Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 9 JUNI 05 KL 4.00 9.00. Examinator: Boualem Djehiche tel. 790 78 75. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta), räknare. Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Tentamen består av 5 uppgifter. Varje korrekt lösning ger 0 poäng. Gränsen för godkänt är preliminärt 0 poäng. Möjlighet att komplettera ges för tentander med 8 9 poäng. Tid och plats för komplettering kommer att anges på kursens hemsida. Det ankommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera. Tentamen kommer att vara rättad inom tre arbetsveckor från skrivningstillfället och kommer att finnas tillgänglig på studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillfället. Uppgift I en lägenhet finns fyra rum (hallen, köket, vardagsrummet och sovrummet). En person kommer in i lägenheten i hallen och kan därifrån röra sig enligt Figur. Personen rör sig nu slumpmässigt i lägenheten, om personen går utomhus kommer den inte in igen och om personen når sovrummet somnar personen där och rör sig inte längre. a) Motivera att personens läge beskriver en Markovkedja, beskriv systemet och ställ upp övergångsmatrisen. ( p) b) Vad är sannolikheten att personen somnar i lägenheten? (4 p) c) Hur många gånger förväntas personen byta rum? (4 p) U H S K V Figur : Schema över hur rummen hänger ihop i lägenheten i Uppgift.
forts tentamen i SF904 (f d SF83) 5 06 09 Uppgift En maskin består av tre parallellkopplade komponenter och maskinen fungerar när minst en av de fungerar. Komponenterna går sönder oberoende av varandra med intensitet, man har tillgång till två reperatörer som kan jobba på varsin komponent men ej båda på samma. Reparationstiden för en komponent är exponentialfördelad med väntevärde. Beräkna sannolikheten att maskinen fungerar efter lång tid. (0 p) Uppgift 3 En Markovprocess, X(t), t 0 med tillståndsrum E = {,, 3} har följande intensitetsmatris 5 4 Q = 0 5 5 0 Antag att processen befinner sig i stationärt tillstånd. a) Om processen befinner sig i tillstånd, vad är sannolikheten att processen kom från tillstånd? (7 p) b) Hur många hopp förväntas kedjan göra mellan två besök i tillstånd 3? (3 p) Uppgift 4 Till en tunnel anländer bilar enligt en Poissonprocess med intensitet λ = bilar/minut, dessa bilar kör med hastigheten 60 km/h. I tunneln finns två utgångar, till den första är det km och till den andra 4 km. En bil som kommer in i tunneln ska till första utgången med sannolikhet 3/4 och till den andra utgången med sannolikhet /4 oberoende av var de andra bilarna åker. Vad är sannolikheten att tunneln är tom? (0 p) Uppgift 5 Ett kö-system består av två köer. Kunder anländer utifrån med intensistet 4 till den första kön, när de kommit igenom den första kön slussas de vidare till den andra med sannolikhet och med sannolikhet lämnar de systemet. Till den andra kön anländer ingen utifrån, men när en kund har blivit betjänad ställer de sig i den andra kön igen med sannolikhet 0.4 och lämnar systemet med sannolikhet 0.6. Det finns totalt tre betjänare som ska placeras ut mellan dessa två köer. Hur ska de placeras för att ha så få personer i systemet som möjligt efter lång tid. Betjäningen av en kund är exponentialfördelad med intensitet 0 i första kön och intensitet 4 i andra kön. (0 p)
Avd. Matematisk statistik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 9 JUNI 05 KL 4.00 9.00 Uppgift a) Personen rör sig slumpmässigt mellan rummen och nästa position beror endast på den nuvarande. Alltså uppfylls Markovegenskapen. Texten ger följande övergångsmatris med tillståndsrum E = {U, H, K, V, S} 0 0 0 0 /3 0 /3 /3 0 P = 0 / 0 / 0 0 /3 /3 0 /3 0 0 0 0 med startvektor p (0) = (0,, 0, 0, 0) b) Vi har en A-kedja och söker sannolikheten att vi absorberas i sovrummet. Vi söker, med beteckningar enligt boken, sannolikheten a HS som ges av följande ekvationssystem a HS = 3 a KS + 3 a V S Vilket har lösningen a HS = 3/8 a KS = a HS + a V S a V S = 3 + 3 a HS + 3 a KS. c) Vi söker nu föväntad tid till absorption givet start i tillstånd H med beteckningar enligt boken söker vi t H som beräknas enligt följande ekvationssystem t H = + 3 t K + 3 t V Vilket har lösningen t H = 4. t K = + t H + t V t V = + 3 t H + 3 t K.
forts tentamen i SF904 (f d SF83) 5 06 09 Uppgift Vi inför tillståndsrummet E = {0,,, 3} som antalet trasiga komponenter, vi beskriver systemet med följande övergångsgraf 0.75 0 3 Vi har en irreducibel och ändligt Markovkedja den är ergodisk och den asymptotiska fördelningen π existerar och uppfyller πq = 0 där Q är intensitetsmatrisen. Den stationär fördelningen beräknas till ( 8 π = 5, 96 5, 4 ) 5, 3, 5 den i uppgiften sökta sannolikheten är 3 5 = 48 5 0.988. Uppgift 3 I uppgiften är vi endast intresserade av de hopp som Markovprocessen gör, därför studeras endast den inbäddade Markovkedjan. Den har övergångsmatris 0 4 5 5 P = 0 0 0 a) Vi är intresserade av följande sannolikhet P( X n = Xn = ), med Bayes sats får vi följande uttryck för den sökta sannolikheten P( X n = Xn = ) = P( X n = Xn = )P( X n = ) P( X n = ) = p π π där π är den stationära fördelningen för den inbäddade Markovkedjan. Vi observerar att den inbäddade Markovkedjan är irreducibel, ändlig och aperiodisk vilket betyder att den asymptotiska fördelningen existerar och ges av π P = π vilket har lösningen π = ( 5, 9, 0 4 4 4). Den sökta sannolikheten blir nu 4 5 = 4 5 9 9 b) Antalet hopp mellan två besök i tillstånd 3 ges av π 3 = 5 Uppgift 4 Vi delar upp flödet av bilar i två Poisson-processer, N (t) och N (t) där N (t) är de som ska till första utgången och N (t) är de som ska till andra utgången. Från uttunningen av Poissonprocessen har vi att N (t) är en Poissonprocess med intensitet λ = 3/4 och N (t) är en Poissonprocess med intensitet λ = /4. Det tar bilarna minuter till första utgången och 4 minuter till andra. Låt X vara antalet bilar i tunneln vid ett givet tillfäller som ska till första utgången och X vara antalet bilar i tunneln som ska till andra utgången. Från Poisson-processen fås nu att X P o(λ ) och X P o(4λ ). Den sökta sannolikheten ges av P(tunneln är tom) = P(X = 0 X = 0) = P(X = 0)P(X = 0) = e λ e 4λ.
forts tentamen i SF904 (f d SF83) 5 06 09 3 Sannolikheten att tunneln är tom = e / e 0.08 Uppgift 5 Vi har ett Jacksonnätverk som beskrivs av följande graf 0.4 λ in kö kö 0.6 I kö är betjäningsintensiteten µ = 0 och i kö är betjäningsintensiteten µ = 4. Vi har också 3 betjänare att placera ut mellan de två köerna. Vi måste placera minst i varje kö vilket betyder att vi antingen kan ha två i första kön eller två i andra kön. Vi börjar med att lösa systemet av ekvationer som ger ankomstintensiteterna till båda köerna. Systemet ges av ekvationerna Λ = λ Λ = Λ + 0.4Λ, vilket löses av Λ = 4 och Λ = 0/6. De två köerna kan nu ses som oberoende M/M/c köer. För en M/M/c kö ges förväntat antal personer i systemet av { ρ om c = ρ l = ρ om c =, ρ där ρ = λ. Vi beräknar helt enkelt summan av förväntade antalet personer i varje kö för de två cµ möjligheterna. Om c = och c = får vi att l = 5 och l = 5 med förväntat antal personer i systemet ungefär 5.4. Om vi istället har c = och c = får vi l = och l 3 = 0 förväntat antal 9 personer i systemet blir då ungefär.68. Vi finner att det är bäst att ha c = och c =.