Mängdlära. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Mängdlära - 1

Relevanta dokument
(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer

I kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental.

Kapitel 1. betecknas detta antal med n(a). element i B; bet. A B. Den tomma mängden är enligt överenskommelsen en delmängd. lika; bet. A = B.

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära

Mängdlära. Kapitel Mängder

Mängder, funktioner och naturliga tal

MA2047 Algebra och diskret matematik

Definitionsmängd, urbild, domän

Block 1 - Mängder och tal

ANDREAS REJBRAND NV3ANV Matematik Matematiskt språk

Lösningar till Algebra och kombinatorik

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013

729G04 - Diskret matematik. Lektion 3. Valda lösningsförslag

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet

729G04: Inlämningsuppgift i Diskret matematik

Mängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann

Explorativ övning 9 RELATIONER OCH FUNKTIONER

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Diskret matematik: Övningstentamen 1

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)

18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.

Block 1 - Mängder och tal

Abstrakt algebra för gymnasister

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

Matematiska uppgifter

1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,

Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0.

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT. Övning A

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.

MA2047 Algebra och diskret matematik

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Diofantiska ekvationer

Diskret matematik: Övningstentamen 4

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Mängder och kardinalitet

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Semantik och pragmatik (serie 5)

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18:00

TDP015: Lektion 5 - Svar

Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar

Eulers polyederformel och de platonska kropparna

1 Föreläsning Implikationer, om och endast om

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder

Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5

Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen

Arbeta vidare med aritmetik 2018

LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER

Lösningar till udda övningsuppgifter

Finaltävling i Lund den 19 november 2016

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I. v. 2.0, den 24/4 2013

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

{ } { } En mängd är en samling objekt A = 0, 1. Ex: Mängder grundbegrepp 5 C. Olof M C = { 7, 1, 5} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe}

Lösningar till Algebra och kombinatorik

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer , lösningsförslag

Matematisk problemlösning

Känguru 2012 Student sid 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasiet

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

Algebra och Diskret Matematik A (svenska)

Svar och lösningar. Kängurutävlingen 2009 Cadet för gymnasiet

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

Träning i bevisföring

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Några saker att tänka på inför dugga 2

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

MATEMATIK ÅK 9 TAL. Matematik - Måldokument Lena Folkebrant

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Matematiska uppgifter

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5

2MA105 Algebraiska strukturer I. Per-Anders Svensson

Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 10 januari 2011 kl

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

1.1. Fördjupning: Jämförelse av oändliga mängder

Talmängder. Målet med första föreläsningen:

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Junior. låda 1 låda 2 låda 3 låda 4 låda 5 B V B V. a: det är omöjligt att göra så b: A c: V d: O e: R

Kapitel Test 1 sidan sid 56 ff... 7 Blandade Uppgifter Totalt har högt blodtryck. 85 % av 80 st =68 dricker alkohol.

Transkript:

Mängdlära Bell-talen (1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597,...) beskriver det antal olika sätt n element kan delas upp i disjunkta icke-tomma delmängder. Så kan t ex mängden {1, 2, 3} delas upp på följande sätt: {{1}, {2}, {3}} {{1, 2}, {3}} {{1, 3}, {2}} {{1}, {2, 3}} {{1, 2, 3}}. Bilden ovan visar hur mängden{1, 2, 3, 4, 5} kan illustreras i 52 uppdelningar. 1. Grundbegrepp i mängdläran 2 Teori Union och snitt....6 Modell Syllogismer...10 Modell Hur många element?...13 2. Relationer och funktioner..14 Facit.21 Bilder: s.10 A painting of John Venn by Charles E. Brock. Photograph by Christopher Hurst, Hamilton-Kerr Institute, University of Cambridge. s.26 Övriga diagram och foton av Nils-Göran och Lina Mattsson Författarna och Bokförlaget Borken, 2011 1

1 Grundbegrepp i mängdläran Teori Mängdlära Vanligt språkbruk använder ordet mängd för en grupp av föremål eller ting. Vi kan prata om mängden av vargar eller mängden av röda föremål. I matematiken kan vi diskutera egenskaper hos mängden av jämna tal eller mängden av primtal. Begreppet mängd är mycket användbart i logiken och matematiken. I stället för föremål eller ting i mängden talar vi om mängdens element. Vi har redan tidigare definierat mängderna,,, och dvs mängderna av naturliga tal, hela tal, rationella tal, reella tal och komplexa tal. En mängd A säges vara en delmängd till en mängd B om varje element i A också är ett element i B. Detta betecknas A B. Symbolen används både för att visa att (i) det finns element i B som inte finns i A eller att (ii) A = B, dvs A och B innehåller samma element. Följande relationer gäller för våra tal,, samt. Ge exempel på element som finns i men inte i, som finns i men inte i, som finns i men inte i. Om antalet ting i en mängd är uppräkneliga som t ex primtalen mindre än eller lika med tio så kan vi skriva mängdens element inom en klammer A = {1, 2, 3, 5, 7}. Det spelar ingen roll i vilken ordning vi räknar upp elementen. Alltså gäller {1, 2, 3, 5, 7} = {2, 3, 1, 7, 5} Exempel 1 Om vi betecknar mängden av primtal mindre än tjugo med bokstaven B så gäller B = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Alltså gäller {1, 2, 3, 5, 7} {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. 2

Exempel 2 Låt oss se på punkterna (3, 4) och (5, 1) i det tvådimensionella xy-planet. Då är (3, 4) och (5, 1) två element i detta plan. Det är viktigt att observera att (3, 4) inte är samma punkt eller element som (4, 3). Man säger att (3, 4) är en ordnad uppsättning av elementet. Mängden av de två punkterna ovan skrivs naturligtvis {(3, 4), (5, 1)}. Exempel 3 Om vi vill beteckna de positiva reella talen, eller någon annan mängd av specifika tal, med mängdsymboler används följande skrivsätt: {x x, x > 0} som utläses: mängden av alla x sådana att ( ) x tillhör ( ) de reella talen och x är större än noll. Exempel 4 Vilka element finns i mängden {x x, (x 2)(x 3)=0}? Lösningen är de reella tal för vilka (x 2)(x 3) = 0. Eftersom ekvationen har lösningen x 1 = 2 eller x 2 = 3 som är reella tal får vi Resultat: {x x, (x 2)(x 3) = 0} = {2, 3}. Exempel 5 Vilka element finns i mängden {x x, x 2 < 4}. Lösning Eftersom det inte finns några reella tal vars kvadrat är negativ är mängden tom. Symbolen för den tomma mängden är. Resultat: {x x, x 2 < 4} = Exempel 6 Om A B och B C så gäller A C. Varför? G1.1 Skriv med mängdsymboler a) 5 tillhör mängden av naturliga tal b) π tillhör inte mängden av hela tal c) 1/7 tillhör mängden av reella tal d) π/3 tillhör mängden av rationella tal. e) Avgör vilka av påståendena a) d) som är sanna? 3

G1.2 Beskriv med uttryck eller termer, mängden: a) {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36} b) {Vänern, Vättern, Mälaren} c) {kub, tetraeder, oktaeder, ikosaeder, dodekaeder} d) {11, 13, 17, 19, 23, 27, 29} e) {Johannes, Matteus, Markus, Lukas} f) {Stockholm, Göteborg, Linköping, Uppsala, Lund, Umeå} G1.3 Skriv följande mängder som uppräkningar av element. a) {x x, (2x 2)(3x 6) = 0} b) {x x, (x 2)(2x 3) = 0} c) {x x, (5x + 2)(x 4) = 0} d) {x x, x 2 5x + 6 = 0} e) {x x, x 2 5x/6 + 1/6 = 0} f) {x x, x 2 1 = 0} g) {x x, (x 3) 2 9} h) {x x, 4 (x 3) 2 9} i) {x x, x 3 5x 2 /6 + x/3 = 0} j) {x x, 0 < x < 6} k) {x x, 0 < x < 6 och 3 < x < 9} l) {x x, 4 < x < 6 eller 7 < x < 9} m) {x x, 0 x 2} n) {x x, 0 x 2 och 3 x 5} o) {x x, 2 x 4 och 3 x 6} p) {x x, 2 x 4 eller 3 x 6} q) {x x, e x = 1} 4

G1.4 Hur många mängder A uppfyller villkoret {1, 2, 3} A {1, 2, 3, 5, 7} G1.5 Hur många delmängder har mängden av platonska kroppar: {kub, tetraeder, oktaeder, ikosaeder, dodekaeder}. G1.6 Ange en delmängd till med 3 element. G1.7 Ange en delmängd till med 4 element. G1.8 Även mängder kan vara element i en annan mängd. Alltså gäller t ex {1, 2} {1, 2, {3}} och {3} {2, {3}}. Vilka av följande påståenden är sanna? a) {1, 2, 3} {2, 3, 4} f) {2, 3, 4} {2, 3, 4} b) {4} {{2}, {4}} g) {2, 5} c) {5} {2, 5} h) {2, } d) {5} {2, 5} i) { } {2, 5} e) 5 {2, 5} j) { } {2, { }} k) Mängden av cirklar mängden av ellipser. l) Mängden av vargar mängden av däggdjur. m) {Venus, Jorden, Månen, Mars} Mängden av planeter. n) Mängden av kvadrater mängden av rektanglar. o) Om vi definierar <x, y> som {x, {x, y }} är <x, y> = <y, x>. Fundera på detta! Ge ett exempel på ändliga mängder A, B, C, D så att A B C D=, men varje snitt av mängderna är icke-tomt. 5

Teori Union och snitt Om vi har två mängder så kan vi bilda nya mängder på två olika sätt. 1. A B (läses: A union B) är mängden av alla element som tillhör A eller B eller bägge. Denna mängd kallas unionen av A och B. Figuren till vänster nedan visar att det finns tre olika områden, (1), (2) och (3) när mängderna A och B delvis överlappar varandra. Unionen av A och B är summan av dessa tre områden. Snittet av A och B är beteckningen för området (2), se den högra figuren. Om det sedan finns element i de olika områdena eller inte är en annan fråga. 2. A B (läses: A snitt B) är mängden av alla element som tillhör både A och B. Denna mängd kallas snittet av A och B. Modell Mängdoperationer Exempel a) {2, 3, 4} {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} b) {2, 3, 4} {3, 4, 5} = {3, 4} c) {2, 3, 4} {5, 6, 7} = d) Romber Rektanglar = Kvadrater Mängderna {2, 3, 4} och {5, 6, 7} som inte har några gemensamma element kallas disjunkta annars är mängderna överlappande som t ex {2, 3, 4} och {3, 4, 5}. 6

G1.9 Skriv följande unioner och snitt utan union- eller snittsymboler. a) {2, 4, 6} {6, 8, 10} b) {2, 4, 6} {6, 8, 10} c) Mängden av jämna tal Mängden av udda tal d) Mängden av primtal som är mindre än tio Mängden av primtal som är mindre än tjugo. e) Mängden av likbenta trianglar Liksidiga trianglar. f) g) h) {π, 1/3, 3} i) {π, 1/3, 3} Teori Grundmängder Om vi har tre mängder A, B och C så visar figuren nedan vilka relationer de tre mängderna kan ha till varandra. (1) Elementen i området (1) tillhör mängden A men inte B och C. (2) Elementen i området (2) tillhör både mängden A och B men inte C. (3) Elementen i området (3) tillhör mängden B men inte A och C. (4) Elementen i området (4) tillhör både mängden A och C men inte B. (5) Elementen i området (5) alla de tre mängderna A, B och C. (6) Elementen i området (6) tillhör både mängden B och C men inte A. (7) Elementen i området (7) tillhör mängden C men inte A och B. 7

Teori Grundmängd och komplement Studier av mängder sker ofta i ett visst sammanhang. Vi studerar delmängder av en viss grundmängd, U. Vi kanske är intresserade av de reella talen,, som en grundmängd, dvs = U. U så kallas de element som inte tillhör A men U för Om A komplementet till A. Detta skrivs: A. G1.10 Vad är om U =? G1.11 Om U = vad är a) [1, 6] (Ledning: [1, 6] är det slutna talintervallet mellan 1 och 6.) b) ]1, 6[ (Ledning: ]1, 6[ är det öppna talintervallet mellan 1 och 6.) c) [1, ] d) [-, 3]? V1.12 Vilka av följande påståenden är sanna? är grundmängd. a) = c) = b) ( ) = V1.13 Mängderna (1) (7) ovan kan skrivas med hjälp av våra symboler, och, kanske inte alltid så enkelt. Försök förstå varför området (1) är A (B C) [eller A B C ]! Teckna därefter områdena (2), (3), (4), (5), (6), (7) och (8). 8

Teori Likheter inom mängdläran Det finns ett stort antal likheter mellan delmängder A, B och C till ett givet universum, U. (1) de Morgans lagar ( A B) = A B (2) ( A B) = A B Kommutativa lagar A B = B A A B = B A (3) Hur borde de associativa la garna se ut? (4) De distributiva lagarna A ( B C) = ( A B) ( A C) Hur inser man t ex den andra distributiva lagen? ( B C) är områdena (5) och (6) till höger. Alltså är A ( B C) områdena (1), (2), (4), (5) och (6). ( A B) är (1),(2),(3),(4),(5),(6) ( A C) är (1),(2),(4),(5),(6),(7) Alltså är ( A B) ( A C) områdena (1), (2), (4), (5) och (6). Uppgift: Kan du med liknande metod bevisa de Morgans lagar? A ( B C) = ( A B) ( A C) V1.14 Vad skall man skriva i den tomma rutan för att följande två uttryck skall gälla allmänt? a) B A Û A B = b) B A Û A B = 9

Modell Syllogismer (överkurs) Låt oss rita de två argumenten från valargumentationen nedan i ett Venndiagram: Alla valar (V ) är däggdjur (D) ty Alla valar föder levande ungar och ger dem di (L) och Alla djur som föder levande ungar och ger dem di är däggdjur. Slutsats: Alla V är D Argument 1: Alla V är L Argument 2: Alla L är D Eftersom Alla V är L så finns inga element i områdena (1) eller (4) varför vi ritat symbolen för den tomma mängden i dessa områden. Eftersom Alla L är D så finns inga element i områdena (2) och (3). Vi ser nu att slutsatsen, Alla V är D, gäller eftersom inga element finns i områdena (1) och (2). Observera att områdena (5), (6) och (7) kan ha element. Dessa områden kan dock vara tomma (men inte i vår värld). Exempel Är följande argumentering logisk? Argument 1: Några logiker (L) är tankspridda (T). Argument 2: Alla argumentationsanalytiker (A) är logiker (L). Slutsats: Några argumentationsanalytiker (A) är tankspridda (T). 10

Lösning: Argument 1 är markerad genom att ett streck dragits mellan områdena (5) och (6). Detta innebär att det finns element i antingen område (5) eller (6) eller bägge områdena. Argument 2 klargörs genom att symbolen för tom mängd är markerad i områdena (1) och (4). Har vi otur så finns inget (inga) element i område (5). (Det kanske är område (6) som gäller.) Alltså kan vi inte med nödvändighet säga att slutsatsen gäller. Syllogismer är slutledningar i vilka man utgår från tre satser: två argument och en slutsats. Dessa tre satser innehåller tre begrepp eller termer. I satsen ovan är termerna argumentationsanalytiker, logiker och tankspridd. V1.15 Vilka av följande syllogismer är giltiga? a) En del miljöpartister vill att Sverige går ur EU. En del riksdagsmän tillhör miljöpartiet. Alltså: en del riksdagsmän vill att Sverige går ur EU. b) Alla svenskar är filosofer och alla matematiker är filosofer. Alltså är alla svenskar matematiker. c) Inga primtal är delbara med 9. Några udda tal är primtal. Några udda tal är inte delbara med 9. d) Alla intelligenta människor är logiska. Alla logiska människor är schackspelare. Alltså är alla intelligenta människor schackspelare. e) Inga kommunister hyllar parlamentarismen och det gör inte heller fascisterna. Alltså är alla kommunister fascister. 11

f) Alla romber har fyra lika långa sidor. Även kvadraterna har fyra lika långa sidor. Alltså är alla kvadrater romber. g) Varje värnare av miljön är en förklädd socialist. Några socialister är marxister. Alltså är några värnare av miljön marxister. h) Alla medlemmar av Högsta domstolen är konservativa. Det finns inga lärare i HD. Alltså är inga lärare konservativa. V1.16 Vilka av följande argumenteringar är deduktivt giltiga? a) Göran är kär i Eva. Alltså är även Eva kär i Göran. b) Tjeckien gränsar till Slovakien. Alltså gränsar även Slovakien till Tjeckien. c) Det är möjligt att kärnkraften är ofarlig. Det är alltså inte nödvändigt, att kärnkraften är farlig. d) Alla som är puritaner ogillar pornografi. Alltså är alla som ogillar pornografi puritaner. e) I en urna finns fem vita och en svart kula. Om man på måfå tar en kula ur urnan, så är sannolikheten att få en svart kula 1/6. f) Denna figur är en romb, vilket innebär att diagonalerna skär varandra under räta vinklar. g) Alla deriverbara funktioner är kontinuerliga. Alltså är alla kontinuerliga funktioner deriverbara. V1.17 Rita ett Venndiagram som åskådliggör de tre satserna: Albert tycker om att åka inlines och bor i lägenhet, Beatrice åker gärna skidor och bor liksom Carl i en villa., Carl älskar att simma. Alla tre äter gärna pizza. (Ledning: Låt de tre cirklarna representera A:s, B:s och C: s egenskaper och aktiviteter.) V1.18 Antag att (i) A B och att (ii) A C. Ange vilka av följande påståenden som är falska, vilka som är sanna, och vilka vars sanningsvärde ej kan avgöras från den givna informationen. (a) B C (c) A B C (b) A B C (d) A B C Fundera på några Venndiagram på sajten http://www.shodor.org/interactivate/activities/vdiagram/index.html 12

Modell Hur många element? Exempel I en naturvetenskaplig klass läser 30 elever Kurs 5 i matematik, 25 elever Specialisering i matematik och 15 elever Filosofi. 15 elever både Kurs 5 i matematik och Specialisering i matematik. 6 elever läser både Kurs 5 och Filosofi. 10 elever läser både Filosofi och Specialisering i matematik. Endast två elever läser alla tre kurserna. Hur många av eleverna läser bara kurs 5, specialisering i matematik eller filosofi? Lösning Området (5) motsvaras av 2 elever (element). Alltså har området (2): 15 2 (= 13) element. Alltså har området (4): 6 2 (= 4) element. Området (6) har 10 2 (= 6) element. Kurs 5 läses av 30 13 2 4=11 elever Specialisering i matematik läses av 25-13 2 6 = 4 elever. Filosofi läses av 15 4 2 6 = =3. V1.19 I en grupp på 100 recentiorer vid universitetet planerade 51 att läsa matematik, 46 fysik, 27 kemi, 38 både matematik och fysik, 9 både matematik och kemi, 7 både fysik och kemi samt 2 alla tre ämnena. a) Hur många planerade att läsa kemi men varken fysik eller matematik? b) Hur många tänkte inte läsa något av de tre ämnena? V1.20 På en allergiklinik fanns totalt 40 patienter. 16 personer som var glutenintoleranta, 18 som var laktosintoleranta och 17 som var dammallergiska. 2 personer hade alla tre åkommorna, 7 tålde varken gluten eller laktos och 6 tålde inte gluten och damm och 5 tålde inte laktos och damm. De återstående patienterna hade ännu inte fått någon diagnos. Hur många var de? 13

2 Relationer och funktioner Teori Produktmängder Vi har ofta betraktat två ordnade elementpar som t ex (3, 4) och (5, 1) som två punkter i det tvådimensionella xy-planet. Det är viktigt att observera att (3, 4) inte är samma punkt som (4, 3). Man säger att (3, 4) är en ordnad uppsättning av element. Man säger att alla ordnade par (x, y) där x och y är produktmängden av mängderna och ock betecknas. Med mängdsymboler skrivs xy-planet som = {(x, y) x och y } Exempel 1 Antag att vi har mängderna A = {GB (Storbritannien), F (Frankrike), I (Italien)} och B = {London, Paris, Rom}. I detta fall är produktmängden av A och B = A B = {(GB, London), (GB, Paris), (GB, Rom), (F, London), (F, Paris), (F, Rom), (I, London), (I, Paris), (I, Rom) Exempel 2 Produktmängden av de två intervallen [1, 5] och [1, 7] är en delmängd till = 2 dvs det inre av rektangeln med hörnen i (1, 1), (1, 7), (5, 1) och (5, 7) samt omkretsen till rektangeln. 14

G2.1 Rita produktmängden [ 1, 5] [3, 6] i ett ortonormerat koordinatsystem. G2.2 Vilka är de grafiska tolkningarna av produktmängderna {0} och {0}? G2.3 Rita nio element som tillhör produktmängden i ett rätvinkligt koordinatsystem. Modell Rita produktmängder 2 2 x y Exempel Rita mängden {(x, y) x och y, + = 1} 100 25 2 2 2 2 x y y x Lösning + = 1 medför = 1 vilket i sin tur ger 100 25 25 100 2 2 2 x x y = 25(1 ) eller y =± 25(1 ). 100 100 Grafen består alltså av två funktioners grafer. G2.4 Rita följande mängder, där x och y är reella tal. a) {(x, y) där y =2x} d) {(x, y) där x 2 + y 2 =1} b) {(x, y) där y = x 2 + 1} c) {(x, y) där y = 2x 3 + 3x 2 } 15

Teori Relationer I föregående teoriavsnitt definierade vi produktmängden av A och B där A = {GB, F, I} och B = {London, Paris, Rom}. Alltså är A B = {(GB, London), (GB, Paris), (GB, Rom), (F, London), (F, Paris), (F, Rom), (I, London), (I, Paris), (I, Rom)}. Delmängden {(GB, London), (F, Paris), (I, Rom)} kallas en relation, R, till produktmängden. Denna relation kan läsas som har huvudstaden och skrivas som Frankrike R Paris. Definition En relation, R, från en mängd A till en mängd B är en delmängd till A B. Om det ordnade paret (x, y) tillhör delmängden R säger vi att x har relationen R till y och detta skrivs xry eller (x, y) R. R o m P a r i s L o n d o n Storbritannien (GB) Frankrike (F) Italien (I) 16

G2.6 Antag att vi har en mängd A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} och en relation R på A. Relationen kan beskrivas med symbolen <. Låt relationen vara en delmängd av A A. Beskriv relationen med ordnade par inom mängdklammer. G2.7 Antag att vi har en mängd A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} och en relation R på A. Relationen kan beskrivas med är ett kvadrattal till. Låt relationen vara en delmängd av A A. Vilken är relationen? G2.8 Antag att vi har mängderna A = {Tjeckien, Slovakien, Ungern, Rumänien} och B = { Bratislava, Budapest, Bukarest, Prag}. Vika är elementen till relationen har huvudstaden. G2.9 Antag att vi har en mängd A = {1 25} och en relation R på A. Relationen kan beskrivas med är delbart med (utan rest). Låt relationen vara en delmängd av A A. Vilken är relationen? G2.10 Antag att vi har en mängd A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} och en relation på A. Relationen är kvadraten på primtalet. Låt relationen vara en delmängd av A A. Vilken är relationen? Teori Reflexiva, symmetriska och transitiva relationer Definitioner En relation, R, på en mängd A kallas reflexiv om för varje element x i A så gäller xrx. symmetrisk om för varje x och y gäller: om xry så yrx. transitiv om för alla x, y och z i A gäller om xry och yrz så xrz. Exempel Relationen lika med (=) är reflexiv för alla x A ty xrx för alla x. Relationen syskon till är symmetrisk för alla mänskliga individer, om Karin är syskon till Fredrik så är Fredrik syskon till Karin. Relationen < är transitiv för alla x A ty om x < y och y < z så är x < z. 17

G2.11 Är några av relationerna nedan reflexiva, symmetriska eller transitiva? a) far till b) bror till c) kusin till d) e) vän till f) på en meters avstånd från g) gränsar till h) förargad på i) kär i j) delmängd till ( ) k) liknar l) personer vars efternamn börjar med samma bokstav m) vinner över G2.12 En delmängd till A B ger de tre relationssatserna: Albert fick betyget VG i matematik, Beatrice fick betyget MVG och Carl fick betyget G. Ge exempel på vad mängderna A och B skulle kunna vara? G2.13 En relation R kallas cirkulär om xry och yrz medför att zrx. Visa att R = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} är cirkulär. G2.14 En relation som är symmetrisk, reflexiv och transitiv kallas en ekvivalensrelation. Ge exempel på en ekvivalensrelation. V2.15 Alla rationella tal kan skrivas i bråkform. Bildar mängden av alla bråkformer som är lika med t ex 0,5 en ekvivalensklass? Fundera på detta! Antag att relationen bekant med är symmetrisk. I ett rum finns 50 personer där några är bekanta med varandra och några är inte detta. Bevisa att det finns två personer i rummet som har lika många bekanta. 18

Teori Funktionsbegreppet Ett brev som ska postas måste frankeras med rätt antal (valörlösa) frimärken för att nå mottagaren. För att ta reda på hur många märken som ska sättas på brevet väger vi det och avläser sedan i en portotabell antalet märken. I ovanstående exempel beskrivs en relation. I exemplet bestämmer brevets vikt entydigt hur många frimärken som ska sättas på. En relation av denna typ kallas en funktion. Vi säger: Antalet frimärken är en funktion av brevets vikt. Även den tidigare definierade relationen {(GB, London), (F, Paris), (I, Rom)}är en funktion, varför? Man kan betrakta en funktion som en svart låda. Ett värde som matas in resulterar i att ett värde matas ut ur lådan. Det som matas ut är entydigt bestämt av det som matas in. Lådan använder någon regel för att bestämma vilket värde den ska lämna ut. En sådan regel kan se ut på många sätt. Den kan vara en tabell med alla tänkbara indata kopplade till motsvarande utdata. Den kan också vara en regel enligt vilken lådan gör ett antal beräkningar med det insända värdet och sänder ut resultatet. På matematiskt språk är man mycket kortfattad och exakt: Om det inmatade värdet kallas x så kallas det utmatade värdet f(x). Symbolen f(x) uttalas f x eller f av x. Bokstaven f står för själva funktionen (regeln som kopplar ihop värdena). De värden på variabeln x som får förekomma bildar tillsammans funktionens definitionsmängd. Alla de värden som funktionen kan anta är funktionens värdemängd. Definition: En funktion är en regel, relation, R, som kombinerar varje element i definitionsmängden Df, med precis ett element i värdemängden, Vf. 19

G2.16 Funktionen f har definitionsmängden [ 2, 4]. Bestäm värdemängden om f(x) = x 2. G2.17 Funktionen f har definitionsmängden [ 2, 5]. Bestäm värdemängden om f(x) = x 3 27x. G2.18 Vilken av relationerna vars grafer är ritade nedan, är en funktion och varför? V2.19 Är relationen R en funktion om R är mängderna: y a) {(x, y) x = där x 1} y+1 b) {(x, y) x = e y där x > 0} c) 4 {(x, y) x = y där x > 0} V2.20 Låt R = {(1, 3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} vara en relation på mängden A = {1, 2, 3, 4}. Vilka påståenden är sanna? (a) Relationen är en funktion. (b) Relationen är transitiv. 20 (c) Relationen är symmetrisk. (d) Relationen är reflexiv. Definition: En funktion f från Df kallas invers Vf om det för varje y Vf finns precis ett x Df, som uppfyller villkoret y = f(x) Exempel Om y = 10 x med D f = och V f = + så är y = lg x dess inversa funktion. Leta själv upp några inversa funktioner!

Facit 1.1. a) 5 är sant b) π är falskt 1.2 a) Kvadraten på talen från 0 t o m 6 b) Sveriges tre största sjöar c) 1/7 är sant d) π/3 är falskt c) De platonska kropparna / De regelbundna polyedrarna d) Primtalen från 11 t o m 29 e) De fyra evangelisterna f) Universitetsstäderna i Sverige 1.3. a) {1, 2} b) {2, 3/2} c) {-2/5, 4} d) {2, 3} e) {1/3, 1/2} f) {i, -i} g) {3, 2, 1, 0, 4, 5, 6} h) {1, 0, 5, 6} i) {0} j) {1, 2, 3, 4, 5} k) {4, 5} l) {5, 8} m) {0, 1, 2} n) o) {3, 4} p) {2, 3, 4, 5, 6} q) {0} 1.4 {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 7}{1, 2, 3, 5, 7} dvs 4 st 1.5 32 st 1.6 {1, 2/7, 0,3333333333 } 1.7 {1, 2, 9, 97} 1.8 b), d), f), g), h) j), k), l) och n) är sanna. 1.9. a) {2, 4, 6, 8, 10} f) b) {6} c) g) d) {1, 2, 3, 5, 7} h) {π, 1/3, 3} e) Mängden av liksidiga trianglar. i) 21

1.10 De irrationella talen 1.11 a) ], 1[ eller ]6, [ b) ], 1] eller [6, [ 1.12 Alla påståenden är sanna. 1.13 Område (2) motsvaras av A B C Område (3) motsvaras av B A C Område (4) motsvaras av A B C Område (5) motsvaras av A B C Område (6) motsvaras av A B C Område (7) motsvaras av A B A c) ], 1[ d) ] 3, [ Område (8) motsvaras av (A B C) eller A B C 1.14 a) b) A 1.15 Endast d) 1.16 b), c), e) och f). 1.17. 1.18 Om A B och B C så A C vilket motsäger (ii). Alltså är (a) falskt. Eftersom A B och naturligtvis B B C så gäller A B C dvs (b) är sann. Om A B C så är A C, vilket motsäger förutsättning (ii), så (c) är falskt. Eftersom A B så måste A B = A så är A B C falskt. 1.19 a) 13 b) 28 22

1.20 7 patienter 23

2.1 2.2 x-axeln respektive y-axeln i ett koordinatsystem. 2.3 24

2.4 a) b) c) d) 2. 6 {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (2, 7) (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7), (6, 7)} 2.7 {(1, 1), (4, 2), (9, 3)} 2.8 {(Tjeckien, Prag), (Slovakien, Bratislava), (Ungern, Budapest), (Rumänien, Bukarest)} 2. 9 R={(1, 1), (2, 2), (2, 1), (3, 3), (3, 1), (4, 4), (4, 2), (4, 1), (5, 5), (5, 1), (6, 6), (6, 3), (6, 2), (6, 1), (7, 7), (7,1)} 2.10 R = {(1, 1), (4, 2), (9, 3), (25, 5)} 25

2.11 Reflexiv Symmetrisk Transitiv a) b) S c) S d) S T e) S f) R S g) S h) i) j) R T k) R S l) R S T m) 2.12 A = Personer som har gått i svensk gumnasieskola; Betygsgrader i svensk gymnasieskola = {IG, G, VG, MVG} 2.13 Om (1, 2) och (2, 3) tillhör relationen så skall även (3, 1) tillhöra relationen, vilket stämmer. Samma sak gäller för paret (2, 3), (3, 1) samt paret (3, 1), (1, 2). 2.14 Relationen = är en ekvivalensrelation. 2.16 V f = [0, 16] 2.17 V f = [ 54, 46] 2.18 Endast den vänstra 2.19 a) Relationen kan även skrivas y = x / (1 x) som är en växande funktion. b) Relationen kan skrivas y = ln x som är en växande funktion för x > 0. c) Relationen kan skrivas 2.20 endast c) 1 y= x 4 som är en växande funktion för x > 0. 26