Uppdaterad: 01-05-5 Anders Gustafsson Formelsamling för komponentfysik Halvledare och Ström (transport) Kapacitans: C = Q Småsignalkapacitans: C = dq U du Plattkondensator: C = A ε r ε r d Parallellkoppling: C Parallell = C 1 + C + Seriekoppling: C serie =1 1 C1 + 1 C + Ohms lag: U = R I = ρ L I A Resistans: R = U I Konduktivitet: Resistivitet: ρ = σ = e (µ n n + µ p p); 1 e (µ n n + µ p p) eller I = G U = σ A U L Småsignalresistans: R = du di där: σ = 1 ρ ; Elektriskt fält: ε = U L Termisk spänning: U t = k T q Einsteinsambandet: D n = U t µ n ; D p = U t µ p Intrinsisk laddningsbärarkoncentration: n i = ( ) N c N v E g kt I en intrinsisk halvledare är n = p = n i Massverkans lag: n p = n i (Gäller endast i termisk jämvikt!) n-typ halvledare ( N D >> n i >> N A ): n n 0 = N D + p n 0 N D ; n n 0 p n 0 = n i p-typ halvledare( N A >> n i >> N D ): p p0 = N A + n p0 N A ; n p0 p p0 = n i Observera att q V gör om enheten [V] till [ev] och att gör E/q om enheten [ev] till [V]
Formelsamling [8] Komponentfysik Strömmar och strömtäthet: I = I n + I p = I n drift + I n diff + I p drift + I p diff Strömtäthet: J = I A I n = e n v d A I p = e p v d A I = I n + I p Ström: Driftström Diffusionsström Elektroner I n drift = e A µ n n ε I n diff = e A U t µ n dn dx Hål I p drift = e A µ p p ε I p diff = e A U t µ p dp dx Fermi-nivå: Generellt: E F = E V + E C Intrinsisk (odopad) halvledare (n=p=n i ): n-typ (n = N D >>n i ): p-typ (p = N A >>n i )): + kt ln n p E F = E V + E C E F = E V + E C + kt ln N D n i kt ln N A n i Använder man E V som referensnivå gäller: E V + E C E F = E V + E C = E i ( ) OBS! Gäller endast när n >> n i ( ) OBS! Gäller endast när p >> n i = E g Om man dopar samtidigt med acceptorer och donatorer i samma område gäller: E F = E V + E C ± kt ln N D N A n i "+" om N D > N A, d.v.s. n-typ material och "-" om N D < N A d.v.s. p-typ material. OBS! Om N A = N D så är materialet intrinsiskt, d.v.s. pn-övergången (Dioden): Inbyggd spänning: U bi = U t ln N A N D ; n i U bi = d tot ε max N D d n N A d p Maximalt elektriskt fält: ε max = e N D d n ε r ε 0 = e N A d p ε r ε 0 Injicerad minoritetsladdningsbärarkoncentration vid pålagd spänning U a : p-sidan: n-sidan: n p ( d p ) = n p0 p n (d n ) = p n 0 U a U t U a U t = n i = n i N A N D U a U t U a U t OBS! U a < U bi
Formelsamling 3[8] Komponentfysik Rymdladdningsområdets utsträckning: Generellt: d tot = d n + d p = ε r ε 0 e p-sidan: d p = ε r ε 0 e n-sidan: d n = ε r ε 0 e Specialfall: N A = N D => symmetrisk övergång där d n = d p : d n sym = ε r ε 0 ( U bi U a ); d tot e N sym = d n sym D N D N A N A + N D N A + N D ( U bi U a ) N A N D ( ) ( U bi U a) N A ( ) ( U bi U a) N D N A + N D p + n-övergång: N A >> N D => asymmetrisk övergång där d n >> d p : d n p + n = ε r ε 0 e N D ( ) U bi U a ; d pp + n = d n p + n N D N A ; d tot p + n d n p + n n + p-övergång: N D >> N A => asymmetrisk övergång där d p >> d n : d pn + p = ε r ε 0 e N A ( ) U bi U a ; d n n + p = d pn + p N A N D ; d tot n + p d pn + p
Formelsamling 4[8] Komponentfysik Strömmar i en diod: U Strömmen igenom en pn-övergång: I = I 0 e a U a < U bi Håldelen av I 0 : m U t 1 ; 1 m ; U a < U bi I 0 för olika fall med ren diffusionsström, m=1 Kort diod (=kort bas) [ W << L]: Lång diod (=lång bas) [ W >> L]: I 0 = e A U t µ p n i N D W n Elektrondelen av I 0 : I 0 = e A U t µ n n i N A W p p + n-diod n + p-diod Rekombinationsström: Högnivåinjektion: I 0 = e A U t µ p n i N D L p I 0 = e A U t µ n n i N A L n Elektrondelen är normalt betydligt lägre och därför försumbar! Håldelen är normalt betydligt lägre och därför försumbar! I = I rek e I = I hög e U a U t U a U t 1 1 I rek = e A d tot n i τ I hög = e A U t µ n n i W p (för n + p) Utarmningskapacitans: C j = A ε r ε 0 (p + n: d tot d n, n + p: d tot d p enligt ovan) d tot Diffusionskapacitans (I P ): C diff = g s t b = di p W n du a U t µ I p p m U W n t µ p Diffusionskapacitans (I n ): C diff = g s t b = di W n p du a U t µ I n n m U W p t µ n Transkonduktans: g s = du di I a m U t Genombrottsspänning: (p + n): U br = U bi ε r ε 0 ε br e N D ; (n + p): ersätt N D med N A
Formelsamling 5[8] Komponentfysik Bipolär npn-transistor: Normal mod: U BE > 0 och U BC < 0 Kollektorström: I C = e A U t µ n n i W B N AB Basström: I B = e A U t µ p n i Emitterström: I E = I C + I B W E N DE U BE U t U BE U t Strömförstärkning, gemensam emitter: β = I C I B = h FE β = µ n N D E W E µ p N AB W B För en pnp-transistor: Byt index n mot p och vice versa och A mot D och vice versa. Byt tecken på strömmar och spänningar, t.ex. är U BE <0 i normal mod. För en npn-transistor i inverterad mod: Byt index: E mot C. Exempel: β npn normal = µ n N D E W E β npn µ p N AB W invl = µ n N D C W C β pnpnormal = µ p N A E W E B µ p N AB W B µ n N DB W B Inverterad mod: U BE < 0 & U BC > 0; Bottnad mod: U BE > 0 & U BC > 0 Strypt mod: U BE < 0 & U BC < 0 Hybrid π:
Formelsamling 6[8] Komponentfysik Basresistans: R B = ρ L 3 W B B = L 3 e µ p N AB W B B Diffusionskapacitans: C diff = di C W B I C du BE U t µ n U W B = g m t bb t µ n Utarmningskapacitans: Emitter: C je = A ε r ε 0 d tot A ε r ε 0 d pb (d tot från pn-övergången) Kollektor: C jc = A ε r ε 0 d tot A ε r ε 0 d n C Transkonduktans: Utgångskonduktans: g m = di C I C ; du BE Ut Ingångsresistans r π = h fe, g m g out = di C I = C du CE U CE + U A AC-förstärkning: h fe = di C di B Övergångsfrekvens: f t = g m π (C jc + C je + C diff ) MOSFET: p-substrat: Φ F = U t ln N A n i n-substrat: Φ F = U t ln N D n i Gatekapacitans per ytenhet: C ox ( ) E F = E V + E i Φ F ( ) E F = E V + E i + Φ F = ε ox ε 0 t ox Utarmningskapacitans per ytenhet: C D Gatekapacitans: C ox = A C ox = ε r ε 0 d p ; Utarmningskapacitans: C D = A C D Flatbandsspänning:U fb = E F sub E Fgate q Tröskelspänning (U yta = Φ F ): OBS! För en ideal MOSFET är U fb =0 p-substrat: U th = U fb + Φ F + 1 C ox 4 ε r ε 0 Φ F e N A d p = 4 ε r ε 0 e N A n-substrat: U th = U fb Φ F 1 4 ε r ε 0 Φ F e N D d n = 4 ε r ε 0 Φ F C ox e N D Φ F n-mos på p-substrat har en n-kanal p-mos på n-substrat har en p-kanal
Formelsamling 7[8] Komponentfysik Drain-source-ström (n-mos = p-substrat, µ=µ n ): U GS U th Strypt: U GS <U th : I DS = 0 Linjära området: U DS (U GS -U th ): Mättnadsområdet: U DS (U GS -U th ): Transkonduktans (di DS /du GS vid mättnad): g m = µ n Z C ox L ( U GS U th ) Övergångsfrekvens (vid mättnad): g f t = m 1 = π C ox π t sd I DS = µ n Z C ox L ( U GS U th ) U DS U DS I DS = µ n Z C ox ( U GS U th ) L För MOSFET på n-substrat: µ Z C p ox U DS <0, I DS <0, U GS U th. Ersätt µ n med µ p => I = [ ] L Linjära området: U DS (U GS -U th ) Mättnadsområdet: U DS (U GS -U th ) DS
Formelsamling 8[8] Komponentfysik E g [ev] µ n [m /Vs] µ p [m /Vs] ε r Si 1,11 0,1350 0,045 11,8 Ge 0,67 0,39 0,19 16,0 AlAs,16 0,018 - - GaP,6 0,03 0,015 11,1 GaAs 1,43 0,85 0,04 13, GaN 3,36 0,038-1, InP 1,35 0,46 0,015 1,4 InAs 0,36 3,30 0,046 14,6 C(diamant) 5,47 0,18 0,1 5,7 SiO 9 - - 3,9 (ε ox ) Några konstanter: e = 1,60 10-19 As q = 1 ev/v = 1,60 10-19 J/V k = 1,38 10-3 J/K = 8,61 10-5 ev/k ε 0 =8,85 10-1 F/m kt=0,059 ev vid 300K U t =0,059 V vid 300K U t (T) = T 8,61 10-5 V N C [m -3 ] N V [m -3 ] n i [m -3 ] (300K) Si,8 10 5 1,04 10 5 1,0 10 16 Ge 1,04 10 5 6,1 10 4,5 10 19 GaAs 4,7 10 3 7,0 10 4 1,0 10 13 Logaritmer och Exponenter: ln( A B)= ln( A)+ ln( B) ln A n ln A = ln( A) ln B B e A+B = e A B e A ( ) ln 1 B = e A e ln A Periodiska systemet (valda delar): ( )= n ln A = ln( B) ( e A ) B = e A B ( ) = A Grupp III Grupp IV Grupp V B (bor) Al (aluminium) Ga (gallium) In (indium) C (kol) Si (kisel) Ge (germanium) Sn (tenn) N (kväve) P (fosfor) As (arsenik) Sb (antimon) ( )