5 45 4 5 5 5 5 Öppningskurs 5 9 7 5 9 7 4 45 49 5 57 6 65 abb Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F7 Kontinuerliga variabler Kontinuerliga s.v. variabler Allmänna begrepp täthetsfunktion fördelningsfunktion väntevärde varians Fördelningar Normalfördelningen Uniform t-fördelning, χ -fördelning, F exponentiell fördelning Kontinuerliga s.v. I många fall ej meningsfullt tilldela alla utfall sannolikheter Pilkastning: var hamnar pilen? Hur länge brinner lampan? Vad är aktiekursen? Längd?
Kontinuerliga s.v. forts. Utfallen för många 4 Kontinuerliga s.v. forts. mätnoggrannhet 5 Kontinuerliga variabler För kont. s.v. Meningsfullt prata slh av typen slh livslängd lampa är mellan, och timme P({,} { }) P(, ) juice i tetran mer än halvliter men mindre än liter P({,5} {< }) P(,5 < ) juice skillnaden i pris på aktien idag-imorgon är mellan och,5 P({ } {<,5}) P( <,5 ) $ 6
Staplar för slh i intervall Kontinuerliga variabler kurva beskriver fördelning av sannolikhet... 7 Täthetsfunktion En kontinuerlig variabel kan anta Kontinuerlig slumpvariabel: kan anta alla värden i ett intervall Har en täthetsfunktion () sådan att ytan under kurvan i intervallet [, ] är alltså: ( ) 8 Uniform/rektangulär fördelning om annars alla värden i () ytan under kurvan är P( ) ( ) 9
Uniform/rektangulär fördelning m.a.o. alla intervall (av viss längd) lika troliga Kasta yxa Index % Visa P( ) ( ) geometriskt Visa att Uniform/rektangulär fördelning ( ) är arean av ytan h Integralen: b Uniform/rektangulär fördelning Vad är sannolikheten att ligget t.hö. om /? P(/ ) 4
Uniform/rektangulär fördelning Vad är sannolikheten att är mellan /4 och. eller är större än /? P({/4,} {/ }) Uniform/rektangulär fördelning Avrundningsfel: antag att man avrundar sina mätningar till närmaste heltal Väntetiden för t-banan (- min trafik; ignorera tåget står inne ) /( ) om annars 4 Kontinuerliga s.v. För en kontinuerlig s.v. är sannolkheten i en punkt d.v.s. för alla P följd P( ) P(< ) 5 5
Fördelningsfunktion För kontinuerlig s.v. () P( ) Hur räkna ut? Analog m. diskreta s.v.: Antag ordnad följd av tal < < < - < P( ) P( ) + P( < ) + + ( < ) P 6 Fördelningsfunktion För kontinuerlig s.v. med täthetsfunktion () () P( ) ( ) 7 Exempel fördelningsfunktion För s.v. uniformt fördelad över intervallet [,] Uniform(,) om annars [ ] 8 6
Exempel fördelningsfunktion Antag tid till t-bana uniformt fördelad över intervallet [,] Uniform(,) täthetsfunktion: / om annars Vad är sannolikheten att vi får vänta min eller mindre? P( ) () 9 Exempel fördelningsfunktion Sökt sannolikhet P( ) (), Kontinuerlig s.v. ; ()? Väntevärde Balansera fördelningarna - väga ihop värdena... 7
Väntevärde Kontinuerlig s.v. med täthetsfunktion () Väntevärdet för, () ges av Väntevärde exempel Kontinuerlig s.v. med täthetsfunktion om annars Är () en täthetsfunktion? () ytan under kurvan är? [ ] Väntevärde exempel Väntevärdet för, () ges av 4 4 4 4 4 4 4 4 8
Varians Kontinuerlig s.v. med täthetsfunktion () Variansen för, Var() ges av [( ( )) ] Var( ) ( ( )) Med alternativ form Var( ) ( ) [ ( ) ] 5 Varians: exempel Kontinuerlig s.v. med täthetsfunktion om annars Väntevärdet för, () /4 ( ) 4 5 5 5 6 Varians: exempel Väntevärdet för, () /4 och ( ) /5 [ ( ] Var ( ) ( ) ) 5 4 8 Standardavvikelsen för, (),94 7 9
Normalfördelning Oftast får man värden nära mitten symmetri: värden tv om mitten lika troliga som th 8 Antag att längden på svenska än är normalfördelad runt 8 Vad är sannolikheten att en slumpvis vald man är kortare än 8? Sökt sannolikhet P(Längd 8) Normalfördelning Fördelningen symmetrisk: lika troligt med avvikelser tv som th:... 9 För normalfördelad s.v. N(µ,σ ) Täthetsfunktion: Normalfördelning ( µ ) /( σ ) πσ < < < µ < ( µ ) ( µ ) σ σ >
För normalfördelad s.v. N(µ,σ ) Väntevärde: () µ Varians: Var() σ Standardavvikelse: SD() σ Median: P( Md) / Md µ Normalfördelningen