KTH, Matematik Tentamen i Linjär algebra, SF64, för F och D, den 3:e juni, 9 OBS Svaret skall motiveras och lösningen skrivas, ordentligt och klart Inga hjälpmedel är tillåtna Betg enligt följande tabell: A minst 35 poäng B minst 3 poäng C minst 5 poäng D minst poäng E minst 5 poäng F x 3-4 poäng Betg Fx ger möjlighet till att komplettera till betg E Datumet och formen på kompletteringsprovet meddelas via email (totalt 5 poäng, inklusive bonuspoäng ( Betrakta följande mängder i R 3 : Del I A = {(x,, z sådana att = x }, B = {(x,, z sådana att = x + z} (a ( p Är A och/eller B delrum till R 3? Låt v = (x,, z, w = (x,, z vara två element av A Detta betder att = x, = x Det följer att v +w A om och endast om + = x +x = (x +x, som inte gäller i allmänhet Slutsatsen är att A inte är ett delrum Låt v = (x,, z, w = (x,, z vara två element av B, och k, t R Eftersom = x + z och = x + z är (k + t = (kx + tx + (kz + tz som bevisar att kv + tw B Slutsatsen är att B är ett delrum (b ( p Om svaret är ja, bestäm en bas Varje element i B kan skrivas som: (x, x+z, z = x(,, + z(,, Dessutom är vektorerna (,,, (,, linjärt oberoende Då är {(,,, (,, en bas ( ( 3p Givet är att : Bestäm: Matrisen kommer från matrisen det det 3 = 3x + 3 3 3z + x + + z + 3x + 3 3 3z + x + + z + 3 genom följande elementära radoperationer: addera 3 gången första raden till andra raden addera den första till den sista raden
Då blir determinanten lika men 3 gånger determinanter av 3 Svar: 3 (3 (3 p Betrakta punkten P = (,, R 3 och linjen l R 3 : (med avseende till standardbasen l(x,, z = x = + t = t z = t Betsäm planet genom P, som är vinkelrät mot l Normalvektorn till planet π ska vara parallel till riktningsvektorn till linjen l, dvs (,, Ekvationen till π blir då: x + z = C, för något C R Planet går genom P om + = C som ger C = Svar: π : x + z = (4 (3 p Låt A vara matrisen Bestam A 95 och A ( A = 5 Egenvärden till A är λ =,, och egenvektorerna är respektive (, 5, (, Det följer att: A = P DP där ( P = 5, P = ( 5 (, D = Då är A n = P D n P Efterson D n = D om n är udda och D n = I om n är jämnt så blir A 95 = A, och A = I (5 Låt f : R 3 R 4 vara den linjära avbildning sådan att: f(,, = (,,,, f(,, = (,,,, f(,, = (,,, (a ( pbestäm f(x,, z för varje (x,, z R 3, där (x,, z är koordinater med avseende till standardbasen Eftersom gäller att: f(,, = f(,, + f(,, + f(,, = (,, 3,, f(,, = f(,, f(,, = (,,,, f(,, = f(,, f(,, = (,,, Vi kan då skriva matrisen till f med avseende till standardbasen och f(x,, z = 3 x z = (b ( p Bestäm en bas till Ker(f och Im(f rang 3 = 3x z
3 Det följer att dim(im(f = och dim(ker(f = Ker(f = {(x,, z, f(x,, z = (,, 3x z, = (,,, } Vi har att (x,, z Ker(f om och endast om =, z = 3x som ger Ker(f = Span(,, 3 och då är (,, 3 en bas till Ker(f Im(f = {(w, w, w 3, w 4 = (,, 3x z, = (,,, + (z 3x(,,, } Då är {(,,,, (,,, } en bas till Im(f (totalt 5 poäng, inklusive bonuspoäng DEL ( Bestäm dimensionen till lösningsmängden av följande sstem, för alla a, b R ax + b z = x + b = x + a z = låt A = a b b a Eftersom det(a = a( b har sstemet en entdig lösning om a, och b Om a =, då är sstemet: b z = x + b = x z = inte lösbart eftersom det ger x = z, (x z = Om b = då ska vi betrakta sstemet: ax + z = x + = x + ax z = Om a har sstemet linjen (x,, z = t( a+, a+, +(, 3 a+, som lösningsmängd Om a = har sstemet linjen (x,, z = t(,, + (,, som lösningsmängd Svar: dim = om a, b dim = om a = s dim = om b = ( (3 p Låt U a,b = {(a, a, b, 3b R 4 } R 4, för (a, b R Bestäm, om det finns, en linjär avbildning φ : R 4 R 4, med Kerφ = Im(φ = U a,b U a,b = Span((,,,, (,,, 3 Vi kan komplettera vektorerna (,,,, (,,, 3 till en bas till R 4 Till exempel (,,, Span((,,,, (,,, 3 och (,,, Span((,,,, (,,, 3, (,,, som ger basen v = (,,,, v = (,,, 3, v 3 = (,,,, v 4 = (,,, Betrakta linjär avbildningen φ : R 4 R 4, definierad av: φ(v = φ(v =, φ(v 3 = v, φ(v 4 = v Man ser att Ker(φ = Span(v, v = U a,b, och att Im(φ = Span(φ(v 3, φ(v 4 = Span(v, v = U a,b
4 (3 (3 p Bestäm värdena på x,, z sådana att matrisen A = BC, där ( x B =, C = z är antismmetrisk, dvs A T = A A = ( + x + + x + + z + + z + A T = A om (, A T + x + + z + = + x + + z + x + = + z = x + + z = som har lösning (x,, z = (,, (4 (3 p Hitta en diagonalizerbar linjär avbildning f : R 3 R 3 som har ett egenvärde λ lika med med egenrum: V = {(x,, z R 3 sådana att x + + z = } Observera first att V = Span((,,, (,, Vectorerna (,,, (,, är linjärt oberoende och då är dim(v = Låt A vara avbildnings matris Vi vet att det karakteristiska polnom är p A (λ = (λ (λ a för något a R, eftersom f ska vara diagonalizerbar och dim(v = Dessutom motsvarar ekvationen x + + z = sstemet Man ser att matrisen (A λi 3 A = x z = har p A (λ = (λ (λ och egenrummet till λ = är lika med V Svar: f : R 3 R 3, definierad som f(x,, z = (x,, x + + z (5 (3 p Låt P k vara vektorrummet av reella polnom av grad k och betrakta inreprodukten: < p(x, q(x >= f(tg(tdt, för all p, q P 3 Bestämma projektionen av f(x = x 3 på P Vi börjar med att beräkna an ortonormalt bas till P Från basen {, x, x }, genom Gram-Scmidt, så får man: v =, v = dt = och < x, v >= tdt = som ger v = x < x, v >= t dt = 3, < x, v >= t3 dt = som ger v 3 = x 3 Efter man normerar vektorerna blir den ortonormala bas: (u, u, u 3 = ( 3 5, x, 8 (3x < f(x, u >= Vi har att: Det följer att: t 3 ( dt =, < f(x, u >= 3 6 5 t 4 dt = 5, < f(x, u 3 >= t 3 8 (3t dt =
5 proj P (x 3 =< x 3, u > u + < x 3, u > u + < x 3, u 3 > u 3 = 3 5 x DEL 3 ( (5 p Låt D(λ = λi n, vara den n n matris med alla termerna på diagonalen lika med λ och de andra termerna lika med : λ D(λ = λ λ Låt A vara en n n matris Visa att det finns ett λ R sådant att A = D(λ om och endast om AC = CA för varje n n matris C Om A = λi n då är det klart att AC = CA = λc för varje n n matris C Antar nu att A är en matris sådan att AC = CA för varje n n matris C Batrakta matriserna: { om (i, k = (l, k C lk = (c ij = annars Notera att { rlj = a C lk A = (r ij = kj för j =, n annars { rik = a AC lk = (r ij = il för i =, n annars Det följer att a ij = om i j och att a ii = λ för något λ R och i =,, n ( (5 p Betrakta följande n n matris: c c c n A(c,, c n = c c c n c n c n c n n Visa att det(a(c,, c n om c i c j för i j Matricen A(c,, c n är matricen associerad till den linjära avbildning; φ : P n R n, φ(p = (p(c, p(c,, p(c n Med avseende till standardbaser Observera att Ker(φ består av polnom, p, av grad n med n stcken distinta rötter: p(c = = p(c n = som är möjligt bara om p = Det följer att Ker(φ = och därför dim(im(φ = n, som ger det(a(c,, c n