Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys,

Relevanta dokument
Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys

Sammanfattning (Nummedelen)

Tentamen del 1 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Omtentamen i DV & TDV

Tentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, Del A

Kontrollskrivning KS1T

Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A. 1. (a) ODE-systemet kan skrivas på formen

OH till Föreläsning 5, Numme K2, Läsa mellan raderna. Allmän polynom-interpolation, S Ch 3.1.0

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014

f(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20

Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 671, Extraexempel

Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

0.31 = f(x 2 ) = b 1 + b 2 (x 3 x 1 ) + b 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = ( ) + b 3 ( )(

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Lösningsförslag Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup

FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN. ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 16 januari Bordsnummer:

OH till Föreläsning 15, Numme K2, God programmeringsteknik

Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp,

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningar tentamen i kurs 2D1210,

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20

Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering

Absolutstabilitet. Bakåt Euler Framåt Euler

Föreläsning 5. Approximationsteori

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

DN1212 Numeriska Metoder och Grundläggande Programmering DN1214 Numeriska Metoder för S Lördag , kl 9-12

Föreläsning 9. Absolutstabilitet

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Standardform för randvärdesproblem

Numeriska metoder för fysiker Lördag , kl 10-14

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen, del 2 DN1240 Numeriska metoder gk II för F

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

OH till Föreläsning 14, Numme I2, God programmeringsteknik

Fel- och störningsanalys

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Omtentamen i DV & TDV

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

Icke-linjära ekvationer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID:

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Sekantmetoden Beräkningsmatematik TANA21 Linköpings universitet Caroline Cornelius, Anja Hellander Ht 2018

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans

2D1240 Numeriska metoder gk2 för F2 Integraler, ekvationssystem, differentialekvationer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I, DV, 5.0 hp, OBS: Kurskod 1TD394

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!!

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

Gamla tentemensuppgifter

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Konvergens för iterativa metoder

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

OH till Föreläsning 5, Numme K2, GNM Kap 4-4.4A / GKN Kap 4.1A,(D),E Interpolation. Läsa mellan raderna. Allmän polynom-interpolation

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Fel- och störningsanalys

Sammanfattninga av kursens block inför tentan

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen: Numerisk Analys MMG410, GU

Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 32 maj Bordsnummer: Kontrollera att du fått rätt tentamensuppgifter

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

Ordinära differentialekvationer,

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Transkript:

Lösningsförslag till Numerisk analys, 2016-08-22. Del I: (1) Nedan följer ett antal påståenden. Använd nyckelbegreppen därunder och ange det begrepp som är mest lämpligt. Skriv rätt bokstav (a)-(l) i luckan i varje mening Påståenden: (i) För att lösa icke-linjära ekvationer kan man använda (i) (ii) RK4 har (a) 4. (iii) För styva differentialekvationer är det bra att använda (j) (iv) När δ 1 bör man använda omskrivningen x + δ x = δ x+δ+ x för att undvika (f). (v) Det är viktigt att notera att inversen A 1 till en bandmatrisen A vanligtvis är (e) och att man därför aldrig bör beräkna A 1 explicit. Nyckebegrepp: (a) noggrannhetsordning (b) komplexitet (c) adaptivitet (d) explicita metoder (e) helfylld (f) kancellation (g) diskretiseringsfel (h) konvergensordning (i) iterationsmetoder (j) implicita metoder (k) maskinepsilon (l) konditionstal (2) För en iterationsmetod uppskattas felen e n i iterationerna till e 3 = 0.5017, e 4 = 0.0991, e 5 = 0.0205, e 6 = 0.00396. Vilken konvergensordning motsvarar detta? 0, dvs. ingen konvergens X 1, dvs. linjär konvergens 2, dvs. kvadratisk konvergens 3, dvs kubisk konvergens något annat (3) Modellen y = ax + b anpassad i minstakvadratmening till mätvärdena (1, 0), (2, 2), (4, 4) ger b lika med 2 1.7 1.3 X 1 0.7 0.3 0 inget av ovan. (4) För den exakta lösningen till differentialekvationen y (x) = f(x), y(x 0 ) = y 0 gäller att y(x n+1 ) y(x n ) = xn+h x n f(x)dx, från vilken kan vi dra följande påstående för att få globaltrunktionsfel. X Heuns metod i det här fallet är identisk med trapetsregeln för numerisk integration. Heuns metod i det här fallet är identisk med Simpsons formel för numerisk integration.

RK4 metod i det här fallet är identisk med trapetsregeln för numerisk integration. RK4 metod i det här fallet är identisk med Rombergs metod för numerisk integration. (5) Punkterna (0, 5), (1, 4) och ( 1, 0) är givna och anger (x-värde, y-värde). Interpolera ett polynom av lämpligt gradtal genom punkterna. Vad blir interpolationspolynomets y-värde då x = 0.5? 4 4 + 1 4 4 + 1 3 4 + 1 2 4 + 2 3 4 + 3 4 5 X 5 + 1 4 (6) Vad beräknar iterationsmetoden x n+1 = x n (2 17x n ), x 0 = 0.1 med konvergensordning 2? 17 3 17 17/2 X 1/17 1/ 17 1/ 3 17 2/17 (7) Differentialekvationsproblemet d 2 y = 2x(y 2), y(0) = 10, y(8) = 3 dx2 diskretiseras med steget h = 1. Då erhålls ett ekvationssystem. Hur många ekvationer n har detta system om y(0) och y(8) eliminerats med hjälp av randvillkoren? n är... 2 3 5 X 7 8 det är omöjligt att säga (8) Integralen 2 0 1/2 + 2e x sin(2x 2 ) dx har beräknas med trapetsregeln med steglängderna 0.2 och 0.1. Resultatet blev T (0.2) = 1.6426, T (0.1) = 1.6418. Vilken steglängd h (ungefär) bör användas i trapetsregeln om vi vill ha ett fel som är mindre än 8 10 8 och minsta möjliga arbete. 10 2 X 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 (9) En vektor x R 3 har norm x = 2. Om 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 hur stort kan då Ax maximalt vara? 9 10 12 18 24 36 X 48 Något annat (10) Med hjälp av tabellen t 1.1 1.2 1.3 1.4 f(t) 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552 kan derivatan f (1.2) approximeras. Välj det alternativ nedan som ger bäst approximation. 0.21 0.45 1.3 X 3.3 5.6 7.1 10.4 2

DEL 2 (1) Värdet av y = 3 x och z = x 30 beräknas för x = 0.92 som är korrekt avrundat. Man får y = 0.9726 och z = 0.08197. Hur många korrekta siffror har resultaten? Hur många korrekta decimaler borde x-värdet vara givet med för att alla siffror i z-värdet ovan ska vara tillförlitliga? Lösning. Notera att absolutfelet i x kan uppnå 0.005 och således relativfelet i x kan uppnå 0.005/0.92. Felfortplaneringsformeln ger R y = R x /3 och R z = 30R x R y = 0.0018 2 10 3, och R z = 0.16 2 10 1. Det ger en grovbedömning att antalet korrekta siffror kan vara högst tre i y-värdet och högst en i z-värdet. För y-värdet blir absolutfelets gräns 0.0018. Alltså y = 0.9726 ± 0.0018 eller y = 0.973 ± 0.002 bara två siffror är alltså säkra För z-värdet blir absolutfelets gräns 0.0134. Alltså z = 0.083 ± 0.0134 inte ens första siffran är säker. Vi kan även uppskatta störningsräkning med att uppskatta undre och övre gräns för y och z: y min = 0.915 1/3 = 0.9708 och y max = 0.925 1/3 = 0.9743 z min = 0.915 30 = 0.0696 och y max = 0.925 30 = 0.0964. z-värdet är mycket känsligt för en störning i x. Sex siffrors noggrannhet i x-värdet (R x 10 6 ) medför att x-värdet får fyra säkra siffror eftersom R z = 30R x < 0.3 10 4 (2) Ekvationen a x = x a har en (trivial) rot x = a och en annan rot. För a = 2 blir den x = 4. Bestäm den icketriviala roten för a = 3. Använd Newtons-Raphsons metod efter lämplig omskrivning. Om a inte är exakt tre utan snarare 3.00 ± 0.005, hur stor är osäkerheten i x-värdet? För vilket a-värde finns bara roten x = a? Lösning. Logaritmers: x ln a = a ln x, eller ln x x ln a a = 0. Lår c = ln a/a = ln 3/3 = 0.366204096. Lös ekvationen ln x cx = 0 med Newton-Raphsons metod. Grovskiss av kurvan y = ln x cx visar att förutom roten vid x = 3 finns de en rot nära x = 2.5. Efter några iterationer erhålls roten till 2.4780527. Gör om räkningarna med störda a-värden. Med a = 3.005 gäller c = 0.3661489 och roten blir 2.4744. Med a = 2.995 gäller c = 0.3662585, roten blir 2.4817. Resultat: x = 3.478 ± 0.004. Kurvan y = ln x/x skär linjen y = c i två punkter generellt, men för a = e sammanfaller de i maxpunkten x = e, y = 1/e. 3

(3) Betrakta differentialekvationen y = a(t)y + b(t) med villkoret y(0) = y 0. Antag att a(t) och b(t) är reella tal och a min a(t) a max < 0. En ostörd lösning {y n } med framåt Euler ger u n+1 = u n + h[a(t n )u n + b(t n )], u 0 = y 0. Vi betraktar också en lösning {z n } för vilken begynnelsevärdet är stört med ett litet tal δ z n+1 = z n + h[a(t n )z n + b(t n )], z 0 = y 0 + δ. Låt nu e n = z n u n. Beskriv effekten av den lilla störningen. Undersök vidare störnings effekt om det finns en störning i varje steg, dvs den störda lösningen z n ges av z n+1 = z n + h[a(t n )z n + b(t n ) + δ n ], z 0 = y 0 + δ 0. för små {δ n }. Lösning. Notera att a(t) är reell och strikt negativ. En ostörd lösning {u n } med framåt Euler ges då av Låt e n := z n u n beskriva effekten av den lilla störningen. Då har vi En omskrivning ger e n+1 = e n + ha(t n )e n, e 0 = δ. e n+1 = (1 + ha(t n ))e n = (1 + ha(t n ))(1 + ha(t n 1 )) (1 + ha(t 0 ))δ. Om nu 1 + ha(t) < 1 för alla t (stabilitets villkor för för Euler), kommer produkten 1 + ha(t n ) [1 + ha(t 0 ) < 1. Om dessutom ha min och ha max uppfyller samma villkor gäller att Det betyder att 1 + h(t) r < 1, r = max( 1 + ha max, 1 + ha min ). e n+1 δr n+1 0, då n. Så har vi konstaterat att i detta fall 1 + ha(t) < 1, för alla t är tillräckligt för att effekten av en liten störning ska försvinna när n. I fall det finns störning i varje steg har vi e n+1 = (1 + ha(t n ))e n + δ n = (1 + ha(t n ))(1 + ha(t n 1 )e n 1 + (1 + h(t n ))δ n 1 + δ n n n = (1 + ha(t j ))δ 0 + (1 + ha(t j ))δ 1 + + (1 + ha(t n ))δ n 1 + δ n j=0 j=1 Om 1 + ha(t) < 1, för alla t e n+1 max 0 j n δ j (1 + r + + r n+1 ) = δ 1 rn+1 1 r δ 1 r. Det innebär att effekten av störningarna inte alltid går mot 0 men är begränsad av storlekar på δ n. 4

(4) Trapetsregeln med steglängderna 1.6, 0.8, 0.4, 0.2 har används för att beräkna integralen 1.6 0 ln(2 + cos 16t)dt och givit värdena 1.7287, 1.7359, 1.7378, 0.8964. (a) Ge en förklaring till de erhållna resultaten med hjälp av figuren som visar intergrandkurvan. (b) Värdet av integralen π 2 0 ln(2 + cos 16t)dt önskas med stor noggrannhet. Diskutera vilken metod som är lämpligast. Lösning. (a) Trapetsregeln i de tre första fallen (stegen 1.6, 0.8 och 0.4) utnyttjar integrandvärden enbart nära topparna på funktionskurvan och ger alltså alldeles för stora approximationer till integralvärdet. Man måste komma ned i steglängder under halva våglängden för att få vettiga approximationer. Eftersom våglängden är π/8 dvs nära 0.4, så är trapetsvärdet 0.8964 som erhålls för h = 0.2 det först acceptabla. (b) Fyra perioder genomlöps. Beräkna integralen I från 0 till π/8 med trapetsregeln som är effektivast (och enklast) för periodiska integraler över en hel period. [Det visar sig (vid koll med n = 12, 24, 48) att redan n = 24 ger full datorprecision. Det sökta integralvärdet blir 4I = 0.97987958188123.] (5) (a) Bestäm den parabel som passerar genom punkterna (1.6, 4.4), (2.4, y 2 ) och (3.2, 2.0) dels för fallet y 2 = 0.4, dels för y 2 = 5.2. Beräkna polynomets derivata vid x = 2.4 i båda fallen. (b) Visa att vid interpolation med ett andragradspolynom så är polynomets derivata i intervallers mittpunkt oberoende av y-värdet där. Lösning. (a) Med Newtons ansats är derivatan P (x) = c 1 + c 2 (x 1.6) + c 3 (x 1.6)(x 2.4), P (x) = c 2 + c 3 (x 2.4 + x 1.6). Sambanden P (1.6) = 4.4, P (2.4) = 0.4, P (3.2) = 2.0 leder till c 1 = 4.4, c 2 = 5, c 3 = 35/8, polynomet blir P I (x) = 4.4 5(x 1.6) + 35/8(x 1.6)(x 2.4), och dess derivata vid x = 2.4: P I (2.4) = 5 + (35/8)0.8 = 1.5. 5

Med P (2.4) = 5.2 blir koefficienterna c 1 = 4.4, c 2 = 1, c 3 = 25/8, alltså P II (x) = 4.4 + x 1.6 25/8(x 1.6)(x 2.4). Derivatan vid x = 2.4: P II (2.4) = 1 (25/8)0.8 = 1.5, dvs samma som ovan. (b) Låt punkterna vara (x 1, y 1 ), (x 1 + h, y 2 ), (x 1 + 2h, y 3 ): P (x) = c 1 + c 2 (x x 1 ) + c 3 (x x 1 )(x x 1 h). De tre interpolationssambanden ger c 1 = y 1, c 2 = (y 2 y 1 )/h, 2h 2 c 3 = y 3 y 1 2(y 2 y 1 ), dvs c 3 = 1 2h 2 (y 3 2y 2 + y 1 ). Derivatan P (x) = c 2 + c 3 (x x 1 h + x x 1 ) P (x 1 + h) = c 2 + c 3 h = 1 h (y 2 y 1 ) + 1 2h (y 3 2y 2 + y 1 ) = 1 2h (y 3 y 1 ). Derivatan i intervallets mittpunkt är alltså oberoende av y-värdet där och är lika med centraldifferenskvoten 1 2h (y 3 y 1 ) = y 3 y 1 x 3 x 1, vilket är lutningen för den räta linjen genom (x 1, y 1 ) och (x 3, y 3 ). (6) Skriv om så att ekvationssystemet Ax = b kan lösas med iterationsmetod, där 2 10 0 1 30 0 1 1 5 A = 5 1 0 0 b = 25 10 1 0 10 0 70 Bevisa (utan att iterera) att konvergens kommer att erhållas. Genomför två iterationer. Lösning. Byt raderna så att vi löser ekvationen på formen 5 1 0 0 10 5 0 0 0 5 1 0 0 10 2 10 0 1 1 0 10 0 x = 30 70 0 10 0 0 0 0 10 0 + 2 10 0 1 1 0 10 0 x = 30 70 0 1 1 5 25 0 0 0 5 0 1 1 5 25 3 0 0.2 0 0 3 x = 7 + 0.2 0 0 0.1 0.1 0 0 0 x 5 0 0.2 0.2 0 Gauss-Seidels metod med startvektor x (0) = (2, 3, 7, 5) T ger: 2 0.6 1.4 1.356 x (1) 2 0.2 1.4 + 0.1 5 = 7 + 0.1 1.4 = 3.22 7.14 och 3.150 x(1) = 7.136 5 + 0.2 3.22 0.2 7.14 4.216 4.203 6