH in cooperation with Sweco Civil AB. Key words: Steel bridge, precision, fatigue, expected utility.

Innehåll 1 Bakgrund 4 1.1 Smart tillståndsbedömning, övervakning och förvaltning av kritiska broar......... 4 1.2 BIG BRO-projektet....................................... 5 2 Gamla Lidingöbron 6 2.1 Historia.............................................. 6 2.2 Tillstånd i dagsläget....................................... 7 2.3 Tidigare undersökningar..................................... 8 2.4 Swecos roll............................................ 8 2.5 Mätpunkter............................................ 9 2.5.1 Trådtöjningsgivare.................................... 10 3 Syfte 11 3.1 Avgränsning............................................ 11 4 Modellering och analys 12 4.1 FE modellering.......................................... 12 4.1.1 BRIGADE/Plus..................................... 12 4.2 Modellering............................................ 13 4.2.1 Tvärsnitt......................................... 13 4.2.2 Material.......................................... 14 4.2.3 Modell 1 - Den avancerade modellen.......................... 15 4.2.4 Modell 2 - Kontinuerlig långbalk............................ 15 4.2.5 Modell 3 - Fritt upplagd långbalk............................ 16 4.2.6 Modell 4 - Förenklad tvärbalk............................. 17 4.2.7 Konvergensanalys.................................... 18 4.2.8 Last............................................ 18 4.3 Utmattning............................................ 19 4.4 Förväntad nytta......................................... 20 4.4.1 Brottsannolikhet..................................... 20 4.4.2 Analyskostnad...................................... 21 4.4.3 Kostnad vid ett eventuellt brott............................ 22 5 Resultat 23 5.1 Konvergensanalys......................................... 23 5.2 Spänning............................................. 24 5.2.1 Långbalken........................................ 24 5.2.2 Tvärbalken........................................ 25 5.3 Utmattning............................................ 26 5.3.1 Modell 1 - Den avancerade modellen.......................... 26 5.3.2 Modell 2 - Kontinuerlig balk.............................. 28 5.3.3 Modell 3 - Fritt upplagd balk.............................. 29 5.3.4 Modell 4 - Förenklad tvärbalk............................. 30 5.3.5 Sammanställning av utmattningsresultaten...................... 30 2

INNEHÅLL 3 5.4 Förväntad nytta......................................... 31 5.4.1 Brottsannolikhet..................................... 31 5.4.2 Analyskostnad...................................... 31 5.4.3 Kostnad vid ett eventuellt brott............................ 31 5.4.4 Förväntad nytta..................................... 32 6 Diskussion och slutsatser 33 6.1 Precision i modellering...................................... 33 6.1.1 Spänningshistorier.................................... 33 6.2 Förväntad nytta......................................... 33 6.2.1 Brottsannolikhet..................................... 34 6.2.2 Kostnad vid ett eventuellt brott............................ 34 6.2.3 Kostnad för analys.................................... 34 6.3 Beslutsunderlag.......................................... 34 6.4 Slutsatser............................................. 35 6.5 Framtida studier......................................... 35 A Tvärsnitt 38 B Utmattningsberäkning 41 C Kostnadsberäkning 42 D Översiktsritningar 44

Kapitel 1 Bakgrund Infrastrukturen runt om i världen åldras. I Sverige finns det drygt 20 600 broar där uppskattningsvis en tiondel är 70 år gamla eller äldre (Trafikverket, 2014). Det finns fler utredningar gjorda som visar att länder med en utbredd fungerande infrastruktur står inför stora utmaningar gällande broar som har nått eller närmar sig sin uttänkta livslängd (Leander et al., 2018). Med detta ökar behovet av inspektioner och analys av broarnas kondition. En omfattande renovering av en äldre bro i syfte att förlänga livslängden kan innebära höga kostnader. Ett resonemang för dessa höga kostnader kan vara det hållbara resursutnyttjande som det innebär att behålla hela eller delar av en befintliga konstruktionen istället för att bygga nytt. Men frågan är hur höga dessa kostnader tillåts vara för att det ska vara ekonomiskt och hållbarhetsmässigt försvarbart. För stålbroar är det ofta utmattning som sätter restriktionerna för hur länge den kan fortsättas användas under säkra förhållanden (Leander et al., 2018). Något som även är förenat med stora osäkerheter och kräver omfattande analyser. Ofta används FE-modellering vid analyser och för en beställare kan det vara svårt att värdera den varierande nyttan av modeller med olika precisionsgrad. Samma sak gäller ibland för forskare inom området och konstruktörer. Det kan vara svårt att bedöma hur stor förbättringspotential som finns i att gå från en enkel modell av en specifik detalj till att sätta denna detalj i sitt sammanhang med hela konstruktionen modellerad. Gamla Lidingöbron är ett exempel på en bro som ur utmattningssynpunkt börjar nå sin slutgiltiga livslängd. På denna bros bågspann sitter töjningsmätare i vissa punkter, i syfte att säkerställa funktionen. Detta gör bron till ett aktuellt objekt som gör det möjligt att pröva hur mycket resultaten skiljer sig från olika noggranna modeller, främst eftersom dessa resultat kan jämföras med faktiska mätdata. Det finns i dagsläget en del forskningsprojekt inom området och nedan beskrivs två pågående: 1.1 Smart tillståndsbedömning, övervakning och förvaltning av kritiska broar För att med större säkerhet kunna övervaka kritiska broar har ett forskningsprojekt startat där KTH, Uppsala Universitet, SICS och företaget CNet Solutions medverkar. Projektet heter Smart tillståndsbedömning, övervakning och förvaltning av kritiska broar och går ut på att kunna säkerställa funktion och säkerhet hos broar med kända brister med hjälp av ett innovativt system för övervakning. Systemet består av trådlösa sensorer och molnbaserade datatjänster (Infra Sweden 2030, 2017). Sensorerna skickar information i realtid om hur bron beter sig i olika situationer, vilket i sin tur ska kunna användas för att upptäcka eventuella avvikelser eller skador i tidiga skeden. 4

1.2. BIG BRO-PROJEKTET 5 1.2 BIG BRO-projektet Målsättningen med BIG BRO är att ge ägare av broar ett verktyg för värdering och val av olika utvärderingsmetoder och presenteras utförligt i Leander et al. (2018). Ramverket som projektet tagit fram syftar till att förstärka tillståndsbedömningen och delas upp i tre delar: 1. Modelling sophistication (precision i modellering) Motsvarar M-axeln i Figur 1.1 och visar hur komplex den teoretiska modellen är. Hur stor precision modellen har beror ofta på hur många olika variabler modellen beror av samt hur väl denna reflekterar det verkliga beteendet hos strukturen. Lägsta graden på skalan är en modell med många antaganden och förenklingar där exempelvis linjärelastiska analyser av första ordningen används. För att avancera längre ut på axeln kan exempelvis andra ordningens elasticitetsteori använas för att analysera ett beteende. Högst precision fås exempelvis om icke linjära analyser av material och geometrin används. 2. Considerations of risk and/or uncertainty (bedömning av risker och osäkerheter) Motsvarar U-axeln i Figur 1.1 och visar hur osäkerheter och risker beaktas i tillståndsbedömningen. Den lägsta graden på skalan i detta fall blir en deterministisk modell där resultatet vanligen jämförs med kriterium i föreskrifter, exempelvis Eurocode. Högre grad är modeller baserade på stokastiska variabler där osäkerheterna studeras explicit. 3. Knowledge content (kännedom om faktiska förhållanden) Motsvarar K-axeln i Figur 1.1 och beaktar hur väl de faktiska förhållandena är kända. Det kan vara information om faktiska materialegenskaper, geometri, laster, spänningar och skador på strukturen. För att avancera på denna axel kan exempelvis materialprovtagningar användas och analyseras för att ge en uppdaterad och mer exakt bild av materialegenskaper. Andra exempel är användandet av töjningsmätare som ger en aktuell bild av spänningsfördelningen i en struktur för ett visst lastfall. Figur 1.1: Bild av MUK Målet med denna modell är att tydliggöra vilka olika utvärderingstekniker som finns tillgängliga för ytterligare analys och vilken som konsekutivt är lämpligast att tillgå. Det mest effektiva är att flytta sig utmed axlarna i form av en kub, eftersom förflyttning långt längs med en axel inte nödvändigtvis ger ett bättre resultat. Att utöka kunskapen om bron i fråga utmed rätt axel är ur ett resurseffektivt perspektiv centralt (Leander et al., 2018).

Kapitel 2 Gamla Lidingo bron 2.1 Historia Gamla Lidingo bron uppfo rdes undera ren 1917-1926, med a ndama l att fo rmedla gatu-, ja rnva gs-, spa rvagnsoch ga ngtrafiken mellan Lidingo och Stockholm. Brons totala la ngd a r 825 m da r underbyggnaden besta r av 17 mellansto d och 3 landfa sten i betong som vilar pa pa lar till fast botten. O verbyggnaden a r konstruerad av material i kvaliteter som bena mndes Gjo tja rn klass B och Ho gkolat sta l da r den senare medfo r en ho gre kvalitet. Samtliga profiler a r sammansatta genom nitfo rband av L-sta l, U-profiler och plana pla tar. Med fa undantag a r brospannen konstruerade som raka fackverk under farbanan. En sa nka i grundla ggningsdjupet fo rekommer na ra Ropsten, varpa en tva ledsba ge med dragband har konstruerats fo r att klara det stora spannet pa 140 m (Nordendal, 1928). Inledningsvis bar bron tva ta gspa r trafikerade med tunga godsta g och spa rvagn, ett till och fra n so dra Lidingo och ett till och fra n norra Lidingo. Ga ng-, cykeltrafikanter samsades med ta gtrafik och biltrafik pa farbanan fram till a r 1952 da tva separata ga ng- och cykelbanor byggdes utanfo r den ursprungliga brobredden fo r att klara den o kade trafiken pa de tva ko rbanorna (Rambo ll, 2012b). A r 1973 o ppnades en ny bro fo r biltrafiken mellan Lidingo och Ropsten, Nya Lidingo bron. Detta innebar att biltrafiken och den tunga godstrafiken flyttades fra n den gamla bron. Ett beslut om att rusta upp Gamla Lidingo bron fastslogs av Lidingo kommun 1985, efter att bron sta tt avsta ngd i tre a r pa grund av sa kerhetsska l. Vid upprustningen byttes stora delar av det sekunda ra ba rverkets profiler ut mot nya sta lprofiler. A ven delar av det prima ra ba rverket byttes ut. Den gamla va gko rbanan inklusive asfalten fo r fordonstrafiken togs bort tillsammans med spa ret fo r den so dra Lidingo banan som ersattes av ga ng och cykelva g i ba da riktningar. Hela o verbyggnaden sandbla strades, rostskyddades och ma lades. Bron var da rmed, efter nyo ppnandet 1986, endast avsedd fo r ga ng- och cykeltrafik samt spa rvagn. (AIX Arkitekter AB, 2011). Figur 2.1: Gamla Lidingo bron med den nya samverkansbron fo r biltrafik i bakgrunden 6

2.2. TILLSTÅND I DAGSLÄGET 7 År 2003 undersöktes Gamla Lidingöbron på nytt av konsultföretaget CarlBro, som uppgav att de funnit så allvarliga skador att bron behövde stängas för spårvagnstrafik, trots att brons egentyngd reducerats genom åtgärderna 1985-1986 och befriats från tyngre tågtrafik. Riskerna för sprickbildning och utmattningsbrott befanns vara för stora i kombination med vinterkyla. Lidingö kommun beställde då en ny undersökning av ett annat oberoende konsultbolag, Ramböll. Deras analys fastslog att brons brister inte var så allvarliga att den behövde stängas för spårvagnstrafik, varför bron fortsatte trafikeras av Lidingöbanan. 2.2 Tillstånd i dagsläget Från år 2004 är flera inspektions- och underhållsprogram för bron implementerade (Ramböll, 2012b) varav Sweco under de senaste åren varit Lidingö Stads teknikkonsult och genomfört de senaste inspektionerna. I en tillståndsbedömning som Ramböll tagit fram åt Lidingö Stad 2012, framgår att det finns problematik med spaltkorrosion i knutpunkter mellan viktiga konstruktionsdelar. Problematiken gäller främst underramstänger och lager efter bågspannet, som enligt Ramböll nästan uteslutande bör bytas ut för fortsatt utnyttjande av bron på 25 års sikt. Själva bågspannet bedöms vara i bättre skick, men visar en del skador i spalter och tvärbalkar (Ramböll, 2012a). Enligt en tillståndsbedömning från 2013 som ligger som underlag för dagens inspektionsprogram utmärker sig Tvärbalk 1 med att vara i avsevärt sämre skick än de andra tvärbalkarna på grund av betydande avrostning vilket lett till att den teoretiska kapaciteten har ifrågasatt (Ramböll, 2013). Långbalkar som bär spåret för Lidingöbanan monterades 1984 och utgörs av valsade IPE-balkar, infästningarna av dessa har också visat på brister då återkommande brott i bultarna har inträffat (Ramböll, 2013). Idag är det beslutat att Gamla Lidingöbron ska rivas. Enligt en utredning framtagen av brons ägare, Lidingö stad år 2012, är det säkrare och mer ekonomiskt att bygga en ny bro jämfört med att renovera den nuvarande på grund av dess dåliga skick (Lidingö Stad, 2018). Den nya bron, Lilla Lidingöbron, planeras stå klar år 2023 och fram till dess måste den gamla bron hållas i drift eftersom det är den enda förbindelsen mellan Stockholm och Lidingö för gång- och cykeltrafikanter samt resande med Lidingöbanan. Den nya bron får dubbla spår för Lidingöbanan istället för dagens enkelspår och mer utrymme för gående och cyklister (Lidingö Stad, 2018). Som ett steg i att inspektera och garantera säkerheten på Gamla Lidingöbron fram till 2020 är den, med uppdrag från Lidingö stad, instrumenterad med givare för mätning av töjningar, accelerationer och vinkeländringar. Bron används dessutom som en testbädd i det tidigare nämnda forskningsprojektet Smart tillståndsbedömning, övervakning och förvaltning av kritiska broar. Figur 2.2: Gamla Lidingöbron

8 KAPITEL 2. GAMLA LIDINGÖBRON 2.3 Tidigare undersökningar I ett tidigare examensarbete, Modellering av gamla Lidingöbron av Bengts och Jansson från 2004 skapas en FE-modell av en del av Gamla Lidingöbron. Den del som modellerats är delen mellan bågspannet och landfästet på Lidingö. Ritningar användes för att skapa modellen i programvaran SOLVIA. Modellen kalibrerades sedan med mätdata från tidigare töjningsmätningar. Modellen användes för att beräkna storleken på spänningarna i stålet och inga spänningar befanns vara så stora att stålets flytgräns uppnåddes. FE-modellen befanns motsvara verkligheten på ett tillfredsställande sätt (Bengts and Jansson, 2004). Resultat ur detta examensarbete har använts av CarlBro i deras material till Lidingö Stad, vari de rekommenderar att stänga bron för spårtrafik. När denna rapport senare granskades av Ramböll menar de att härledningen av de beräknade spänningarna i examensarbetet inte går att följa och ifrågasätter resultatet (Ramböll, 2004). Andra tidigare rapporter angående töjningar i stålet i brons stålöverbyggnad är rapport 73 och 75 av Anders Ansell, KTH Betongbyggnad från 2003 respektive 2004. Dessa behandlar töjningsmätningar vid tågpassage över bron under höst respektive vinter och är de mätningar som används i tidigare nämnda examensarbete. Det som redovisas i rapporterna är töjningar och spänningar i de olika mätpunkterna (Ansell, 2003) (Ansell, 2004). Från år 2004 är flertalet utredningar och inspektioner gjorda av olika konsultbolag (Ramböll, 2012b). Ramböll genomförde år 2006 en bärighetsberäkning av bron. Enligt den är risken för sprödbrott försumbar så länge 75 % av stålarean återstår med hänsyn till korrosion om dagens laster på bron beaktas. En förutsättning för att sprödbrott ska uppstå är att en spricka har bildats, sannolikt orsakad av utmattning (Ramböll, 2006). 2.4 Swecos roll Som tidigare nämnt har Sweco ett åtagande att inspektera och göra mätningar på Gamla Lidingöbron på uppdrag av Lidingö Stad fram till år 2022. En del av detta utförs i samarbete med KTH som har avtal om uppdragsforskning gällande ett bevakningssystem med sensorer på en begränsad del av bågspannet, en långbalk och en tvärbalk på sidan närmast Ropsten. Sweco har också tagit fram förfrågningsunderlag till upphandlingen av entreprenaden för konstruktion och byggnation av Lilla Lidingöbron som ska ersätta Gamla Lidingöbron. I den entreprenaden kommer även rivning av Gamla Lidingöbron ingå. Som konsult åt Lidingö Stad kan det bli aktuellt för Sweco att i detta uppdrag använda FE-modellen som skapas i det här arbetet för att titta på möjliga sätt att riva bron på, speciellt med hänsyn till hur stora krafter som finns lagrade i fackverksstängerna och mängden stålmaterial (Polywoda, 2018). Figur 2.3: Sweco genomför inspektion av bland annat Tvärbalk 1 från arbetsbåt med skylift

2.5. MÄTPUNKTER 9 2.5 Mätpunkter Figur 2.4 visar en elevation av Gamla Lidingöbron, där område 1 är närmast Ropsten och 6 närmast Lidingö. Det mätområdet som undersökts är nummer 3, det vill säga vid början av bågspannet. Inom detta område har två punkter studerats, en på den särskilt utsatta tvärbalk 1 och en på en till denna anslutande långbalk, se Figur 2.5. Som en del i tidigare nämnda forskningsprojekt sitter det i båda dessa punkter trådtöjningsgivare i över- och underkant. Dessa givare har registrerat töjningsvariationer som uppkommer vid tågpassage av Lidingöbanan. I Figur 2.5 visas placeringen av samtliga givare, där 11 och 12 är placerade på tvärbalk 1 och givare 2 och 6 på långbalken. Anledningen till att dessa två punkter studeras kan förklaras av de är särskilt intressanta ur utmattningssynpunkt enligt tidigare utförda utredningar, se avsnitt 2.3. Figur 2.4: Elevation av Gamla Lidingöbrons sydvästra del (Leander J, 2017) Figur 2.5: Plan över mätpunkt 11 och 12 på Tvärbalk 1 och mätpunkt 2 och 6 på anslutande Långbalk

10 KAPITEL 2. GAMLA LIDINGÖBRON 2.5.1 Trådtöjningsgivare Som tidigare nämns övervakas Lidingöbron med sensorer i syfte att säkerställa funktionen och säkerheten. Dessa sensorer består i trådtöjningsgivare, en elektrisk ledare. När ledaren, tråden, utsätts för en förlängning eller förkortning ändras resistansen i den (NE, 2012). Töjningsgivarna är av typen LS31 från Hottinger Baldwin Messtechnik GmbH (HBM). Givaren är förlimmad på en tunn stålplåt som svetsats med ett stort antal små punktsvetsar till mätpunkterna på bron. Figur 2.6 visar svetsen av givare 12, placerad på tvärbalkens liv (Leander, 2017a). Figur 2.6: Svetsning av givare 12 (Leander J, 2017)

Kapitel 3 Syfte Syftet med denna rapport är att utvärdera beslutsunderlag vid tillståndsbedömning av befintliga stålbroar. De två faktorer som vägs in i utvärderingen är: 1. Hur precis en modell av en bågbro i stål måste vara för att motsvara ett verkligt beteende med hänsyn till utmattning. 2. Den ekonomiska nyttan av att skapa en noggrann modell jämfört med förenklade modeller. Kopplat till BIG BRO-projektet kan detta sammanfattas med att öka kunskapen om hur punkt 1. Modelling sophistication kan utvärderas och effektiviseras. Undersökningen kommer genomföras med Gamla Lidingöbron som referensobjekt, men resultatet bör förhoppningsvis kunna användas som beslutsunderlag på även andra kritiska och äldre broar. Nedan redovisas en lista med delmål: Skapa en precis modell av Gamla Lidingöbrons bågspann i syfte att generera tidshistorier över spänningsvariationerna i punkterna på tvärbalk 1 och långbalken vid tågpassage. Skapa två enklare modeller motsvarande Gamla Lidingöbrons långbalk. En kontinuerligt upplagd balk över sex stöd och en fritt upplagd balk. Utifrån dessa generera tidshistorier över spänningsvariationerna i mätpunkten på långbalken, 2(6). Skapa en enklare modell av Gamla Lidingöbrons tvärbalk 1 och utifrån denna generera en tidshistoria för spänningsvariationerna i mätpunkten på tvärbalken, 11(12). Tolka samtliga tidshistorierna som delskador i utmattningsberäkningar. Utföra samma utmattningsberäkning på tillgänglig mätdata över samma punkter. Jämföra resultaten mellan de olika modellerna och tillgänglig mätdata. Speciellt utvärdera skillnaden av antal tågpassager med hänsyn till utmattning. Göra en kostnadsuppskattning för framtagandet av de olika modellerna, samt en kostnadsuppskattning för konsekvenserna av ett brott. Generera och utvärdera den förväntade nyttan hos de olika modellerna som underlag för beslutsfattning. 3.1 Avgränsning Endast Gamla Lidingöbron och dess bågspann kommer undersökas. Inga andra FE program än BRIGADE/Plus kommer att användas vid modellering. Endast de statiska effekterna på modellen kommer att undersökas, således kommer eventuella dynamiska effekterna negligeras. De befintliga ritningarna av bron antas vara korrekta, ingen inspektion/kontroll av dessa kommer att genomföras, vilket innebär att hänsyn till eventuell nedbrytning av material inte beaktas. Utmattningsberäkningen utgår från Eurokod med tillhörande svenska normer och kompletterade standarder. 11

Kapitel 4 Modellering och analys 4.1 FE modellering Finita element metoden är en numerisk metod för att lösa linjära och olinjära partiella differentialekvationer. Idén går ut på att diskretisera en struktur till små element som hålls samman med hjälp av noder. En approximativ lösning tas fram för varje element med hjälp av linjära eller kvadratiska funktioner. Vilken typ av element som väljs beror på strukturens uppbyggnad, några exempel är balkelement, skalelement och solida element. Avgörande för vilken typ av element som väljs är hur många noder som ska genereras och hur många frihetsgrader dessa noder ska ha. Balkelement har vanligtvis två noder för varje element där varje nod har tre frihetsgrader i 2D och sex stycken i 3D (Leander, 2017b). Vid användandet av FE-modellering bör specifik hänsyn tas till bland annat modelleringen av de olika komponenterna, randvillkor, val av programvara, materialegenskaper, samt modellering av laster. Modellering av komponenterna är, som ovan nämnt, beroende av vilken typ av element som används samt storleken på dessa. Ju mindre element som används desto bättre approximation av verkligheten uppnås, men antalet ekvationer ökar vilket leder till längre körtid. Randvillkoren bör beaktas specifikt eftersom en FE-modell är känslig för spänningskoncentrationer (Leander, 2017b). 4.1.1 BRIGADE/Plus BRIGADE/Plus är en programvara avsedd för strukturanalys och design av broar och andra anläggningar. Programmet är baserat på det finita element analys programmet ABAQUS. ABAQUS är framtaget av Dassault Systèmes och BRIGADE/Plus av Scanscot Technologhy. Till skillnad från ABAQUS är BRI- GADE/Plus specifikt utvecklat för modellering av avancerade och detaljrika brokonstruktioner bland annat eftersom det finns två moduler där rörliga laster kan modelleras, Live load och Dynamic live load (Scanscot Technology, 2018). I modulen Dynamic live load kan tidshistorier för en specifik punkt beställas varför denna var specifikt användbar i denna analys. 12

4.2. MODELLERING 13 4.2 Modellering För att undersöka hur en modells precision påverkar noggranheten i dess genererade resultat har fyra olika modeller med varierad precision skapats, så att deras respektive resultat kan jämföras med mätdata. I alla modeller är balken där den undersöka punkten sitter likadant modellerad, i enlighet med ritningarna, medan strukturen runtomkring ser olika ut. I de enklare modellerna är de undersökta balkarna upplagda på randvillkor, medan de i den avancerade modellen är upplagda i den större strukturen. Bågstrukturen fungerar ungefär som en fjäder när de undersökta punkterna belastas, då den inte är helt styv eller opåverkad av de passerande axellasterna. Dessutom känner bågstrukturen av och sprider axellasternas verkan i strukturen när dessa passerat den aktuella mätpunkten men fortfarande belastar andra delar, till skillnad från de enklare modellerna. Eftersom axellasterna förs ned direkt från rälen och slipersen till långbalken, blir detta strukturella beteende likvärdigt i alla modeller för området precis runt mätpunkten. Villkoren för hur strukturen runt omkring reagerar på detta och hur upplagsvillkoren fungerar är olika. Dessutom känner enbart den större modellen av hela tågets passage och om last i en annan del av spannet påverkar den undersökta mätpunkten. De resultat som togs ut ur modellerna var tidshistorier för hur normalspänningen varierade vid en tågpassage i de två punkterna. 4.2.1 Tvärsnitt En stor del av arbetet med modellerna var att tolka geometrin hos tvärsnitten beskrivna i ritningarna, dels de handritade och inskannade ritningarna på tyska från tidigt 1900-tal men också moderna ritningar av kompletteringar och ändringar som gjorts genom åren. De flesta av brons balkprofiler är original och uppbyggda av nitade plåtar. Dessa nitade profiler var för komplexa för att på ett lämpligt vis kunna föras in i FE-modellen direkt. För att kunna föra in profilerna i modellen har de översatts till förenklade profiler motsvarande relevanta egenskaper, såsom tröghetsmoment, höjd och area. För detta ändamål användes programvaran SECTION v5.0. SECTION är utgivet av StruProg och beräknar tvärsnittsegenskaperna hos olika balkprofiler, dels förprogrammerade former där måtten kan ändras av användaren men också uppbyggda tvärsnitt där användaren anger hela tvärsnittsformen själv. Först konstruerades de nitade profilernas helt i enlighet med de mått som framgår av ritningarna i SECTIONs modul för uppbyggda tvärsnitt. Ur detta kunde tvärsnittets egenskaper gällande area A, tröghetsmoment i z-riktningen, I z och x-riktningen, I x observeras. Därefter har förenklade tvärsnitt genererats i samma programvara med tjockare plåtar, förenklade geometrier och överensstämmande egenskaper med en noggrannhet av minst 2 värdesiffror. Figur 4.1 visar den undre bågstångens tvärsnittsuppbyggnad med mått från originalritning. I Figur 4.2 visas hur tvärsnittets geometri modellerats och i Figur 4.3 det förenklade tvärsnitt som senare matats in i BRIGADE/Plus som ett arbitrary tvärsnitt. Resterande tvärsnittsgeometrier finns beskrivna i Bilaga A. Figur 4.1: Undre bågstångens tvärsnittsuppbyggnad från originalritning 1922

14 KAPITEL 4. MODELLERING OCH ANALYS Figur 4.2: Den undre bågstångens tvärsnitt uppbyggd i SECTION 5.0 Figur 4.3: Det förenklade tvärsnittet för den undre bågstången uppbyggd i SECTION 5.0 4.2.2 Material Stålkvaliteten varierar i brons olika delar, dels på grund av av misstag under uppförandet på 1920-talet då olika stålsorter blandades ihop, men också på grund av senare reparationer då andra typer av stål använts. Detta har dock inte beaktats i FE-modellerna utan allt stål har betraktat som homogent med egenskaper enligt Tabell 4.1 nedan: Tabell 4.1: Materialegenskaper för stål Elasticitetsmodul, E 210 GPa Poissons tal, ν 0.3 Densitet, ρ 7800 kg / m 3

4.2. MODELLERING 15 4.2.3 Modell 1 - Den avancerade modellen Den avancerade modellen i BRIGADE/Plus skapades med tredimensionella deformerbara balkelement. De fyra randvillkoren är desamma som de teoretiska enligt ritningarna, se Bilaga C. Bågspannet modellerades som fritt upplagt mellan två stöd. Hela bågspannet avbildades enligt ritning bortsett från de undre vindförbanden. De undre vindförbanden modellerades inte då dessa bär horisontella laster, framför allt vind, vilket inte undersökts. Resultatet har genererats med linjära funktioner och balkelement av typ B31. Elementstorleken som användes var 1 m, vilket enligt konvergensanalys redovisad i Figur 5.1 var tillräckligt noggrant. Figur 4.4: Uppbyggnad av modell 1 - Den avancerade modellen i BRIGADE/Plus 4.2.4 Modell 2 - Kontinuerlig långbalk Modell 2 konstruerades för att illustrera spänningsvariationen i mätpunkt 2 och 6 på långbalken. Modellen skapades med deformerbara tvådimensionella balkelement med samma tvärsnitt, IPE 550, och materialegenskaper som motsvarande långbalk i Modell 1. Fem spann av långbalken skapades genom att placera ut upplag på i de punkter som tvärbalkarna korsar i Modell 1. Upplagen låste långbalken i vertikal- och horisontalled, det vill säga x- och y- riktningen enligt Figur 4.5. Resultatet har genererats med linjära funktioner och balkelement av typ B21. Elementstorleken som användes var 1 m.

16 KAPITEL 4. MODELLERING OCH ANALYS Figur 4.5: Uppbyggnad av modell 2 - Kontinuerlig långbalk i BRIGADE/Plus 4.2.5 Modell 3 - Fritt upplagd långbalk Modell 3 skapades på samma vis som Modell 2, men representerar endast det spannet på långbalken där mätpunkt 2 och 6 är lokaliserad. Balken modellerades som fritt upplagd med upplag i båda ändarna som låste balken i vertikalled samt ett stöd som även låste balken i horisontalled, se Figur 4.6. Långbalken modellerades enligt samma tvärsnitt och materialegenskaper som i Modell 1 och 2. Resultatet har genererats med linjära funktioner och balkelement av typ B21. Elementstorleken som användes var 1 m. Figur 4.6: Uppbyggnad av modell 3 - Fritt upplagd långbalk i BRIGADE/Plus

4.2. MODELLERING 17 4.2.6 Modell 4 - Förenklad tvärbalk För att göra det möjligt att beskriva hur tåget passerade över tvärbalken skapades en 3D modell. Tvärsnittet skapades på samma vis som tvärbalkarna i Modell 1. Även samma materialegenskaper användes. Två randvillkor på vardera sida om tvärbalken applicerades för att motsvara dragbanden. Dessa randvillkor låste tvärbalken för rotation runt sin egen axel samt horisontal- och vertikalled, se Figur 4.7. Till tvärbalken kopplades även två långbalkar som gjorde det möjligt att applicera tåglasten. Långbalkarna var av samma dimensioner som tidigare modeller och tilldelades samma randvillkor som tvärbalken. se Figur 4.7. Resultatet har genererats med linjära funktioner och balkelement av typ B31. Elementstorleken som användes var 1 m. Figur 4.7: Uppbyggnad av modell 4 - Förenklad tvärbalk i BRIGADE/Plus Figur 4.8: Foto av Tvärbalk 1 och långbalkarna

18 KAPITEL 4. MODELLERING OCH ANALYS 4.2.7 Konvergensanalys En konvergensanalys av elementstorleken i den avancerade FE- modellen genomfördes i syfte att verifiera modellen. Bron belastades med dess egentygnd och resultatet från det böjande momentet längst den yttersta långbalken togs fram. Tre olika elementstorlekar användes, 2 m, 1 m och 0,5 m och resultaten studerades i syfte att finna konvergens. 4.2.8 Last Brons egentyngd beaktades genom att BRIGADE/Plus fördefinerade last Gravity load användes, vilken skapar en jämt utbredd acceleration i y-riktningen över hela strukturen. Accelerationen sattes till 10 m/s 2. Egentyngden användes vid konvergensanalysen. Lasten från Lidingöbanan applicerades på modellen med hjälp av den tidigare nämnda modulen Dynamic Live Load som används för dynamiska analyser. I Modell 1 skapades två slanka fiktiva balkar för att motsvara spåren mellan långbalkarna som Lidingöbanan far på, se Figur 4.9. Eftersom rälen inte ligger direkt ovanpå långbalkarna skapades en tie constrain som binder samman balkarna och tar bort all relativ rörelse mellan dem. I de övriga modellerna har lasten från Lidingöbanan applicerats direkt på långbalkarna. Figur 4.9: Sektion av tvärbalk 1 Tåget som belastar bron benämns Spårvagn A36 och skapades med de dimensionerade axellasterna från SL enligt Figur 4.10 nedan. Spårvagnen tilldelades en hastighet på 30 km/h och applicerades på de fiktiva balkarna med startpunkt vid stöd 3 enligt Figur 2.4. Eftersom Modell 2 och 3 skapades som 2D modeller och endast beaktar ena rälen har axellasterna enligt 4.10 dividerats med två. Analysmetoden som användes för den dynamiska lasten var direkt tidsintegration, Direct time integration, där perioden valdes till 25 s för den avancerade modellen och tidsinkrementet till ett fast värde om 0.002 s. I de enklare modellerna valdes en kortare period på grund av den kortare körsträckan. För att undvika dynamiska effekter i två av de enklare modellerna har en lägre hastighet om 2 km/h använts. I spänningsanalysen har enbart tåglasten använts, utan egentyngd, för att spänningshistorierna ska kunna jämföras med resultatet från trådtöjningsgivarna som beaktar belastningen av egentyngd som noll i töjning. Figur 4.10: Axellaster för SL:s spårvagn A36

4.3. UTMATTNING 19 4.3 Utmattning För spänningarna som uppstår under en tågpassage i de olika mätpunkterna har delskadan beräknats i enlighet med Palmgren (Palmgren, 1924) och Miners (Miner, 1945) delskadeteori. Spänninghistorier för varje punkt genererades i BRIGADE/Plus och filtrerades så att cykler med en spänningsvidd lägre än 1 MPa försummades. Därefter applicerades Rainflow-metoden (Amzallag et al., 1994) på de filtrerade signalerna som skapar ett spänningskollektiv med ett visst antal cykler för varje spänningsvidd. Beräkningen utfördes i Octave. En kontrollberäkning av Rainflow-metoden genomfördes för hand i syfte att bekräfta resultaten från Octave, se Bilaga B. Spänningsvidderna σ genererade med Rainflow-metoden multiplicerades med partialkoefficienter enligt nedan: σ R = γ Mf γ F f γ d σ (4.1) Där γ Mf är en partialkoefficient för utmattningshållfasthet, vilken för en säker livslängd och allvarlig konsekvens av brott enligt Tabell 3.1 i SS-EN 1993-1-9 2005 sattes till γ Mf = 1.35. Partialkoefficienten γ F f beaktar ekvivalenta spänningsvidder med konstant amplitud, vilket enligt SS-EN 1993-1-9 2005 sattes till γ F f = 1.0. Den sista partialkoefficienten γ d beaktar säkerhetsklassen för strukturen, i detta fall säkerhetsklass 3, varför denna sattes till γ d = 1.0 enligt SS-EN 1990. Konstruktionsdetaljer som använts redovisas i Tabell 4.2 och 4.3 nedan: Tabell 4.2: Konstruktionsdetaljer enligt SS-EN 1993-1-9 2005 Tabell Konstruktionsdetalj Förbandsklass σ [MPa] Långbalk (2,6) 8.4 1 (L > 100 mm) 56 Långbalk (2,6) 8.4 5 40 Långbalk (2,6) 8.5 4 56 Tabell 4.3: Konstruktionsdetaljer enligt TDOK 2013:0267 Tabell Konstruktionsdetalj Förbandsklass σ [MPa] Tvärbalk (11,12) 5-3 4 71 Utmattningsgränserna beräknades enligt SS-EN 1993-1-9 2005 kap. 7.1: σ D = 0.737 σ C (4.2) σ L = 0.549 σ D (4.3) Där σ D är utmattningsgränsen vid konstant amplitud och σ L utmattningsgränsen vid delskadeberäkning. Antal cykler N R,i beräknades enligt följande: σ m R N R,i = σ m C 2 10 6 där m = 3 för N 5 10 6 (4.4) σ m R N R,i = σ m D 5 10 6 där m = 5 för 5 10 6 N 10 8 (4.5) Delskadan har beräknats med Palmgren-Miners delskadehypotes enligt SS EN 1993-1-9: 2005 A.5: D d = n i=1 n E,i N Ri och följande har verifierats: D d 1.0 (4.6) där n E,i är antalet cykler för en viss spänningsvidd i enlighet med spänninskollektivet. Slutligen har antalet passager innan brott beräknats enligt: Antal passager = 1 D d (4.7)

20 KAPITEL 4. MODELLERING OCH ANALYS 4.4 Förväntad nytta Utmattning av stålkonstruktioner är ett nedbrytningefenomen förenat med stora osäkerheter varför det är lämpligt att formulera det som sannolikhetsbaserat. I detta fall har den förväntade nyttan använts som beslutsunderlag för de olika modellerna. Den förväntade nyttan av ett visst alternativ, på engelska Expected utility, motsvarar en vägning av sannolikheten och nyttan för de händelser som alternativet kan resultera i. Alternativen är tilldelade ett viktat värde av dess nytta och sannolikheterna för dessa alternativen används som vikter (Hansson, 1994). Den förväntade nyttan av vardera modell beräknades enligt följande ekvation: EU = C a + P f C f (4.8) där C a motsvarar kostnaden för analysen, P f sannolikheten för brott och C f kostnaden av ett eventuellt brott. Resultatet för dessa användes senare för att avgöra vilket alternativ som gav den största nyttan. Inparametrarna uppskattades enligt nedan. 4.4.1 Brottsannolikhet Den grundläggande sannolikhetsbaserade dimensioneringen av en struktur går ut på att försäkra att lasteffekten S inte överstiger bärförmågan R, det vill säga: S R (Melchers and Beck, 2018). Utifrån detta beskrivs sannolikheten för brott i en struktur enligt: p f = P (R S) eller mer generellt: p f = P [G(X) 0] (4.9) Där P (x) beskriver sannolikheten för ett visst utfall x och G(X) är gränsfunktionen som kan vara beroende av en eller flera variabler X (Melchers and Beck, 2018). En gränsfunktion baserad på delskadesummering har föreslagits i Leander et al. (2014) och återges nedan: g (x, N) = δ 1 n i (C s σ i ) m1 1 n j (C s σ j ) m2 (4.10) K 1 K 2 i där δ är delskademåttet, K och m beskriver en binär S N-kurva, n i anger antal cykler i en viss spänningsvidd σ i och C s en modellosäkerhetsfaktor för spänningarna. Index i motsvarar spänningsvidderna enligt Ekvation (4.4) och j spänningsvidderna enligt Ekvation (4.5). Tabell 4.4 redovisar variablerna med deras statistiska parametrar som används i enlighet med Leander et al. (2014). Där N Normal, LN Lognormal, DET Deterministisk och V kallas variationskoefficienten och avser kvoten mellan standardavvikelsen σ och medelvärdet µ. i Tabell 4.4: Variabler för delskadesummering Variabel Fördelning Medel V δ LN 1 0,3 C S LN 1 0,10 K 1 LN µ K1 0,49 K D Korrelerad mot K 1 - - σ D Korrelerad mot K 1 - - σ L Korrelerad mot K 1 - - m 1 DET 3 - m 2 DET 5 - σ DET - - n DET - - På grund av den matematiska formuleringen av gränsfunktionen i Ekvation (4.10), kan inte g (x, N) beskrivas enligt någon känd statistisk fördelning, varför sannolikheten enligt Ekvation (4.9) uppskattades med hjälp av en Monte Carlo-simulering.

4.4. FÖRVÄNTAD NYTTA 21 Monte Carlo-simulering Monte Carlo-simulering används för att beräkna storheter som är svåra att bestämma exakt. Simuleringen använder slumptal och bygger på stora talets lag, vilket betyder att medelvärdet av ett stort antal observationer går mot väntevärdet när antalet observationer ökar (Blom et al., 2005). Tekniken går ut på att generera fram ett urval av värden för varje stokastisk variabel från lämplig fördelning. För lognormal-fördelade variabler har ett urval genererats i Octave med funktionen nedan: X = lognrnd(µ lnx, σ lnx, num, 1) (4.11) där µ lnx och σ lnx är medelvärdet respektive standardavvikelsen för den naturliga logaritmen av X och num är antalet simulerade värden. I detta fall var det statistiska momentet för X känt, varför medelvärdet och standardavvikelsen beräknades enligt följande (Leander et al., 2014): σ lnx = ln(v 2 + 1) (4.12) µ lnx = ln(µ) + 1 2 σ2 lnx (4.13) där V är variationskoefficienten enligt ovan och µ grundvariabelns medelvärde enligt Tabell 4.4. Det statiska momentet för K 1 beror av vilken detaljkategori som studerades. Medelvärdet för denna har beräknats enligt följande allmänt accepterade formel enligt Leander et al. (2014): µ lnk1 = ln(k 1c ) + 2σ lnx = ln(2 10 6 σ 3 C) + 2σ lnx (4.14) Variabeln K 2 var korrelerar mot K 1 och beräknades enligt Leander et al. (2014): ( ) K 5 1/3 K 2 = 1 (5 10 6 ) 2 (4.15) liksom gränsvärdena för inflektionspunkten och utmattningsgränsen som beräknades enligt: ( ) 1/3 K1 σ D = 5 10 6 (4.16) ( ) 1/5 5 σ L = σ D (4.17) 100 För varje stokastisk variabel simulerades en miljon värden, vilket sattes in i gränsfunktionen enligt Ekvation (4.10). Antalet kopior av spänningsspektrumet som användes var n 2(6) = 4 10 5 för punkt 2(6) och n 11(12) = 2 10 7 för punkt 11(12), vilket baserades på resultatet för antal passager för Modell 1, se Tabell 5.1. Detta resulterade i en fördelning av gränsfunktionen som sedan användes för att beräkna p f enligt Ekvation (4.9). 4.4.2 Analyskostnad Analyskostnaderna för de olika modellerna uppskattades baserat på antal nedlagda timmar och timpris. Timpriset för denna typ av analys uppgick till mellan 800-1200 SEK/h beroende på expertis. Vid uppskattning av kostnaden och de nedlagda timmarna gäller detta Gamla Lidingöbron i fråga, en äldre bro där följande antaganden har gjorts: Timpris satt till 900 SEK/h för en konstruktör med vana av att genomföra bärighetsberäkningar. Tidkrävande ritningsläsning på grund av ålderdomliga ritningar och omfattande ombyggnationer. Gammaldags nitade tvärsnitt som varierar längst med respektive balk. Tidkrävande att tolka egenskaperna hos dessa tvärsnitt. Omfattande ombyggnationer och förstärkningar är gjorda genom åren vilket gör det svårt att få en överblick över dagens konstruktion. En standardiserad rapportmall som vid exempelvis utvärdering av en plattrambro kan inte användas då denna bro i sitt utförande är unik, vilket gör att extra timmar för rapportskrivning tillkommer. Ett stort antal dokumenterade skador finns vilket gör det svårt att avgöra om vissa delar fortfarande statiskt fungerar som tänkt.

22 KAPITEL 4. MODELLERING OCH ANALYS 4.4.3 Kostnad vid ett eventuellt brott Kostnaden vid ett eventuellt brott består dels av analys och reparationskostnad, men också en samhällsekonomisk kostnad för de resenärer som inte kan transportera sig över bron om den behöver vara avstängd efter upptäckt och under åtgärdande av skadan. Konsekvensen av en upptäckt utmattningsspricka skulle bli att spårvagnstrafiken stängdes av direkt, medan gång och cykeltrafikanter troligtvis fortsatt skulle kunna trafikera bron. I det enklaste och mest sannolika fallet skulle sprickan kunna åtgärdas med stoppborrning, i annat fall med förstärkning eller ersättande av den skadade delen. Stoppborrning utförs genom att ett hål borras i utmattningssprickans spets för att på så sätt minska spänningskoncentrationen, orsaken till ett fortsatt propagerande av sprickan. Stoppborrning är relativt snabbt utfört. Först utförs en magnetpulverprovning då området runt sprickan magnetiseras och sedan spolas med järnoxid som ansamlas i sprickan. Detta för att tydligt se sprickans spets. En kontrollerande magnetpulverprovning bör också utföras efter stoppborrningen. En uppskattningen av åtgärdskostnaden baseras på kostnaden för arbetsbåt med liftkorg och två personal, ca 2 800 kr/h, för att komma åt den berörda balken, hyra av magnetborrmaskin, borr och smörjolja, med behörig personal som borrar och sprickundersöker. En del rapportarbete krävs också samt diverse telefonsamtal med beställare och entreprenörer. Operationen kan fördyras av att arbetet behöver utföras skyndsamt, men när personalen är på plats hinns gott och väl stoppborrning och provning inklusive resor med på en arbetsdag, antaget ur en arbetssynpunkt en relativ bra placerad spricka under normal arbetstid.(landberg, 2018) Enligt myndigheten Trafikanalys rapport Arbetspendling i storstadsregioner från 2011, är ett genomsnittligt förseningstidsvärde 688 kronor per försenad person och timme för kollektivtrafik (buss, tåg, flyg). Dessutom tillkommer samhällskostnader i form av ökad trängsel på alternativa färdvägar och ökade utsläpp och kostnad för SL att sätta in ersättningsbussar. (Trafikanalys, 2011) Dessa kostnader är dock negligerade i analysen av samhällskostnader. Enligt trafikförvaltningens mätningar hade Lidingöbanan 7 500 resenärer över bron en vardag i oktober 2010. Samhällskostnaden för att hålla Gamla Lidingöbron oplanerat stängd för Lidingöbanan har därför beräknats per dygn för 7 500 personer som förväntas bli försenade i genomsnitt en timme. Under år 2010 uppmätte Stockholms Stad cirka 3 040 cyklister över bron under ett dygn i maj (LidingöStad, 2013), vilka dock antagligen inte behöver påverkas av avstängningen.

Kapitel 5 Resultat 5.1 Konvergensanalys Det böjande momentet längs med den yttersta långbalken orsakat av hela brons egentyngd för elementstorlek 0.5 m 1 m och 2 m redovisas nedan i Figur 5.1. Figur 5.1: Konvergensanalys 23

24 KAPITEL 5. RESULTAT 5.2 Spänning 5.2.1 Långbalken Mätningarna från tio slumpmässigt valda tågpassager för trådtöjningsgivaren placerad på långbalken, punkt 2, redovisas i Figur 5.2 nedan. Den tågpassage som valdes för undersökningen redovisas i Figur 5.3. Figur 5.2: Tio tågpassager i punkt 2 Figur 5.3: Vald signal ur Figur 5.2 Figur 5.4 visar spänningshistorier i punkt två för Modell 1,2 och 3 samt tillgänglig mätdata. Figur 5.4: Modell 1: Den avancerade modellen, 2: Kontinuerlig balk, 3: Fritt upplagd balk

5.2. SPÄNNING 25 5.2.2 Tvärbalken Mätningarna från tio slumpmässigt valda tågpassager för trådtöjningsgivaren placerad på tvärbalken, punkt 11, redovisas i Figur 5.5 nedan. Den tågpassage som valdes för undersökningen redovisas i Figur 5.6 Figur 5.5: Tio tågpassager i punkt 11 Figur 5.6: Vald signal ur Figur 5.5 Figur 5.7 visar spänningshistorier i punkt elva för modell 1 och 4 samt tillgänglig mätdata. Figur 5.7: Modell 1: Den avancerade modellen, 4: Den enklare tvärbalksmodellen

26 KAPITEL 5. RESULTAT 5.3 Utmattning 5.3.1 Modell 1 - Den avancerade modellen Spänningsvariationer för en tågpassage i punkt 2 och 6 på långbalken respektive 11 och 12 på tvärbalken redovisas i Figur 5.9 och 5.10. Motsvarande spänningskollektiv genererat med Rainflow-metoden redovisas i 5.9 och 5.11. Figur 5.8: Spänningsvariation punkt 2 & 6 Figur 5.9: Spänningskollektiv punkt 2 & 6 Figur 5.10: Spänningsvariation punkt 11 & 12 Figur 5.11: Spänningskollektiv punkt 11 & 12

5.3. UTMATTNING 27 Tabell 5.1 redovisar den beräknade delskadan utifrån resultaten från Figur 5.9-5.11: Tabell 5.1: Beräknad delskada vid en tågpassage Konstruktionsdel Delskada modell Delskada mätning Långbalk punkt 2 2.4604 10 6 5.1899 10 7 Långbalk punkt 6 2.4604 10 6 8.9681 10 7 Tvärbalk punkt 11 5.5549 10 8 1.1781 10 8 Tvärbalk punkt 12 5.5549 10 8 1.1781 10 8 Tabell 5.2 redovisar antalet miljoner tågpassager som är tillåtet innan utmattningsbrott uppstår i de olika konstruktionsdelarna: Tabell 5.2: Antal miljoner tågpassager innan utmattningsbrott Konstruktionsdel Antal passager modell Antal passager mätning Långbalk punkt 2 0.41 1.9 Långbalk punkt 6 0.41 1.1 Tvärbalk punkt 11 18 85 Tvärbalk punkt 12 18 85

28 KAPITEL 5. RESULTAT 5.3.2 Modell 2 - Kontinuerlig balk Spänningsvariationer för en tågpassage i punkt 2(6) på långbalken redovisas i Figur 5.12. Motsvarande spänningskollektiv genererat med Rainflow-metoden redovisas i 5.13. Figur 5.12: Spänningsvariation punkt 2(6) Figur 5.13: Spänningskollektiv punkt 2(6) Tabell 5.3 redovisar den beräknade delskadan utifrån resultaten från Figur 5.12-5.13: Tabell 5.3: Beräknad delskada vid en tågpassage Konstruktionsdel Delskada modell Delskada mätning Långbalk punkt 2(6) 8.9681 10 7 5.1899 10 7 Tabell 5.4 redovisar antalet miljoner tågpassager som är tillåtet innan utmattningsbrott uppstår i konstruktionsdelen: Tabell 5.4: Antal miljoner tågpassager innan utmattningsbrott Konstruktionsdel Antal passager modell Antal passager mätning Långbalk punkt 2(6) 1.1 1.9

5.3. UTMATTNING 29 5.3.3 Modell 3 - Fritt upplagd balk Spänningsvariationer för en tågpassage i punkt 2(6) på långbalken redovisas i Figur 5.14. Motsvarande spänningskollektiv genererat med Rainflow-metoden redovisas i 5.15. Figur 5.14: Spänningsvariation punkt 2(6) Figur 5.15: Spänningskollektiv punkt 2(6) Tabell 5.5 redovisar den beräknade delskadan utifrån resultaten från Figur 5.14-5.15: Tabell 5.5: Beräknad delskada vid en tågpassage Konstruktionsdel Delskada modell Delskada mätning Långbalk punkt 2(6) 2.8482 10 6 5.1899 10 7 Tabell 5.6 redovisar antalet miljoner tågpassager som är tillåtet innan utmattningsbrott uppstår i konstruktionsdelen: Tabell 5.6: Antal miljoner tågpassager innan utmattningsbrott Konstruktionsdel Antal passager modell Antal passager mätning Långbalk punkt 2(6) 0.35 1.9

30 KAPITEL 5. RESULTAT 5.3.4 Modell 4 - Förenklad tvärbalk Spänningsvariationer för en tågpassage i punkt 11(12) på tvärbalken redovisas i Figur 5.16. Motsvarande spänningskollektiv genererat med Rainflow-metoden redovisas i 5.17. Figur 5.16: Spänningsvariation i punkt 11(12) Figur 5.17: Spänningskollektiv i punkt 11(12) Tabell 5.7 redovisar den beräknade delskadan utifrån resultaten från Figur 5.16-5.17: Tabell 5.7: Beräknad delskada vid en tågpassage Konstruktionsdel Delskada modell Delskada mätning Tvärbalk punkt 11(12) 5.5549 10 8 1.1781 10 8 Tabell 5.6 redovisar antalet miljoner tågpassager som är tillåtet innan utmattningsbrott uppstår i konstruktionsdelen: Tabell 5.8: Antal miljoner tågpassager innan utmattningsbrott Konstruktionsdel Antal passager modell Antal passager mätning Tvärbalk punkt 11(12) 18 85 5.3.5 Sammanställning av utmattningsresultaten Långbalken Modell 1 tillåter 21 % av antalet passager tillåtna enligt mätdata. Modell 2 tillåter 58 % av passagerna och modell 3 tillåter 18 % jämfört med mätdata. Tvärbalken Modell 1 och 4 tillåter ett lika stort antal passager, vilket utgör 21 % av passagerna som tillåts enligt mätdata.

5.4. FÖRVÄNTAD NYTTA 31 5.4 Förväntad nytta 5.4.1 Brottsannolikhet Tabell 5.9 redovisar den simulerade brottsannolikheten p f för punkt 2(6) på långbalken samt 11(12) på tvärbalken för de studerade modellerna. Den totala brottsannolikheten motsvarar sannolikheten för brott i någon av punkt 2(6) eller punkt 11(12) för Modell 1 och kombinationer av Modell 2 + 4 eller 3 + 4. Tabell 5.9: Simulerad brottsannolikhet p f punkt 2(6) p f punkt 11(12) p f Totalt Modell 1 0.0065240 0.000257 0.006781 Modell 2 0.000617-0.006426 Modell 3 0.013617-0.013873 Modell 4-0.000256 - Mätdata 0.000011 0-5.4.2 Analyskostnad Beräknad analyskostnad för varje modell redovisas i Bilaga C. Den sammanlagda analyskostnaden för kombination av Modell 2 eller 3 och 4 samt Modell 1 redovisas i Tabell 5.10 nedan: Tabell 5.10: Analyskostnad Kostnad [SEK] Modell 1 245 000 Modell 2 + 4 151 000 Modell 3 + 4 151 000 5.4.3 Kostnad vid ett eventuellt brott En grov uppskattning av kostnaden uppgår till 40 000 kronor för stoppborrningen av en tänkt spricka, med tidsåtgång en dag. I detta fall antas en ur arbetssynpunkt relativ bra placerad spricka. Att arbetet behöver utföras skyndsamt kan fördyra operationen. (Landberg, 2018) Avstängningen skulle ge en samhällskostnad av 5,16 miljoner kronor baserat på uppgifterna presenterade i tidigare kapitel. Total kostnad i detta fall uppgår till 5,2 miljoner kronor. I ett värsta fall med en omfattande skada på tvärbalken behöver den bytas ut. Konsultkostnaden för att skyndsamt ta fram en arbetsbeskrivning för detta kan uppgå till flera hundra tusen. Normalt ligger entreprenörkostnaden på ca fem gånger konsultkostnaden. Tidsåtgången för detta är svår att uppskatta men kan överskrida en vecka (Polywoda, 2018). Baserat på detta har i fortsättningen ett värsta fall antagits vara en konsultkostnad på 400 000 kronor och en entreprenörskostnad på 2 miljoner kronor. Samhällskostnaden har beräknats för att hålla bron oplanerat stängd under en arbetsvecka för samtliga trafikanter över bron, 36 miljoner kronor. Med dessa antaganden blir den totala kostnaden för detta scenario 38,4 miljoner kronor. Ett kostnadsspann för en åtgärd vid brott har baserat på ovanstående antaganden satts till 5,2-38,4 miljoner kronor i den fortsatta analysen.

32 KAPITEL 5. RESULTAT 5.4.4 Förväntad nytta Beräknad förväntad nytta för varje modell med hänsyn till analyskostnad enligt Tabell 5.10, brottsannolikhet enligt Tabell 5.9 samt kostnad för eventuellt brott enligt avsnitt 5.4.3 redovisas i Figur 5.18 nedan. Den förväntade nyttan är i resultatet redovisas per 100 000 SEK. Vid kvoten C f /C a = 100 är kostnaden för eventuellt brott 24,5 miljoner SEK för Modell 1 samt 15,1 miljoner SEK för de förenklade modellerna. Vid denna kvot ges den förväntade nyttan för Modell 1 EU = 4.11, Modell 2 + 4 EU = 2.48 samt Modell 3 + 4 EU = 3.60. Figur 5.18: Förväntad nytta för en varierande C f

Kapitel 6 Diskussion och slutsatser 6.1 Precision i modellering För de undersökta mätpunkterna på Gamla Lidingöbron gav det inte ett mer verklighetsnära resultat att öka modellens precision. Bron är konstruerad för att bära dubbelspår med tung godstrafik tillsammans med bil- och lastbilstrafik, vilket gör att dagens trafik med en lätt spårvagn och en reducerad egentyngd endast utnyttjar en liten del av brons totala kapacitet. Det verkliga beteendet hos bågspannets sekundära bärverk är därmed mycket likt att vara upplagt på fasta randvillkor, eftersom det primära bärverket blir mycket styvt i förhållande till dagens laster. Detta resulterar i mer verklighetsnära enkla modeller än förväntat. 6.1.1 Spänningshistorier Det som framkommer när tidshistorierna från de inmätta tågpassagerna studeras närmare är att långbalken agerar som fritt upplagd på tvärbalkarna. Balkens sammanfogning överför nästan inga normalkrafter, vilket gör att modellen med den fritt upplagda balkens spänningshistoria överensstämmer bättre med den precisa modellens resultat, jämfört med den som är kontinuerlig över tvärbalkarna. Att långbalkarnas sammanfogningar i längdled vara så svaga var oväntat. Att modellerna ger större spänningsvariationer än mätdata kan förklaras av att de dimensionerande axellasterna använts för de modellerade tågen, vilket resulterar i en konservativ analys. De verkliga tågens axellsater understiger de dimensionerande axellasterna, vilket resulterar i lägre spänningar i de undersökta punkterna. Resultatet från utmattningsberäkningen av Modell 1 och 4 överensstämmer nästan exakt med varandra, varför modellering av hela bågspannet inte anses nödvändigt vid analys av tvärbalk 1, i detta fall punkt 11 och 12. Både Modell 1 och 4 ger ett konservativt resultat jämfört med verkliga beteendet av bron. 6.2 Förväntad nytta Den förväntade nyttan för Modell 3 och 4 är nästan 30 % större jämfört med Modell 1 vid den lägsta eventuella kostnaden för brott. Vid den högsta kostnaden för eventuellt brott skiljer det endast 5 %, vilket betyder att det i detta fall alltid kommer vara mer ekonomiskt lönsamt att välja en kombination av Modell 3 och 4 jämfört med Modell 1. Dock är linjerna i Figur 5.18 inte parallella, vilket betyder att för en viss värde på C f, högre än det studerat (38,4 miljoner SEK), kommer Modell 1 vara mer ekonomiskt lönsam än en kombination av Modell 3 och 4. En kombination av Modell 2 och 4 visar den högsta nyttan, vilket är en följd av den låga sannolikheten för brott genererad från Modell 2. Detta kan förklaras med att Modell 2 inte når samma spänningsvariation som Modell 1 och 3, se Figur 5.12. 33

34 KAPITEL 6. DISKUSSION OCH SLUTSATSER 6.2.1 Brottsannolikhet Vid jämförelse mellan resultaten i Tabell 5.9 kan det konstateras att sannolikheten för utmattningsbrott för mätdata är betydligt mindre eller obefintlig jämfört med den genererad från modellerna. Detta kan förklaras med att samma antal kopior av spänningskollektivet används vid båda beräkningarna för att kunna ge en bild av skillnaden. För en korrekt beräkning av brottsannolikheten för mätdata bör antalet kopior av spänningskollektivet n baseras på resultatet för mätningarna i enlighet med Tabell 5.2, vilket i detta fall skulle bli 2 miljoner kopior för punkt 2(6) samt 85 miljoner kopior för punkt 11(12). 6.2.2 Kostnad vid ett eventuellt brott Siffrorna för den uppskattade kostnaden vid ett eventuellt brott är baserad på siffror som är flera år gamla. Antalet resenärer och förseningskostnaden idag kan antas vara något högre justerat för inflation och ett ökat antal boende på Lidingö. Även kostnaderna för eventuella åtgärder är grovt uppskattade. Siffrorna för kostnad och tidsåtgång vid åtgärden stoppborrning anses vara relativt exakta, medan kostnad och tidsåtgång för större åtgärder är betydligt svårare att uppskatta. Samhällskostnaden är teoretisk. Under den större åtgärden är det möjligt att bron tidvis kan hållas öppen för gående och cyklister och enbart stängs för spårvagnstrafiken, vilket inte har beaktats i analysen. Tydligt är dock att kostnaden kan variera stort beroende på vilken åtgärd som krävs och att den största posten inte är den för själva åtgärden utan samhällskostnaden för att hålla bron stängd. Som jämförelse kan reparationskostnaden för motorvägsbron i Södertälje sommaren 2016 användas. Då körde en lastbil in i bron och den totala kostnaden för Trafikverket, brons ägare, blev 19,7 miljoner kronor. Samhällskostnaden är inte medräknad i Trafikverkets siffra. (SVT, 2016) 6.2.3 Kostnad för analys I det studerade fallet har körtiden för analysen av den avancerade modellen i BRIGADE/Plus understigit två timmar. De enklare modellernas körtid har endast utgjort en bråkdel av detta. I andra fall, om flera punkter studeras eller en tyngre skal- eller solidmodell används kan det vara så att tiden för körningen ökar markant. Denna faktor skulle kunna öka analyskostnaden för mer avancerade modeller ytterligare, men har inte medtagits i denna analys. 6.3 Beslutsunderlag Att en kombination av Modell 3 och 4 med fördel skulle kunna användas som beslutsunderlag i en tillståndsbedömning av Gamla Lidingöbron är väl motiverat. Att Modell 3 skiljer sig 2 procentenheter mer från verkligheten än vad Modell 1 är i sammanhanget försumbart. I synnerhet när resultatet från den förväntade nyttan vägs in. En kombination av Modell 2 och 4 skulle med tanke på resultatet från utmattningsberäkningen inte kunna användas som beslutsunderlag framför Modell 1. Spänningshistorierna skiljer sig så pass mycket från verklig data vilket ger ett missvisande resultat på både utmattningsberäkningen och den förväntade nyttan. Detta bekräftar hur viktigt det är att beakta de verkliga upplagsförhållandena som randvillkor i en FE-modell. Sammanfattningsvis behöver inte en avancering på M-axeln i Figur 1.1 nödvändigtvis innebära en betydligt bättre modell av verkligheten. En konservativ modell kan resultera i ett lägre utnyttjande av bron i sig, eftersom den i detta fall inte tillåter lika många passager innan brott som en avancerad modell gör. Men om detta överväger de kostnadsbesparingar som kan göras vis användning av en förenklad modell är upp till den som har i uppdrag att utföra tillståndsbedömningen att avgöra.

6.4. SLUTSATSER 35 6.4 Slutsatser Hög precision i en teoretisk modell ger inte entydigt bättre resultat än resultaten från en förenklad modell. Enligt Figur 5.18 är det inte ekonomiskt motiverat att använda en avancerad modell framför en kombination av två enklare modeller. Modell 2 stämmer minst överens med verklig data och kan därmed inte användas som en förenkling av verkligheten. En kombination av Modell 3 och 4 resulterar i det bästa alternativen med hänsyn till syftet. 6.5 Framtida studier För att bättre kunna utvärdera hur precisionen i modelleringen påverkar kvaliteten på resultaten bör ett referensobjekt väljas där en större del av dess kapacitet utnyttjas. Detta för att inverkan av de olika delarna ska märkas tydligare. Kanske ger också objekt vars verkliga verkningssätt ligger längre ifrån deras teoretiska större spridning av resultat vid varierad precision. I detta fall modelleras ett fackverk med en balkmodell vilket förväntas ligga närmare verkligheten än en struktur där skal- eller solidelement behöver användas. Intressant skulle vara att göra motsvarande studie för andra punkter i strukturen, exempelvis längre bort från tåglasten, för att ytterligare verifiera resultatet. För ytterligare verifiering skulle det även vara intressant att applicera undersökningen på ett liknande referensobjekt i syfte att utvärdera hur mycket inverkan bågen har i de studerade punkterna. Andra resultat skulle kanske också fås av en struktur som bättre modellerades med skal- eller solidelement, alltså inte ett fackverk. En mer exakt och ingående uppskattning av samhällskostnaderna förknippade med en åtgärd skulle sannolikt kunna göras med tillgång till data från Trafikverket och SL.

Litteraturförteckning AIX Arkitekter AB. Kulturhistorisk värdebeskrivning, gamla lidingöbron, 2011. C. Amzallag, J.P Gerey, J.L Robert, and J. Bahuaud. Standardization of the rainflow counting method for fatigue analysis. International Journal of Fatigue, 1994. Anders Ansell. Rapport 73, 2003. Anders Ansell. Rapport 75, 2004. Eric Bengts and Robert Jansson. Modellering av gamla lidingöbron, 2004. Gunnar Blom, Jan Enger, Gunnar Englund, Jan Grandell, and Jan Holst. Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar. Studentlitteratur, Lund, 2005. Sven Ove Hansson. Decision Theory - A Brief Introduction. Department of Philosophy and the History of Technology, Royal Institute of Technology, Stockholm, 1994. Björn Landberg. Intervju, maj 2018. Broinspektör Sweco. John Leander. Gamla lidingöbron töjningsmätningar preliminär rapport, 2017a. John Leander. Föreläsning, Bridge FE analysis in practice, Advanced Bridge design, KTH, November 2017b. John Leander, Norlin Bert, and Raid Karoumi. Reliability-based calibration of fatigur safety factors for existing steel bridges. Journal of Bridge Engineering, 20:1 9, 2014. John Leander, Dániel Honfi, Oscar Larsson Ivanov, and Ívar Björnsson. A decision support framework for fatigue assessment of steel bridges, 2018. Lidingö Stad. Gamla Lidingöbron, Trafik och infrastruktur, Lidingöbroarna, Lidingö stad, 2018. LidingöStad. Lidingö trafik 2030, Lidingö möter framtiden en trafikstrategi, 2013. Robert E. Melchers and André T. Beck. Structural Reliability Analysis and Prediction. John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 2018. M.A. Miner. Cumulative damage in fatigue. Journal of Applied Mechanics, 67:A159 A164, 1945. Einar Nordendal. Beskrivning över nya Lidingöbron, byggd åren 1917-1926. A.B Hasse W. Tullbergs boktryckeri, Stockholm, 1928. A. Palmgren. Die lebensdauer von kugellagern. VDI Zeitschrift, 68:14, 1924. Nicolas Polywoda. Intervju, maj 2018. Brokonstruktör, Uppdragsledare för underhållsarbete och drift av Gamla Lidingöbron t.o.m. rivning 2022. Ramböll. Lidingö stad gamla lidingöbron, rapport, 2004. Ramböll. Lidingö stad, tekniska förvaltningen, rapport jan 2006, 2006. Ramböll. Tillståndsbedömning av befintlig bro. Ramböll Sverige AB, 2012a. 36

LITTERATURFÖRTECKNING 37 Ramböll. G:a lidingöbron, sammanfattande rapport över tidigare gjorda utredningar, 2012b. Ramböll. Lidingö stad, tekniska förvaltningen, g:a lidingöbron, tillståndsbedömning av stålöverbyggnad och motvikt, 2013. Scanscot Technology. BRIGADE/Plus, Products, Scanscot Technology, 2018. SVT. Så mycket kostade broolyckan, SVT 2016-11-05, 2016. https://www.svt.se/nyheter/lokalt/sodertalje/sa-mycket-kostade-broolyckan (hämtad 2018-05-28). Trafikanalys. Arbetspendling i storstadsregioner en nulägesanalys rapport 2011:3, 2011. Trafikverket. Skötsel av broar, Underhåll av väg och järnväg, Resa och trafik, Trafikverket, 2014.

Bilaga A Tvärsnitt Som beskrivet under Kapitel 2 i rapporten har de nitade tvärsnitten behövt förenklas. Nedan följer beskrivning av geometri och egenskaper för dessa tvärsnitt såsom de representeras i modellen. Sektionsnumrering är enligt originalritningar. Dragbanden är roterade 90 grader så att de bildar H- tvärsnitt. Därför är tröghetsmomenten för dessa intressant i z-riktning istället för y-riktning. De är indelade i tre undergrupper, I-tvärsnitt, lådtvärsnitt och arbitrary tvärsnitt. Figur A.1: Illustration av geometrin I- tvärsnitt Figur A.2: Illustration av geometrin lådtvärsnitt Tabell A.1: Egenskaper hos de modellerade I-tvärsnitten Tvärsnitt h [mm] b [mm] tw [mm] tf [mm] A [mm 2 ] I y [mm 4 ] I z [mm 4 ] Tvärbalk 1 1144 230.6 13.3 32 29 600 59.6 10 8 0.656 10 8 Dragband sektion 1-3 598 500 36 50 67 600 39.9 10 8 10.4 10 8 Dragband sektion 3-6 655 500 44 85 106 000 73.7 10 8 17.7 10 8 Dragband sektion 6-12 591 500 49.5 50 74 300 41.6 10 8 10.4 10 8 Hängare 475 177 7 15 8 430 3.32 10 8 0.14 10 8 Horisontell del av portal 1500 300 12.5 19.5 3 000 9.66 10 8 8.80 10 8 Tryckt fackverksstång 1 476 294 11 16.5 14 700 6.00 10 8 0.712 10 8 Tryckt fackverksstång 2 500 293 11 17 15 100 6.74 10 8 0.713 10 8 Tryckt fackverksstång 4-11 500 232 9 15.5 11 400 5.00 10 8 0.323 10 8 38

39 Tabell A.2: Egenskaper hos de modellerade lådtvärsnitten Tvärsnitt h [mm] b [mm] tw [mm] tf [mm] A [mm 2 ] I y [mm 4 ] I z [mm 4 ] Tryckt fackverksstång portal 730 800 10 38 73.9 10 3 77.5 10 8 5.28 10 8 Övre vindförband 180 422 8 11 11.8 10 3 71.6 10 6 2.46 10 8 Dragen fackverksstång 1 527 300 20 27 xx xx xx Dragen fackverksstång 2 516 300 20 16 xx xx xx Figur A.3: Övre bågstång modellerat som ett arbitrary tvärsnitt

40 BILAGA A. TVÄRSNITT Figur A.4: Undre bågstång sektion 0-1, 11-12, se figur A.3 för beskrivning av geometrin Figur A.5: Undre bågstång sektion 1-9, se figur A.3 för beskrivning av geometrin Figur A.6: Undre bågstång sektion 9-11, se figur A.3 för beskrivning av geometrin

Bilaga B Utmattningsbera kning Fo r att kontrollera resultatet av spa nningskollektivet bera knat i Octave gjordes en handbera kning med hja lp av Rainflow-metoden. Vid kontrollen anva ndes spa nningsvariationerna i punkt 11(12) fra n Modell 4. Handbera kningen resulterade i en cykel med 30 MPa, en cykel med 11 MPa och tva cykler med 10 MPa. Resultatet fra n Octave blev tva cykler pa 8 MPa, en cykel pa 10 MPa och en pa 30 MPa, vilket sta mmer bra o verrens med handbera kningarna, se figurerna nedan. Figur B.1: Spa nningsvariationen i punkt 11(12) fo r Figur B.2: Handbera kning av spa nningsvariationen fra n Figur B.1 Modell 4 41