Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL/EL/EL 9-6- a. Ansätt: G(s) = b s+a, b >, a >. Utsignalen ges av y(t) = G(iω) sin (ωt + arg G(iω)), ω = G(iω) = b ω + a = arg G(iω) = arg b arg (iω + a) = arctan ω a = π. För ω = fås a = och b =. Den statiska förstärkningen blir då och systemets pol finns i G() = s + = s =. b. Med en P-regulator med förstärkning K blir kretsförstärkningen Amplitudmarginalen är där ω p ges av G o (s) = A m = K s( + s). G o (iω p ), arg G o (iω p ) = π w p =. Vill ha amplitudmarginal A m =, det vill säga G o (.i) = K =. c. Systemet med tillståndsåterkoppling är ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) u(t) = Lx(t) + r(t) y(t) = Cx(t) [ ] [ med A =, B =, C = ] [ ], L = [ ] l l. Det återkopplade systemets poler ges av det (λi (A BL)) = λ + ( + l )λ + l =. Vill att polerna ska hamna i ± i, det vill säga att (λ + + i)(λ + i) = λ + λ + =. Genom att jämföra koefficienter fås l = 3 och l = 3. d. Linearisering av systemet ger ẏ = u y y u vilket för den stationära punkten (, ) blir ẏ = y u.
a. The closed loop system Root Locus.5.5 Imaginary Axis.5.5 6 5 3 Real Axis Figure : root locus of problem.a G c (s) = has the characteristic equation which gives G(s)K + G(s)K = K(s + ) (s + ) + K(s + ) (s + ) + K(s + ) = P (s) = (s + ) Q(s) = s + Starting points Zeros of P (s): -,- End points Zeros of Q(s): - Number of asymptotes: = Direction: π Intersection point: + = Real axis: (, ] belongs to the root locus Intersection with the imaginary axis, set s = jω: (jω + ) + K(jω + ) = Im : ω( + K) = Re : ω + + K = = ω =, K =
which does not meet K >. Intersection with the real axis, set s = jω: (jω + a) = (jω + ) + K(jω + ) = (K =, a = ), (K =, a = 3) This gives the root locus in Figure. The system is asymptotically stable. K = (pole position 3) gives the fastest step response without fluctuations since it does not have any imaginary parts. b. With a similar approach in a, the closed loop system Root Locus 8 6 Imaginary Axis 6 8 3.5 3.5.5.5.5 Real Axis Figure : root locus of problem.b G c (s) = G(s)F (s) + G(s)F (s) where F (s) = + K I s+ s, G(s) = (s+). The characteristic equation is which gives + F (s)g(s) = s(s + ) + (s + K I )(s + ) = P (s) = s(s + ) + s(s + ) = s(s + 3) Q(s) = K I (s + ) Starting points Zeros of P (s):,-3,-3 End points Zeros of Q(s): - Number of asymptotes: 3 = π Direction:, 3π 3 3+ Intersection point: = 3
Intersection with the imaginary axis, set s = jω: jω(jω + 3) + K I (jω + ) = Im : ω( ω + K I + 9) = Re : 6ω + K I = = (ω =, K = ), (ω = K I + 9, K I = 5 which does not meet K I >. < 9) : not real This gives the root locus in Figure.b. stable. The system is asymptotically Step Response 3.5 K=, P controller K P =, K I =, PI controller 3.5 Amplitude.5.5 3 5 6 Time (sec) Figure 3: step response of problem.a,.b c. The P-controller of.a) gives the faster step response than PI-controller of.b) since the dominant pole [, ] is slower than 3. However, there is stationary error of P-controller, see Figure 3.
3. Systemet G(s) = s+ e.5s regleras med en P-regulator med K = /. Skärfrekvensen ω c ges av = KG(iω c ) = K ω c + K = ω c + ω c = K =. Fasmarginalen ϕ m ges av ϕ m = π + arg(kg(iω c )) = π.5ω c arctan ω c = = π.5 arctan = 3π. Vi vill bestämma en lead-lag-regulator F (s) som ger dubbla skärfrekvensen och samma fasmarginal. Vid ω c,ny = är fasmarginalen ϕ m,ny = π + arg G(i) = π.5 arctan 88. Det innebär att vi måste höja fasen med med 6 för lag-länk. Det ger ϕ m = 88 + 6 = 39, β = sin( ϕ m) + sin( ϕ m ) =., τ D = =.. ω c,ny β Då har vi F lead = +τ Ds +βτ D s. För att få rätt skärfrekvens bestämmer vi ett K så att = K F lead (iω c )G(iω c ) = K = K β(ωc,ny + ) 5β = K K = Det stationära felet måste vara mindre än.5 när referensen är ett steg. Vi lägger till en lag-länk F lag = +τ I s τ I s+γ, där τ I = ω c,ny = 5 och γ bestäms så att + K F lead ()F lag ()G() = + K /γ.5 γ K 9 =.5 Svar F (s) = + τ D s + τ I s + βτ D s τ I s + γ med β =., τ D =., τ I = 5, γ =.5, 5
a. Känslighetsfunktionen S(s) är överföringsfunktionen från störning v(t) till utsignal y(t), som illustreras i Fig. Motsvarande Laplace relationer för F(s) G(s) v(t) r(t) e(t) u(t) y(t) + - de två regulatorerna är Figure : Block Diagram in Ex.. PI : IP : U(s) = ( K p + K ) I s E(s) = FPI (s)e(s) U(s) = K p Y (s) + K I s E(s) = F PI(s)E(s) K p R(s), med K p = K p och K I = K I. Studera först PI regulatorn Y (s) = F PI(s)G(s) + F PI (s)g(s) R(s) + + F PI (s)g(s) V (s) vilket medför att S PI (s) är S PI (s) = Y (s) V (s) = R(s)= + F PI (s)g(s) = s(s + ) s(s + ) + K p s + K I Motsvarande för IP regulatorn: vilket ger S IP (s) Y (s) = (F PI(s) K p )G(s) R(s) + + F PI (s)g(s) + F PI (s)g(s) V (s) S IP (s) = S PI (s) = + F PI (s)g(s) = s(s + ) (s +.5)(s +.5) 5.5s( + s) = ( + s/.5)( + s/.5) Detta bör inte vara någon överraskning efter det bara är en skillnad på hur referenssignalen R(s) behandlas. Båda regulatornerna ger + ω S(iω) = ω ( + ω /.5)( + ω /.5) för vilket S(iω) S(i ) ω. Detta innebär att alla störningar undertrycks. b. För PI regulatorn: U(s) = F PI (s)e(s) = F PI (s) ( F ) PI(s)G(s) F PI (s) R(s) = + F PI (s)g(s) + F PI (s)g(s) R(s), 6
och G ru (s) = U(s) R(s) = F PI(s) (s + /)(s + ) = + F PI (s)g(s) (s + /)(s +.5). Nu är G ru (iω) för låga frekvenser och för höga frekvenser. För IP regulatorn ( ) F PI (s) U(s) = F PI (s)e(s) K p R(s) = + F PI (s)g(s) K p R(s), och (s + /)(s + ) G ru (s) = G ru (s) K p = (s + /)(s +.5) 9.75s 7.5 = (s +.5)(s +.5). Detta innebär att G ru () = 9 och lim ω G ru (iω) =. Vi får mycket lägre förstärkning av höga frekvenser än för PI regulatorn, men på bekostnad av högre förstärkning av låga frekvenser. 7
5a. Let H(s) = G(s) denote the nominal part H (s), and G(s) be the nominal part in the model G (s) = G(s)(+ G(s)). Furthermore, assume that the nominal characteristic equation for H (s) never satisfies +F (s)h(s) =, i.e. + F (s) G(s). If the system has to have stability robustness, the characteristic equation with the uncertain model must not go to zero for an real frequency and G. This requirement can be written as + F (iω)h (iω) + F (iω) G(iω)( + G(iω)), which can be rearranged as ( + F (iω) ) ( + S(iω) G(iω)) G(iω) where S(iω) = is the sensitivity function for the system H + F (iω) (s). G(iω) Since the nominal system is stable, i.e. + F (iω) G(iω), then it is necessary and sufficient that S(iω) G(iω) < hence, S(iω) < 5b. Comparing the relation G (s) = G(s) s+a s+a/m G(iω) with the first model we have + G(s) = s + a s + a/m hence G(s) = M (s + a/m) a(m ) Using the second model we instead obtain + I G(s) = s + a s + a/m hence I G(s) = M (s + a) a( M) The Bode diagram for both models is characterized by a first order term, where the breakpoint of the as showed in Fig. 5. The model error G(s) has smaller static gain and a lower break point (M times smaller) than, thus resulting in a better accuracy at low frequencies. I G(s) 8
Example for a= M= 3 Magnitude (db) Phase (deg) 7 8 9 / G / I G 3 Frequency (rad/sec) Figure 5: Bode diagram in Ex. 5b for a= and M=. 9