En allmän linjär återkoppling (Varför inför vi T (s)?)

TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 Inger Erlander Klein REGLERTEKNIK Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för systemteknik inger.erlander.klein@liu.se Tel: 28665 Kontor: B-huset ingång 23-25 www.control.isy.liu.se/student/tsrt9/vt/ CONTROL AUTOMATIC vt 25 Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 / 53 Tillstånd Överföringsfunktion Givet en tillståndsrealisering { ẋ(t) =Ax(t)+Bu(t) y(t) =Cx(t)+Du(t) såär G(s) =C(sI A) B + D Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 3 / 53 Dagens föreläsning Föreläsning 2: Tillståndsåterkoppling + observatör! Idag: Frekvensegenskaper vid tillståndsåterkoppling Integralverkan vid tillståndsåterkoppling Vad har vi gjort under kursen? Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 2 / 53 En allmän linjär återkoppling (Varför inför vi T (s)?) v r + u Fr + Σ G + Σ y Fy + Σ z + n Skänslighetsfunktionen S(s) := +Fy (s)g(s) T komplementära känslighetsfunktionen T (s) := F y (s)g(s) +Fy (s)g(s) = S(s) G c(s) = F r (s)g(s) +Fy (s)g(s) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 4 / 53

Tillståndsåterkoppling med observatör Vi kan skriva om på formen U(s) =Fr (s)r(s) Fy (s)y (s) där Fr (s) =l L(sI (A KC BL)) Bl Fy (s) =L(sI (A KC BL)) K Obs! Vid tillståndsåk.+observatör är Gc(s) T (s) eftersom Fr (s) Fy (s)! Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 5 / 53 Odin: Svensk forskningssatellit (från fö ) ẋ(t) = ( ) y(t) = ( ) x(t) x(t)+ ( / ) u(t) där y(t) är vinkelläge och u(t) är genererat vridmoment. Tillståndsvariabler x(t) =y(t), x2(t) =ẏ(t) dvs vinkelläge och vinkelhastighet Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 7 / 53 Tillståndsåterkoppling med observatör Y (s) =Gc(s)R(s) T (s)n(s)+s(s)v (s) där Skänslighetsfunktionen Gc(s) = F r (s)g(s) +Fy (s)g(s) S(s) = +Fy (s)g(s) T komplementära känslighetsfunktionen T (s) = F y (s)g(s) +Fy (s)g(s) = S(s) G c(s) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 6 / 53 Odin: Stegsvar för det öppna systemet Step Response 5 45 4 35 3 25 Amplitude 2 5 5 2 4 6 8 Time (sec) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 8 / 53

Odin: Stegsvar för det återkopplade systemet Step Response.9.8.7.6.5 Amplitude.4.3.2. 2 4 6 8 Time (sec) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 9 / 53 Odin: Bode för det återkopplade systemet Bode Diagram 2 3 4 5 Magnitude (db) 6 7 8 45 9 Phase (deg) Odin: Tillstånd.9.8 State x x 2.7.6.5.4.3.2. 2 4 6 8 Time (sec) 35 8 3 2 Frequency (rad/sec) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 / 53 Amplitude Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 / 53 Odin: Stegsvar för det återkopplade systemet med observatör, x() =.5, x2() =, ˆx() = Step response.8.6.4 x mäts obs.poler.6 obs.poler 3 Amplitude.2 2 4 6 8 Time (sec) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 2 / 53

Odin: Observatörsfel x = x ˆx, x() =.5, x2() =, ˆx() =.5 State fel i x obs.poler.6 fel i x 2 obs.poler.6 fel i x obs.poler 3 fel i x 2 obs.poler 3 Amplitude 5 5 2.5 Time (sec) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 3 / 53 Odin: Stegsvar för det återkopplade systemet med observatör och mätbrus.2 Step response x mäts obs.poler.6 obs.poler 3.8.6.4 Amplitude Odin: Reglerfel för det återkopplade systemet med observatör och mätbrus.5.4 State y r obs.poler.6 y r obs.poler 3.3.2...2.3.4.5 5 5 2 Time (sec).2.2 2 4 6 8 Time (sec) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 4 / 53 Amplitude Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 5 / 53 Odin: Bode för det återkopplade systemet Återkopplade systemet 2 3 4 5 Magnitude (db) 6 7 8 45 G c Obs.pol.6 G Obs.pol 3 c2 9 Phase (deg) 35 8 3 2 Frequency (rad/sec) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 6 / 53

Odin: Känslighetsfunktionen S Känslighetsfunktionen S Obs.pol.6 S Obs.pol 3 2 2 3 4 Magnitude (db) 5 6 7 8 3 2 Frequency (rad/sec) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 7 / 53 Odin: Robusthet Komplementära känslighetsfunktionen T Magnitude (db) Inför tentan måndag 6 mars 8-3 Frågestund med Inger fredagen den 3 mars kl. -2 i P8 Gamla tentor finns på hemsidan Praktiska/administrativa frågor? Glöm inte fylla i kursutvärderingen på nätet! Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 9 / 53 Komplementära känslighetsfunktionen 5 T_ Obs.pol -.6 T_2 Obs.pol -3 /g -5 - -5-2 - 2 Frequency (rad/s) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 8 / 53 Vad är reglerteknik? Analys och styrning av dynamiska system Välj styrsignalen (u(t)) så att systemet (mätsignalen y(t)) uppför sig som önskat (referenssignalen r(t)) trotsstörningar (v(t)) Vi betraktar linjära dynamiska system Exempel: Robot, farthållare i bil, uppvärmning av hus, lönsamheten hos ett företag, tillståndetiettekologisktsystem... Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 2 / 53

Grundläggande problem Stabilitet: Undvik kraftiga åtgärder baserade på alltför gammal information. Begränsningar: Utrymmet för åtgärder är begränsat Skilj på tillfälliga variationer i resultatet och långsiktiga trender. Är vår uppfattning av systemets egenskaper korrekt? Det går inte alltid att tänka statiskt. Dynamiken spelar roll! (bakhjulsstyrda cykeln!) Designen ger vissa fundamentala begränsningar (ABB robot!) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 2 / 53 Överföringsfunktion Om alla begynnelsevillkor är noll kan differentialekvationen laplacetransformeras. Vi får då Y (s) =G(s)U(s) där G(s) = B(s) A(s) = b s m + bs m + + b m s n + as n + + an är systemets överföringsfunktion Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 23 / 53 Sammanfattning av kursen: Tabell. Svängighet Snabbhet Statisk nogrannhet Stegsvar Översläng M Stigtid Tr e (limt e(t)) Lösningstid TS Gc(iω) Resonanstopp MP Bandbredd ωb e = Gc() ωb /Tr Resonansfrekvens ωp Go(iω) Fasmarginal φm Skär- Lågfrekvens Amplitudmarginal Am frekvens ωc asymptot lutning + skärning Poler Kvot mellan Avstånd e = Gc() Im- och Re-del till origo Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 22 / 53 Känslighet Återkoppling minskar inverkan av störningar och modellfel. Återkopplade systemet: Y (s) = F r (s)g(s) +Fy (s)g(s) R(s) F y (s)g(s) +Fy (s)g(s) N(s)+ +Fy (s)g(s) V (s) Överföringsfunktionen från v till y: S(s) = +Fy (s)g(s) känslighetsfunktion T (s) = S(s) = F y (s)g(s) +Fy (s)g(s) komplementär känslighetsfunktion Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 24 / 53

Känslighet Återkopplade systemet: Y (s) =Gc(s)R(s) ( S(s))N(s)+S(s)V (s) I det frekvensområde där v har sin energi vill vi göra S(iω) liten, dvs Fy (iω)g(iω) stort! I det frekvensområde där n har sin energi vill vi göra T (iω) = S(iω) liten, dvs S(iω) nära Vi vill att Gc(iω) är nära för så många frekvenser som möjligt Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 25 / 53 Stabilitetsrobusthet, forts. Under vissa antaganden gäller: Det sanna slutna systemet är stabilt om T (iω) < g(ω) för alla ω> T komplementära känslighetsfunktionen T (s) := F y (s)g(s) +Fy (s)g(s) = S(s) g begränsar det relativa modellfelet, dvs ΔG(iω) < g(ω) för alla ω> Obs! Om Fr (s) =Fy (s) =F (s) gäller alltså T (s) =Gc(s). Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 27 / 53 Stabilitetsrobusthet Modell (nominellt system): G(s) Verklighet (sant system): G (s) =(+ΔG (s))g(s) ΔG (s) = G (s) G(s) G(s) relativa modellfelet Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 26 / 53 Stabilitet DEF Ett system är insignal-utsignal-stabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal. SATS Systemet är stabilt omm alla poler ligger strikt i VHP: för alla i :Resi < Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 28 / 53

Specifikationer på stegsvaret: Figur 3.7 y d r e r My f yf.9yf d.yf Specifikationer på stegsvaret Låt r(t) = och undersök y. Snabbhet: Tr = stigtid: Den tid det tar för stegsvaret att gå från % till 9% av slutvärdet. Slängighet: M =översläng: Om A = lim y(t) så t M = y max A A (%) Ts =insvängningstid (lösningstid) (5%):.95A y(t).5a för alla t > Ts Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 3 / 53 t Tr Ts Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 29 / 53 Allmänna tumregler Specifikationer på det stationära reglerfelet lim e(t) < C t Om gränsvärdet existerar så kanslutvärdesteoremet användas: lim t e(t) = lim se(s) s Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 32 / 53 Ett systems snabbhet är proportionell mot närmsta polens avstånd till origo. Slängigheten ökar med polens vinkel mot reella axeln. Sämsta polen bestämmer. Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 3 / 53

PID (Proportionell Integrerande Deriverande) u(t) =KP e(t)+ki t e(τ)dτ + KDė(t) F (s) =KP + K I s + K Ds P-del: Stor P-del ger litet stationärt fel och snabbt system Stor P-del kräver stora styrsignaler I-del: Eliminerar ofta stationärt fel t.ex. beroende på stegstörningar. Gör systemet mer oscillativt D-del: Minskar ofta överslängen i stegsvaret. Gör systemet mera bruskänsligt. Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 33 / 53 Frekvensbeskrivning Hur reagerar ett (stabilt) linjärt system på en periodisk insignal? u y G Om u(t) =sin(ωt) såär (för stora t) y(t) G(iω) sin(ωt +argg(iω)) G(iω) kallas frekvenssvar Bodediagram: G(iω) representeras med två funktioner: amplitudkurva: G(iω) (log-log-skala) faskurva: arg G(iω)(log-lin-skala) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 35 / 53 Rotort: P(s)+KQ(s) = Plotta hur rötterna varierar med K P(s) polynom av grad n, Q(s) polynom av grad m. Startpunkter: K = P(s) =(n st.) Slutpunkter: K = Q(s) =(m st.) 2. Asymptoter: antal: n m utgår från punkten: n m ( startpkter slutpkter) riktningar: n m (π +2lπ), l =,,...,n m 3. Del av Re-axeln: udda antal start- och slutpkter till höger 4. Skärning med Im-axeln: Sätt s = iω ikar.ekv. 5. Stabilt? Snabbt? Oscillativt? Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 34 / 53 Specifikationer i frekvensplanet (öppna systemet) (fig.5.3) l arg Go Am Go ϕm 8 ωc ωp ω [rad/s] ωc =amplitudskärfrekvens: Go(iωc) = ωp = fasskärfrekvens: arg Go(iωp) = 8 ϕm =fasmarginal: ϕm =arggo(iωp) + 8 Am =amplitudmarginal (förstärkningsmarginal): Am = Go(iωp) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 36 / 53

Specifikationer i frekvensplanet (slutna systemet) (fig.5.8) l Gc Mp 3dB2 ωr ωb ω [rad/s] ωb = bandbredd, Mp = resonanstoppens höjd. ωb stor snabbt system Mp stor dålig dämpning, storöversläng Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 37 / 53 Specifikationer: snabbhet och slängighet Snabbhet Normalt gäller Go(iω) när ω Gc(iω) Go(iω) för stora ω ωb och ωc ligger nära varandra ωc stor ωb stor snabbt system Slängighet För resonanstoppen gäller MP 2sin ϕm 2 ϕm liten MP stor dålig dämpning, stor översläng Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 39 / 53 Specifikationer i frekvensplanet (öppna systemet) Idetöppna systemets bodediagram definieras ωc =skärfrekvens ϕm =fasmarginal Am =amplitudmarginal (förstärkningsmarginal) Stabilitet: Det slutna systemet är stabilt Am > ϕm > Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 38 / 53 Specifikationer: stationärt fel Antag att det slutna systemet är stabilt (ϕm >, Am > ) Om r(t) =(steg)såharvi(e(s) = +Go(s) R(s)) lim e(t) = lim t s lim s s = se(s) = +Go(s) +Go() Go() = statisk förstärkning för det öppna systemet Felet litet då Go() stor. Felet då Go() = dvs då Go() innehåller en integration. Go() kan avläsas i bodediagrammet! Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 4 / 53

Lead-lag-design F (s) =K Flead(s) Flag (s) där Flead = τ Ds + βτds + Flag = τ I s + τi s + γ Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 4 / 53 Tillståndsbeskrivning x(t) = x(t) x2(t). xn(t) { ẋ(t) =Ax(t)+Bu(t) y(t) =Cx(t) A n n matris, B n vektor, C n vektor endast x, u (inga derivator) i högerledet Polerna till systemet ges (normalt) av egenvärdena till A Ett system är insignal-utsignal-stabilt omm egenvärdena till A ligger strikt i vänster halvplan för alla i :Resi < Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 43 / 53 Arbetsgång vid lead-lag-design. Rita bodediagram för det öppna systemet G 2. Formulera specifikationerna som krav på ωc,ϕm, limt e(t) 3. Leadkompensering: bestäm nödvändig fasavancering m.h.a. arg G(iωcd) β figur 5.3 Om stor fasökning behövs: flera leadlänkar! välj τd =/(ωcd β) bestäm K såattωcd uppnås dvs K β G(iωcd) = 4. Lagkompensering: beräkna γ såattstationära felet blir tillräckligt litet välj τi =/ωcd 5. Simulera och kolla om specifikationerna är uppfyllda! Om inte, modifiera 2 ovan! Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 42 / 53 Överföringsfunktion Tillstånd En given överföringsfunktion G(s) = b s m + bs m + + bm s n + as n + + an kan skrivas på tillståndsform på fleraolikasätt. Enklast: Styrbar kanonisk form Observerbar kanonisk form Ofta kan tillståndsvariablerna väljas så att de har fysikalisk mening (läge, hastighet osv) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 44 / 53

Tillstånd Överföringsfunktion Givet en tillståndsrealisering { ẋ(t) =Ax(t)+Bu(t) y(t) =Cx(t)+Du(t) såär G(s) =C(sI A) B + D Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 45 / 53 Linjärisering av olinjära system, forts Kring (x, u ) approximeras ( ) av { Δx(t) =AΔx(t)+BΔu(t) Δy(t) =C Δx(t)+DΔu(t) där Δx(t) =x(t) x, Δu(t) =u(t) u, Δy(t) =y(t) h(x, u ) och A = fx(x, u ), B = fu(x, u ) C = hx(x, u ), D = hu(x, u ) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 47 / 53 Linjärisering av olinjära system { ẋ(t) =f (x(t), u(t)) y(t) =h(x(t), u(t)) dvs ẋ(t) =f(x(t),...,xn(t), u(t)). ẋn(t) =fn(x(t),...,xn(t), u(t)) y(t) =h(x(t),...,xn(t), u(t)) ( ) (x, u )kallasenjämviktspunkt för ( ) omf (x, u )=. Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 46 / 53 Linjärisering av olinjära system, forts A = f x f2 x fn x (x, u ) f x2 (x, u ) f 2 x2 (x, u )... f xn (x, u )... f 2 xn...... (x, u ) f n x2 (x, u )... f n xn (x, u ) (x, u ) (x, u ) B = f u (x, u ) f2 u (x, u ) fn u (x, u ). C = ( h x (x, u ) h x2 (x, u )... h xn (x, u ) ) D = h u (x, u ) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 48 / 53

Styrbarhet & observerbarhet där Ett system är styrbart det S. S = [ BABA 2 B...A n B ] är systemets styrbarhetsmatris. Ett system är observerbart det O. där C CA O = CA 2. CA n är systemets observerbarhetsmatris. Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 49 / 53 Tillståndsåterkoppling { ẋ(t) =Ax(t)+Bu(t) y(t) =Cx(t) Tillståndsåterkoppling: Återkopplade systemet: u(t) = Lx(t)+lr(t) ẋ(t) =(A BL)x(t)+Blr(t) Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 5 / 53 Minimal realisering En realisering är minimal både styr- och observerbar dimensionen hos x = gradtalet i G:s nämnare inga kancellationer i C(sI A) B Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 5 / 53 Tillståndsåterkoppling, forts. ẋ(t) =(A BL)x(t)+Blr(t) Poler = egenvärden till A BL, dvsrötter till det(si (A BL)) = Öppna systemet styrbart Egenvärdena till A BL kan placeras godtyckligt. Välj l så att det slutna systemet får statisk förstärkning. Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 52 / 53

Skattning av tillstånd: observatör ˆx(t) =Aˆx(t)+Bu(t)+K(y(t) C ˆx(t)) Felet x(t) = x(t) ˆx(t) lyder under ekvationen x(t) =(A KC ) x(t) Använd ˆx(t) vidåterkopplingen: u(t) = Lˆx(t)+lr(t) Observatörens poler anger hur snabbt observatörsfelet avtar Öppna systemet observerbart Egenvärdena till A KC kan placeras godtyckligt. Inger Erlander Klein (Reglerteknik, ISY) TSRT9 Reglerteknik Föreläsning 3 vt 25 53 / 53